Cực trị đại số (rất hay)

Cực trị đai số và ppơng pháp giải
I- Giới thiệu
A- Khái niêm về bài toán cực trị.
B- Đờng lối chung
1- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất luỹ thừa
chẵn.
2- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt
đối.
3- Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức
3.1) Bất đẳng thức Cauchy
3.2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki
4- Phơng pháp miền giá trị của hàm số.
5- Phơng pháp đồ thị
C- Các dạng bài tập thờng gặp
1- Đa thức bậ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối
2- Đa thức bậc hai
3- Đa thức bậc cao
4- Phân thức
4.1) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc
hai
4.2) Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức
4.3) Các phân thức khác.
5- Căn thức
6- Cực trị có điều kiện
7- Một số bài tập tổng hợp
II- Kiến thức
A- Khái niệm về bài toán cực trị:
Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất
trong mối quan hệ dã biết. Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất (cực đại)
hay giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lợng gọi chung là

Những bài toán cực trị
Một số kiến thức cơ sở: Phần Cực trị đại số
Nếu mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà
giá trị của biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng)
1
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

một số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k đợc gọi là giá trị
lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức A ứng với giá trị của biến
thuộc miền xác định nói trên.
Ta ký hiệu max A là giá trị lớn nhất của biểu thức A.
min A là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Nh vậy:
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần
- Chứng minh A
k

với mọi giá trị của biến trên tập xác ssịnh
và với k là hằng số.
- Chỉ ra dấu băng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A

k với mọi giá trị của biến trên tập xác định
của nó và k là hằng số
- Chỉ ra dấu bằng dấu bằng có thể xả ra với một giá trị nào đó
của biến
Chú ý: Nếu chỉ chứng minh đợc A
k

hay A
k

thì cha đủ điều kiện
để kết luận về giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của biểu thức.
Một biểu thức có thể chỉ có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ
nhất hoặc có cả hai.
B- Đờng lối chung
Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D . Ta phải
chứng minh
a. f(x)
M
hoặc f(x)
m
b. Chỉ ra trờng hợp x= x
0

D

để sao cho đẳng thức xảy ra.
1) Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn.
A
2

0

với
0
2

k
Ax
với
Zkx

;
từ đó suy ra
mmA
k
+
2
MAM
k

2
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a. A = 3(x- 2)
2
+ 15
b. B = (2x- 3)
4
- 3
c. C = x
2
- 4x + 9
Giải:
a. Ta thấy : 3(x- 2)
2

0

với mọi x => 3(x- 2)
2
+ 15
15

Dấu bằng xảy ra khi x-2 = 0

x =2
Vậy min A = 15 khi x = 2
2
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

b. Ta thấy (2x- 3)
4

0

với mọi x => (2x- 3)
4
- 3
3

Dấu bằng xảy ra khi 2x- 3 = 0 x =
2
3
Vậy min B = -3 khi x =
2
3
c. Ta có C = x

2
- 4x + 9
= (x- 2)
2
+ 5
Vì (x- 2)
2
0

với mọi x => (x- 2)
2
+ 5
5

Dấu bằng xảy ra khi x- 2 = 0 x =2
Vậy min C= 5 x =2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x- 2)
2
+ (x- 4)
2
Giải
Ta có A = (x
2
- 4x + 4) + (x
2
- 8x + 16)
= 2x
2
- 12x + 20
= 2(x

2
- 6x + 9)
2
+ 2
= 2(x- 3)
2
+ 2
Ta thấy 2 (x- 3)
2

0

với mọi x => 2(x- 3)
2
+ 2
2

Dấu bằng xảy ra khi khi x- 3 = 0 x = 3
Vậy min A = 2 khi x = 3
Chú ý : Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau
Ta có (x- 2)
2

0

và (x- 4)
2
0

Từ đó suy ra A = (x- 2)

2
+ (x- 4)
2
0

Vậy min A = 0
ở đây kết luận là sai vì không thể có giá trị nào của x để xảy ra đồng
thời hai đẳng thức trên.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau.
a. A = 2005- (2x- 1)
2
b. B = 4x- x
2
+ 17
c. C =
94
2
2
++

xx
d. D =
3
215
2
2
=
+
x
x

Giải
a. Ta có (2x- 1)
2
0

với mọi x => A = 2005- (2x- 1)
2
2005

Dấu bằng xảy ra khi
2
1
012
==
xx
Vậy max A = 2005 khi
2
1
=
x
3
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

b.Ta có B = 4x- x
2
+ 17
= 21 - (x
2
- 4x + 4)
= 21- (x- 2)

