5.1 Đề thi vào 10 các trường chuyên - Blog Toán hsg lop 9 2015

/>
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC

/>
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9
NĂM HỌC 2014 – 2015

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/4/2015
( Đề thi gồm có 01 trang )

Bài 1 (5,0 điểm)

1 1 1
 
a b c
Chứng minh rằng có ít nhất 1 số trong các số a, b, c bằng 1
b) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh A  23n 1  23n 1  1 là hợp số.

a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc  1 và a  b  c 

Bài 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình x 3  2 x  3x 2  6 x  4
3
2
 x  2 xy  12 y  0
b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau:  2
2

 x  8 y  12
Bài 3 (2,0 điểm)
1 1 1
Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn    3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b c
1
1
1
P


a 2  ab  b 2
b 2  bc  c 2
c 2  ca  a 2
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE,
CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
  cos 2 CBA
  cos 2 
a) Chứng minh cos 2 BAC
ACB  1
b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M, I lần lượt là trung điểm
các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh MI vuông góc với AP.
Bài 5 (2,0 điểm)

p2  p  2
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
là lập phương của một số tự nhiên.
2
b) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn

. Chứng minh luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không
1
lớn hơn .
9

c)

------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: …………………………………Số báo danh …………….
Chữ kí giám thị 1 ……………………… Chữ kí giám thị 2…..........................