DSpace at VNU: Sự mở rộng mô hình tree [(formula)n,Y] vấn đề tương đương giữa các mô hình tree [u(formula)n, Y], tree [B,Y+] và tree [V,Y+]

T Ạ P C H Í K H O A H Ọ C N o 4 - 1993

S ự M Ờ RỘNG CỦA MÔ HÌNH

T R E E [(F O R M U L A )n,Y\

VẨN DỀ T Ư Ơ N G ĐƯƠ NG GIỮA CÁC M ỏ HÌNH
T R E E \ u ( F O R M U L A ) n , Y ] , T R E E \ B , Y + 1 v à T R E E ị V , Y +}

DỖ Đức Giáo
Khoa Toán - C ơ - T in học, Đại học Tổng h.ợp Hà Nội

Trong |lj chúng t a đã đ ư a ra m ô hình tính toán T R E E \ ( F O R M Ư L A ) n , Y \ v à xét s ự t ư ơ n g
đ ư ơ n g của nó d ự a trên vấn đề tưcmg đ ư ơ n g đã được giải quyết trên các m ô hình T R E E ị B , Y * \
và T R E E ị V , y + Ị. Cụ th ể là trong [1] chúng ta đả chl rỏ có tồn tại ánh x ạ đơ n trị, bảo t o à n tính
tirong (iưcmg t ừ t ậ p T R E E [ ( F O R M Ư L A ) n , Y] vào các t ập T R E E \ B , Y + ] và TREEị V, y + Ị.
Để có thể xây dirng được ánh xạ đơn trị, bảo toàn tính t ư ơ ng đ ư ơ ng t ừ các t ậ p T R E E [ B , Y * 1
và T R E E \ V , Y + ] vào t ập T R E E \ ( F O R M Ư L A ) n , Y \ t chúng ta cần m à rộng t h à n h lóp (ký
hiệu T R E E [ u ( f o r m u l a ) * 1, y Ị) th ự c s ư rộng hơn lớp T R E E ị ( F O R M U L A ) n Ị Y \ . Với b a lớp
T R E E ị B , K + Ị, T R E E \ V Ì Y +] và T R E E \ u ( f o r m u l a ) n ì Y \ thì việc giải quyế t bài t o á n t ư ơ n g
đ ư ơ n g trên lớp này có thể d ự a vào việc giải quyết bài toán tưcmg đ ư ơ n g trên lóp kia v à n g ư ợ c

lại.

I. Đ Ị N H N G H Ĩ A L Ớ P T R E E { u ( f o r m u l a ) n , Y\
(f o r m u l a ) - Kí hiệu t ậ p các công t h ứ c lôgic trên b i n g X .
{ f o r m u l a ) ' 1 = { ( H i , / / 2, . . . , H n ) / H ị € f o r m u l a } .

u ( f o r m u l a ) 71 =

Y

- T ậ p c a ’c Documents.

(formula)'
i —1

Trên bộ có t h ứ t ự Ị u ( f o r m u l a ) ”, Y ] ta định nghĩa ký hiệu

T R E E [ u ( f o r m u l a )n , KỊ n h ư sau:
D inh nghĩa 1:
a. Mỗi kí hiệu y trong Y gọi là m ột mô hình tính toán.
b. Giả SIỈ' H = ( / / X, # 2 ,. *., Hk) là một phần t ử bất kỳ trong u [ f o r m u l a ) n v à 7 \ , Ĩ 2 , . . . ,
là các mô hình tính toán, khi đó d ã y kí hiệu H ( T ị , 7*2, , Tk) cũng gọi là m ột mô hình t ín h toán.
(k £ { 1 , 2 , . . . , n}). T ậ p t ất cả các mô hình trên ký hiệu qua T R E E \ u ( f o rm u la ) ™ , Y]. Rõ r à n g lớp
T R E E \ ( F O R M Ư L A ) n , Y \ định nghĩa trong [l| là m ột t ập con của lớp T R E E [ u ( f o r m u l a ) n , Y \ .
Cách làm việc củ a các mô hình tron g T R E E \ l ) ( f o r m n l a ) n ) Y \ cũng tircmg t ự n h ư cách làm
việc c ủ a các ĨĨ1Ô h ình trong T R E E \ ( F O R M Ư L A )n , Y I khi cho ngôn ng ữ vào là ánh xạ lôgic tron g
BEL hoặc công t h ứ c trong ( f o r m u l a ) . Cụ thể:
13


