Khau quan sat luenberger

I.KHÂU QUAN SÁT LUENBERGER
1.Khái niệm về quan sát tín hiệu.
Trong các bài toán điều khiển người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều
khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra. Thông thường, việc xác
định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến
(sensor). Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo được một cách trực tiếp. Rất
nhiều tín hiệu chỉ có thể đo được một cách gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được
khác. Ví dụ như:
• Gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc
độ trong một khoảng thời gian.
• Giá trị công suất có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp.
Để thống nhất chung, người ta sử dụng khái niệm quan sát một tín hiệu để chỉ
công việc xác định tín hiệu vào/ra một cách gián tiếp thông qua các tín hiệu đo được
khác (thường là các tín hiệu vào/ra).
2.Bộ quan sát Luenberger.
Xét đối tượng:

Ý tưởng chính của phương pháp là sử
dụng khâu có mô hình:
làm bộ quan sát để có được tín hiệu
ít nhất là sau một khoảng thời gian T
đủ ngắn, nói cách khác là có được:

1


r(t)

u(t)

_

y(t)

y(t)
K

Bộ quan sát

trạng thái
Luenberger

Sai lệch giữa tín hiệu trạng thái thực và tín hiệu trạng thái ước lượng:

Như vậy để e(t) 0 thì (A – LC) phải là ma trận bền (ma trận có các giá trị riêng
mà phần thực của nó nằm bên trái trục ảo). Sai lệch e(t) sẽ càng tiến nhanh về 0 nếu
các giá trị riêng của (A – LC) nằm càng xa trục ảo về bên trái. Do đó ta có thể chủ
động tìm L với một tốc độ tiến về 0 của e(t) đã được chọn trước bằng cách xác định L
sao cho A – LC có các giá trị riêng phù hợp với tốc độ đó.
Vì giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị nên việc xác định L sao
cho (A – LC) có được những giá trị riêng chọn trước cũng đồng nghĩa với việc tìm LT
để:
nhận các giá trị cho trước s1, .... , sn làm các giá trị riêng. Đây chính là bài toán thiết kế
bộ điều khiển gán điểm cực ứng với hệ đối ngẫu của đối tượng đã cho. Điều kiện để
tồn tại bộ quan sát là đối tượng phải quan sát được.
Ta đi đến thuật toán tìm L của bộ quan sát trạng thái Luenberger cho đối tượng
(1) quan sát được gồm 2 bước sau:
1) Chọn n giá trị s1, .... , sn có phần thực âm ứng với thời gian T mong muốn để
quan sát tín hiệu vào/ra. Các giá trị s1, .... , sn được chọn nằm càng xa trục ảo về
2

phía trái so với các giá trị riêng của A thì thời gian T sẽ càng ngắn và do đó sai
lệch e(t) càng nhanh tiến về 0.
2) Sử dụng các phương pháp đã biết như Roppernecker, modal, ... để tìm bộ điều
khiển LT phản hồi trạng thái gán điểm cực s1, .... , sn cho đối tượng:
Chúng ta sử dụng tín hiệu trạng thái ước lượng của bộ quan sát L như là đầu
vào của bộ điều khiển R. Bởi vậy thời gian xác định trạng thái xấp xỉ không thể chậm
hơn thời gian thay đổi trạng thái x(t) của bản thân đối tượng. Từ đây suy ra các điểm
cực của bộ quan sát L phải nhanh hơn (nằm về phía bên trái) so với các điểm cực của
bộ điều khiển R (thông thường từ 4 đến 10 lần).
3.Thiết kế bộ quan sát Luenberger cho bài toán điều khiển con lắc ngược.
Kiểm tra tính quan sát được: Hệ thống quan sát được khi và chi khi ma trận:

có hạng là n. Nghĩa là ma trận QO phải chứa n vector hàng độc lập tuyến tính.
ob = obsv(sys_ss);
observability = rank(ob)
observability = 4

Ở phần trước, ta đã thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi âm. Từ đó, sử dụng
Matlab đề có các điểm cực của bộ điều khiển:
poles = eig(Ac)
poles =
-8.4910
-8.4910
-4.7592
-4.7592

+
+
-

7.9283i
7.9283i
0.8309i
0.8309i

Các điểm cực chậm nhất của bộ điều khiển có phần thực bằng -4.7592, do
đó ta có thể đặt các điểm cực của bộ quan sát trạng thái nhanh hơn khoảng 10 lần so
với các điểm cực của bộ điều khiển:
P = [-40 -41 -42 -43];
L = place(A',C',P)'
L =
1.0e+03 *

3


0.0826
1.6992
-0.0014
-0.0762

-0.0010
-0.0402
0.0832
1.7604

Mô phỏng trên matlab:
K = [-70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238]

Scope

Cart Position

x

u
Force
Pendulum Angle

Step

phi

SimScape
Inverted Pendulum
Matrix K
x^

K*u

y
1
s

K*u
Matrix B

Integrator

K*u

y^

Matrix C

Matrix A
K*u

Matrix L
K*u

Kết quả mô phỏng thu được:

4


-3

5

x 10

Position
0
-5
-10
-15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3

15

x 10

Angle
10
5

0
-5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nhận xét: Đáp ứng trên gần giống với đáp ứng đạt được khi chúng ta phản hồi
tất cả các biến trạng thái. Bởi vì bộ quan sát trạng thái tác động nhanh và mô hình giả
định quan sát là giống với mô hình thực tế (bao gồm cả điều kiện ban đầu giống
nhau). Vì vậy tất cả các yêu cầu thiết kế đã được đáp ứng. Qua đây chúng ta thấy
được phương pháp không gian trạng thái dùng để điều khiển hệ MIMO sẽ dễ dàng

hơn so với những phương pháp điều khiển ta đã biết.

