SKKN hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể
tích khối đa diện.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 25 tháng 09 năm 2015 đến ngày 15 tháng 05
năm 2016.
4. Tác giả:
Họ và tên: Phạm Cao Thế.
Năm sinh: 1983.
Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán học.
Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường.
Địa chỉ liên hệ: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 0914.436.388.
Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 90%.
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường.
Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 03503.886.167.

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG BÀI
TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
PHẦN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Thể tích khối đa diện là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán học ở
trường phổ thông. Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán tính thể tích khối đa
diện là không thể thiếu trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi, nó xuất hiện
thường xuyên và độ khó cũng ngày càng được nâng lên nên đôi lúc cách giải quyết đối
với nhiều học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
1

Với mong muốn giúp các em học sinh có kỹ năng tốt, không còn bỡ ngỡ khi gặp
câu hỏi tính thể thích khối đa diện, tôi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức,
phân dạng bài tập cụ thể và cần có phân tích đối với lớp các bài toán đó để học sinh
hiểu, vận dụng và có tư duy logic những bài tập có dạng tương tự.
PHẦN II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
A. MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI CÓ SÁNG KIẾN
Đối với bài toán thể tích khối đa diện, SGK Hình học 12 chỉ đưa ra được rất ít ví
dụ và một số bài tập cơ bản. Chính vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong
việc tính thể tích khối đa diện và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt trong các đề
thi Đại học - Cao đẳng, đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi các em sẽ gặp bài
toán về thể tích của khối đa diện ở nhiều dạng khác nhau. Vì vậy, việc giúp cho các em
có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp tính thể tích khối đa diện là
rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay.
Một điều rất quan trọng trong quá trình tính thể tích khối đa diện là đa phần các
em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao của khối đa diện nên việc tính thể tích
khối đa diện là không chính xác. Do đó tôi đã hệ thống lại các cách xác định chân
đường cao của một số khối đa diện đặc biệt để các em nắm được và từ đó hoàn toàn
tính được thể tích của các khối đa diện cụ thể.
B. MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SANG KIÉN
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Các hệ thức lượng trong tam giác
a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ,khi đó ta có
(1). Định lí Pithago: BC 2 = AB 2 + AC 2 .
A
(2). c 2 = c '.a ( AB 2 = BH .BC ) .
(3). b 2 = b '.a ( AC 2 = CH .BC ) .
b
c
h

( AH .BC = AB. AC ) .
(4). ah = bc
1
1 1
b'
c'
(5). 2 = 2 + 2 .
B
C
h
b c
H a
b
c
b
c
(6). sin B = ; cos B = ; tan B = ; cot B = .
a
a
c
b
b. Hệ thức lượng trong tam giác ABC :
A
Định lí côsin: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A .
a
b
c
b
=
=

= 2R .
Định lí sin:
c
sin A sin B sin C
c. Công thức tính diện tích tam giác:
C
a
1
1
1
1
1
1
● S = aha = bhb = chc = ab sin C = ac sin B = bcBsin A .
2
2
2
2
2
2
abc
a+b+c
= pr = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
●S =
(Với p =
).
4R
2
d. Diện tích hình vuông cạnh a: S = a 2 .
e. Diện tích hình chữ nhật các kích thước a và b: S = a.b .

2


f. Diện tích hình thang: S =

1
( a + b ) h trong đó a và b là độ dài hai đáy, h là chiều cao
2

của hình thang.
1.2. Quan hệ song song
1.2.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
a. Phương pháp 1(về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)
( α ) ∩ ( β ) = a
 a / / b, b / / c, c / / a

( β ) ∩ ( γ ) = b ⇒ 
 a, b, cđồng quy
( γ ) ∩(α ) = c


b. Phương pháp 2 (Hệ quả của định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)
 (α) ⊃ a
 c ≡ a; c ≡ b

 (β) ⊃b
⇒  c / / a

a / /b


 c/ /b
( α ) ∩ ( β ) = c 

c. Phương pháp 3
a ≠ b

a / / c ⇒ a / /b
b / / c


d. Phương pháp 4

3


 a / /(α)

 ( β ) ⊃ a ⇒ b / /a
( β ) ∩ ( α ) = b


e. Phương pháp 5
 (α) ≠ ( β )

( α ) / / d , ( β ) / / d ⇒ d '/ / d
 (α) ∩( β ) = d '


f. Phương pháp 6
 (α) / /( β )


( γ ) ∩ ( α ) = a ⇒ a / / b
( γ ) ∩ ( β ) = b


g. Phương pháp 7
 a≠b

a ⊥ ( α ) ⇒ a / / b
b ⊥ ( α )


