Đề cương ôn thi HK1 toán 11 năm học 2017 – 2018 trường THPT Yên Dũng 3 – Bắc Giang

TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN 11
Năm học: 2017-2018
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Tóm tắt một số dạng tốn thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.
1.Phương pháp:
Để tìm TXĐ của hàm số y=f(x) ta thực hiện theo các bước:
B1: Tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.
B2: Kết luận TXĐ dưới dạng tập hợp.
Chú ý: Với các hàm lượng giác cơ bản ta có:
- Hàm số y=sinx và y=cosx xác định với ∀x∈ R.
π
- Hàm số y=tanx xác định khi x ≠ + kπ , k ∈ Z
2
- Hàm số y=cotx xác định khi x ≠ kπ , k∈ Z
2. Ví dụ
Câu1:Tìm tập xác định của các hàm số sau :
π
2x
π
a. y =tan (x+ )
c.y =
b. y=cot (2x+ )
4
sinx+cosx
6

Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số lượng giác:
1. Phương pháp:
+) Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác.
−1≤ sinx ≤ 1; − 1≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ cos2x ≤ 1 ; 0 ≤ sin2x ≤ 1 ;
0 ≤ sinx ≤ 1 ; 0 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤

cosx ≤ 1 ; 0 ≤

1-sinx
d. y=
1+cosx

sinx ≤ 1,khi sinx ≥ 0, cosx ≥ 0.

− a2 + b2 ≤ asin x + bcos x ≤ a2 + b2 .
+) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức : cộng các vế của bất đẳng thức với cùng 1 số, nhân các vế
của bất đẳng thức với cùng 1 số,.......
2. Ví dụ
Câu2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau :
a. y = 3sin6x+5 + 2
d. y= sin2 x + 3 − 1
b.y = 2cos2 x + 3
e.y=sinx-cosx
c.y = 3sin2x +4cos2x -1
f. y=3cosx-5
Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số
1.Phương pháp giải:
Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Tìm tập xác định D của hàm số,khi đó:
+) Nếu D là tập đối xứng (tức là : ∀ x ∈ D ⇒ − x∈ D),ta thực hiện tiếp bước 2.

+) Nếu D không phải là tập đối xứng( tức là ∃x ∈ D mà -x ∉ D ),ta kết luận hàm số khơng chẵn
cũng khơng lẻ.
B2: Xấc định f(-x), khi đó:
. Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x ∈ D thì y =f(x) là hàm số chẵn
. Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x ∈ D thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Ngồi ra kết luận hàm số khơng chẵn cũng không lẻ.
Chú ý:
1. cos(-α ) =cosα ; sin(-α ) =-sinα ; tan(-α ) =-tanα ;cot(-α ) =-cotα
2. Với các hàm số lượng giác cơ bản ,ta có:
Các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là các hàm số lẻ; Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
3.Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng; Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng.
Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 1


TRƯỜNG THPT N DŨNG SỐ 3

TỔ: TỐN - TIN

2. Ví dụ
Câu3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :
a. y= sin2x-cos2x
c. y =cosx-sin2x
b. y= sinxcos3x
d.y = sinx -cosx
Dạng 4 : Giải phương trình lượng giác :
1. Phương pháp chung:
Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi tìm nghiệm.
*) Chú ý: Pt sinx = a;cos x = a có nghiệm nếu −1 ≤ a ≤ 1 ; pt t anx = a;cot x = a luôn có
nghiệm với mọi a.
*) Các cơng thức lượng giác:

Cơng thức lượng giác cơ bản:

cos 2 α + sin 2 α = 1; 1 + tan 2 α =
1. Công thức cộng cung:
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb
sin( a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

1
1
; 1 + cot 2 α =
;
2
cos α
sin 2 α

tan a + tan b
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a - b) =
1 + tan a tan b
tan(a + b) =

2.Công thức nhân đôi:
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a – 1 = 1 - 2sin2a
sin2a = 2sina.cosa
tan2a =

3.Công thức nhân ba:

a
cos3a = 4cos3a - 3cosa

2 tan a
1 − tan 2 a

4.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

sin a =

2t

;
1+ t 2

5.Công thức hạ bậc:

cosa=

1− t 2
;
1+ t 2

tan α .cot α = 1

tana=

2t

a

2
.

1− t 2
1 + cos 2a
1 − cos 2a
cos 2a =
; sin 2 a =
2
2

6.Cơng thức biến đổi tích thành tổng.
1
sin(a + b)
tan a + tan b =
cosa.cosb= [cos(a-b) + cos(a+b)]
2
cos a cos b
1
sin(a − b)
sina.sinb= [cos(a-b) - cos(a+b)]
tan
a
−
tan
b
=
2
cos a cos b
1

π

sina.cosb= [sin(a-b) + sin(a+b)]
 sin a + cos a = 2 sin  a + ÷ =
2
4

7.Cơng thức biến đổi tổng thành tích.

π

2 cos  a − ÷
4

π
π


 sin a − cos a = 2 sin  a − ÷ = − 2 cos  a + ÷
4
4



Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 2


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2cos
sin
2
2
cos a + cos b = 2cos

*) Công thức nghiệm của ptlg cơ bản:
 x = α + k2π
(k∈ Z) ;
1. sinx =sinα ⇔ 

 x =π -α +k2π
 x = α + k2π
(k∈ Z)
2. cosx =cosα ⇔ 
x =-α +k2π
3. tanx =tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z) ;
4. cotx =cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
2. Ví dụ
Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau :
a. 2sin2 x − 3sin x + 1 =0
b. cos2x- 3sin2x=- 2

d. 3cos2x+2 3 sinxcosx+5sin2x=2

e. 3sin7x - cos7x = 2

 π
f. 6cos2  x+ ÷-3sinxcosx-cos2x=1
2


g. 2 - 5sinx+cos2x =0

h.sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos26x

i.1+cosx+cos2x+cos3x=0

2

2

c. 3tanx - 4cotx+1 =0

k. 4 sin 2x+8cos x - 9 =0

l. 1+sinx +cosx+sin2x+2cos2x =0

m. 2sin x − 3sin x + 1 =0

3( 1-cosx) cos2 x
n . 5cosx - 2 =
sin2 x

2

II. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Phương trình sin x + 3 cos x = 1 có tất cả các nghiệm là
π
π
π
π
A. x = + k 2π , x = + k 2 , k ẻ Â .
B. x = − + k 2π , x = + k 2 , k ẻ Â .
6
2
6
2
2

