DSpace at VNU: Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------- -----------

Lê Đình Trƣờng

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ
ĐƢỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 1/2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------- -----------

Lê Đình Trƣờng

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ
ĐƢỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số

: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Vũ Đỗ Long

Hà Nội – 1/2015


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
PGS.TS. Vũ Đỗ Long, người thầy với lòng nhiệt huyếtđã luôn chỉ bảo tận
tình em từ những ngày đầu tiên, đồng thờiđưa ra những lời khuyên bổích
giúp em hoàn thiện luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô, tập thể cán bộ ban chủ
nhiệm khoa Toán- Cơ – Tin học cùng các học viên cao học, đã không chỉ
trang bị kiến thức cho em mà còn luôn giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi trong
quá trình em học tập tại trường.
Cuối cùng, em xin cảmơn tới bạn bè người thân, những người luôn
ủng hộ động viên em vượt qua những khó khăn để em hoàn thành tốt luận
văn.

Hà Nội, tháng 1 năm 2015


MỤC LỤC
Lời nói đầu ........................................................................................................... 1
Chƣơng I. Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn...................................... 2
1.1. Bài toán về ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy. ...................... 2
1.2. Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp ........... Error!
Bookmark not defined.

Chƣơng II. Các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ Error! Bookmark not
defined.
2.1. Vectơ, tâm tỉ cự .............................................................Error! Bookmark not defined.

2.2. Tích ngoài của hai vectơ và ứng dụng ...................Error! Bookmark not defined.
2.3. Phương tích của điểm đối với đường tròn. Trục đẳng phương, tâm đẳng
phương .....................................................................................Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN ............................................................ Error! Bookmark not defined.
Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 7


Lời mở đầu
Hình học phẳng là dạng toán quen thuộc đối với học sinh trung học cơ sở
cũng như học sinh trung học phổ thông. Nó không chỉ xuất hiện trong đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh đối với khối học sinh lớp 9của các trường THCS, các đề thi vào
THPT mà còn có trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế
của học sinh các trường THPT, đồng thời cũng có trong đề thi vào các trường đại
học với phần trăm điểm không nhỏ. Chính vì vậy đề tài em lựa chọn cho luận văn
của mình là : “ Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học
phẳng “.
Hình học phẳng trong toán THPT với chủ yếu là các bài toán về đường thẳng và
đường tròn, với đối tượng học sinh khá giỏi, còn được bổ sung thêm các định lí
thường dùng như Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải các bài toán về đường thẳng
và đường tròn trong hình học phẳng nhanh và dễ dàng hơn, trong luận văn của
mình em nêu ra những nội dung sau :
Chương 1 trình bày các bài toán về đường thẳng, đường tròn.Gồm có các bài
toán về ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy; đường thẳng và đường
tròn, tứ giác nội tiếp.
Chương 2 nêu trọng tâm của luận văn các bài toán về vectơ và ứng dụng của
vectơ gồm có 3 phần. Vectơ, tâm tỉ cự; tích ngoài của hai vectơ và ứng dụng;
phương tích của điểm đối với đường tròn. Trục đẳng phương, tâm đẳng phương.
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.Vũ Đỗ
Long – Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội. Em
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vũ Đỗ Long đối với sự quan tâm, chỉ bảo

tận tình của thầy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học
Khoa Học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã dạy dỗ, trang bị những kiến
thức bổ ích và giúp đỡ em trong suốt quá trình theo học. Em xin chân thành cảm
ơn ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho em hoàn
thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 01 năm 2015
Tác giả
Lê Đình Trường
1


Chƣơng I
Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn
1.1.Bài toán về ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy.
Bài toán 1. Định lí Mê-nê-la-uýt. Cho tam giác ABC .Ba điểm Q, R, P theo thứ
tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi
và chỉ khi.