1.2.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
a. Phương pháp 1

4


d ⊄ (α)

 d / /d ' ⇒ d / / ( α )
d ' ⊂ ( α )

b. Phương pháp 2

a ⊄ ( α )

 a ⊥ b ⇒ a / /(α)
( α ) ⊥ b


1.2.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song
a. Phương pháp 1
( α ) ⊃ a, ( α ) ⊃ b

a∩b = I

⇒ (α) / /( β )

a / /( β )


b / /( β )
b. Phương pháp 2
( α ) ≠ ( β )

( α ) / / ( γ ) ⇒ ( α ) / / ( β )
( β ) / / ( γ )

c. Phương pháp 3
( α ) ≠ ( β )

 a ⊥ (α) ⇒ (α) / /( β )
 a ⊥(β)


5


1.3. Quan hệ vuông góc

1.3.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
a. Phương pháp 1
uuu
r uuur r
Cho hai đường thẳng AB, CD khi đó nếu AB.CD = 0 ⇒ AB ⊥ CD
b. Phương pháp 2
Tính góc giữa hai đường thẳng bằng 900.
c. Phương pháp 3(Định lí ba đường vuông góc)
Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của
b lên ( α ) và a ⊂ ( α ) .
Khi đó a ⊥ b ⇔ a ⊥ b '

d. Phương pháp 4
a ⊥ ( α )
⇒a⊥b

b ⊂ ( α )

e. Phương pháp 5
 b/ / ( α )
⇒a⊥b

a
⊥
α
(
)


1.3.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a. Phương pháp 1
 a⊥b
 a⊥c

⇒ a ⊥ (α)

b
∩
c
=
I

b, c ⊂ ( α )
b. Phương pháp 2

6


 a / /b
⇒ b ⊥ (α)

a
⊥
α
(
)


c. Phương pháp 3
( α ) / / ( β )

⇒a ⊥(β)

a
⊥
α
(
)


d. Phương pháp 4
 (α ) ⊥ ( β )

( α ) ∩ ( β ) = a
⇒ b ⊥ (α)

b
⊂
β
(
)


b⊥a

e. Phương pháp 5
( α ) ∩ ( β ) = a

 (α ) ⊥ (γ ) ⇒ a ⊥ (γ )
 ( β) ⊥(γ )


1.3.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một
a
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
a'
1.4. Góc
O
1.4.1. Góc giữa 2 đường thẳng:
b'
7
b


Nếu a / / a ', b / / b ', b ∩ b ' = O thì
góc giữa hai đường thẳng a và b là góc
giữa hai đường thẳng a’ và b’.
1.4.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi a ' là hình chiếu của a trên
( α ) . Góc giữa a và ( α ) là góc giữa a và
a’.

a

a'

1.4.3. Góc giữa hai mặt phẳng:
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng
( α ) ∩ ( β ) = d


( α ) và ( β ) . Khi đó, nếu a ∈ ( α ) , a ⊥ d

b ∈ ( β ) , b ⊥ d
thì ϕ là góc giữa a và b.

b

d
A

1.5. Khoảng cách
1.5.1. Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng
d ( A, ∆ ) = AH với H là hình chiếu
vuông góc của A lên ∆ .

1.5.2. Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng
d ( A, ( α ) ) = AH với H là hình chiếu
vuông góc của A lên ( α ) .

1.5.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song với nhau

8

a


d ( ∆, ( a ) ) = d ( A, ( α ) ) , A ∈ ∆

1.5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
d ( ( a ) , ( β ) ) = d ( A, ( β ) ) , A ∈ ( α )

1.5.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
d ( a, b ) = d ( a , ( β ) ) trong đó ( β )
là mặt phẳng chứa b và song song với a.

CHƯƠNG 2. NỘI DUNG
Về thể tích khối đa diện, trong chương trình toán trung học phổ thông ta chủ yếu
xét đến thể tích của khối chóp và khối lăng trụ. Các công thức tính thể tích của khối
chóp và khối lăng trụ như sau

