Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính thể tích khối đa diện cho học sinh THPT

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu
thích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở
ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học. Đặc biệt là hình học
không gian tổng hợp.
Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là
tính thể tích khối đa diện. Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức
ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năng
phân tích tổng hợp và tưởng tượng. Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc
đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
tuyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh.
Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôi
thấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cách
tính thể tích và hay mắc phải số sai lầm. Nguyên nhân là do các em không nắm
vững lí thuyết, việc luyện tập còn ít.
Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào
để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợp
với nhiều đối tượng. Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trình
giảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp.
Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích
môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính
thể tích khối đa diện cho học sinh THPT”.
II. Mục đích của đề tài
* Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính
thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này.
1
* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huy
tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh.
* Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suy
luận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duy

toán học cho học sinh.
* Là tài liệu cho cho học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.
III. Nhiệm vụ của đề tài
* Đưa ra hệ thống lí thuyết và các công thức có liên quan đến bài toán tính thể tích
khối đa diện.
* Các phương pháp tính thể tích khối đa diện.
* Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
* Đưa ra một số bài tập tham khảo.
IV. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A, 12B – Năm học 2012 - 2013 của
Trường THPT Lê Văn Linh.
V. Phương pháp nghiên cứu:
- Qua nghiên cứu tài liệu: Đọc kỹ sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan.
- Qua kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Lê Văn Linh.
- Điều tra tình hình học sinh khi làm bài.
- Dùng phương pháp kiểm nghiệm học sinh thông qua việc ra đề kiểm tra.
- Qua trao đổi và học hỏi các thầy cô giáo trong trường và đồng nghiệp.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2

I.Cơ sở lí luận:
1. Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi
một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
2. Khái niệm về thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện (H) là một số thực
dương, kí hiệu V
(H)
và thỏa mãn các tính chất sau:
+) Nếu (H) là 1 khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V
(H)
= 1.

+) Nếu hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) bằng nhau thì
1
( )H
V
=
2
( )H
V
.
+) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) thì
V
(H)
=
1
( )H
V
+
2
( )H
V
.
* Chú ý: Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

3. Các công thức tính thể tích khối đa diện:
3.1 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h
là: V = Bh.
* Chú ý:1, Trong trường hợp đặc biệt nếu khối đa diện là khối hộp chữ nhật hoặc
khối lập phương thì:
+) Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc.
+) Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a la: V= a
3
.
2, B: Diện tích đáy,
h: chiều cao( là khoảng cách giữa hai đáy).
3.2 Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:
V =
1
3
Bh.
* Chú ý: B: diện tích đáy,
h: chiều cao( là khoảng cách từ đỉnh tới đáy)
4. Các kiến thức có liên quan
4.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a và b: Là góc giữa hai đường
thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song sng với a và b.
Chú ý: Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một
trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng còn
lại.
4.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)
là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α)
3
Chú ý: * Nếu d vuông góc với mp(α) thì ta nói rằng góc giữa d và (α) bằng 90
0
.

* Nếu d không vuông góc với (α) và cắt (α) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và
(α) như sau:
+) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O.
+) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α) là điểm H.
+) Khi đó góc giữa d và (α) là φ và
ˆ
AOH
ϕ
=
4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β)
+) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng.
+) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α) đường thẳng a và
trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.
+) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b.
4.4 Khoảng cách:
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H là
hình chiếu vuông góc của O lên a).
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α) là độ dài đoạn OH ( trong
đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α).
Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) chứa O, vuông góc với (α) và cắt (α) theo
giao tuyến d. Trong (β) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó H là
hình chiếu vuông góc của O lên (α).
+) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α).
+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN
( M