PA QB RC
.
.
=1.
PB QC RA

(1)

Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử P, Q, R thẳng hàng.
Qua C vẽ đường thẳng song song với PQ
cắt AB tại C′ (h.1) theo định lí Ta- lét

ta có:
PA QB RC PA PB PC′
.
.
=
.
.
=1
PB QC RA PB PC′ PA
Vậy

PA QB RC
.
.
=1.
PB QC RA

Điều kiện đủ. Ngược lại, ta chứng minh rằng nếu thỏa mãn (1) thì ba điểm P, Q,
R thẳng hàng. Gọi P′ giao điểm của QR và AB . Vì Q, R, P′ thẳng hàng nên theo
chứng minh trên :
P′ A QB RC
.
.
=1 .
P′ B QC RA

(2)

Từ (1) và (2) rút ra
PA

PB

=

P′ A
P′ B

=> 𝑃 ≡ P′

Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng.
Bài toán 2. Định lí Xê – va . Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lượt
thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy
2


hoặc song song khi và chỉ khi
MB NC PA
.
.
= −1 .
MC NA PB

(1)

Chứng minh.(h.2)
Điều kiện cần. Giả sử AM, BN, CP đồng quy tại O. Vẽ qua A đường thẳng Δ
song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ . Theo định lí Ta- lét ta có
MB
MC

.

NC
NA

.

PA
PB

=

AX
AY

.

CB
AX

.

AY
BC

=

CB
BC

= −1 .

Giả sử ba đường thẳng AM, BN, CP song song (h.3). Ta có
MB NC PA MB BC CM MB BC CM
.
.
=
.
.
=
.
.
= −1
MC NA PB
MC BM CB BM CB MC
Điều kiện đủ. Ngược lại, giả sử ba điểm M, N, P tương ứng trên các đường thẳng
BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1).
-

Nếu hai trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM và BN

cắt nhau tại O . Đặt P′ = OC ∩ AB . Theo phần thuận ta có
MB NC P′ A
.
.
= −1.
MC NA P′ B
Từ (1) và (2) rút ra
-

PA
PB

=

P ′A
P ′B

(2)
=> AM, BN, CP đồng quy tại O.

Nếu không có hai đường nào trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau thì

hiển nhiên cả ba đường thẳng song song với nhau.
Bài toán 3.Định lí Đờ - dác.Cho hai tam giác ABC và A′ B′ C′ . Nếu các đường
thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy thì các giao điểm AB ∩ A′ B′ , BC ∩ B′ C′ , AC ∩ A′ C′
thẳng hàng, Ngược lại nếu các giao điểm của chúng thẳng hàng thì các đường
thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy.
3


Chú ý : Các đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ gọi là đường thẳng nối các đỉnh tương ứng
của hai tam giác ABC và A′ B′ C′ , các giao điểm AB ∩ A' B', BC ∩ B′ C′ , AC ∩
A′ C′ gọi là các giao điểm tương ứng của hai tam giác đó. Khi đó định lí Đờ - dác
được phát biểu như sau. Các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam
giác đồng quy (hoặc song song) khi và chỉ khi giao điểm các cạnh tương ứng
thẳng hàng.
Chứng minh.
a) Điều kiện đủ. Giả sử các đường thẳng
AA′ , BB′ , CC′ đồng quy tại O.(h.4) và AB ∩ A′ B′ = P

BC ∩ B′ C′ = Q, AC ∩ A′ C′ = R.
Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO
và ba điểmP, A′ , B′ ta có.
PA B′ B A′ O
.
.
=1
PB B′ O A′ A
Vào trong tam giác BCO và ba điểm Q, B′ , C ′ ta có
QB

.

QC

C′C

.

C′O

B ′O
B ′B

= 1 và vào tam giác CAO và ba điểm R, A′ , C′ ta có

RC A′ A C′ O
.
.
= 1.

RA A′ O C′ C
Nhân ba đẳng thức trên ta được kết quả sau
PA QB

.

PB QC

.

RC
RA

= 1 từ đó theo định lí Mê-nê-la-uýt ta suy ra ba điểm P, Q, R

thẳng hàng.
b) Điều kiền đủ. nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng, thì ba đường thẳng
AA′ , BB′ , CC′ đồng quy.
Giả sử hai đường thẳng AA′ và CC′ cắt nhau tại O. Xét hai tam giác AA′ P và CC′ Q
ta có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng AC, A′ C′ , PQ đồng quy tại R cho
nên theo phần thuận a) thì giao điểm các cạnh tương ứng phải thẳng hàng, ba
giao điểm đó là AA′ ∩ C C′ = O, A′ P ∩ CC′ Q = B′ , AP ∩ CQ = B. Vậy đường
thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy tại O
.
4


Bài toán 4. Cho hai hình bình hành ABCD và AB′ C′ D′ trong đó ba điểm A, B,
B′ thẳng hàng, ba điểm A, D, D′ thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của hai đường
thẳng BD′ vàB′ D. Chứng minh rằng I, C′ , C thẳng hàng.

