ĐỀ THI chän Häc Sinh giái vßng 3 hun ThiƯu ho¸
MƠN THI : TỐN
Thời gian làm bài : 150 phút
C©u 1: (3 ®iĨm) Cho x =
3
3
1
2 1
2 1
− −
−
.
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P = x
3
+ 3x + 2008.
C©u 2: ( 2,5 ®iĨm) H·y x¸c ®Þnh d¹ng cđa tam gi¸c ABC nÕu c¸c c¹nh x, y, z cđa nã lu«n
tháa m·n ®¼ng thøc :
xyzxy
z
zx
y
yz
x
4
1
111
=
+
+
+
+
+
(vµ xy + yz + zx=1)
C©u3(2.5 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC vµ hai ®iĨm M, N thø tù chun ®éng trªn hai tia BA,
CA sao cho BM= CN. Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cđa MN lu«n ®i qua mét ®iĨm cè
®Þnh.
C©u 4: ( 4 ® iĨm)Cho ∆ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ H lµ trùc t©m cđa
∆ABC. Gäi M lµ mét ®iĨm trªn cung BC kh«ng chøa A (M kh¸c B, C). Gäi N, P lÇn lỵt lµ
®iĨm ®èi xøng cđa M qua c¸c ®êng th¼ng AB, AC.
a) Chøng minh tø gi¸c AHCP néi tiÕp.
b) Chøng minh 3 ®iĨm N, H, P th¼ng hµng.
c) T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ ®o¹n NP lín nhÊt.
C©u 5: (2,5 ®iĨm) Tính giá trò của biểu thức: M = x + y, biết:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
C©u 6:(3 ®iĨm) T×m x; y; z tho¶ m·n hƯ sau:
−=−−
−=−−
−=−−
xzz
zyy
yxx
3623
2423
223
3
3
3
C©u 7: (2,5 ®iĨm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =
9
1227
2
+
−
x
x
§¸p ¸n
N
I
C
B
A
M
Câu
1
Đặt
vu
=
=
3
3
12
1
;12
. ta có:
( )
( )
=
=
2
1 1.
xvu
vu
( ) ( )
( )
200620083
323
12
1
12.3
3
33
3
3
=++
=
===
xx
xxvuuvvuvux
Vậy giá trị cần tìm của P là 2006
1,5
1
0,25
0,25
Câu
2
Tacó: Ap dụng BĐT
1 1 4
A B A B
+
+
với mọi A, B > 0
Và c/m CĐT này
1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y
yz zx xy xy yz zx yz xy zx yz zx
+ + = +
+ + + + + + + + + ( ) ( )
z
xy yz zx xy
+
+ + +
1 1 1
4 4 4
x x y y z z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
+ + + + + =
ữ ữ ữ
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z xyz xyz
+ + + + +
= + + = + + = =
ữ ữ
+ + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
1
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu
3
Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I
Dễ thấy
IMB =
INC (c-c-c) vậy
ã
MBI
=
ã
NCI
Xét tứ giác ABCI có
ã
MBI
=
ã
NCI
vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố
định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua
I cố định.
0,5
1
1
Câu
4
a) Gọi giao điểm của CH với AB là I
AH với BC là K
ta có tứ giác BIHK nội tiếp 1
ã
ã
0
180IBK KHI+ =
mà
ã
ã
KHI AHC=
ã
ã
0
180IBK AHC+ =
(1)
P
N
I
H
K
O
B
A
C
M
lại có
ã
ã
IBK AMC=
(hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
ã
ã
AMC APC=
(t/c đối xứng)
ã
ã
IBK APC=
(2)
từ (1), (2)
ã
ã
0
180APC AHC+ =
tứ giác AHCP nội tiếp
0,5
b), Tứ giác AHCP nội tiếp
ã
ã
AHP ACP=
=
ã
ACM
lại có
ã
ã
0
180ACM ABM+ =
ã
ã
0
180AHP ABM+ =
mà
ã
ã
ABM ABN=
ã
ã
0
180AHP ABN+ =
(3)
1
Chứng minh tơng tự câu a) ta có tứ giác AHBN nội tiếp
ã
ã
ABN AHN=
(4)
từ (3), (4)
ã
ã
0
180AHP AHN+ =
N, H, P thẳng hàng
0,25
0,25
c)
ã
ã
ã
ã
2 ; 2MAN BAM MAP MAC= =
ã
ã
ã
ã
2( ) 2NAP BAM MAC BAC= + =
(<180
0
) không đổi
0,25
Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP = 2.AP.sin
ã
BAC
NP lớn nhất
AP lớn nhất mà AP = AM
AM lớn nhất
AM là đờng kính của đờng tròn (O)
Vậy NP lớn nhất
AM là đờng kính của đờng tròn
0,25
0,25
0,25
Câu
5
a) Ta coự:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + + = +
\
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008 2008y y x x + + = +
y = x +
2 2
2008 2008x y+ +
Tửụng tửù ta cuừng coự: x = y +
2 2
2008 2008y x+ +
Vaọy: x + y = x +
2 2
2008 2008x y+ +
y +
2 2
2008 2008y x+ +
x + y = x y
x + y = (x + y)
x + y = 0
Vaọy: vụựi
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
thỡ M = x + y = 0
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu
6
Biến đổi tơng đơng hệ ta có
=+
=+
=+
)2(3)1)(2(
)2(2)1)(2(
2)1)(2(
2
2
2
xzz
zyy
yxx
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
0,5
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
(x - 2)(y - 2) (z - 2)
[ ]
6)1()1()1(
222
++++
zyx
= 0
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
0,5
0,5
1
Câu
7
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
12 36 9 6
27 12
1 1
9 9 9
x x x x
x
A
x x x
+ +
= = =
+ + +
A đạt giá trị nhỏ nhất là -1
( )
2
6 0x =
hay x = 6
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
4 36 4 12 9
2 3
27 12
4 4
9 9 9
x x x
x
x
x x x
+ + +
+
= =
+ + +
.
A đạt GTLN là 4
( )
2
3
2 3 0
2
x x+ = =
1,25
1,25