∈
a, N
∈
b, MN
⊥
a, MN
⊥
b).
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng
còn lại, bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường
thẳng đó.
II.Thực trạng của vấn đề:
4
+) Câu hình học không gian có trong các đề thi và thường là khó đối với học sinh
mặc dù đây chưa phải là câu khó trong đề thi.
+) Học sinh có tâm lí chung là ngại học hình, đặc biệt là hình học không tổng hợp
trong đó phải nói đến phần tính thể tích khối đa diện.
+) Đối với học sinh Trường THPT Lê Văn Linh thì chất lượng đầu vào thấp hơn so
với một số trường của huyện. Dẫn đến nhiều khó khăn cho giáo viên khi dạy học
phần này.
+) Thực tế thời gian học chính khóa dành cho phần này rất ít, với chương trình
chuẩn hình học 12 chỉ phân phối có 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập. Sách giáo khoa
mới chỉ nêu công thức tính thể tích, nêu một ví dụ và đưa ra một số bài tập.
+) Học sinh không nắm vững lí thuyết, thời gian luyện tập ít.
Chính vì thế nên khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện đa số học sinh rất lúng
túng khi làm bài, chưa phân loại và định hướng được cách giải, hoặc mắc phải một
số sai lầm. Dẫn đến kết quả thi kiểm tra ở lớp ở trường, thi đại học rất thấp.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Dạng 1: Tính trực tiếp

Tính đường cao và diện tích đáy. Sau đó áp dụng công thức để tính thể tích khối đa
diện.
Áp dụng công thức:
+) Thể tích của khối chóp được tính theo công thức :
V = B.h
trong đó : B là diện tích đáy,
h là chiều cao của hình chóp( tức là khoảng cách từ đỉnh của hình chóp
tới mặt phẳng đáy)
+) Thể tích của khối lăng trụ là:
V = B. h
5
trong ú : B l din tớch ỏy,
h l chiu cao ca hỡnh lng tr ( l khong cỏch gia 2 ỏy)
Vic ỏp dng cụng thc thụng thng yờu cu:
a) Xỏc nh ng cao ( cú th bi toỏn cho sn ng cao, hoc cú th phi dng,
hoc cú khi phi k ng cao ph,)
b)Tớnh di ng cao v din tớch mt ỏy.
* xỏc nh ng cao ta lu ý :

Hỡnh chúp u cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy nờn chiều cao của hình
chóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy.

Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng nhau thỡ chõn ng cao trựng vi tõm ng
trũn ngoi tip mt ỏy.

Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di
cnh bờn ú

Hỡnh chúp cú cỏc mt bờn cựng to vi ỏy nhng gúc bng nhau thỡ chõn ng
cao chớnh l tõm ng trũn ni tip mt ỏy.

Hỡnh chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chõn ng cao nm trờn giao
tuyn ca mt phng ú v ỏy.

Hỡnh chúp cú hai mt bờn cựng vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao nm trờn giao
tuyn ca hai mp ú.

Hỡnh lng tr : chiu cao l khong cỏch t 1 nh ti mt ỏy cũn li nờn tng
t nh hỡnh chúp.
* tớnh di ng cao ta thng ỏp dng:

Cỏc h thc lng trong tam giỏc: nh lớ Cosin, Sin, c bit l cỏc h thc
lng trong tam giỏc vuụng.

Da vo nh lớ Talets,
* tớnh din tớch mt ỏy cn lu ý:
ỏy l mt trong cỏc hỡnh sau thỡ din tớch c tớnh nh sau:
6
+)
∆
ABC vuông tại A thì S = AB. AC = AH. BC ( AH là đường cao) ,
+) ABC đều cạnh a thì S = ,
+) ABCD là hình vuông cạnh a thì S = a
2
,
+) ABCD là hình chữ nhật cạnh a, b thì S = a.b,
+) ABCD là hình thoi thì S = AC. BD , …
Sau đây là một số hình vẽ minh họa cho các hình đặc biệt:
Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tứ giác đều