9


1
Thể tích khối chóp: V = B.h (1)
Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (2)
3
(trong đó B, h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ)
Có ba phương pháp chính để tính thể tích khối đa diện
1) Tính trực tiếp theo công thức
2) Tính gián tiếp thông qua phân chia khối đa diện hoặc sử dụng tỉ số thể tích
3) Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tính thể tích.
Tuy nhiên xu hướng ra đề thi trong các năm gần đây người ta chú trọng vào việc tính
thể tích một cách trực tiếp hoặc gián tiếp, còn việc sử dụng phương pháp tọa độ trong
không gian để tính thể tích được hạn chế rất nhiều. Do vậy trong bản báo cáo này tôi
chỉ đưa ra hai phương pháp tính thể tích đầu tiên.
2.1. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRỰC TIẾP THEO CÔNG THỨC
Phương pháp của dạng này là áp dụng công thức (1) và (2) đã nêu ở trên để tính.
Về diện tích thì học sinh đã tính toán quen thuộc, chủ yếu của loại này là ta đi xác định
chiều cao của các khối đa diện. Với khối chóp chiều cao của nó là khoảng cách từ đỉnh

đến mặt đáy, muốn xác định được khoảng cách này thì ta phải đi tìm hình chiếu vuông
góc của đỉnh lên mặt đáy. Còn với khối lăng trụ thì chiều cao là khoảng cách giữa hai
mặt đáy và cũng là khoảng cách từ một đỉnh thuộc đáy này đến đáy kia, như vậy với
khối lăng trụ ta có thể tìm chiều cao giống như khối chóp. Từ đó ta sẽ chia loại này theo
các dạng toán như sau
2.1.1. DẠNG TOÁN CHO SẴN CHIỀU CAO
Đối với dạng này ta đã biết sẵn đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt
đáy. Chủ yếu ta xét các loại đa diện sau:
- Khối chóp đều thì chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đa giác đáy.
- Khối lăng trụ đứng thì chiều cao là cạnh bên của lăng trụ.
- Khối chóp có một đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đáy(Chiều cao là
đoạn thẳng nối đỉnh với giao điểm của đường thẳng đó với mặt đáy) hoặc có hai mặt
chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy(Chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với điểm chung
của ba mặt phẳng là hai mặt phẳng đó cùng với mặt đáy).
- Khối đa diện biết hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy.
Ví dụ 1. Tính theo a thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc
·ASB = α .
Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chân đường cao chính là tâm của đa giác đáy.
Giải:
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên nếu gọi
O là tâm đa giác đáy thì SO ⊥ ( ABCD ) .
Ta có: SABCD = a2.
Gọi M là trung điểm AB, do SAB là tam giác cân
đỉnh S nên SM là đường cao và là trung tuyến.

10


α
AM

a
⇒ SA =
=
α
α
Ta có:
2
sin
2sin
2
2
a cos α
SO = SA2 − AO 2 =
α
2sin
2
1 2 a cos α a 3 cos α
VS . ABCD = .a .
=
α
α
3
2sin
6sin
2
2
AM = SA.sin

Nhận xét: Mục tiêu là tính chiều cao nên ta có thể thay đổi giả thiết góc ·ASB = α bởi
góc giữa cạnh bên và mặt đáy hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy. Bài toán này ta có

thể cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC')
hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a.
Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chiều cao chính là các cạnh bên của lăng trụ.
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD .
Ta có hai tam giác CBD, C’BD lần lượt cân tại
C và C’ nên CO ⊥ BD, C ' O ⊥ BD do đó góc
giữa hai mặt (BDC') và (ABCD) bằng
· ' OC ⇒ C
· ' OC = 600
C
Khi đó CC' = OC.tan60o =
Mà SABCD = a2

a 6
2

3
a
6
Vậy VABCD.A’B’C’D’ =
2

Nhận xét: Mục tiêu ở bài này là tính chiều cao do đó ta có thể thay giả thiết góc giữa
hai mặt bởi góc giữa đường và mặt đáy để tìm chiều cao. Bài toán này ta có thể cho
biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao.
Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có
AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác
SAC.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’).
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ theo a.
Phân tích: Tính thể tích khối chóp S.ABC là đơn giản. Muốn tính thể tích của khối chóp
S.AB’C’ thì ta phải dựa vào câu b) mới xác định được chiều cao.
Giải:
11


1
1
AB.BC = a 2
2
2
1
1 1 2 a3
= SA.S ABC = a. a =
3
3 2
6

a) Ta có S ABC =
⇒ VS . ABC

b)
BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '
 ⇒ ( SBC ) ⊥ AB ' .
SB ⊥ AB ' 
Suy ra SC ⊥ AB '
Mà AC ' ⊥ SC nên SC ⊥ ( AB ' C ')

c) Vì SC ⊥ ( AB ' C ') nên chiều cao của khối
1
chóp S.AB’C’ là SC’ ⇒ VS . AB ' C ' = SC '.S AB ' C ' .
3
SB a 2
Ta có AB ' =
=
2
2
1
1
1
3
a 6
=
+
=
⇒
AC
'
=
AC '2 a 2 2a 2 2a 2
3
a 6
a2 3
Tam giác AB’C’ vuông tại B’ nên B ' C ' =
. Khi đó S ∆SB ' C ' =
6
12
2

a3
2a
a 3
2
2
2
Mà SC ' = SA − AC ' = a −
. Từ đó ta có VS . AB ' C ' = .
=
12
3
3
Nhận xét:. Ở bài này ta có thể tính thể tích SAB’C’ dựa vào công thức tỉ số thể tích sẽ
được trình bày ở phần sau.
Trong ∆SAC ta có:

