DSpace at VNU: Espaces [W(k)2,anpha (...)]M et probleme de Dirichlet - Poisson pour un systeme des equations aux derivees partielles elliptiques d'ordre 2K

V N U . J O U R N A L OF SCIENCE, Nat

ESPACES

Sci ,

t

X V , n ^’ 5 - 1999

ET P R O B L E M E D E D IR IC H L E T -PO ISSO N
POUR

UN SYSTEM E DES

EQ U ATIO NS

A U X D E R I V E E S P A R T I E L L E S E L L I P T I Q U E S D ’O R D R E 2K

Vu V an K h u o n g
Jnstitiit (ỈC la ConiniiiiiicHtioii et des Transports de Hanoi
C hìí G ỉhv - Til Lieiii - H h Noi.
1. IN T R O D U C T IO N
Dans C(‘ travail, on présoiitc luie m ét h o d e pour résoudre le problème de Dirichlet -

Poisson pour im systèm o des óquatioiis aux đéiivóes partielles elliptiques d ’ordre 2k.
L(‘S s u p p o s i t i o n s f a i t e s ici s o i i t c e l l o s I i ti l i b é e s ( I a n s la n i é t h o d e v a r i a t i o n n e l l e , p a r t a n t

la notion (le^ trace. Le doinaiiu' considéió a la fiontiere lipchitzienno et les coefficients (ies
equations soiit bornés ot Iiiesural)les.
On (léiiioiitre ici 1Vxi.staiicp cl'uiK' uniqu(‘ solution dll pioblènie de Dirichlet - Poisson

A/
(Ians Tesparr
loisqu'on S(' donno sa trace sur la frontiero.
La niéĩhode do CO travail est très ] ) r o c l u ' à ('(‘llo do M. I. Visllik (cf. [2]), oil appiianf
sur line ii,0u('ratioii (lu tlióoièiiH' (Ir P.D.Lax - A.
([1]) (Supposant \a\ < 1).
A/

2. T R A C E DES V E C T E U R S D E
On (1(’.SÌỊ2,U('pai
On (lit ( 1 1111

'

. // > 1, I'i'spact* eucliiluMi av('c-les coonloiiéos [.Ti, ./'2 ,. . . ,.r„] — X .
ììOiiit'' o (líiìis

F, ,

rpi'il ('St iln

( < 4 on I'ori'it {)

si
1)

[1 c x i s t c /// s y s t è n i o s (!(' ((JordoiiiUH^s ( I a n s E n ('Ĩ ÌÌÌ f o i i c t i o n s a,, ( le s u i t e q i i ' o i i p(Mit
Ị)1

(’\ s('nt('I t o u t p o i n t (!(' hi I r oi it i( ' it ‘ s o n s la f o r n u ' :

) ••■ )

?Q'ri^ri ^r2 Í ••• )
5

) 1 6n

bref X r i 0 .-r[Xr)

L(^S foiii-tioijs n,. satisfont à la coỉKÌitioii (le Lipsrhitz (laiis la boule A;. - \Xj.\ < fv,
c. à. (1.
- n,.(VV)|

<

c\x,-

- Yr\

pom

Xj.Yr

G A, .

2) il oxiste un Iioiiibre ^3
1 tel quo lf\s points [ . Y ; . , \Xr\ < a . a r { X r ) ~ l i < Trn <
a, i X, - ) sont à rin to iio u r do ii, tandis quo Ifvs points [.Y,.,
|.Y,-| < a , a,.(A',.) <

.Vri) <
^0 !it à ['(’xíériíMir (lo íỉ.
45


Vu Van K h u ô n g

46
I V 's o i U i a i s .

u n

Ỉ K ' c o i i s i d ò i ( ' CI I K' ỉ c s

(loniiiiiii's

(lu

ĩv p ('
A/

N o u s

p o i i v o n s

COỊIÍCMUI (lu

( k ' n i o u t 1Í'1

t l i ó o r ò iu r

CỊ UC 1(' S V ( ' c l c u i

C'i'St 1(‘

s u iv a iit .