H×nh chãp cã mét mÆt bªn
7
H
C
A
B
S
H
D
C
BA
S
H
C
B
A
S
(SBC) vu«ng gãc víi mÆt ®¸y
H×nh chãp cã hai mÆt bªn kÒ nhau (SAC)
vµ (SAB) vu«ng gãc víi ®¸y. SA lµ ®êng cao.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền
BC=2a , góc . Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc bằng
nhau và bằng
β
. Tính thể tíchcủa khối chóp.
* Phân tích: Bài toán này rất ngắn gọn, giả thiết của bài toán ít , tuy nhiên giả
thiết thứ 2 khó xác định hơn, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng.
Yêu cầu của bài toán tính thể tích của khối chóp tam giác: Học sinh phải xác định

đường cao, tính diện tích tam giác đáy, áp dụng đúng công thức.
Lời giải:
8
C
B
A
S
Trước hết gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mp(ABC), hình chóp đã cho
có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau
· ·
·
SAH SBH SCH
β
⇒ = = =
nên từ
đó suy ra rằng HA=HB=HC, tức là chân đường cao H phải trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mặt khác ∆ABC là tam giác vuông tại A, nên H chính là trung điểm của cạnh
huyền BC.
Dựa vào hình vẽ này ta có BC=2a,
2
1 1
.tan . .( tan ).( sin 2 );
3 3
ABC
SH a V SH S a a
β β α
∆
= ⇒ = =
Do đó: V =

3
.tan .sin 2
3
a
β α
*Nhận xét: Ở bài này học sinh rất dễ mắc phải sai lầm sau :
Kẻ SH ⊥ mp(ABC) ( hình vẽ),
ta có:
· ·
·
SAH SBH SCH
α
= = =
, như vậy nhìn vào
hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định
vị được điểm H.
Hình vẽ trên sai do học sinh không vận dụng
hết các điều đã cho trong giả thiết ( các cạnh bên tạo
với đáy một góc bằng nhau và đáy là tam giác vuông ).
Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc
tính toán.
Chú ý: Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính
là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
9
H
C
B
A
S
J

K
I
H
C
B
A
S
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a,
BD=2a, đường cao SO=h=2a của hình chóp có chân O là giao điểm của AC và
BD. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.
Khi đó hãy tính thể tích của S. AB'C'D'.
* Phân tích: Bài toán này các giả thiết đầu xác định được ngay trên hình, tuy nhiên
giả thiết cuối cùng đòi hỏi học sinh phải xác định các điểm B’, C’, D’ cho đúng, Vẽ
hình thì phải vẽ đáy là hình bình hành, lấy tâm O, từ O dựng đường vuông góc với
mặt đáy, trên đường thẳng đó lấy S, nối S với các đỉnh. Đây là bài toán tính thể tích
của khối chóp tứ giác, vẽ hình xong thì có thể gợi ý cho học sinh nhiều cách tính
tuy nhiên lựa chọn cách nào cho đơn giản nhất. Sau khi phân tích ta chọn cách tính
trực tiếp, xác định h và B

* Lời giải : Do SC (AB’C’D’) nên đường cao của hình chóp S. AB'C'D' là SC’
và đáy là AB’C’D’.
SAC cân có đường cao SO = 2a = => SAC đều .Vậy C' là trung điểm
của SC => SC’ = = 2a.
Tính diện tích đáy : Tứ giác AB’C’D’ có AC’ B’D’
nên S = dt(AB'C'D')=
1
'. ' '
2
AC B D

.
AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a
Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:
10
K
B'
D'
O
C'
S
D
C
B
A
Mặt khác do K là trực tâm của ∆SAC nên K là trọng tâm của tam giác SAC
TA có (AB’C’D’) SC, BD SC => DB // B’D’
Do đó: B'D' =BD.
2 4
3 3
SK a
BD
SO
= =
Vậy dt(AB'C'D')=
2
1 4 3
'. ' '
2 3
a
AC B D