D i n h n g h ĩ a 2.
G iả s ứ T là m ột mô hình trong T R E E \ u ( f o r m u l a ) n ì Y ] và 6 là một ánh xạ lôgic trong
B E L = {b/b : X — {0,1}}. T a đ ịnh nghĩa kí hiệu O t ,j ịT ,b ) n h ư sau:
a. Oftj ( y ì b) = {t/} với mọi y trong Y
b. O b j ( ( H it H 2 l . . . , H k ) ( T i T 2 .. . T k ) t b) =

O h (Tị t b)

u

V A L { H t.b) = 1

D i n h n g h ĩ a 3.
G iả s ử R c ( f o r m u l a ) v à T là phần t ử trong T R E E \ u ( f o r m u l a )n , KỊ. Ta định nghĩa kí hiệu
Objrngị T ĩ r) với r là phần t ử trong R n h ư sau:

u

Ob]mtt( T, r) =

Ob](T,b)

V ALịr,b)= 1

D i n h n g h ĩ a 4.
G i ả s ử Ti, 7*2 là hai phần t ử hất kỳ trong T R E E \ u ( f o r m u l a ) n , Y] T ừ định ng h ĩa 2 và 3 ta
có hai khái niệm tư ơ n g đ ư ơ n g sau:
a. Ta nói Ti là tưcmg đ ươ n g với T 2 (ký hiệu Ti « r 2) Khi v à chì khi: O b j ( T ị , 6) = Objl Tif b)
với mọi b trong 6 B E E .
b. Ta nói Tị là tưcmg đ ư ơ n g với 7*2 (ký hiệu Tị

«

T2) khi v à chì khi:

o bJ mg

O b j m g ( T u r ) = O h, mg(T 2 ì r)

vói mọi r trongi?.

II. VẤN DÈ T Ư Ơ N G Đ Ư Ơ N G G I Ử A CÁC MÔ HÌN H
T R E E \ B t Y + l T R E E [ V t Y +j v à T R E E ị u ( f o r m u l a ) ' 1, Y\
Đ ỉ n h l ý 1 . Tồn tại ánh xạ

x ạ a. (p v à £>' ià các ánh xạ đơn trị.

b. Vóri mọi T e T R E E \ u ị f o r m u t a ) n , Y} và mọi T e. T R E E ị B , ỵ + Ị . Ta có:
° h j m V(T, r) = R e c h n ị i p ị T ) , r)
Rc c hD ( T \ r ) = O hj mg(với mọi r 6 /? c ( f o r m u l a ) .
c. Với mọi Ti, 7*2 € T / í E E Ị u í / o r m u / a ) ' * , KỊ v à với mọi T{,T *2 6 T / Ỉ S l ĩ Ị i ĩ . K + Ị t a luôn có:
Ti

«
T2
^bj m3
»

C h ứ n g

7*2

khi và chi khi
khi và chi khi

/?.

)

Of,}rng

mi nh:

C h ử n g m in h s ự tồn tại ánh xạ (p và ba tính chắt a, b, c hoàn toàn tư ơ n g t ự nh ư chứng minh
định lý 4 trong [l|. Trong định lý này chúng ta chì ra sự tồn tại của ánh xạ vào T R E E [ u ( f o rm ul a) ™ , Y\:
14


T r ư ớ c hết cần lưu ý B = { ạ / ạ : AT — ♦ P ( N ) } , Pp = max { u

0 ( * )}

T R E E ị B , y + Ị là

x 6X

t ậ p đ ã định nghĩa trong [2]. Vói moi 0 E B ta cho t ươn g ứng vói phần t ứ Hp = ( / / i , H 2, . . . ,
n h ư sau:
Vr/i r 6 /?, 6 € -ỠEL và giả s ử /?(r) = {i 1, i 2 , . . ., Ifc}, à đây t’x < »2 < ■• • < tfc và pp = n ( n >
ù).

Đặt #„(,,(6) =
V A L ( I ỉ tì b) = 0 k h i t ^ ( r ) .

