Nội dung TRR-LTĐT - Võ Tấn Dũng (votandung) Chuong3 DaiSoBool

LOGO

TOÁN RỜI RẠC

Chương 3. Đại số Bool
GV: Võ Tấn Dũng
Trường Cao đẳng CNTT TPHCM

1


Nội dung

Đại Số Bool
Hàm Bool
Mạch logic
Bản đồ Karnaugh

2


Mở đầu
Xét mạch điện như hình vẽ

Tùy theo các trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng
điện đi qua MN. Như vậy ta sẽ có bảng giá trị sau

3


Mở đầu

Câu hỏi: Khi mạch điện gồm nhiều
cầu dao, làm sao ta có thể kiểm
soát được.
Giải pháp là đưa ra công thức, với
mỗi biến được xem như là một cầu
dao

A

B

C

MN

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1


5

I. Đại Số Bool
Xét tập hợp B = {0, 1}.

Khi đó, B trở
thành một đại số
Bool

6

II. Hàm Bool
Hàm Bool n biến là ánh xạ
f : Bn → B , trong đó B = {0, 1}.
Như vậy hàm Bool n biến là một hàm số có dạng :
f = f(x1,x2,…,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,…, xn chỉ nhận
hai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B = {0, 1}.
Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến.


7

Bảng chân trị
Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn)
Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường
hợp của bộ biến (x1,x2,…,xn).
Do đó, để mô tả f, ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất
cả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọi
đây là bảng chân trị của f


Ví dụ:
 Cho hàm bool bậc 3, f(x,y,z) = xy + xz. Ta có thể lập bảng giá trị của f như sau:

8


9

Ví dụ
Xét kết qủa f trong việc thông qua một quyết định dựa
vào 3 phiếu bầu x, y, z
Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị: 1 (tán thành) hoặc
0 (bác bỏ).
Kết qủa f là 1 (thông qua quyết định) nếu được đa số
phiếu tán thành, là 0 (không thông qua quyết định) nếu đa
số phiếu bác bỏ.


Hàm Bool
Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x, y, z có bảng chân trị như
sau:
x

y

z

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1
10


Dạng chính tắc tuyển (d.n.f) của Hàm Bool
Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1, x2,

…,xn
 Mỗi hàm bool xi hay xi được gọi là từ đơn.
 Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ
đơn.
 Từ tối tiểu là tích khác không của đúng n từ đơn.
 Công thức đa thức là công thức biểu diễn hàm Bool
thành tổng của các đơn thức.
 Dạng chính tắc tuyển là công thức biểu diễn hàm Bool
thành tổng của các từ tối tiểu.
disjunctive normal form (d.n.f) = chính tắc tuyển
11


là từ tối tiểu

12


Ví dụ:

Mệnh đề: Mọi hàm Bool f khác 0 đều có thể viết một cách duy
nhất (không kể sai khác về thứ tự trước sau của các tích cơ bản)
dưới dạng d.n.f.

13


III. Mạch các cổng

Ta nói mạch logic trên tổng hợp (hay còn gọi là biểu diễn) hàm Bool f

14


Cổng NOT
Kí hiệu cổng
Bảng chân trị
X
0
1
Input

F ( x) = x
15

not X
1
0
Output


Cổng AND

Bảng chân trị

a

b

a.b

0
0
1
1

0
1
0
1

0
0
0
1

16


Cổng OR

Bảng chân trị:

a

b

0
0
1

1

0
1
0
1

17

a+b
0
1
1
1


Cổng NAND

18


Cổng NOR

19


Ví dụ

f = xz ∨ yz ∨ xt ∨ yt ∨ xyz

20


Ví dụ

21


Cho sơ đồ

Viết biểu thức f

f (x, y, z) = (x ∨ y ∨ z)x y z


. Thiết kế một mạch điều khiển bởi 2 công tắc

Mỗi công tắc được xem như là biến x, y : 1 là bật 0 là tắt
Cho F(x, y) =1 khi đèn sáng và 0 khi đèn tắt
Giả sử F(x, y) =1 khi cả hai công tắc đều cùng bật hoặc
đều cùng tắt
Tại bảng chân trị, chỉ quan tâm các dòng x y F(x, y)
có F(x,y)=1.
- Khi x hay y bằng 1, ghi lại x, y
- Khi x hay y bằng không, ghi phủ định x hay phủ định y

Kết quả hàm số dạng dnf là:

23

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1


x
y
x

y

xy

x
y

xy

24


. Thiết kế một mạch điều khiển bởi 3 công tắc

Mỗi công tắc xem như là biến x, y,z : 1 là bật 0 là tắt
Cho F(x, y) =1 khi đèn sáng và 0 khi đèn tắt
Giả sử F(x,y,z) =1 khi 1 hoặc 3
cái đều bật

x y z F(x,y,z)
1

1

1

1

Chỉ quan tâm các dòng có F(x,y,z)=1. Tại
các dòng đó, biến nào bằng 1 thì giữ
nguyên, biến nào bằng 0 thì ghi phủ định.

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

Kết quả hàm số dạng dnf là:

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

25