=
.
Vậy thể tích của khối chóp cần tính là: V =
3
8 3
9
a
=
.
*Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:
Vẽ hình sai, thường là học sinh lấy điểm B’, C’, D’ tùy ý vì không nắm chắc giả
thiết của bài toán.
Thứ 2 là học sinh sẽ sử dụng công thức :
' ' ' '
.
' ' ' '
.
. . .
S ABCD
S A B C D
V SA SB SC SD
V SA SB SC SD
=
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD , các tỉ số trên , từ đó học sinh suy ra thể tích
của khối chóp S.AB’C’D’
Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong việc vẽ một số
hình quen thuộc, và do học sinh không nắm vững lí thuyết.
11
Công thức trên chỉ đúng đối với khối chóp tam giác, trong khi đó học sinh lại áp
dụng đối với khối chóp tứ giác. Bài này học sinh muốn sử dụng công thức này phải

chia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác.
Ví dụ 3: ( Đề thi Đại học khối A - 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc với
mp(ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDMN.
* Phân tích: Gỉa thiết và kết luận của bài toán rất cụ thể và dễ xác định. Chỉ lưu ý
học sinh khi vẽ hình: vẽ đáy là hình bình hành, lấy M, N, xác định giao điểm H, Từ
H dựng đường thẳng vuông góc với đáy trên đó lấy điểm S, nối S với các đỉnh.
Yêu cầu: Đây là bài toán tính thể tích khối chóp tứ giác, cần xác định chiều cao và
đáy
S
* Lời giải: Do SH ⟘ (ABCD) ,
suy ra SH là chiều cao của hình cóp S.CDMN
S
CDMN
= S
ABCD
– S
AMN
– S
BCM
= a
2
-
Vậy V =
12
A
B
C
D

M
N
H
Ví dụ 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, đường chéo
BC' của mặt bên (BCC'B') hợp với mặt bên (BAA'B') một góc
α
. Tính thể tích khối
lăng trụ.
*Phân tích: Bài toán đơn giản, giả thiết ít, tuy nhiên xác định giả thiết thứ 2 học
sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa đường và mặt phẳng.
Yêu cầu của bài toán: Đây là bài toán tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều, đáy
là tam giác đều, chiều cao là độ dài cạnh bên, từ đó ta có lời giải sau.
*Lời giải :
Xác định được góc giữa đường thẳng BC’ và ((BAA'B').
Theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa
đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng và việc đầu tiên là phải xác định
hình chiếu của BC' trên mặt phẳng
(BAA'B'). Để xác định hình chiếu của BC'
trên mặt phẳng (BAA'B') ta xác định hình
chiếu của điểm C' lên mặt phẳng (BAA'B').
Ta để ý đến trung điểm I của cạnh A'B'.
Lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên
BB' ⊥ mp(A'B'C')
=> BB' ⊥ IC' (1).
Tam giác A'B'C' là tam giác đều nên
A'B' ⊥ IC' (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra : IC'⊥ mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể
từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B'). Vậy
·
'C BI

α
=
, từ đó ta có:
13
I
C'
B'
A'
C
B
A
2
2
2 2 2 2 2
2
3 ' 3
' ; '
2 sin 2sin
3
' ' ' ' (3 4sin )
2sin 4sin
a C I a
C I BC
a a
BB BC B C a
α α
α
α α
= = =
 

= − = − = −
 ÷
 ÷
 
Suy ra:
2
' 3 4sin
2sin
a
BB
α
α
= −
Thay vào ta được:
3
3
3sin
8 sin
a
V
α
α
=
.
*Nhận xét: Học sinh thường mắc phải sai lầm sau: Xác định góc giữa đường thẳng
BC’ và (BAA'B'), vì thế dẫn đến tính toán sai, cụ thể :
Nối BA'. Góc giữa đường chéo BC' với mặt bên (BAA'B') là góc
·
' 'C BA
. Vậy ta

có:
·
' 'C BA
α
=
.
a
C'
B'
A'
C
B
A
Xét ∆A’BC’ ta có:
'
sin ' sin
BC a
A
α
=
. Vì
' ' ' 'BC BA A BC
= ⇒ ∆
cân.
Từ đó suy ra:
0
(180 )
sin
sin '
2