T h é o r è i n e 2.1. Soji íì e
tiHỉiSÍonncìlìoỉi

(lf‘s 11ac<'S.

onl

(1(

et

lincỉiirc

Alois il
ĩl existc tnic
l ỉ i i e et
et
ỉ i u e scìỉk
scnh
Alors
ĩine

< / Ị>

Ị -- ! ■
1.
< n <

z

coníìiiiie

qji'on

(k

ỉìit

M

Z ( / / )

=

//,

V í/

ẽ

ịen ì)]

3.

E n

u í i l i s a n t

T H E O R E M

1(' S t l ì ( ' C ) r è i i i t ‘ s

E

D

Í M M L R S I O X

(riiniiK'i'sion

I ) K

(1(‘ S u ỉ) o l ( '\ '

S O B O I . K X '

(ct.

p a i

( ‘XÍ ' 111Ị ) 1( '

( 5j.

[8],

[9

oi l p(Hit d é i i i o n s t í a c i l e i i i O i i t Ics t hcoK'iiu'iS .suivkĩit:

T h é o r è i i i e 3.1. .Sưit iì G

0 £

< /> ” 1- 1 ^ ợ <

p

.

Oì i ỉ ì ỉ d ( j ỉ s

1 4-0

A/

c
Noiis

dirÌROOiis m a i n r c i i a n t u o t r e

v e i s 1('S t h ó u rè i n cH

criiiiDiersion

d u typ(

a>

c

qui juiu'ia un iulí‘ piiucÌỊml tlaiis Cí’ ( ị u i \a stii\ ĩc ('11 a])Ị^u\aiii siir 1('S iiu'^aliti'S d(’ H a n l\
(cf.

G .

H .

H a n l y .

G .

P o l v a

[G].

c .

M u z o x a i a

[9]).

O i l

(h'-si-iu'

p a r

des f o i i c r i o i i s v ec te ur i( *l l( 's . ( l o u t 1(M11S f o m p o s H u t s s o i i t (1(* Ị>

[L ;,,/,;,(0 )]-'^

r e s p a c c

ì ì i ú s s a n c í ' s o i u n i a b l e Slu

chaqiu^ compact cơntoĩiu (laus ii.
T liéu rèiiu i 3.2.
1
1

r

“

c.à .í/.

1.
II

Si^ií iií S'i t

M ' ((ivnvcrs
€

ÍÌỈỈ s c ỉ i s

Ị / . / , . - I Ị , ( ^ ) ] ‘^ ^

'. (/ c

‘

(ỈCS ( l ị s t i ì ỉ ì i ì t ì O ỉ i s ì .

ỈÌÌOÌS

Uf'/

í

>

0

ost

^

Ỉ’
ỈI

[ỉ^p.n

G

ỉìỉ ì í ị t i ỉ ì ỉ i c ì i i c i i t

' “

petit.

n
Lcs

>

/> -

ìỉtiineisioìis

(lìi

continues.

T h é o r è i n e 3.3. sòit íì 6

a < p - l On ã ãỉors
M

M

c

ỉ

< 1

< k.

4.
LES O P E R A T E Ư R S EL LIPTIQ U ES.
Oil

coi is idÒK' ( l a u s la su i t ( ' M

ơ p ó r a t p u r s d i ẩ ó m i t i o l s d(' l a forme

A'" ^ y
Ị/|.ỈH<^

( - l ) l ’l D ' ( o ' j D ' ) -

(4.1)


ÍL.\

W .2 2{ĩ ì )

Esp aces

et p rob lem e,.,

(

47

41 A/

.4 "

où

i,j

sont

des

v ecteurs

i

A ^ ’ -^

//' \
2
ií

(4.2)

...

^inì^i

=

/

^2A/

...
\ A^>^

^

. .,A/ ,

A^'^'J

=

,jn )

^vec

co m p o san ts

entiors,

Iiégativos

non

I/ 1 =

/

1 +/-2

H-

.

0 < |/| < Ẳ'.