1 và V A L ( H u b) = 1 khi » 6 P{ r ) t

v
i?/?/?!B, Y *I — ♦ T Ã E E l u ị / o r m u l a ) ” , Y \ n h ư sau:

Bây giờ t a định nghĩa v?; •


( r 2) . ..
Việc kiểm t r a lại các tính chất của D i n h lý 2. Tồn tại ánh xạ rị) t ừ T R E E \ u ( formula)™, Y\ vào T R E E ị V ,
t ừ T R EE[V, Y * j vào T R E E [ \ j ( Ị o m u l a ) n , Y\ có các tính chắt sau đây:

và ánh x ạ \ịỉ'

a. rp và \ị)' là các ánh xạ đcrn trị.
b. Với mọi T 6 T R E E \ u ( f o r m u l a )n , KỊ v à vói mọi V 6 T R E E ị V , Y * \ t a có

Obịma(T, r) = Rechv (ip(T),r)
R c c h v { T \ r ) = O bimg{ i > ' { r ) ' r )
với mọi r € R c ( f o r m u l a ) .
c. Với mọi T i , 7*2 6 ĩ i í E ^ l u Ị / o r m u / a ) " , K] và vóri mọi 7\', 7*2 6: T R E E \ V ) Y * \ t a có:
Tị

«

khi v à chỉ khi

ý [Tị) cs v>(72)

0 6,mg

T[ K r 2

R.v

khi v à chì khi

Ự(T[)

«

^'(15)

Objmg

c h ứ n g

m i n h .

Đặ t rị) — <ĩ> o (p (ánh xạ hợp của hai ánh x ạ <I> và = $ ' ) . Rỏ ràng rp v à ĩỊỉ1 là hai ánh xạ t h ỏ a m ân điều kiệ của định lý. Ở đây $ v à
là hai ánh
x ạ t ừ T R E E [ B , Y + ] vào T R E E \ v [ y + \ v à t ừ T R E E ị V , Y + \ vào T R ~ E E [ B i Y + ) trong (2 |. Còn
V? v à ẹp9 là hai ánh xạ t ừ T R E E \ u ( f o r m u l a ) " , Y \ vào T R E E ị B . Y ^ ) v à t ừ T R E E [ B , Y + \ vào
T R E E [ u ( f o r m u l a ) ” , Y I tircmg ứng trong định lý 1.

Hai kết q u ả trên có thể biểu diễn q u a sơ đồ dưóri đây:

15


Ví dụ:
Ta xét một v í dụ đcm giàn nhẩt minh họa cho một phần của sơ đồ trên.
Tị và T 2 trong T R E E [ y j ( f o r m u l a ) n } Y Ị t a chọn nh ư sau:
Tị = ( X ỉ ,Z 2,X3) < (X2 ,X1,X3) < yit/2(*3, x ì ì x 2) < yvysVA > t/2 (*2, *3, *l )

< í/4ỉ/iy3 >

T2 = (x1, l 2, x 3) < (x2, x 1, l 3) < yi t/2 ĩ/3 > (x2,X3,2:i) < y4 yi (*3, *!, x2) <

^3^4 yi >

và

**1 = 7xlt r2 = 7*3

# = { r i , r 2}

với

T a chỉ ra: 7\

«
7*2 khi và chỉ khi o 6íma
/?./?

rt.v’

»

^(T o)

T hật vậy:

Suy ra: Tị

«

Objmg[Tl)**l) == {yi,ỉfe,y4Ỉ>

Objmg {Tị , T2)

=: {t/l) 2/2)1

Ofcjmơ(r 2, r 1) = {yi,!fc,y4},

Ỡ5ymg(T2jr2)

= {yi,ỉfe}.

T2 (trên t ậ p /?). ( 1)
mg

Ta lại có:
tpịTị)

^

^ y i y a ^ ( * ,.*!,*,) ^ ì/2!/3!/4

^ ( ^ 2 ) == f i ị * i , X ĩ , X ì )

^

^

ĩ/l ĩ/2 ĩ/3 ^

ỉ/2

Z],Z} , Z J ) ^

y2fi[xi,x3,xi) ^ y4Viy3 ^ I
V 4 ĩ/J ^ ( 2 3 , * 1 ,2 3 )

Ở đ â y ^ ( T i ) , *>(T3) e T i ỉ £ £ Ị £ , y + ]
Với các p E B đư ợ c xác định n h ư sau:

)(ri) = {2,3}, iin.ij.zj) (r2) = { 1 >2 }
= í 1’3 )-

= í 1’ 2 )

^(*s,xi,*a) (rl) = {l> 3 },

,IJ ) (r2) = {2,3}

^(*a,*,.*i)(r l) = í 1) 2})