+ k 2 , k ẻ Â .
C. x = k 2 , x =
D. x = + k 2π , x = + k 2 , k ẻ Â .
3
6
2
2
2
Cõu 2: Gii phương trình sin x − 3 sin x cos x + 2 cos x = 1 ta được tất cả các nghiệm là
π
π
π
A. x = + kπ , x = + k , k ẻ Â .
B. x = + k , k ẻ Â .
2
6
6



C. x = + k 2 , x = + k , k ẻ Â .
D. x = π + k 2π , x = + k 2 , k ẻ Â .
2
6
6
Cõu 3: Hm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. y = sin 2 x .
B. y = cos 2 x .
C. y = cos x .
D. y = sin x + 1 .

Câu 4: Hàm số y = sin x đồng bin trờn khong
ổp ử
ổ pữ
ử
ổ 3p ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
0;p
;
p
0
;
p; ữ
ỗ
ỗ
ỗ
A. ỗ
.
B.
(
)
.
C.
.
D.
.

ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ố2 ứ
ố 2÷
ø
è 2ø

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 3


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

π

Câu 5: Phương trình 2 cos  3 x + ÷− 3 = 0 có tất cả các nghiệm là
4

π
2π
5π
2π
+k

A. x = + k
v x =
, kẻ Â.
36
3
36
3
13
2
7
2
+k
+k
B. x =
v x =
, kẻ Â.
36
3
36
3

2
5
2
+k
C. x = + k
v x =
, kẻ Â.
36
3

36
3

2
5
2
+k
D. x = + k
v x =
, kẻ Â.
36
3
36
3
1
Cõu 6: Gii phng trỡnh sin x =
c tất cả các nghiệm là
2
π
5π
π
5π
+ k 2π , k Ỵ ¢ . B. x = − + k 2π , x =
+ k 2 , k ẻ Â .
A. x = − + k 2π , x =
4
4
4
4
π

5π
π
5π
+ k 2 , k ẻ Â .
+ k 2 , k Î ¢ .
C. x = + k 2π , x =
D. x = + k 2π , x = −
4
4
4
4
Câu 7: Phương trình cos 2 x − 3cos x + 2 = 0 có tất cả các nghiệm là
A. x = k 2 , k ẻ Â .
B. x = k 2π , x = ± arccos 2 + k 2 , k ẻ Â .
k
C. x =
, kẻ Â.
D. x = k , k ẻ Â .
2
1
Cõu 8: Tp xác định của hàm số y =
là
sin x + 1
A. Ă \ { k2p, k ẻ Â } .
B. Ă \ { p + k2p, k ẻ Â } .
ùỡ 3p
ùỹ
ùỡ p
ùỹ
+ k2p, k ẻ Âùý .

C. Ă \ ùớ
D. Ă \ ùớ + k2p, k ẻ Âùý .
ùợù 2
ùỵ
ùợù 2
ùỵ
ù
ù
ổ pữ
ử
2
2
0; ữ
ỗ
Cõu 9: Trong khong ỗ
ữ, phng trỡnh sin 4 x + 3sin 4 x cos 4 x − 4 cos 4 x = 0 cú
ỗ
ố 2ữ
ứ
A. 1 nghim.
B. 2 nghiệm.
C. 3 nghiệm.
D. 4 nghiệm.
Câu 10: Phương trình cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x + cos 2 4 x = 2 tương đương với phương trình
A. cos x.sin 5 x.sin 2 x = 0 .
B. cos x.cos 5 x.cos 2 x = 0 .
C. cos x.sin 4 x.sin 2 x = 0 .
D. sin x.sin 5 x.sin 2 x = 0 .
π


Câu 11: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3cos  x − ÷− 2 lần lượt là
3

A. 1 và -5.
B. -3 và 1.
C. 1 và 5.
D. -1 và 5.
Câu 12: Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x là
ù.
ù.
ù.
A. é
B. é
C. ( - 1;1) .
D. é
ê
ê
ê
ë- 2;2ú
û
ë- 1;1ú
û
ë- 1;2ú
û
π
4
 3π kπ

B. D = ¡ \  + , k ∈ ¢ 
2

 8

 3π kπ

D. D = ¡ \  + , k∈ ¢ 
4
2



Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số y = tan(2x − )
 3π kπ

+
, k∈ ¢ 
2
 7


A. D = ¡ \ 

 3π kπ

+
, k∈ ¢ 
5
2



C. D = ¡ \ 

Câu 14: Cho hàm số: y = cos x − 1 + 2 x , TXĐ của hàm số là:
A. [1;+∞)
B. (1;+∞)
C. (−∞ ;1)

D. R

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 4


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Câu 15: Cho hàm số: y = 2 sin 1 − x 2 + 3 cos x , TXĐ của hàm số là:
A. [1;+∞)
B. (−∞ ;1)
C. [ − 1;1]
D. R
3 cos x
Câu 16: Cho hàm số: y =
, TXĐ của hàm số là:
2 sin x − 1
1 
π

A. D = R \  
B. D = R \  + k 2π , k ∈ Ζ 

2
6

π
 5π

C. D=R
D. D = R \  + k 2π ; + k 2π , k ∈ Ζ 
6
6

Câu 17: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ?
(A) y = sinx.
(B) y = cosx.
(C) y = tanx
(D) y = cotx.
Câu 18: Gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y = 3− 4cos2 2x
A. min y = −1,max y = 4
B. min y = −1,max y = 7
C. min y = −1,max y = 3
D. min y = −2,max y = 7
y
=
tan
5
x
Câu 19:
là hàm số tuần hoàn với chu kì:
A. T = π

B. T =

2π
5

C. T =

π
5

D. T = 2π
π
4

π
3

Câu 20: Tìm tập xác định của hàm số sau y = tan(x − ).cot(x − )
π
4

π
3



A. D = ¡ \  + kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 


 3π

π

+ kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
3
 4


C. D = ¡ \ 

 3π
π

+ kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
5
 4


B. D = ¡ \ 

 3π
π

+ kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
6
 5


D. D = ¡ \ 

Câu 21: Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ?