Ij I =

7 1 + J2 +

| j | < k,

0 <

Ẳ- >

■- ■ +

Jt> •

l

0^'hi

(i“^ Hont cles foiutions nipsuiablos, honiérs. On fait C’oim spondip ail systèine (4.2) une
forme bilinóairo de la foinie

(4.3)

O n

clit q i u ’ le s y s ĩ ò n i e ^ ( 4 . 2 )

est elliptiqiio p o u r

le p r o b l è n i e

\FỈ{^,^n)\ >

d (‘ D irich lf't - P o i s s o n

si I ' o n

G [D(i2)]-'^ .

a

(4.4)

On a mainte'iiaiii le thóorèiue siiivaiit. ciui a nil rol(‘ iiapoiĩaiit Ị) o u i 1(' próseiit travail.

T h é o r è i n e 4.1. S u ppos e qìie le svstèỉiỉC (4.2) soit cllipĩique.
(ui nvj t , tenué. s c i n i o i ì v e r t ) J des a < 1 teỉs ( ị ì ị ' ơ ! ì ỉìit

\Ỉ3(Ụ\^)

o ù

I

’

esỊ

ỈIỈÌ

vvctcììi

Le plus grãnd ỉỉitcivMỈỈe

M

> r ( a ) | ^

c o n v v n n h lo ỉìic iit

c lio is i

M

D{í ì)

( ic

,

V
V'

í

v-i

(4-5)

/<Ì\]M

= l- c— s t liUìi v id c

—

et contỉcut ỉiỉi voisiỉiHge (le 0. Le pỊììs giỉìiiíỉ inteivrìlỊc ./* (lcs fv > ~1 tcls cỊỉíon iìỉt
V '* )| >

1^2, - ư

v o ìsiiiã g e d c

0.

Si

B(ý\

D e ĩ n o ĩi s tr a t io n :
pose

y^e[D{n)

( q ) | v/ p| j^ , . )

coij\'eija/jJeiiiCijí chuỉsi, |ỉ/’* f

ơù V’* G

O a

c*

ỉ/ ’ =


oil

=

B{^.

ự ’) '

iìỊÍ

hỉ

(4.6)
coiitìent tin

ínMA/ — ^

J = -

sup

.r .

s u p .7 — “

inf

J*

N o u s esqiiissons d e d e m o n s tra tio n ;

ơ

ost

la fo n c tio ii a y a n t

l(\s p r o p r i ó t ó s s u i v a i i t ( ' s

Cif){.r) < a { . r ) < C2f){.r)
Ớ l'lơ ( .r )

<

cỤ )
ía (.r )

( i f.

[8])


Vu Van K h u o n g

48
on a

r

_____
r . q - i Ị,|.|;|
/ z

=

z

(■4.7)

<>f!0’ i ỵ c r ‘^ ) D ' { ự ' a ĩ ) , l r + Fị,.

OÙ

ỈL =
= I a '" [ d '( ^ '.'t " ) D V ^ '' - D ' ( ự a ' i ) D > ( . p ^ ơ i‘ )

(L

Jo ''

on a clénioiitiP

CJU<>

Il «R «. Il <

!'-l< 'k lí„ ,ụ .|„ ,|„ .

Ell vertu tréllìpticitó (lu systòiiu\ lo pioinier teriiie (111 second meiiibio dp (4.7) p en t ètn*
apprécié coinniP sviito

En appuyaiit

sur

le théorènio 3.3 on

('St

aiìKMió

<

ipơ

à

r
—

iné^alité:
C‘ >

a

d ’où on obtiput
B{y\^)

> (Cị - r i C 2

c>

— (ỉ

a )\^

On a finalement

En posaiit |a | <
posp ?/'* =

c
C1 C2

a

■| ”

>

' ia\]M

oil obtient (4.5). La (lémonstration (4.6) est analogue si Ton
+

(ì

Oil achèvc par lè la

( i é i i i o n s t r a t iori

(lu théorèmp (4.1). ộ

5. PR O lỉL K M t: DE D IR IC IIL E T POISSON
/ _ ■X

On désigne pau m ị

(íỉ )