'
sin sin
2sin
2
a
a A a
BC
α
α
α α
−
= = =
Vậy CC'
2
=BC'
2
-BC
2
=
2 2
2 2
2 2
(1 4sin )
2
4sin 4sin
2 2
a a
a
α
α α

− = −
14
Suy ra :
2
' 1 4sin
2
2sin
2
a
CC
α
α
= −
Vậy
2
2
3
. 1 4sin
4 2
2sin
2
a a
V
α
α
= −
;
Đáp số:
2
2

3
. 1 4sin
4 2
2sin
2
a a
V
α
α
= −
.
Nhận xét : Sai lầm chính của lời giải trên đây là việc xác định góc giữa
đường thẳng BC' với mặt phẳng (BAA'B') không đúng .
Để khắc phục sai lầm này thì yêu cầu học sinh nhắc lại các bước tìm góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
*Lưu ý: Nếu lăng trụ đứng thì chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên,
Nếu khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c thì V = a.b.c
Nếu khối lập phương cạnh a thì V = a
3

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là những hình thoi và cạnh
đều bằng a, hình thoi có góc đỉnh A bằng 60
0
. Tính thể tích hình hộp.
* Phân tích :Bài toán này giả thiết xác định đơn giản,
Yêu cầu bài toán tính thể tích khối hộp: lăng trụ này có đáy là hình thoi, còn
lại phải xác định chiều cao của hình hộp.
Từ giả thiết của bài toán, phân tích dự đoán, xác định đúng chân đường
vuông góc.
* Lời giải :

1) Kẻ A'H ⊥ mp(ABCD), dễ thấy rằng các tam giác AA'D, AA’B, A’DB và
BAD đều nên tứ diện A'ABD là tứ diện đều, do đó H trùng với tâm của tam giác
đều ABD.
15
O
A'
H
B'
C'
D'
D
C
B
A
2
2
2 2 2 2
2 2 3 3
3 3 2 3
3 6
' '
3 9
6
'
3
a a
HA AO
a a
A H A A HA a
a

h A H
= = =
 
= − = − =
 ÷
 ÷
 
= =
. Suy ra
Vậy
2 3
3 6 2
. 2. .
4 3 2
ABCD
a a a
V h S
= = =
.
* Nhận xét: Ở bài này học sinh thường vẽ hình sai, do xác định chân đường
vuông góc H sai vị trí và dẫn đến không định hướng được cách tính đoạn A’H .
Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B - 2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB= a, góc giữa hai mặt
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .
• Phân tích: GT của bài toán yêu cầu học xác định đúng góc giữa 2 mặt phẳng: Xác
định giao tuyến của 2 mp, chọn 2 đường thẳng nằm trong 2 mp lần lượt vuông góc
với giao tuyến tại 1 điểm trên giao tuyến , từ đó suy ra góc giữa 2 mp.

Yêu cầu của bài toán: ở yêu cầu thứ nhất thì học sinh cần phải xác định được
đường cao của lăng trụ.
Yêu cầu thứ 2 thì học sinh phải nhớ được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp tam giác: xác định trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy, xác định
trung trực của 1 cạnh bên, cắt nhau tại đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Tính bán kính là khoảng cách từ 1 đỉnh tới tâm.
• Lời giải:+) Thể tích khối lăng trụ:
(A’BC) và (ABC) có giao tuyến là BC.
Gọi D là trung điểm của BC,
16
ta có: BC ⟘ AD ,
theo định lí 3 đường vuông góc ,
suy ra BC ⟘ A’D.
Suy ra góc giữa 2 mp này là
góc ADA’bằng 60
0
.
Ta có V = AA’. S
ABC
,
S
ABC
= , AA’ = AD. tan =
Vậy V = .
+) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: GH // AA’
Suy ra GH ⟘ (ABC), suy ra GH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi E
là trung điểm của AG. Trung trực của AG cắt GH tại I, suy ra I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ diện GABC.
Ta có R = GI = ,