^(z 3, i , , n ) ( r 2) = { 1 ) 3 }

De dà ng kiểm t r a lại theo định nghĩa của hà m R e c h ũ ([2 ]):

v ậ y v ? ( 7’i )

«

R. D

RechiỊ [
RechD (
/?ec/iB (v>(r 2 ) , r 1) = {y 1.y 2.y4 },

f í f c h n (( p (T 2 ), r 2) = { y i , y 2}

^0(^2), ( 2 )

Xét tiếp <t> ánh x ạ t ừ T A E E Ị B . ỵ + Ị vào T R E E ị V , ỵ + Ị. Ta cổ:

*(¥>(7i))

= K, < V, < yiyaVa <

t/2j/3V4 > y2^4 < t/4Í/l!/3 »

*(p(Ĩ2)}

= Vj < v 2 < ĩ/xJ/2ĩ/3 >

y2^4 <

y*yiV3< ysytyi

ổr đ â y các Vj đư ợ c xác định n h ư sau:

V'i(ri) = * ( / ? ( , =

(0,1,1)

v2(ri) = # ( 0 ( , , ) ) ( r i ) = í1'0- !)
K»(ri) = * ( / Ĩ ( „ . , , . , l ) ) (ri ) = ( 1, 0 , 1)
^ ( r 1) = ^ , „ . I 1.I , , ) ( r 1) = ( 1, 1, 0 )
VM-a) =

,)(ra) = ( 1, 1, 0 )

V2 ( r 2) = 4>(^ I 1,I l .I j ) )(r2) = ( 1, 1, 0 )
^3 (r 2) = * ( ^ ( „ . , 1. , s ))(ra) = (0 , 1, 1)
v 4 (r2) = í l í i u . D . ! , ) ) ! ^ ) = ( 1, 0 , 1)
16

»

^

y3!/4t/l ^

•


T h e o định nghĩa ciìa hàm Rechv (|2|) ta có:
Rechy {ĩ>(ip(Ti), ĩ ị ) = {y 1, y 2 ,y*}
Rechv (Q[lỉechv (<I>(v?(T2), r i ) = { y i , y 2 ) y4}
fìcchv (nay <!>((<£>(T|))

C5 $(^>(7 2 )) (3). Dặ t ĩị) — <t>,)ip thì t ừ (1), (2) v à (3) suy ra:
n V
Ti

BS
Ohj mg

T2 <=> y?(Ti) £3 tp(T2 ) <=> rp(Ti) w Ý ( r 2)
/?./?

/Ĩ.V'

T À I LIỆU T H A M KHẨO
1.

ĐỒ Đức Giáo. General equivalence relations between the sets T R E E [ ( f o r m u l a ) n , Y ] t T R E E
[fl, Y + \ and T R E E [ V t Y + \. Tạp chí Khoa học ĐHTH Hà Nội số 1, 1992.

2.

Đỗ Đức Giáo. A Method solving general equivalence problem in form of questions and answers.
Tạp chí khoa học ĐHTH Hà Nội 8ố 4, 1987, 1-6.

3.

Dỗ ỉ)ức Giáo. The method to guess the equivalent between retrieval trees. Tạp chí khoa học Đ H TH
Hà Nội, số 1, 1990. 1-6.

4.

Đỗ Đức Giáo. Retrieval systems with the Languages in put are terms and formulace enlarge. Tap
chí khoa học ĐHTH Hà Nội, 80 4, 1990, 43-48.

5.

H. Thiele. On a graph - theoretic realization of retrieval systems. P.N.S.E.T. Cachau, France, 4-8,
Juillet 1977.

D E V E L O P M E N T OF T R E E [ ( f o r m u l a ) " , Y \ . G E N E R A L E Q U I V A L E N C E R E L A T O N S
B E T W E E N T H E SE T S T R E E \ u ( f o r m u l a ) n , Y], T R E E [ B , Y + ] and T R E E [ V , Y + ]

Do Due Giao
Faculty of mathematics, Hanoi University
In the p.'iper we have developed a graph - theoretic realization of T R E E \ ( f o r m u l a ) ™ , Y Ị
defined by ỊlỊ. Fur the rmor e, we will give the m et ho d to guess the equivalent between sets T R E E
ị u ( f o r m u l a ) ” , r ] , T R E E ị V , y + |, and T R E E \ B , Y + \ .

17