ì A/

Tcspaco clos vecíeiirs foiictionnellos sur

M
OíA'ì

r

u;.2 q (ỉ2)

M
/ étan t de W2 ~ a \ ũ )
Soit uq e

. On écrit formellement f { v ) = { v, f ) .
M
on d i t Dn = /
. Pour u 6 ivị^liíì)

s i Vt - G

\ D{n)

M

011 a

(5.1)

z?(ỉ^ ỉ/) ^ ( i \ / ) .
On dit que ti a les ĩtjẻmes valours froiitieres que Uo, si
M

u - ÌLO e
On (Jit qtie u G

í

(h)

a(^ỉ)

1

(5.2)

tósout le problème de Dírichlet-Poisson Du ^ / sur n , ÌI = Ỉ/Q

sur dĩ ì si (5.1), (5.2) ont lieu. On a dém ontré le théorèm e suivant:


r

] A/

Espaces

49

et p rob lem e,,,

Soit Í2 €
Soit D ÌIII opérateur eỉỉiptiqìic, 0 < a < l a e J ( J
est rinteivãUe détenninée dans ìe théorèỉne (4.1), '//0 € [u;.2^ c t f e wị~^'\íì) ^
Ị- , . .
TM
Alois ii existc exãcteineiìt ìinesolutionu G i(f^) duproblèmedeDirichỉet - Poissoiì
T h é o rè m e 5 .1 .

et r oil a
í i I ..

W.2

Ấ/ < r

+ 1/

I» 0

(5.3)

Dé.nioĩistratiov:. La forme biliiiéaire (4.3) vóriíie toutes les coridiúons (lu thóorènir
géiiéralisé de P.D. Lax ot de A.Milgrani (cf. pai exemple ([1])), si Ton pose
M

A/

Hx ■=

(. ) / / j , (. )n^ pai

Oil

v W /

v-

r= i

|,Ị
(»,Í’) = 2 J

/

)

D 'v’-D’n'p^\lx

D ’ơù. on o b tie n t une tia iis fo im a tio n lin é a iie f't co n tiin ie z de IỈ 2 daiis Hị
ail B( i ’.ii) = (c, Z ( »)) / / , .
H i . lỉị,- G [ D ( í 2 ) j '

(Í>2' \ ’(íỉ)
8

O il a Z{H>) = Hị.

soiont h G H\ ot /í/,. ^

En

. L a i o l u t i o i i i u ' l l c ( r . ///. ) / / , p(Mit ( ' t n' p i ol o np , ó ( '

En VIU' <1(' I'rllipticitf' (1(> ropciato-ui

telle q u ’011

('11 mi('

}i dans

t b n c t i o i u i e l k ' HIU

D, il ('xist(> un Vf'ctoul' foiic tioiiiH’l (cf.

) Í/A d i '
A/

irT\n)
]) 0 U 1

M
„£ > ((!)

Icqucl B( r. i n. ) = (<’, /íA-),/,. Oil a alons Z(//^.)

M i l ^ i a i i i Í'í d('

= //ị

011

u n \ ’í 'c t ( ’iii

lì.

Du théon-mo (le Lax ('ĩ (lo

//' G

t('l q u ' o i i a i ĩ

M
B{r.

ye

Eu posaiit

II

« ’2.a

( “ )J

í/’) — ( / ’./y) Ví' G

M
• Ol'l(/ = / -

= » 0 + IV. oil ohtirnt I'l'xistancf' Pt I'unicitf' (1(> la solution. L(’ thóoròiiiP est

(lónionstió. ộ

LIT T É R A T Ư R E
1. L . Nironbei-g. Remarks oil t.rangly elliptic partial differential équaíiuĩiv.s. Vol
V I I K 1995), 649 - 675.
2. M . L . Visik.

o ppivoj krajpvoj zada^ dla ellip tieskich éuia\-iiéii uij \’ Iiovoj

fuiikcioualnoi poslanovsk, Doklady akadéri mil Nauk S S S R 107(1956). 781 - 784.