Ví dụ 4(B 2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, AD = a 2, SA = a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
SC; I là giao điểm của BM và AC.
a. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SMB).
b. Tính thể tích khối tứ diện AINB theo a.
Phân tích: Chiều cao của hình chóp S.ABCD chính là SA nên ta có thể tính được thể tích
của S.ABCD. Chiều cao của khối tứ diện AINB chính là đường thẳng đi qua N và song
song với SA.
Giải:

12


a) Ta chứng minh MB vuông góc với (SAC).

Thậy vậy:
Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ MB (1)
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur
Mà MB. AC = MA + AB AB + BC = 0

(

)(

)

⇒ MB ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) ta có MB vuông góc với (SAC) nên
(SAC) vuông góc với (SMB).
a
b) Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta có NO = và
2
NO//SA, tức NO ⊥ ( ABCD ) .
1
a
Ta có: VANIB = VN . AIB = S AIB .NO = .S AIB
3
6
Ta tính SAIB.
Dễ thấy I là trọng tâm tam giác ABD nên
1
2a 2 + a 2 a 3
.

⇒ AI = AC =
=
3
3
3
2
2 2 a2 a 6
BM =
a +
=
3
3
2
3
1
1 a 3 a 6 a2 2
Vậy S AIB = IA.IB = .
.
=
( 2) .
2
2 3
3
6
a3 2
Thay (2) vào (1) ta có: VANIB =
36
Nhận xét: Ta còn có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là N, đáy là một tam giác
hoặc tứ giác trong hình chữ nhật ABCD. Ngoài ra ta có thể chứng minh MB vuông góc
với AC theo nhiều cách khác.

Lại có BI =

Ví dụ 5(A 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D và
AB = AD = 2a; CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là
trung điểm của cạnh AD. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh chiều cao của khối chóp chính là SI.
Giải:
 ( SBI ) ⊥ ( ABCD )

Ta có  ( SCI ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) .
( SBI ) ∩ ( SCI ) = SI

·
Kẻ IH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ BC . Ta có SHI
= 600 là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và
(ABCD).
Trong ∆SIH , ta có SI=IH.tan600=IH. 3
Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, BC. Vì IN là đường trung bình của hình thang
3a
ABCD nên: IN =
2
13


·
·
Ta có: IH = IN cos HIN
= IN cos MCB
3a MC 3a

2a
3a 5
= .
=
= .
.
2 BC
2 4a 2 + a 2
5
Vậy VS . ABCD

1 ( 2a + a ) 2a
3a 3 15
= .
.SH . 3 =
3
2
5

Nhận xét: Bài toán này phức tạp ở chỗ học sinh phải tìm được góc giữa hai mặt phẳng
thì mới tính được SI. Để đơn giải hơn ta có thể thay đổi giả thiết góc giữa hai mặt bởi
điều kiện tam giác SAD đều hoặc vuông.
Ví dụ 6. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA'
hợp với đáy ABC một góc 600.
a. Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
b. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.
Phân tích : Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết chiều cao chính là A’O.
Giải :
a) Ta có OA là hình chiếu của AA' trên (ABC).

Vậy góc giữa AA’ và (ABC) là góc giữa AA’ và
·
OA và bằng OAA
' = 60o
Ta có AO ⊥ BC tại trung điểm H của BC nên
BC ⊥ A ' H mà BC ⊥ A ' O nên
⇒ BC ⊥ ( AA ' H ) ⇒ BC ⊥ AA ' mà AA'//BB'
nên BC ⊥ BB ' . Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
b) Vì ∆ABC đều nên

2
2a 3 a 3
AH =
=
3
3 2
3
∆AOA ' ⇒ A 'O = AO tan 60o = a
AO =

Vậy VABC.A’B’C’ = SABC.A'O =

a3 3
4

Nhận xét: Trong bài này ta có thể thay hình chiếu của A’ xuống (ABC) bởi một điểm
khác (ví dụ như điểm H) thì ta vẫn tính được thể tích của khối lăng trụ.
Ví dụ 7(A 2008). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng

14


(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết chiều cao chính là A’H.
Giải:
+) Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra
A ' H ⊥ ( ABC )
1
1 2
BC =
a + 3a 2 = a .
2
2
2
Do đó A ' H = AA '2 − AH 2 = 3a 2 ⇒ A ' H = a 3 .
1
a3
Vâỵ VA '. ABC = A ' H .S ∆ABC =
(đvtt)
3
2
và AH =

+) Tính cosin của góc: Có hai cách tính cosin
của góc dựa vào tích vô hướng hoặc xác định
góc giữa hai đường rồi mới đi tính toán.
Nhận xét: Ở bài toán này ta có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là B’ hoặc C’
đáy là tam giác ABC hoặc đỉnh là A; B; C đáy là A’B’C’.

Ví dụ 8(B 2009). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc giữa đường thẳng BB’ và
·
mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và BAC
= 600. Hình chiếu
vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích
khối tứ diện A’.ABC theo a.
Phân tích: Chiều cao của khối lăng trụ chính là B’H. Khi đó chiều cao của khối tứ diện
A’.ABC là A’K và bằng B’H.
Giải:
1
Ta có VA '. ABC = B ' H .S ABC
3
Góc giữa BB’ và (ABC) bằng góc
· ' BH ⇒ B
· ' BH = 600
B
a 3
Khi đó B ' H = BB '.sin 600 =
2
a
3a
và BH = BB '.cos 600 = ⇒ BM =
2
4
Ta có
3
AB
AB
.
BC = AB

, AC =
⇒ MC =
2
2
4
6a 13
Mà BC 2 + MC 2 = BM 2 ⇒ AB =
13
2
1
9a 3
1 a 3 9a 3 3 9 a 3
Nên S ABC = BC. AC =
. Khi đó VA '. ABC = .
.
.
=
2
13
3 2
13
26
Nhận xét: Nếu trong bài này ta đi dựng chiều cao của khối tứ diện sẽ gặp nhiều khó
khăn.
15


Ví dụ 9(A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp

S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Phân tích: Trong bài này ta xác định được chiều cao là SH.
Giải:
5a 2
Ta có: SCDNM = S ABCD − S AMN − S BCM =
8
3
1
5 3a
⇒ VS .CDNM = ×SCDNM .SH =
3
24
·
·
∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN , kết
hợp với DM ⊥ SH , suy ra DM ⊥ ( SHC ) . Hạ HK
⊥ SC ( K ∈ SC ) , suy ra HK là đoạn vuông góc chung
của DM và SC, do đó d ( DM , SC ) = HK .
CD 2 2a
=
Ta có HC =
và
CN
5

2 3a
2 3a
.
⇒ d ( DM , SC ) =
19

19
SH + HC
Nhận xét: Mục tiêu chỉ là đi tính diện tích đáy là xong nên ta có thể yêu cầu tính thể
tích của một khối chóp khác có đáy là tam giác, tứ giác khác trong hình vuông ABCD.
HK =

SH .HC
2

2

=

Ví dụ 10. (HSG – Vĩnh Phúc 2012 - 2013) Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với
trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng
a 3
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
4
Phân tích: Trong ví dụ nà thì chiều cao ta đã biết, mục tiêu là đi xác định khoảng cách
giũa hai đường thẳng AA’ và BC. Nhận thấy AA’ và BC vuông góc với nhau nên ta có
thể dựng đường vuông góc chung của chúng để tính khoảng cách.
Giải:
a2 3
Diện tích đáy là S ABC =
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
4
 BC ⊥ AE
⇒ BC ⊥ ( AA ' E )
Gọi E là trung điểm BC . Ta có 

 BC ⊥ A ' G
Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA ' .
Do đó BC ⊥ DE , AA ' ⊥ DE
Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC

16


Tam giác ADE vuông tại D suy ra
DE 1
·
·
sin DAE
=
= ⇒ DAE
= 300
AE 2
Xét tam giác A ' AG vuông tại G ta có
a
A ' G = AG.tan 300 =
3
a3 3
Vậy VABC . A ' B ' C ' = A ' G.S ABC =
.
12

D

Các bài tập tương tự:
Bài 1. Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a, góc ở đáy của mặt bên là

45o.
1) Tính độ dài chiều cao SH của khối chóp SABC .

a
3
a3
Đs: V =
6

Đs: SH =

2) Tính thể tích khối chóp SABC.

Bài 2. Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một
góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC.
3
a
3
Đs: V =
24

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ¼
ASB = 60o .
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
2) Tính thể tích khối chóp tương ứng.