1
(A) y = sin x cos x.
(B) y = cos2x
(C) y =
(D) y = sin 3 x
sinx
Câu 22: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin2 x + cos2 2x
A. max y = 4 , min y =

3
4

C. max y = 4 , min y = 2

B. max y = 3 , min y = 2
D. max y = 3 , min y =

3
4

Câu 23: Nghiệm của phương trình 5 − 5sin x − 2cos2 x = 0 là:
A. kπ , k ∈ ¢ .
B. k 2π , k ∈ ¢ .
π
π
C. + k 2π , k ∈ ¢ .
D. + k 2π , k ∈ ¢ .
2
6
2

Câu 24: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin x + 5sin x − 3 = 0 là
A. 3sin x − 3 = 0
B. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0
C. tan x + 2 = 0
D. 2sin x + 3 = 0
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 3sin x − 1 = 0 là
 1
 1
A. π + arcsin  − ÷+ k 2π
B. π − arcsin  − ÷+ k 2π
 4
 4
π 1
π
 1
 1
C. − arcsin  − ÷+ kπ
D. − arcsin  − ÷+ kπ
2 2
2
 4
 4

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 5


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I.

TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN

VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.
1) Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án. Nếu phương án một có m cách thực
hiện , phương án hai có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất
thì cơng việc đó có m + n cách thực hiện.
Chú ý: Có thể mở rộng quy tắc cộng như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k phương án A 1 , A2 , …, Ak . phương án A1 có n1
cách thực hiện, phương án A2 có n2 cách thực hiện , …, phương án A k có nk cách thực hiện .Tất cả
các phương án này không trùng nhau. Khi đó số cách hồn thành cơng việc là : n1 + n2 + n3 + .... + nk
cách .
2) Quy tắc nhân :
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp .Nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành cơng
việc đó .
Chú ý : Có thể mở rộng quy tắc nhân như sau :
Một cơng việc được hồn thành bởi một trong k hành động A 1 , A2 , …, Ak liên tiếp nhau. Hành
động A1 có n1 cách thực hiện, hành động A2 có n2 cách thực hiện , …, hành động Ak có nk cch thực
hiện . Khi đó số số cách hồn thành cơng việc là : n1 n2 …nk cách .
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.
1. Hoán vị
a. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó .
Nhận xét: Hai hốn vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự xắp xếp.
b. Số các hốn vị

Kí hiệu Pn là số các hốn vị của n phần tử. Ta có :
Pn = n ! = n.(n − 1).(n − 2)...2.1
Quy ước:

0! = 1, 1! = 1 .

2. Chỉnh hợp
a. Định nghĩa

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 6


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của
tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
b. Số các chỉnh hợp
k
Kí hiệu An l số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n ) . Khi đó ta có :

Ank =

n!
(n − k )!

n
Chú ý : Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hóan vị của n phần tử.Như vây : An = Pn = n !

3. Tổ hợp
a.Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ). Mỗi tập con có k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử .
b.Số các tổ hợp
k
Kí hiệu Cn là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n ) . Khi đó ta có :

Cnk =

n!
k !(n − k )!

c.Các tính chất của tổ hợp
k
n −k
Ta có : a) Cn = Cn
k
k
k −1
b) Cn = Cn −1 + Cn −1

VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.
Nhị thức Newton dùng để khai triển biểu thức dạng : (a + b) n , n ∈ N
Công thức nhị thức Newton :
(a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b 2 + ... + Cnk a n −k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n

Hoặc :

n

(a + b) n = ∑ Cnk a n − k b k , 0 ≤ k ≤ n
k =0

k n −k k
Số hạng tổng quát trong khai triển triển là: Tk = Cn a b , 0 ≤ k ≤ n

VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1. Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên( hay phép thử ) là một thí nghiệm hay một hành động mà
Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 7


TRƯỜNG THPT N DŨNG SỐ 3

TỔ: TỐN - TIN

•

Ta khơng đốn trước được kết quả xảy ra

•

Tuy nhiên ta có thể liệt kê được tất cả các trường hợp có thể xảy ra của phép thử đó .

2.Khơng gian mẫu
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là khơng gian mẫu .
Kí hiệu : Ω
3. Biến cố

Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu .
•

Biến cố khơng thể : là biến cố khơng bao giờ xảy ra.

4.Tính chất của biến cố
a.Biến cố đối
Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tập Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.
__

__

Kí hiệu : A . Vậy A = Ω \ A
b.Biến cố xung khắc
Gọi A và B là 2 biến cố của một phép thử nào đó . A và B được gọi là 2 biến cố xung khắc nếu A và
B không đồng thời xảy ra hay A ∩ B = ∅ .
5. Xác suất của biến cố
a.Định nghĩa cổ điển của xác suất
Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tỉ số
Kí hiệu : P( A) =

n( A)
được gọi là xác xuất củ a biến cố A.
n( Ω )

n( A)
n (Ω )

b.Các tính chất của biến cố
1. P(∅) = 0

2. P (Ω) = 1
3. 0 ≤ P( A) ≤ 1, ∀A
___

4. ∀A ta có : P( A ) = 1 − P ( A)
c. Các quy tắc tính xác suất.
Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P ( A.B ) = P ( A).P ( B)
II.