Vu Van Khxíonq

50

3. A. E. Sliislikov, E x i s t a n c í' (1('S so h it i u n s
(1(’S ('CỊiiatiuus HUX

(lu pr o h ló u u ' (lf‘ D ir ic h h ' t - P o i s s o u

Ị)iuti<'llí‘s

if|U('s. Al l . ) C C P .

1(1979). 30 - 'M].

4. . s. CI. núcliluii. lÙỊUiitiovs ìiíìCdtrts au.r (Ịnn^érs ỊHỉvíirỉìrs. 1'íliĩioiKs Mil , Mosccnv
1977.
5. E . CỉaỊi,lolai(lo-

P i o p i i ó í a di alaiiH' classi (li fuiijioiii iìi Ị)ià vaiiabili. Iỉu'ei'< ỉif (Ỉ!

Matcniniioii \ o \ , V I I (1958), 102 - 137.
6. G. H. í ỉ a i đ v . J. E. L i t t!('W0 0 (L G. Pólv a. ỉnéíỊỉULỶiov
7.

.1.

.]- L. Liuiis.

1934 .

Lcs (\s])act's (111 t v p í ‘ (1(‘ B( 'ppoltni. A i ì ì i d h s

(Ị(

ưlushínỉt

F o u r w t r V ị 195:3 - 195-i). 305 - 370.
8. J . Ni'cas. Sui' uiìt' Iiirth odí' Ị>uur i('‘soiulr<' Ics e q u a t i o n s aiix il('i ị\■('('^
t v p p ('lliptiqiu' vuisiiK' (le la var ia tionnelle. A i i v . SỉiỊ). Pi.s(i 1 6
9. s . Mizocliata. Théorừ: (Irs equations au.r (iérhìée.H partrelles.

i('lỉ('s (Ịi!

(ỈÍ)G2).
Hditions Mir. Moscou

I98Í)

T AP CHI KHOA HỌC ĐHQGHN, KHTN , t . x v ,

K H O N G GI A N

- 1999

VÀ BÀI T O Á N D IR I C H L E T - P O I S S O N CH O HẸ

C Á C P H Ư Ơ X C ; T R Ì N H Đ A O HÀ.M HIENCỈ E I . L I P T I C C’A P ' 2K

V ũ V á n K h ư ơ ĩig
V7ệii Gim) thỏug \Vỉii t4i. căỉ/ Giiỉy, Tìĩ Liỏin. Hà Nội
Bài báo này yẽ tiìuli ỉ)ày mọt Ị)liưưuị; pliáj) (lo' giài bài toáii \)U*\iDiiichlct - Poissoii
đói vứi hệ cùa các ph ư ư ag tihih (lạo hàiH ri(Mig ìoaì (‘Hip hạc 2k.
Các
tliiếĩ (lirực ỉuni la ữ clav tlurờii” i\ượi- sir (lụn^ tỉouj> Ịíhưưiiị^ pliáỊ) hiếu
p h ả n . MÌPII đ ư ự c k h ả ọ sát (‘ó hioii Li pcl nt , fòii các- họ bố troiì^ cái- p h ư ơ n g t i ì n h đ ạ o hàui

là giới Iiội và (lo (ìưực.
Ý t ư ò n g chíaỉi v>ài h á o ílã íl ự a v ào s ự m ờ rọn« c ù a đ ị n h Iv P.D . Lax. A. Milgraiii
( x e i ì i L . N i n ; i i h o r f > [1]) v à I i h ừ n ó t a c ó t h ố tiốỊ) c ạ n r a t í^ầu v ớ i V t i r ờ i i ^ c ù a M . l . VLsliik.

òiig (lả giải q u y ế t hài t o á n tưưiiỊỉ,' r ự n h ư

t o á n đ ặ t r a ờ (lay. Vì vạy. Sir lồ n tại và <'ii\

n h ấ t ĩigliièin c ù a bài t o á n DirichlíH - poiss on

minh.

kliỏug giaii [lì 2 a

đirự c c hih i^