5


II.ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU KHI SỬ DỤNG BỘ QUAN SÁT LUENBERGER.
1.Ảnh hưởng khi có nhiễu quá trình.

6


Sử dụng tín hiệu nhiễu trắng có µ=0, ϭ2 = 0.01, Tsample = 1
Mean = 0, Variance = 0.01
0.01
Vi tri con lac
0

-0.01

-0.02

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3

x 10

15

Goc nghieng
10
5
0
-5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

µ=0, ϭ2 = 0.05 , Tsample = 1
Mean = 0; Variance = 0.05
0.01
Vi tri
0
-0.01
-0.02
-0.03

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3

15

x 10

Goc nghieng
10
5
0
-5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7


µ=0, ϭ2 = 0.05 , Tsample = 0.1
-3

5

Tsample = 0.1

x 10

0
-5
-10
-15
-20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01

8


2.Ảnh hưởng khi có nhiễu đo.

Anh huong cua nhieu do
0.1
Vi tri
0.05
0
-0.05
-0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.3
Goc

0.2
0.1
0
-0.1
-0.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Kết luận: Nếu dùng bộ quan sát luenberger, trạng thái ước lượng không con chính xác
khi hệ thống chịu tác động của nhiễu.
9


III. LÝ THUYẾT VỀ BỘ LỌC KALMAN.
1.Quá trình ngẫu nhiên Ergodic.
Trong kinh tế và xử lý tín hiệu, một quá trình ngẫu nhiên được cho là ergodic
nếu tính chất thống kê của nó (chẳng hạn như trung bình và phương sai) có thể được
rút ra từ một mẫu đủ dài của quá trình.
2. Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian).
Trong thực tế, người ta thường sử dụng phân phối xác suất có tên là phân phối
chuẩn (normal distribution) hay phân phối Gaussian.
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gaussian khi nó có hàm mật
độ là hàm Gaussian, ký hiệu là X~�(�, �) gọi là X có phân phối chuẩn với tham số �,
�.
Khi đó hàm mật độ của X là:
Với phân phối xác suất như trên, người ta tính được �, � lần lượt là kỳ vọng và
độ lệch chuẩn của X.
Dưới đây là đồ thị của một số phân phối chuẩn.

10

Quan sát đồ thị ta thấy phân phối chuẩn có dạng chuông. Giá trị kỳ vọng của X
là X = � là trục đối xứng. Độ lệch chuẩn � (hay phương sai �2) càng lớn thì đồ thị
càng bẹt, nghĩa là các giá trị càng phân tán ra xa kỳ vọng.
Trong thực tế, các loại nhiễu trong các hệ thống đo lường có thể được mô
phỏng một cách chính xác bằng nhiễu trắng cộng. Hay nói cách khác tạp âm trắng
Gaussian là loại nhiễu phổ biến nhất trong hệ thống đo lường. Loại nhiễu này có mật
độ phổ công suất đồng đều trên miền tần số và biên độ tuân theo phân bố Gaussian.
Theo phương thức tác động thì nhiễu Gaussian là nhiễu cộng. Vậy các hệ thống đo
lường phổ biến chịu tác động của nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN).
3.Bộ lọc Kalman.
Với bộ quan sát Luenberger, phải sau khoảng thời gian T nhất định ta mới phát
hiện được sự thay đổi trạng thái x(t) trong đối tượng. Điều này hạn chế khả năng ứng
dụng của nó. Tức là nó chỉ sử dụng được khi nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu tức
thời và khoảng thời gian giữa hai lần nhiễu tác động không được nhỏ hơn T.
Trên lý thuyết, ta có thể giảm thời gian quan sát T bằng cách chọn các giá trị
riêng s1, s2, ...., sn của ma trận A – LC nằm càng xa trục ảo về bên trái. Tuy nhiên, trên
thực tế, ta không thể tích hợp được thiết bị nào có hằng số thời gian nhỏ ≈ 0 - quán
tính gần bằng 0 (hằng số thời gian càng nhỏ, giá trị riêng càng xa trục ảo về phía trái).
Để loại bỏ nhược điểm của bộ quan sát Luenberger, ta phải xét đến sự tham gia
của các tín hiệu nhiễu nx(t) và ny(t) của đối tượng trong quá trình xác định ma trận L
của bộ quan sát.
Trong đó:
• nx(t): Nhiễu quá trình chưa biết trước tác động làm nhiễu hệ thống.
• ny(t): Là nhiễu đo không xác định được, làm suy giảm việc đo lường,
chẳng hạn như nhiễu từ cảm biến.

11

nx

ny
y

u

Bộ quan sát trạng thái của Kalman.

Xét đối tượng bị nhiễu nx(t) ,ny(t) tác động, mô tả bởi:
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường là tín hiệu ngẫu nhiên ergodic, không
tương quan, có trung bình bằng 0 và hàm hỗ tương quan của chúng có dạng xung
Dirac:

Trong đó M[ . ] là kí hiệu cho phép lấy giá trị trung bình (kì vọng), Nx và Ny là
hai ma trận hằng.
Bộ quan sát Kalman cũng có mô hình giống bộ quan sát trạng thái của
Luenberger:
Nhưng khác với Luenberger, Kalman đã tìm L sao cho:

12


Trong đó và:
Suy ra:
Thay (2) vào (1) ta có:

Trong đó P là nghiệm của phương trình Ricarti:

13