TĨM TẮT MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.
Dạng toán 1:Sử dụng quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm số phương án
Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 8


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Bước 1. Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau.
Bước 2. Nếu nhóm 1 có n1 cách chọn khác nhau
Nhóm 2 có n2 cách chọn khác nhau
…
Nhóm k có nk cách chọn khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1+n2+...+nkphương án.
• Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp

Bước 2. Nếu công việc 1có n1 cách thực hiện khác nhau
Cơng việc có n2cách thực hiện khác nhau
…
Cơng việc k có nk cách thực hiện khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1.n2...nk cách thực hiện.
Dạng toán 2 :Sử dụng các quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm các số hình thành từ 1 tập
hợp số cho trước nào đó
+ Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta
thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Số cần tìm có dạng: a1a2 ...ak , ai ∈ A, i = 1, 2,..., k , a1 ≠ 0. .
Bước 2. Đếm số cách chọn ai (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có ni cách.
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1.n2 ...nk số.
+ Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình
thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Chia các số cần đếm thành các tập con H1, H2 , … độc lập với nhau.
Bước 2. Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập H1, H2 , …, giả sử bằng k1, k2,...
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả k1+ k2 +... số.
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.
Dạng toán 1:Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để thực hiện bài toán đếm.
Phương pháp:
1. Để nhận dạng một bài tốn đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các
dấu hiệu sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 9


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

2. Để nhận dạng một bài tốn đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
3. Để nhận dạng một bài tốn đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Dạng toán 2:Các bài toán: rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình trong đó có chứa các tốn tử hốn vị,
chỉnh hợp, tổ hợp.
Phương pháp:
k
k
• Sử dụng thành thạo các cơng thức Pn , An , Cn .
k
k
• Nắm được các tính chất của Pn , An , Cn chẳng hạn:

n ! = ( n − 1) !n = ( n − 2 ) !( n − 1) n = ...
Cnk = Cnn − k , Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk

Ta thường sử dụng một trong các cách sau:
• Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi.
• Cách 2. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.
• Cách 3. Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp
• Cách 4. Sử dụng phương pháp đếm.

VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.
Dạng toán 1: Khai triển nhị thức Niuton
Phương pháp giải: Sử dụng công thức
(a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n −2b 2 + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n

(a − b )n = Cn0 a n − Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b 2 + ... + ( −1) k Cnk a n −k b k + ... + ( −1) n −1 C nn −1ab n −1 + (−1) n Cnnb n

- Trong khai triển nhị thức cần chú ý:
+Số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, tổng số mũ của a và b ln bằng
n.
+Có n+1 số hạng trong khai triển.
Dạng tốn 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển.
Phương pháp giải: Với yêu cầu về hệ số trong nhị thức Niu-tơn, ta cần làm theo các bước:
Bước 1. Viết số hạng tổng quát.
Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 10


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Bước 2. Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát.
Bước 3. Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau.
Chú ý:
- Số hạng không chứa x tức là số hạng chứa x 0 .
- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác.
- Các cơng thức lũy thừa cần nhớ:

n
am

m
+
n
m
n
m
−
n
a
= a .a ; a
= n ; ( a m ) = a m.n
a
Dạng toán 3: Tính tổng
Phương pháp giải: Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:
- Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số.
VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của khơng gian mẫu
Phương pháp giải: Yêu cầu được chuyển thành đếm số phần tử của tập hợp, từ đó mơ tả tập hợp này
bằng phương pháp liệt kê.
+ Dựa vào định nghĩa về không gian mẫu.
+ Nắm chắc các kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của không
gian mẫu.
Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biết cố. Tính số phần tử của tập hợp
này
Phương pháp giải:
+ Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử T .
+ Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của
A.
+ Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của khơng gian mẫu ΩA .

Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố
+ Xác định được số phần tử của không gian mẫu và của biến cố.
+ Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất và các quy tắc tính xác suất.
III.

BÀI TẬP TỰ LUẬN

2
Bài 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển biểu thức : ( x + )10
x
1
Baøi 2: Trong khai triển ( x 2 − )20 thành đa thức, tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
2

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 11


TRƯỜNG THPT N DŨNG SỐ 3
Bài 3: Tìm

hệ

số

của

TỔ: TỐN - TIN
x 26

trong

khai

triển

(

1
+ x7 )n
4
x

biết

rằng

C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 , n ∈ Z + .

Bài 4: Tìm hệ số của x3 trong khai triển (1 + 2 x + 3 x 2 )10 theo lũy thừa của x .
Baøi 5: Tính các tổng sau:
S1 = 316 C160 − 315 C161 + 314 C162 + ... + C1616
0
2
4
2016
S 2 = C2017
+ 32 C2017
+ 34 C2017
+ ... + 32016 C2017
0

1
2
2018 1 2018
S3 = C2019
32019 − C2019
32018 41 + C2019
32017 42 − ... − C2019
3 4 + 42019

Bài 6: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
Bài 7: Một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẩu
nhiên một lần 3 viên bi. Tính xác suất trong các trường hợp sau:
a. Lấy được 3 viên bi màu xanh.
b. Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
c. Lấy được 3 bi cùng màu.
d. Lấy được 3 bi khác màu.
Bài 8: Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh
lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
Baøi 9: Hai xạ thủ A và B cùng nhắm bắn một con thỏ. Xác suất để xạ thủ A bắn trúng là

suất để xạ thủ B bắn trúng là

2
; xác
7

1
. Tính xác suất để:
8

a. Cả hai xạ thủ điều bắng trúng.
b. Chỉ một trong 2 xạ thủ bắn trng.
c. Ít nhất một trong 2 xạ thủ bắn trng.
d. Cả hai đều bắn trượt.
Baøi 10: Một thầy giáo có 12 quyển sách đơi một khác nhau trong đó có 5 quyển sách Tốn, 4
quyển sách Vật lý, và 3 quyển sách Hóa học.Ơng muốn lấy ra 6 quyển đem tặng cho 6 học sinh
A,B,C,D,E,F mỗi em một quyển.Tính xác suất để sau khi tặng sách xong mỗi một trong ba loại
IV.

