De thi HSG tinh NB nam 2008

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm có 04 bài trong 01 trang)
Bài I (5 điểm)
1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
mx
mmxx
y
+
+−
=
2
2
cắt trục hoành tại hai
điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
2/ Cho hàm số f(x) =
xaxaxaa 2007cos...2coscos
2007210
++++
.
Biết rằng f(x) > 0
Rx
∈∀
, chứng minh rằng
0
a
> 0.
Bài II (7 điểm)

1/ Giải bất phương trình:
)2
4
1
(2
2
5
5
++<+
x
x
x
x
2/ Giải hệ phương trình:





=++
=++
x
y
yy
xx
20071
20071
2
2

3/Cho các số dương
cba ,,
có tích bằng 1. Chứng minh rằng:

2
1
32
1
32
1
32
1
222222
≤
++
+
++
+
++
accbba
Bài III (6 điểm)
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. M, I lần lượt là trung
điểm BC và SA, J là điểm chia chia đoạn SB theo tỉ số bằng -2.
Biết BC = 2a, SA = SC = SM =
5
a, ∠ABC = 60
o
.
1/ Mặt phẳng (P) chứa IJ và song song với SC chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ
số thể tích của hai phần đó.

2/ Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng AB.
Bài IV (2 điểm)
Cho dãy số thực (x
n
) xác định bởi:





≥∀
−
+=
=
+
1
1
3
2007
2
1
1
n
x
x
x
x
n
n
n

1/ Chứng minh dãy số (x
n
) bị chặn.
2/ Chứng minh dãy số (x
n
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
-----------------------------Hết------------------------------
Họ và tên thí sinh……………………….;Số Báo danh………………..;Số CMND......................
®Ò thi chÝnh thøc
Giám thị một:……………………………….;Giám thị hai:………………………………….