GH = , AH = , GA
2
= GH
2
+ AH
2
= ,
Do đó R = ,
Ví dụ 7: (Đề thi HSG 12 tỉnh Thanh hóa)
Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy
AB bằng 2a và
·
ABC
bằng 30
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ
. ' ' ',ABC A B C
biết
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
'CB
bằng
.
2
a
Lời giải: Vấn đề quan trọng là xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo
nhau. Ta chọn mp( A
’
B

’
C) chứa B
’
C và song song với AB, bây giờ ta xác định
khoảng cách từ AB đến mp này.
17
A’
A
B
C
C’
B’
D
G
H
E
N
M
A'
B'
C
A
B
C'
H
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
A'B'
. Kẻ
( ).MH CN H CN
⊥ ∈

Tam giác CAB cân tại C suy ra AB ⊥ CM.
Mặt khác AB ⊥CC
’

( ') ' ' ( ')AB CMNC A B CMNC
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

' 'A B MH
⇒ ⊥
Như vậy
( ' ').
' '
MH CN
MH CA B
MH A B
⊥

⇒ ⊥

⊥

Ta có:
/ /( ' ') ( , ') ( ,( ' ') .AB CA B d AB CB d M CA B MH
⇒ = =
Tam giác
BMC
vuông tại M, suy ra
0
.tan30
3

a
CM BM= =
Tam giác CMN vuông tại M, có MH là đường cao
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 3 1
MN a
MH MC MN a a MN
⇒ = + ⇔ = + ⇔ =
Từ đó
3
. ' ' '
1 3
. .2 . . .
2 3
3
ABC A B C ABC
a a
V S MN a a= = =
Dạng 2: Tính gián tiếp:
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng
tính thể tích theo công thức đơn giản hơn hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ thể tích hai
khối tứ diện(chóp tam giác),…
18
Đối với hình chóp tam giác thì ngoài công thức dng 1 ta có thể áp dụng cách
tính sau:
+) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì V =
+) Nếu hình chóp ABCD có 2 cạnh đối diện lần lợt là a, b , góc giữa 2 cạnh đó bằng
, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng đó bằng h thì thể tích của khối chóp ABCD là :
V =
+) Cho hỡnh chúp SABC. Trờn cỏc on thng SA, SB, SC ly ln lt ba im A

1,
B
1
, C
1
khỏc vi S thỡ
1 1 1
.
1 1 1
.
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=

( Ta cú th k cỏc ng cao tng ng nh hỡnh v chng minh)
S
A
B
C
E
H
A1
B1
C1
Nh vậy nếu việc tính các tỉ số này và tính thể tích của một trong 2 hình dễ hơn thì
áp dụng công thức trên ta sẽ suy ra thể của hình còn lại.

19
+) Tø diÖn ABCD cã AB = a; S
1
, S
2
lµ diÖn tÝch cña 2 mÆt chung c¹nh AB, α lµ gãc
gi÷a 2 mÆt ph¼ng (ABC) vµ (ABD). Khi ®ã thÓ tÝch cña khèi chãp lµ
V =
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và
∠
BSA=60
0
,
∠
ASC=120
0
,
∠
CSB=90
0
. Hãy tính thể tích chóp S.ABC.
Lời giải:
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý gì đặc biệt nên việc xác định đường cao
là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Vậy ta có lời giải sau:

S
C
B
A
C1

B1
Trên SB lấy B
1
sao cho SB
1
=a, Trên SC lấy C
1
sao cho SC
1
=a,
• Tính thể tích khối chóp S. A B
1
C
1
:
∆
A B
1
C
1
có A C
1
= a
3
, B
1
C
1
= a
2

, A B
1
= a.

