Bài giảng chuyen de ve duong phu trong hinh hoc

Một phương pháp vẽ đường phụ 3 - 5/2003
Trong quá trình học toán ở bậc THCS, có lẽ hấp dẫn nhất và khó khăn nhất là việc
vượt qua các bài toán hình học, mà để giải chúng cần phải vẽ thêm các đường phụ.
Trong bài báo này, tôi xin nêu một phương pháp thường dùng để tìm ra các đường
phụ cần thiết khi giải toán hình học : Xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố hình học
có trong bài toán cần giải.
Bài toán 1 : Cho góc xOy. Trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D
sao cho AB = CD. Gọi M và N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh đường
thẳng MN song song với phân giác góc xOy.
Suy luận : Vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua Oz, phân
giác góc xOy.
Gọi C
1
và D
1
là các điểm đối xứng của A và B qua Oz ; E và F là các giao điểm của
AC
1
và BD
1
với Oz. Khi đó E và F là trung điểm của AC
1
và BD
1
, và do đó vị trí
của MN sẽ là EF. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh MN // EF là đủ (xem hình 1).
Thật vậy, do AB = CD (gt), AB = C
1
D
1
(tính chất đối xứng) nên CD = C

1
D
1
. Mặt
khác ME và NF là đường trung bình của các tam giác ACC
1
và BDD
1
nên NF //
DD
1
, NF = 1/2DD
1
, ME // CC
1
, ME = 1/2 CC
1
=> ME // NF và NE = 1/2 NF => tứ
giác MEFN là hình bình hành => MN // EF => đpcm.
Bài toán 1 có nhiều biến dạng” rất thú vị, sau đây là một vài biến dạng của nó, đề
nghị các bạn giải xem như những bài tập nhỏ ; sau đó hãy đề xuất những “biến
dạng” tương tự.
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC. Trên AB và CD có hai điểm D và E chuyển động
sao cho BD = CE. Đường thẳng qua các trung điểm của BC và DE cắt AB và AC
tại I và J. Chứng minh ΔAIJ cân.
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC. AD và AE là phân giác trong và trung
tuyến của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC tại M
và N. Gọi F là trung điểm của MN. Chứng minh AD // EF.
Trong việc giải các bài toán chứa các điểm di động, việc xét các vị trí đặc biệt càng
tỏ ra hữu ích, đặc biệt là các bài toán “tìm tập hợp điểm”.

Bài toán 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và một điểm C chuyển
động trên nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông BCDE. Tìm tập hợp C, D và tâm
hình vuông.
Ta xét trường hợp hình vuông BCDE “nằm ngoài” nửa đường tròn đã cho (trường
hợp hình vuông BCDE nằm trong đường tròn đã cho được xét tương tự, đề nghị
các bạn tự làm lấy xem như bài tập).
Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B. Khi đó hình vuông BCDE sẽ thu lại một
điểm B và các điểm I, D, E đều trùng với B, trong đó I là tâm hình vuông BCDE.
Vậy B là một điểm thuộc các tập hợp cần tìm.
Xét trường hợp C trùng với A. Dựng hình vuông BAD
1
E
1
khi đó D trùng với D
1
, E
trùng với E
1
và I trùng với I
1
(trung điểm của cung AB ). Trước hết, ta tìm tập hợp
E. Vì B và E
1
thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ ngay đến việc thử chứng minh ∠
BEE
1
không đổi. Điều này không khó vì ∠ ACB = 90
o
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn) và ΔBEE

1
= ΔBCA (c. g. c) => ∠ BEE
1
= ∠ BCA = 90
o
=> E nằm trên
nửa đường tròn đường kính BE
1
(1/2 đường tròn này và 1/2 đường tròn đã cho nằm
ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với “bờ” là đường thằng BE
1
).
Vì ∠ DEB = ∠ E
1
EB = 90
o
nên D nằm trên EE
1
(xem hình 2)
=> ∠ ADE
1
= 90
o
= ∠ ABE
1
=> D nằm trên đường tròn đường kính AE
1
, nhưng
ABE
1

D
1
là hình vuông nên đường tròn đường kính AE
1
cũng là đường tròn đường
kính BD
1
. Chú ý rằng B và D
1
là các vị trí giới hạn của tập hợp cần tìm, ta => tập
hợp D là nửa đường tròn đường kính BD
1
(nửa đường tròn này và điểm A ở về hai
nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thẳng BD
1
).
Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần chú ý II
1
là đường trung bình của ΔBDD
1
nên II
1
// DD
1
=> ∠ BII
1
= 90 => tập hợp I là nửa đường tròn đường kính BI
1
(đường tròn
này và A ở về hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là BD

1
).
Để kết thúc, xin mời bạn giải bài toán sau đây :
Bài toán 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định và 1 điểm C chuyển
động trên nửa đường tròn đó. Kẻ CH vuông góc với AB. Trên đoạn thẳng OC lấy
điểm M sao cho OM = CH. Tìm tập hợp M.