Bài Giải.
Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD′ với ba điểm
thẳng hàng B′ , I, D (h.5) ta có
B′ A

.

B′ B

IB
ID ′

.

DD ′
DA

= 1 (∗) . Gọi M là giao điểm của BC và D′ C′

theo định lí Ta – lét ta có
Vậy từ (*) suy ra

IB
ID ′

.

B′ A
B′ B

C′ D′
C′ M

.

=
CM
CB

C′ D′
C′ M

và

DD ′
DA

=

CM
CB

.

=1

Áp đụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BD′ M và ba điểm I, C′ , C ta có ba
điểm I, C′ , C thẳng hàng
Bài toán 5. Cho tứ giác ABCD không phải hình thang, AB và CD cắt nhau tại E,
AD và BC cắt nhau tại F. Gọi I , J, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC,

BD, EF. Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng.
Bài giải.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
BE, EC và CB của tam giác BEC (h.6).
Khi đó các điểm I , J, K lần lượt nằm
trên các đường thẳng NP,PM, MN.
Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác
BEC và ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có.
AB
AE

.

DE FC

.

DC FB

JM // DE nên
IP
IN

.

JM
JP

.

KN
KM

= 1 (∗) vì IN // AE nên
DE
DC

=

JM
JP

AB
AE

và KM // FB nên

=
FC

FB

IP
IN

=

KN
KM

. Vậy từ (*) suy ra

= 1, áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP và ba điểm

I,J, K ta suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng.
5


Bài toán 6. Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Trên các đường thẳng BD,
BC, AC lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho AP // OQ // DR. Chứng minh rằng
P, Q, R thẳng hàng.
Bài giải.
Qua C vẽ đường thẳng song song với RD,
đường thẳng này cắt BD tại C′ (h.7).
Theo định lí Ta – lét ta có

RC
RO

DC ′

=

DO

=

BP
BO

vì CC′ // RD và B đối xứng với D qua O , C′
đối xứng với P qua O.
Ta lại có
Suy ra

QB
QC

=

PO QB

.

PB QC

.

OB

OB

OC

OC ′

RC
RO

′

′ ( do OQ // CC ) và

= −

PO

.

PB

OB
OP

.

BP
BO

OB

=−

OP

= −(−1) = 1 ( do P, O, B thẳng

hàng ). Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC và ba điểm P, Q, R ta
được ba điểm P, Q, R thẳng hàng
Bài toán 7. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt
tại M, N, P. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy.

Bài giải.
Cách 1. Áp dụng định lí Xê – va (h.8).
Ta có

PA MB

.

PB MC

.

NC
NA

= −

PA

. −

PB

MB
MC

. −

NC
NA

(∗)

Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) nên PB= MB ; MC = NC ; PA = NA.
Từ (*) suy ra
PA MB

.

PB MC

−

PA
PB

.

NC
NA

. −

= −
PB
MC

PA
PB

. −

−
MC
PA

MB
MC

. −

NC
NA

=

=−1

Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P
ta được AM, BN, CP đồng quy.
6


Tài liệu tham khảo
(1) Vũ Hữu Bình, Văn Như Cương, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang,
Trương Công Thành, Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán hình
học 8 tập hai , Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(2) Vũ Hữu Bình, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Lê Quốc Hán, Hồ
Quang Vinh, Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán hình học 9 tập
hai, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

(3) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình
học 10 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(4) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ
Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chuyên Toán Hình Học 10,
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
(5) Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số
chuyên đề Hình Học 10, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(6) IMO Shortlost, 1959−2009
(7) Nguyễn Bá Đang, 279 Bài Toán Hình Học phẳng Olympic các nước,
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(8) Các đề thi Olympic toán quốc tế, 1959-2013
(9) Website www.artofproblemsolving.com
(10) Website diendantoanhoc.net

7