Tốn, Vật lý, Hóa học đều cịn lại ít nhất một quyển.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn trịn?
A. 12

B. 24

C. 4

D. 6

C. n = 4

D. n = 6

2
n −1
Câu 2: Số tự nhiên n thỏa mãn An − Cn +1 = 5 là:

A. n = 3

B. n = 5

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 12


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Câu 3: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau?
A. 207360

B. 120096

C. 120960

D. 34560

Câu 4: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 hoc sinh?
A. 85

B. 58

C. 508

D. 805

Câu 5: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao
cho có đúng 3 học sinh nữ.
A. 110790

B. 119700

C. 117900

D. 110970

Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt A1 , A2 ,K , A10 trong đó có 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngồi ra
khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cs bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 diểm trên?
A. 96 tam giác

B. 60 tam giác

C. 116 tam giác

D. 80 tam giác

Câu 7: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi
sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh?

A. 105

B.924

C.917

D.665280

Câu 8: Có 120 cách sắp xếp n người vào một bàn trịn. Khi đó giá trị của n là:
A. n = 10

B. n = 7

C. n = 5

Câu 9: Tính tích các nghiệm của phương trình
A. 6.

D. n = 6

Px − Px −1 1
= .
Px +1
6

B. 12.

C. 5.

D. 3.

Câu 10: Một tổ cơng nhân có 12 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ công tác gồm 3
người sao cho có 1 người làm tổ trưởng, 1 người làm tổ phó và 1 người làm thư kí. Biết rằng khơng
có ai kiêm nhiệm và ai cũng có thể được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
3
A. 3! A12

3
C. C12

B. 12!

3
D. A12

Câu 11: Hệ số của x8 trong khai triển ( x 2 + 2 )  là:
10

6 4
A. C10 2

6

4

B. C10

C. C10

6

6

4

31

D. C10 2
40

1 

Câu 12: Số hạng của x trong khai triển  x + 2 ÷  là:
x 

31

37 31
A. −C40 x

3

B. C40 x

31

2

C. C40 x

31

D. C40 x

Câu 13: Tìm hệ số của x3 y 3 trong khai triển của ( x + 2 y ) .
6

A. 8.

B. 120.

Câu 14: Số số hạng trong khai triển x ( 1 + x )

C. 20.
2017

D. 160.

là:

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 13


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3
A. 2017

TỔ: TOÁN - TIN

B. 2018

C. 1

D. 4034

C. 22017 − 1 .

D. 2 2016 .

1
2
3
2017
Câu 15: Tính S = C 2017 + C 2017 + C 2017 + L + C 2017 .

A. S = 22017 .

B. 22017 + 1 .

Câu 16: Với hai số thực a, b bất kì, khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ( a + b ) = a 4 + 4a 3 + 6a 2b 2 + 4b3 + b 4 .

B. ( a + b ) = a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + b 4 .

4

C. ( a + b ) = a 4 + b 4 .

4

D. ( a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 .

4

4

Câu 17: Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau đây?

B. 0 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn
n

n
0
1
2
n
A. 2 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn

C. 1 = Cn0 − 2Cn1 + 4Cn2 − ... + ( −2 ) Cnn
n

n
0
1
2
n
n
D. 3 = Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn

1 2
1 4
1
0
2018
Câu 18: Tính giá trị của biểu thức S = C 2018 + C2018 + C2018 + L + 2018 C2018 .
4
16
2

A. S =

32018 + 1
.
22019

B. S =

32018 − 1
.
22018

C. S =

32018 − 1
.
22019

D. S =

32018 + 1
.
22018

1
2
2
2 3
2

2016
2
2017
Câu 19: Tổng A = C2017 + 2 C2017 + 3 C2017 + ... + 2016 C2017 + 2017 C2017 bằng

A. 2016.2017.22016 .

B. 2017.2018.22015 .

C. 2016.2017.22015 .

D. 2016.2017.22017 .
n

1 

2
1
Câu 20: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển biểu thức  x x + 4 ÷ , biết Cn − Cn = 44?
x 


A. 525

B. 238

C. 165

D. 485

Câu 21. Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp bốn lần. Tính xác suất của
biến cố A : “Cả bốn lần đều xuất hiện mặt ngửa”.
A. P ( A ) =

3
.
8

B. P ( A ) =

3
.
16

C. P ( A ) =

1
.
8

D. P ( A ) =

1
.
16

Câu 22. Bài kiểm tra một tiết này có 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời (A,
B, C, D) và chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất để tất cả các đáp án đều là phương án C.
1
A. .

4

B.

1
.
420

C.

1
.
204

D.

1
.
80

Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để mặt sáu
chấm xuất hiện ít nhất một lần.
A.

11
.
36

B.

1
.
3

C.

1
.
36

D.

1
.
9

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 14


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Câu 24: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng.
Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của mỗi người tương ứng là

1
2
và . Xác suất để cả hai
5

7

người cùng ném bóng vào rổ là:
A.

12
35

B.

1
25

C.

4
49

D.

2
35

Câu 25:Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố A: ” Tổng số
chấm xuất hiện là 7”.
A.

1
6

B.

2
9

C.

5
18

D.

1
9

Câu 26: Một tổ học sinh gồm có 6 nam và 4 . Chọn ngẫu nhiên 3 em. Tính xác suất 3 em được
chọn có ít nhất 1 nữ.
A.

5
6

B.

1
6

C.

1

30

D.

1
2

Câu 27: Trên giá sách có 4 quyển sách tốn, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 mơn khác nhau.
A.

2
7

B.

1
21

C.

37
42

D.

5
42

Câu 28: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3

quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là mơn tốn.

A.

2
7

B.

1
21

C.

37
42

D.

5
42

Câu 29: Trên giá sách có 4 quyển sách tốn, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là tốn.

A.

2
7

B.

1
21

C.

37
42

D.