2
a
3
Đs: S =

3
a3 2
Đs: V =
6

Bài 4. Cho khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng S.ABCD
là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V =

9a 3 2 .
2

Đs: AB = 3a
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang cân (AB//CD) với
AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA vuông góc với đáy và SA = 18cm. Tính
VS.ABCD.
Đs: VS.ABCD = 1152
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
AB = AD = 2a, CD = a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là
trung điểm AD, biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính VSABCD theo a.
3 3a 3
Đs: VSABCD =
5

17


Bài 7. Cho hinh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, 2 đường chéo
AC = 2 3a, BD = 2a và AC ∩ BD = O . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông
a 3
. Tính VSABCD theo a.

4
a3 3
Đs: VS.ABCD =
3
Bài 8(A2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và
(ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa SA và BC theo
a.
góc với (ABCD) biết k hoảng cách từ O đến (SAB) bằng

Bài 9(KB2012). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với (ABH). Tính thể
tích khối chóp S.ABH theo a.
Bài 10(KD2012). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác
A’AC vuông cân, A’C=a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến
(BCD’) theo a.
Bài 11(KA2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N.
Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 600. Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 12(KB2011). Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật và
AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng
với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
Bài 13(KD2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
AH = AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của
SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a.
a 3

Bài 14. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =
và
2
góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng
minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN
theo a.
Bài 15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P)
a2 3
chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
8
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
18


Bài 16. Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA′ = 2a.
Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm
của BC. Tính theo a thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và
A′ C.
Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A
a
đến mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
2
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Góc giữa SA và
(ABCD) bằng 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC và CD. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SH theo a.
Đs: VS. ABCD =

a3 6

3a 10
, d ( MN , SH ) =
12
20

Bài 19. (HSG Hà Tĩnh 2014-2015) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân

tại B, AB = a. Gọi I là trung điểmuurcủa AC.
uuu
r Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thoả mãn BI = 3IH và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
là 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng
a3
2a 153
AB và SI.
Đs: VS . ABC = (đvtt), d ( AB, SI ) =
9
53
Bài 20. (HSG Vĩnh Phúc 2013-2014) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết
·
HB = HC = a , HBC
= 300 ; góc giữa mặt phẳng ( SHC ) và mặt phẳng ( HBC ) bằng
600 . Tính theo a thể tích khối chóp S .HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng
BC và mặt phẳng ( SHC ) .
Đs: VS .HBC =

3a 3
13
·

, cos BCB
'=
.
16
4

Bài 21. (HSG Thái Bình 2015-2016) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác

vuông tại C, với BC = a, BB' = 2a, AB' = 3a. Gọi M là trung điểm A'B', I là giao điểm
của BM và AB'. Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(IAC).
Đs: VIABC =

2.1.2. DẠNG TOÁN ĐI DỰNG CHIỀU CAO.

19

4a 3 d ( B, ( IAC )) = 2a
,
5
9


Trong nhiều bài toán tính thể tích khối đa diện chiều cao thường không dễ thấy,
do đó đòi hỏi ta cần kẻ thêm hình để xác định chiều cao. Điểm mấu chốt là xác định
được chân đường cao hạ từ đỉnh xuông mặt đáy. Ở dạng này ta xét một số hình chóp có
dấu hiệu cơ bản để tìm chân đường cao.
Dấu hiệu 1: Hình chóp có một mặt phẳng (P) chứa đỉnh và vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp: Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy nằm trên giao tuyến của mặt
phẳng (P) với mặt đáy.

Ví dụ 1(CĐ 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt
phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD), SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Phân tích: Trong bài này (SAB) và (ABCD) có giao tuyến chính là AB, nên để xác định
chiều cao của khối chóp ta chỉ cần tìm ra đường thẳng đi qua S năm trong (SAB) và
vuông góc với AB là xong.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB. Ta có SA = SB
⇒ SI ⊥ AB . Mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , suy
ra SI ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa SC và
·
(ABCD) bằng SCI
= 450 , suy ra
SI = IC = IB 2 + BC 2 =
Vậy VS . ABCD =

a 5
.
2

a3 5
(đvtt)
6

Nhận xét: Trong bài toán này ta có thể thay đổi giả thiết góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng đáy bằng 450 bởi góc giữa mặt bên và mặt đáy hoặc cho độ dài SI nhưng
không cho độ dài cạnh đáy thi vẫn tính được thể tích khối chóp.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; CA = CB = a. Mặt
bên (SAB) vuông góc với đáy (ABC) và SB = SC = a, SA = x.
a) Chứng minh rằng ∆SAB vuông.