Vậy
∆
A B
1
C
1
vuông
Có S=
2
1
. B
1
A. B
1
C
1
=
2
2
2
a

Gọi E là trung điểm của AC
1
. Suy ra SE
⊥

( A B
1
C
1
)
Do đó SE chính là đường cao của khối chóp S. A B
1
C
1

SE =
2
a
,
1 1
SAB C
V
=
3
1
SE.S =
3
12
2
a
. Ta có
12
2.
3
11

a
V
CSAB
=

20
• Tính thể tích khối chóp S.ABC : Ta có

11
11
CSABSABC
V
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
=
=
2
2.
3
a
Ví dụ 9 :
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1

C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a. A
1
A =2a
và A
1
A tạo với mp(ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện A
1
B
1
CA.
Lời giải : Gọi thể tích khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
là V
LT
Ta chia khối lăng trụ thành 3 khối chóp CA
1
B
1
C
1
, B
1

ABC , A
1
B
1
CA .
Cụ thể như sau:
Gọi H là hình chiếu của A
1
trên mp(ABC).
Khi đó A
1
H=A
1
A.sinA
1
AH=2a.sin60
0
=a.
3

Mà V
LT
=A
1
H.S
ABC
=
4
3
4

3.
.3.
32
aa
a
=
Nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba
khối chóp: CA
1
B
1
C
1
, B
1
ABC, A
1
B
1
CA
+) Khối chóp CA
1
B
1
C
1
có
111
CBCA
V

=
3
1
V
LT

+)

Khối chóp B
1
ABC có
ABCB
V
1
=
3
1
V
LT

Do đó

khối chóp A
1
B
1
CA có
ACBA
V
11

=
3
1
V
LT
=
4
3
a
Lưu ý: Ở bài này học sinh thường hay mắc phải sai lầm: Giả thiết cho đáy là tam
giác đều thì học sinh thường nhầm là lăng trụ đều và suy ra đường cao là độ dài
cạnh bên.
Ví dụ 10:
21
A1 C1
B1
A
B
C
H
K
A1 C1
B1
A
B
C
H
K
A1 C1
B1

A
B
C
H
K
A1 C1
B1
A
B
C
H
K
A1 C1
B1
A
B
C
H
K
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a, A
1
A=c, BC=b. Gọi E, F lần

lượt là trung điểm của B
1
C
1
và C
1
D
1
. Mặt phẳng (FEA) chia khối hộp thành hai
phần. Hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó.
Lời giải:

mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A
1
D
1
, A
1
B
1
, B
1
B, D
1
D lần lượt tại J, I, H, K
(hình vẽ)
Gọi V
1
,V
2

lần lượt là thể tích phần dưới và phần trên mp (AEF).
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc
nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB
1
và chóp KFJD
1
thì phần dưới là hình
chóp AIJA
1

∆
IEB
1
=
∆
EFC
1
=
∆
FJD
1
( c.g.c )
Theo Đlí TA-LET
3
1
1
1
1
1
==

IA
IB
AA
HB
Và
3
1
11
1 1
==
JA
JD
AA
KD

1 1
1 1 1
1 1 1 1
. . . . . . .
3 2 3 2 2 2 3 72
HIEB KFJD
a b c abc
V HB B E B I V
= = = =
H
K
A
D
B C
B1 C1

D1
A1
I
E
F
J
22

1
1
1 1 1 1 3 3 3
. . . . . . . .
3 2 3 2 2 2 8
AA JI
a b abc
V AA AI JA c
= = =

V
1
=
1
AA JI
V
-2.
1
HIEB
V
=
72

25
72
.2
8
3 abcabcabc
=−
V
2
= V
hh
-V
1
=
72
47abc
do vậy
47
25
2
1
=
V
V
•Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy để giải được bài toán hình không gian
ngoài việc học sinh phải nắm vững các phương pháp, các kiến thức có liên quan, kỹ
năng giải toán, thì hình vẽ đóng vai trò quan trọng, hình vẽ tốt giúp ta nhận ra được
hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề của bài toán. Hình vẽ tốt là một hình vẽ
đảm bảo được các điều kiện sau:
- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
( SGK Hình học 11 trang 45, ban cơ bản).

- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bài
toán.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình
không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp,
hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện với hình đa
giác, tứ diện với tứ giác.
Trên đây là một vài ví dụ mà tôi đã phân tích , đưa ra lời giải, nêu những sai
lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài tập dạng này. Mong rằng các em sẽ có
được phương pháp giải đúng khi gặp bài toán này và tránh được những sai lầm
thường gặp. Hy vọng các em sẽ có niềm đam mê và cải tiến được phương pháp học
toán đặc biệt là khi học hình không gian.
23
BÀI TẬP THAM KHẢO
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra
cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối
chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp.
Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Hãy tính thể tích khối tứ diện A
1
BB
1
C.

b) Mặt phẳng đi qua A
1
B
1
và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F.
Hãy tính thể tích chóp C.A
1
B
1
FE.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a
3
,SA=2a và
SA
⊥
(

ABCD), một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại
H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a.
Bài 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. Lấy đoạn thẳng AB có độ dài a
trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR V
ABCD
không đổi.
Bài 4: Cho khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có BB

1
=a. Góc giữa đường thẳng BB1 và
mp(ABC) bằng 60
0
. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 60
0
. Hình chiếu
vuông góc của điểm B
1
lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A
1
ABC theo a.
Bài 5 : Cho khối lăng trụ đều ABC.A
1
B
1
C
1
có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm
O của tam giác ABC đến mpA
1
BC bằng
6
a
. Hãy tính thể tích khối trụ đó.
Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1

C
1
có đáy ABC là tam giác cân tại A,
góc giữa A
1
A và BC
1
bằng 30
0
, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt
bên qua A
1
A bằng 60
0
. Hãy tính thể tích khối trụ.
Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,
BC=2a. Mặt bên (ABB
1
A
1
) là hình thoi nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và
hợp với mặt bên một góc
α
. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

24
Bài 8: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với
đáy góc 60
0
, gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm SC, mp(BMN)
chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 9: cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a, BC=2a, A
1
A=a, M
thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD. Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB
1
C
1
.
IV. Kiểm nghiệm: Khi tiến hành giảng dạy theo đề tài trên thì tôi nhận thấy đa
phần các em có hứng thú khi học hình không gian, có phương pháp giải bài toán
tính thể tích khối đa diện: biết phân tích đề bài, vẽ hình đúng, biết định hướng để
tìm lời giải,…
Kết quả thực nghiệm: Lớp 12E, 12G không dạy theo đề tài này, các lớp 12A, 12B
tiến hành dạy theo các nội dung của đề tài.
Kết quả kiểm tra đánh giá sau khi ôn tập và kiểm tra cùng một đề của bốn lớp 12A
,

12B, 12E, 12G

như sau :
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ trên Trung bình
Đánh giá
Trung bình Khá giỏi
12A 50 15/50 =30% 29/50 = 58% Khá
12B 44 17/44 =38,6% 25/44 = 56,8% Khá
12E 47 23/47 =48,9% 2/47 = 4,3% Trung bình
12G 45 20/45=44,4% 0/45= 0% Yếu
Như vậy ta thấy rằng sau khi triển khai dạy học sinh theo đề tài này thì đạt được
kết quả nhất định. Tôi mong rằng số học sinh khá giỏi, kể cả học sinh trung bình sẽ
làm được dạng bài tập này trong các kì thi.
25