Tải bản đầy đủ (.doc) (4 trang)

Đề thi HSG vòng loại huyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (126.11 KB, 4 trang )

ĐỀ THI chän Häc Sinh giái vßng 3 hun ThiƯu ho¸
MƠN THI : TỐN
Thời gian làm bài : 150 phút
C©u 1: (3 ®iĨm) Cho x =
3
3
1
2 1
2 1
− −

.
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P = x
3
+ 3x + 2008.
C©u 2: ( 2,5 ®iĨm) H·y x¸c ®Þnh d¹ng cđa tam gi¸c ABC nÕu c¸c c¹nh x, y, z cđa nã lu«n
tháa m·n ®¼ng thøc :
xyzxy
z
zx
y
yz
x
4
1
111
=
+
+
+
+


+
(vµ xy + yz + zx=1)
C©u3(2.5 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC vµ hai ®iĨm M, N thø tù chun ®éng trªn hai tia BA,
CA sao cho BM= CN. Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cđa MN lu«n ®i qua mét ®iĨm cè
®Þnh.
C©u 4: ( 4 ® iĨm)Cho ∆ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ H lµ trùc t©m cđa
∆ABC. Gäi M lµ mét ®iĨm trªn cung BC kh«ng chøa A (M kh¸c B, C). Gäi N, P lÇn lỵt lµ
®iĨm ®èi xøng cđa M qua c¸c ®êng th¼ng AB, AC.
a) Chøng minh tø gi¸c AHCP néi tiÕp.
b) Chøng minh 3 ®iĨm N, H, P th¼ng hµng.
c) T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ ®o¹n NP lín nhÊt.
C©u 5: (2,5 ®iĨm) Tính giá trò của biểu thức: M = x + y, biết:

(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
C©u 6:(3 ®iĨm) T×m x; y; z tho¶ m·n hƯ sau:





−=−−
−=−−
−=−−
xzz
zyy

yxx
3623
2423
223
3
3
3
C©u 7: (2,5 ®iĨm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =
9
1227
2
+

x
x
§¸p ¸n
N
I
C
B
A
M
Câu
1
Đặt
vu
=

=
3

3
12
1
;12
. ta có:
( )
( )



=
=
2
1 1.
xvu
vu
( ) ( )
( )
200620083
323
12
1
12.3
3
33
3
3
=++
=


===
xx
xxvuuvvuvux

Vậy giá trị cần tìm của P là 2006
1,5
1
0,25
0,25
Câu
2
Tacó: Ap dụng BĐT
1 1 4
A B A B
+
+
với mọi A, B > 0
Và c/m CĐT này
1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y
yz zx xy xy yz zx yz xy zx yz zx
+ + = +
+ + + + + + + + + ( ) ( )
z
xy yz zx xy
+
+ + +
1 1 1
4 4 4
x x y y z z

xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy

+ + + + + =
ữ ữ ữ
+ + + + + +

1 1 1 1 1 1
4 4 4 4
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z xyz xyz

+ + + + +
= + + = + + = =
ữ ữ
+ + +


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
1
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu
3
Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I
Dễ thấy

IMB =


INC (c-c-c) vậy
ã
MBI
=
ã
NCI
Xét tứ giác ABCI có
ã
MBI
=
ã
NCI
vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố
định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua
I cố định.
0,5
1
1
Câu
4
a) Gọi giao điểm của CH với AB là I
AH với BC là K
ta có tứ giác BIHK nội tiếp 1


ã
ã
0
180IBK KHI+ =


ã
ã
KHI AHC=



ã
ã
0
180IBK AHC+ =
(1)
P
N
I
H
K
O
B
A
C
M
lại có
ã
ã
IBK AMC=
(hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
ã
ã
AMC APC=
(t/c đối xứng)



ã
ã
IBK APC=
(2)
từ (1), (2)


ã
ã
0
180APC AHC+ =


tứ giác AHCP nội tiếp
0,5
b), Tứ giác AHCP nội tiếp


ã
ã
AHP ACP=
=
ã
ACM
lại có
ã
ã
0

180ACM ABM+ =



ã
ã
0
180AHP ABM+ =

ã
ã
ABM ABN=



ã
ã
0
180AHP ABN+ =
(3)
1
Chứng minh tơng tự câu a) ta có tứ giác AHBN nội tiếp


ã
ã
ABN AHN=
(4)
từ (3), (4)



ã
ã
0
180AHP AHN+ =


N, H, P thẳng hàng
0,25
0,25
c)
ã
ã
ã
ã
2 ; 2MAN BAM MAP MAC= =


ã
ã
ã
ã
2( ) 2NAP BAM MAC BAC= + =
(<180
0
) không đổi
0,25
Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP = 2.AP.sin
ã
BAC


NP lớn nhất

AP lớn nhất mà AP = AM
AM lớn nhất

AM là đờng kính của đờng tròn (O)
Vậy NP lớn nhất

AM là đờng kính của đờng tròn
0,25
0,25
0,25
Câu
5
a) Ta coự:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =


(
)
(
)
(
)

(
)
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + + = +
\


(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008 2008y y x x + + = +

y = x +
2 2
2008 2008x y+ +
Tửụng tửù ta cuừng coự: x = y +
2 2
2008 2008y x+ +
Vaọy: x + y = x +
2 2
2008 2008x y+ +
y +
2 2
2008 2008y x+ +


x + y = x y



x + y = (x + y)


x + y = 0
Vaọy: vụựi
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
thỡ M = x + y = 0
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu
6
Biến đổi tơng đơng hệ ta có





=+
=+
=+

)2(3)1)(2(
)2(2)1)(2(
2)1)(2(
2
2
2
xzz
zyy
yxx
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
0,5
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

(x - 2)(y - 2) (z - 2)
[ ]
6)1()1()1(
222
++++
zyx
= 0

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2

Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
0,5
0,5
1
Câu
7
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
12 36 9 6
27 12
1 1
9 9 9
x x x x
x
A
x x x
+ +

= = =
+ + +
A đạt giá trị nhỏ nhất là -1
( )
2
6 0x =
hay x = 6
( ) ( )
( )

2
2 2
2 2 2
4 36 4 12 9
2 3
27 12
4 4
9 9 9
x x x
x
x
x x x
+ + +
+

= =
+ + +
.
A đạt GTLN là 4
( )
2
3
2 3 0
2
x x+ = =
1,25
1,25

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×