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và x.
Phân tích: Bài này tương tự như bài trên ta có ngay SH là chiều cao của khối chóp
nhưng nếu coi đáy là (SAB) thì ta lại có chiều cao là CH.
Giải:

20


a) Gọi H là trung điểm AB, ∆ABC cân tại C
⇒ CH ⊥ AB . Ta có:

( SAB ) ⊥ ( ABC )

( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB  ⇒ CH ⊥ ( SAB ) ⇒ CH ⊥ SH .

CH ⊥ AB

Ta có: CH2 + HB2 = BC2 ⇒ HB = a 2 − HC 2
Mà ∆SHC vuông tại H nên
SH = SC 2 − HC 2 = a 2 − HC 2 .
1
Do đó SH = HB = AB ⇒ ∆SAB vuông tại S.
2
b) Ta coi CH là đường cao, SAB là đáy của hình chóp.
2
2
1
1
S ∆SAB = SA.SB = ax . Ta có AB = a 2 + x 2 ⇒ HC = BC 2 − HB 2 = 3a − x
2

2
2
1
1 3a 2 − x 2 ax ax 3a 2 − x 2
V = CH .S ∆ABC = .
. =
3
3
2
2
12
Nhận xét: Ta có thể tính theo chiều cao nào cũng được. Ngoài ra ta còn có thể tìm
được giá trị lớn nhất của thể tích.
Ví dụ 3(A 2007). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích tứ diện CMNP theo a.
Phân tích: Ở bài này khối chóp S.ABCD sẽ có chiều cao là SH với H là trung điểm AD.
Như vậy với khối tứ diện CMNP nếu ta chọn M là đỉnh thì chiều cao chính là đường
thẳng đi qua M và song song với SH.
Giải:
Gọi H là trung điểm AD thì SH ⊥ AD .
Do ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) nên suy ra: SH ⊥ ( ABCD )
a 3
(vì SAD là tam giác đều cạnh a).
2
Kẻ MK//SM ( K ∈ HB ) ⇒ MK ⊥ ( ABCD ) và
và SH =

SH a 3
=

2
4
1
1 a 2 a 3 a3 3
Vậy VMCNP = SCNP .MK = . .
=
3
3 8 4
96
MK =

Nhận xét: Ta có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là S hoặc M và đáy là tam giác
hoặc tứ giác nằm trong mặt đáy.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh góc
vuông bằng a. Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy
một góc 450.
21


a) Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là
trung điểm BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Phân tích: Ở ý a) đã gợi ý cho ta chiều cao của khối chóp chính là SH với H là trung
điểm của BC.
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu của S lên BC. Do đó
SH ⊥ ( ABC ) .
Kẻ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC. Dễ
·
·

dàng suy ra SMH
= SNH
= 450 . ∆SHM & ∆SHN
là các tam giác vuông tại H, có các góc nhọn
bằng 450 nên là các tam giác vuông cân tại H.
Suy ra SH=HM=HN.
Hai tam giác vuông MBH và NCH bằng nhau
(g.c.g) nên HB=HC hay hình chiếu H của S lên
BC là trung điểm BC.
AB a
a2
= và S ABC =
b) Ta có SH = HN =
2
2
2
3
a
⇒ VS . ABC = (đvtt).
12
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và
SA = a, SB = a 3 . Mặt (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi M là trung điểm AB. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SMD) theo a.
Phân tích: Trong ví dụ này thì tam giác SAB vuông tại S nên SM = a. Từ đó ta có tam
giác SAM cân tại S nên chân đường cao sẽ là trung điểm H của AM.
Giải:
+ Ta có: SA2 + SB 2 = AB 2 ⇒ ∆SAB vuông tại
AB
= a = SA ⇒ ∆SAM cân tại
S. Khi đó SM =

2
S. Gọi H là trung điểm của AM ta có SH ⊥ AB
SA.SB a 3
và SH =
.
=
AB
2
( SAB) ⊥ ( ABCD ) 
( SAB) ∩ ( ABCD ) = AB 
 ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
SH ⊂ ( SAB )


SH ⊥ AB
1
2a 3 3
Vậy VS . ABCD = SH . AB. AD =
.
3
3
Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ HD ⇒ SD 2 = SH 2 + HD 2 = SH 2 + HA2 + AD 2