5
42

Câu 30: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện
mặt sấp”
A. P( A) =

1
2

B. P ( A) =

3
8

C. P( A) =

7

8

D. P( A) =

1
4

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 15


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến A ( n ) là một mệnh đề đúng với mọi giá

1.1.

trị nguyên dương n , ta thực hiện như sau:
•

Bước 1:Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 .

•

Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý ( k ≥ 1) , chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1 .
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A ( n ) là đúng với với mọi số ngun dương

1.2.

n ≥ p thì :
•

Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với n = k + 1 .

Vấn đề 2. DÃY SỐ
2.1.Định nghĩa :Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên

u : N* → R
n a u ( n)

2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm
•

( un ) là dãy số tăng

⇔ un +1 > un , ∀n ∈ N *

⇔ un +1 − un > 0, ∀n ∈ N *
⇔
•

un +1
> 1 , ( un > 0 , ∀n ∈ N *
un

( un ) là dãy số giảm

)

⇔ un +1 < un , ∀n ∈ N *

⇔ un +1 − un < 0, ∀n ∈ N *
⇔

un +1
< 1 , ( u n > 0 , ∀n ∈ N *
un

)

2.3.Dãy số bị chặn
•

( un ) là dãy số bị chặn trên

⇔ ∃ M ∈ R : un ≤ M , ∀n ∈ N * .

•

( un ) là dãy số bị chặn dưới

⇔ ∃ m ∈ R : un > m , ∀n ∈ N * .

•

( un ) là dãy số bị chặn

⇔ ∃ m , M ∈ R : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ N * .

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 16


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG
*
+ Định nghĩa :Dãy số ( un ) là cấp số cộng ⇔ un +1 = un + d , ∀n ∈ ¥

d là số khơng đổi , gọi là công sai của cấp số cộng .

(

)

*

+ Số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d , ∀n ≥ 2 , n ∈ ¥ .

+ Tính chất :

uk =

uk −1 + uk +1
, ( ∀k ≥ 2 , k ∈ ¥ * ) .
2

+ Tổng n số hạng đầu tiên :

S n = u1 + u2 + ... + un =

n(u1 + un ) n [ 2u1 + (n − 1)d ]
=
2
2

Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN

(

*
+ Định nghĩa :Dãy số ( un ) là cấp số nhân ⇔ un +1 = un ×q , ∀n ∈ ¥

)

q là số khơng đổi , gọi là công bội của cấp số nhân .

(

)

n −1
*
+ Số hạng tổng quát : un = u1.q , ∀n ≥ 2 , n ∈ ¥ .

+ Tính chất :

uk2 = uk −1.uk +1 , ( ∀k ≥ 2 , k ∈ ¥ * ) .

+ Tổng n số hạng đầu tiên :
 S n = u1 + u2 + ... + un = nu1

n
 S = u + u + ... + u = u1 (1 − q )
1
2
n
 n
1− q
II.

khi q = 1
khi q ≠ 1

TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp

Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
•

Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi n = 1 (hoặc n = p ) .

•

Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi n = k với k ≥ 1 ( hay k ≥ p ) ,ta phải
chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi n = k + 1 .

2.

Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức
truy hồi .

Phương pháp :
•

Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng
quát thì muốn tìm số hạng thứ k ta chỉ việc thay n = k vào công thức tổng quát . Nếu dãy số
cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 17


TRƯỜNG THPT N DŨNG SỐ 3
•

TỔ: TỐN - TIN

Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều
cách nhưng thơng thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đốn cơng thức và chứng
minh lại bằng quy nạp .

3.

Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số .

Phương pháp : Dựa theo định nghĩa :
o

( un ) là dãy số tăng

⇔ un +1 > un , ∀n ∈ ¥ *

⇔ un +1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ *
⇔
o

un +1
> 1 , ( un > 0 , ∀n ∈ ¥ *
un

( un ) là dãy số giảm

)

⇔ un +1 < un , ∀n ∈ ¥ *

⇔ un +1 − un < 0 , ∀n ∈ ¥ *
⇔
o
4.

un +1
< 1 , ( un > 0 , ∀n ∈ ¥ *
un

( un ) là dãy số bị chặn

)

⇔ ∃ m , M ∈ ¡ : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈¥ * .

Chứng minh các dãy số là cấp số

Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh
•

CSC ( un ) ⇔ un +1 = un + d ⇔ un +1 − un = d , ∀n ∈ ¥ * , ( d : khơng đổi) .

•

CSN (un ) ⇔ un +1 = un ìq

un +1
= q , n Ơ * , ( q : khơng đổi) .

un

Tìm u1 , d , q, S n của cấp số

5.

Phương pháp : Dựa vào các công thức về số hạng tổng quát , tổng của n số hạng đầu tiên của cấp
số cộng hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả .
+ Nếu ( un ) là cấp số cộng thì :
•

un = u1 + (n − 1)d , ∀n ≥ 2 , n Ơ *

ã

S n = u1 + u2 + ... + un =

n(u1 + un ) n [ 2u1 + (n − 1)d ]
.
=
2
2

+ Nếu ( un ) là cấp số nhân thì :
•

un = u1.q n −1 , ∀n ≥ 2 , n ∈ ¥ * .

•

 S n = u1 + u2 + ... + un = nu1

n
 S = u + u + ... + u = u1 (1 − q )
1
2
n
 n
1− q

khi q = 1
khi q ≠ 1
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 18


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3
6.

TỔ: TOÁN - TIN

Các bài tốn ứng dụng tính chất của cấp số

Phương pháp : Dựa vào các cơng thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân :
uk −1 + uk +1
, ( ∀k ≥ 2 , k Ơ * )
2

ã

Nu ( un ) l cp s cộng thì : uk =

•

2
*
Nếu ( un ) là cấp số nhân thì : uk = uk −1.uk +1 , ∀k ≥ 2 , k ∈ ¥ .

III.

(

)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) 2n −3 > 3n − 1 , ∀n ≥ 8
3
2
b) un = n + 3n + 5n chia hết cho 3, với mọi n ∈ ¥ *

c) Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n ∈ ¥ * :
1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) =

n(n + 1)( n + 2)
3

Bài 2: Xét tính tăng , giảm của các dãy số ( un ) biết :
2n + 1
un =

a)
3n − 2

b)

un =

2−n
n

c)

un =

( −1)n
n+2

Bài 3: Xét tính bị chặn của các dãy số ( un ) biết:
a) un =

n 2 + 2n
n2 + n + 1

b) un =

n

c) un =

n 2 + 2n + n

4n 2 + 2 n
2n 2 + n + 1

Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) biết:
5

u1 = 4
b) ( un ) : 
;
u = un + 1
 n +1
2

u1 = −1
a) ( un ) : 
un +1 = 2un + 1

Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
 u 2 + u4 = 5
u1 + u5 − u3 = 10
u2 + u5 − u3 = 10
a) 
; b) 
; c)  2
2
u2 + u5 = 7
u4 + u6 = 26



u1 + u5 = 25
Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số a , b , c lập thành một cấp số cộng thì :

3 ( a 2 + b2 + c2 ) − 6 ( a − b ) = ( a + b + c ) .
2

2

4
2
Bài 7. Tìm các giá trị của m để phương trình : x − 2 ( m + 2 ) x + 2m + 3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số cộng .

u1 = 2
Bài 8. Cho dãy số ( un ) : 

un+1 = un + 3n − 2 , ( ∀n ≥ 1)
Xét dãy số ( vn ) biết : vn = un+1 − un , ( ∀n ≥ 1)

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 19


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

a) Chứng minh dãy số ( vn ) là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và cơng sai của nó.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) .
Bài 9. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết:
u1 + u2 + u3 = 21


 u1 + u3 = 10

1
7 , ( q > 0)
a)  2
;
b)  1 1
2
+
+
=
u
+
u
=
50

3
 1
u u
u3 12
2
 1

u1 = 1 , u2 = 2
Bài 10. Cho dãy số ( un ) : 
.

un+1 = 3un − 2un−1 , ( ∀n ≥ 2 )

Xét dãy số ( vn ) biết : vn = un +1 − un , ( ∀n ≥ 1)

a) Chứng minh dãy số ( vn ) là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) .
IV.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


u1 = 2
Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi: 
n

un+1 = 2 .un

. Ta có u5 bằng:
ví i ∀n ≥ 1

A. 10

C. 2048

B. 1024

D. 4096

1

u1 =
2

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: 
. Khi đó u50 bằng:
un = un−1 + 2n ví i mäi n ≥ 2
A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

u1 = −1
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: 
. Khi đó u11 bằng:
. n−1 ví i mäi n ≥ 2
un = 2nu
A. 210.11!

B. -210.11!

Câu 4: Dãy số un =
A.

1
2

C. 210.1110

D. -210.1110

3n − 1
là dãy số bị chặn trên bởi?
3n + 1

B.

1
3

C. 1

D. Tất cả đều sai

Câu 5: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số giảm:
A. un = sin n

B. un =

n2 + 1
n

n − n− 1

C. un =

D. un = ( −1)

n

( 2 + 1)

n

Câu 6: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn
A. un =

n2 + 1

C. un =2n + 1

B. un = n +
D. un =

1
n

n
n+ 1

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 20


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Câu 7: Cho dãy số (un) vói un = 3n. Hãy chọn hệ thức đúng:
A.

u1 + u9
= u5

2

B.

C. 1+ u1 + u2 + ... + u100 =

u100 − 1
2

u2u4
= u3
2

D. uu
1 2...u100 = u5050

Câu 8: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng u2n - 1 bằng:
A. 32.3n - 1

B. 3n.3n - 1

Câu 9: Cho dãy số un =

C. 32n - 1

D. 32(n - 1)

2n
9
. Số

là số hạng thứ bao nhiêu?
n +1
41
2

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

u1 = 1
Câu 10: Cho dãy số 
2 n Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
un +1 = un + ( −1)
A. un = 1 + n

B. un = 1 − n

C. un = 1 + ( −1)

2n

D. un = n

u1 = −2

1 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

Câu 11: Cho dãy số 
un +1 = −2 − u
n

A. un =

−n + 1
n

B. un =

n +1
n

C. un = −

n +1
n

D. un = −

n
n +1

u1 = 1
Câu 12: Cho dãy số 
2 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
un +1 = un + n
A. un = 1 +
C. un = 1 +

n ( 2n + 1) ( n + 1)
( n − 1) n ( 2n + 2 )
B. un = 1 +
6
6

( n − 1) n ( 2n − 1)
6

D. Tất cả đều sai

Câu 13: Dãy số nào sau đây là dãy tăng:

π
n
2n
n
u n = (−1) (3 + 1)

A. u n = (−1) n +1 sin

B. u n =

2n + 3
3n + 2

C. u n =

1

n + n +1

D.

u1 = 5
Câu 14:Cho dãy số 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
un +1 = un + n
A. un =

( n − 1) n
2

B. un = 5 +

( n − 1) n
2

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 21


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3
C. un = 5 +

TỔ: TOÁN - TIN

n ( n + 1)

D. un = 5 +

2

( n + 1) ( n + 2 )
2

Câu 15: Tính tổng S ( n ) = 1.1!+ 2.2!+ ........... + 2007.2007! . Khi đó cơng thức của S ( n ) là:
A. 2007!

C. 2008!− 1

B. 2008!

D. 2007!− 1

u1 = 3

Câu 16: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 
1
* Tìm cơng thức tính số
un +1 = 2 un ∀n ∈ ¥
hạng tổng quát un của dãy số
A. un =

3
2n

B. un =

3
2

C. un =

n −1

3
2 −1

D. un =

n

3
2 +1
n

Câu 17: Cho CSC có d=-2 và s8 = 72 , khi đó số hạng đầu tiên là sao nhiêu?
1
1
A. u1 = 16 B. u1 = −16
C. u1 =
D. u1 = −
16
16
Câu 18: Cho CSC có u1 = −1, d = 2, sn = 483 . Hỏi số các số hạng của CSC?
A. n=20

B. n=21C. n=22D. n=23

Câu 19: Xác đinh a để 3 số 1 + 3a, a 2 + 5,1 − a lập thành CSC.