22


3a 2 a 2
⇒ SD =
+ + 4a 2 = 5a 2 ⇒ SD = a 5
4

4
2

Mà DM 2 = AM 2 + AD 2 = a 2 + 4a 2 = 5a 2 ⇒ DM = a 5
Do đó tam giác SMD cân tại D. Gọi I là trung điểm của SM ta có
a 2 19a 2
a 19
DI ⊥ SM ⇒ DI 2 = SD 2 − SI 2 = 5a 2 −
=
⇒ DI =
4
4
2
⇒ S ∆SMD

1 a 19
a 2 19
. Ta có
=
a=
2 2
4

1
1
1 a 3 1 2 a3 3 1
VS .MCD = SH . AD.CD =
4a =
= .d (C ,( SMD)).S ∆SMD
3

2
3 2 2
3
3
3
a 3
4a 57
⇒ d (C ,( SMD )) = 2
=
19
a 19
4
Ví dụ 6. (HSG Nam Định 2012-2013) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
vuông với AB = 2a . Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng ϕ với
1
sin ϕ = . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)
3
theo a .
Phân tích: Trong ví dụ này thì việc xác định chiều cao là đơn giản. Vân đề khó gặp phải
ở đây là xác định góc giữa SD và mặt phẳng (SBC) mà góc này lại có mối quan hệ với
khoảng cách từ D đến (SBC)(cũng là khoảng cách từ A đến (SBC) và bằng SA).
Giải:
Ta có: BC ⊥ AB; ( SAB ) ⊥ ( ABCD) ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SA
mà SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ ( SBC ) .
S
Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC)
SD
⇒ d = SD.sin ϕ =
. Mặt khác :

3
AD / /( SBC ) ⇒ d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC ))
A
D
SD
=
⇒ d = SA ⇒ SA =
H
3
D
Do AD//BC ⇒ AD ⊥ SA . Xét tam giác SAD
C
B
vuông tại A có AD = 2a và
a 2
a 14
SA 2 + AD 2 = SD 2 ⇒ AD 2 = 8SA 2 ⇒ SA =
⇒ SB =
2
2
a 7
Kẻ SH ⊥ AB tại H ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) và AB.SH = SA.SB ⇒ SH =
4
3
3
1
a 7
1
a 7
Vậy VS . ABCD = SH .dt ( ABCD) =

.Ta có VSBCD = VS . ABCD =
.
3
3
2
6
23


3VSCBD
a 14
3a 2
(1). Tam giác SBD có: SB =
, SD = 3SA =
,
dt ( SBD)
2
2
BD = 2a 2 ⇒ BD 2 = SB 2 + SD 2 nên tam giác SBD vuông tại S
2a
1
3a 2 7
. Thay vào (1) có d (C ;( SBD)) =
.
S SBD = SB.SD =
3
2
4
Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam

giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
a3 3
ĐS:
6
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác vuông cân
tại D, ( ABC ) ⊥ ( BCD ) và AD hợp với (BCD) một góc 600. Tính thể tích tứ diện ABCD
theo a.
a3 3
ĐS:
9
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt
bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
a3
ĐS:
12
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a) Chứng minh rằng chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
a3 3
ĐS:
24
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mp(SAC) hợp với
(ABC) một góc 450. Tính thể tích của S.ABC theo a.
a3

ĐS:
12
·
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có BAC
= 900 , ·ABC = 300 ; SBC là tam giác đều cạnh a và
Mà d (C ;( SBD)) =

a2 2
theo a.
ĐS:
24
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao
SH = h và (SBC) ⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 300. Tính thể tích
hình chóp S.ABC theo h.
4 h3 3
ĐS:
9
Bài 8. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là 2 tam giác đều lần lượt nằm trong 2 mp
vuông góc với nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a.

( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tính VS.ABC

24


a3 6
36
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác
đều có đường cao SH = h, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo h.
4 h3
ĐS:
9
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, ∆SAB đều cạnh a nằm
trong mp vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 300. Tính VS.ABCD
theo a.
a3 3
ĐS:
4
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a,
( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , 2 mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 300.
Tính VS.ABCD theo a.
8a 3 3
ĐS:
9
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a. Tam
giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
a3 5
ĐS:
12
Bài 13(KD2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,
·
BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC
= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
theo a.
ĐS:

Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a . Gọi I

là trung điểm của BC. Biết tam giác SAI vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mp(ABC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC theo a.
10 3
10
ĐS: VS . ABCD =
a , d ( SM , BD ) =
a
12
3
Bài 15. (HSG Hà Tĩnh 2012-2013) Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC) và
(ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC = SA = SB = a. Tìm độ dài cạnh SC sao
a3
cho khối chóp S.ABC có thể tích V =
.
8
a3
3a 2
a 6
2
2
ĐS: V =
⇔ x 3a − x =
⇔x=
.
8
2
2

25