A. a = 0
B. a = ±1 C. a = ± 2
D.Tất cả đều sai.
Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc
B. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc
C. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc
D. a 2 − c 2 = ab − bc
Câu 21: Cho CSC có u4 = −12, u14 = 18 . Khi đó số hạng đầu tiên và cơng sai là
A. u1 = −20, d = −3

B. u1 = −22, d = 3

C. u1 = −21, d = 3

D. u1 = −21, d = −3

Câu 22: Cho CSC có u4 = −12, u14 = 18 . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là?
A.24

B. -24

C. 26

D. – 26

Câu 23: Cho CSC có u5 = −15, u20 = 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là?
A. 200

B. -200

C. 250

D. -25

Câu 24: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC?
n
A. u1 = 3
B. u1 = ( −3)
C. un = 3n + 1
Câu 25: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC?
n +1

D.Tất cả đều là CSC

u1 = −1
A. 
un +1 = 2u n + 1

u1 = −1
3
B. 
C. un = n 2
D. un = ( n + 1)
un +1 = un + 1
1
Câu 26: Cho CSN có u2 = ; u5 = 16 . Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN?
4
Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 22

TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

1
1
1
1
1
1
A. q = ; u1 =
B. q = − , u1 = −
C. q = 4, u1 =
D. q = −4, u1 = −
2
2
2
2
16
16
Câu 27: Cho CSN có u1 = −1, u6 = 0, 00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là?
1
−1
, un = n −1
10
10
−1
1
C. q = , un = n −1

10
10

A. q =

B. q =

−1
, un = −10n −1
10

−1
D. q = −1 , un = ( n −) 1
10
10
−1
1
Câu 28: Cho CSN có u1 = −1; q =
. Số 103 là số hạng thứ bao nhiêu?
10
10
A. số hạng thứ 103

n

B. số hạng thứ 104

C. số hạng thứ 105

D. Đáp án khác

Câu 29: Cho dãy số

−1
; b , 2 . Chọn b để ba số trên lập thành CSN
2

A. b = −1

B. b = 1

C. b = 2

D. Đáp án khác

Câu 30: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.
1

u1 =
2
A. 
u = u 2
n
 n +1

B. un +1 = nun

u1 = 2
C. 
un +1 = −5un

D. un +1 = un+1 − 3

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 23


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
I - TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG.
BÀI 1. PHÉP TỊNH TIẾN

r
r
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho véc tơ v ( a; b ) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v ( a; b ) là phép
uuuuur r
biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM ' = v . Ký hiệu : Tvr .
2.Các tính chất của phép tịnh tiến :
a/ Tính chất 1:
*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.
b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm đó.
HỆ QUẢ :
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng
thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường trịn
thành một đường trịn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
r
- Giả sử cho v ( a; b ) và một điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’
x ' = x + a
thì M’ có tọa độ là : 
y' = y +b
BÀI 2. PHÉP QUAY
1. Định nghĩa
Cho điểm O và góc lượng giác α. PBH biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M ≠ O thành
điểm M′ sao cho OM′ = OM và góc (OM; OM′ ) = α đgl phép quay tâm O góc α.
Điểm O: tâm quay.
Góc α: góc quay.
Kí hiệu: Q(O,α).
Nhận xét:
• Chiều quay dương là chiều dương của đường trịn lượng giáC.
• Với k ∈ Z,
– Q(O,2kπ) là phép đồng nhất.
– Q(O,(2k+1)π) là phép đối xứng tâm O.
2. Tính chất
Tính chất 1: Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng → đường thẳng, đoạn thẳng → đoạn thẳng bằng nó, tam
giác → tam giác bằng nó, đường trịn → đường trịn có cùng bán kính.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 24


TRƯỜNG THPT N DŨNG SỐ 3

TỔ: TỐN - TIN

• Nhận xét:

Giả sử QO,α)(d) = d′ . Khi đó:

α
( d· ,d') = 
π − α


neá
u 0< α ≤
neá
u

π
2

π
≤α<π
2

3. Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc quay là α :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, α ) , với I(a; b). Khi đó Q(I, α ) biến điểm M (x; y) thành
M’(x’; y’) xác định bởi:

 x' = a + ( x − a ) cosα − ( y − b) sin α

 y ' = b + ( x − a ) sin α + ( y − b) cos α
BÀI 3. PHÉP DỜI HÌNH
1. Định nghĩa: Phép dời hình là PBH bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nhận xét:
– Các phép Tvr , Đd, ĐO, Q(O,α) đều là những phép dời hình.

– PBH có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.
2. Tính chất
Phép dời hình:
1) Biến 3 điểm thẳng hàng → 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
2) Biến đường thẳng → đường thẳng, tia → tia, đoạn thẳng → đoạn thẳng bằng nó.
3) Biến tam giác → tam giác bằng nó, góc → góc bằng nó.
4) Biến đường trịn → đường trịn có cùng bán kính.
Chú ý:
a) Nếu PDH biến ∆ABC → ∆A′ B′ C′ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp của ∆ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp của ∆A′ B′ C′ .
b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh → đa giác n cạnh, đỉnh → đỉnh, cạnh → cạnh.
BÀI 4. PHÉP VỊ TỰ
1. Định nghĩa

uuuur
uuuu
r
• Cho điểm O và số k ≠ 0. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M′ : OM ' = kOM đgl phép vị tự
tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k).
O: tâm vị tự, k: tỉ số vị tự.
Nhận xét:
1) V(O,k): O a O
2) Khi k =1 thì V(O,1) là phép đồng nhất.
3) Khi k= –1 thì V(O,–1) = ĐO
Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 25