2
Ta thấy (x- 2)
2
0

với mọi x => 21- ( x-2)
2

21

Dấu bằng xảy ra khi x- 2 = 0 x =2
Vậy max B = 21 khi x =2
c.Ta có x
2
- 4x+ 9 = (x- 2)
2
+ 5
Vì (x- 2)
2
0

với mọi x => (x- 2)
2
+ 5
5

Vì mẫu luôn dơng nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là
hằng số dơng nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó
Max C =
5

2
khi và chỉ khi x = 2
d.Ta có D =
3
215
2
2
=
+
x
x
=
3
6
5
3
6)3(5
3
6155
22
2
2
2
+
+=
+
++
=
+
++

xx
x
x
x
Ta có x
2
+ 3
3

với mọi x =>
2
3
6
3
6
2
=
+
x
Dấu bằng xảy ra khi khi x = 0
Vậy max D = 7 khi x = 0
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x-
2005

x
Giải
Điều kiện xác định của biểu thức A là x 2005
20050

x

Hay D =
{ }
2005

xRx
A
2005
=
xx

4
8019
2
1
2005
4
8019
4
1
2005)2005(
2
+






=
++=

x
xx
Ta có
4
8019
4
8019
2
1
20050
2
1
2005
22
+














xx

Dấu bằng xảy ra khi
4
8021
4
1
20050
2
1
2005
===
xxx
(thoả mãn điều kiện xác định
của biểu thức)
Vậy min A =
4
8021
4
8019
=
x
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)
Giải
Ta có M = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4)
4
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

= (x
2
+ 7x + 10) (x
2

+ 7x + 12)
= (x
2
+ 7x + 10)
2
+ 2(x
2
+ 7x + 10) + 1- 1
= (x
2
+ 7x + 11)
2
- 1
Vì
1111) 7x (x011) 7x (x
2222
++++

Dấu bằng xảy ra khi x
2
+ 7x + 11= 0
2
57

=
x
Vậy min M = -1
2
57

=
x
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
E = x
2
+ 2y
2
- 2xy- 4y + 7
Giải
Ta có: E = x
2
+ 2y
2
- 2xy- 4y + 7
= (x
2
- 2xy + y
2
) + (y
2
- 4y + 4) + 3
= (x- y)
2
+ (y- 2)
2
+ 3
Vì (x- y)
2

0

với
yx,

(y- 2)
2

0

với
y

(x- y)
2
+ (y- 2)
2
+ 3
3

Vậy min E = 3
2
02
0
==



=
=

yx
y
yx
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
G = x
2
+ 2y
2
- 3z
2
- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2011
Giải
Ta có G = (x- y + z- 1)
2
+ (y + z- 2)
2
+ (z- 1)
2
+ 2005
Vì (x- y + z- 1)
2

0

với
zyx ,,

(y + z- 2)
2
0

với
zy,

( z- 1)
2
0

với
z

Suy ra G = ( x-y + z- 1)
2
+ (y + z- 2)
2
+ ( z- 1)
2
+ 2005
2005

Dấu bằng xảy ra khi khi





=
=+
=+
01

02
01
z
zy
zyx
1
===
zyx
Vậy min G = 2005 khi
1
===
zyx
2) Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối.
5
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Lí thuyết áp dụng
0

x
yxyx
++
Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu
yxyx

Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu
Ví dụ 1. a- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau.
162
18
+=

=
xB
xA
b- Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau.
152
32
+=
=
xD
xC
Giải:
a- Tìm giá trị nhỏ nhất.
+) Vì
xx

;01
Dấu bằng xảy ra khi x- 1 = 0 => x = 1
Suy ra
018
=
xA
Vậy min A = 0 khi x = 1
+) Vì
xx

;06
Dấu bằng xảy ra khi x- 6 = 0 => x = 6
Suy ra
1162
+=

xB
Vậy min B =1 khi x = 6
b- Tìm giá trị lớn nhất.
+) Vì
xx

;03
Dấu bằng xảy ra khi x-3 = 0 => x= 3
Suy ra C = -2
23

x
Vậy max C = -2 khi x = 3
+) Vì
xx

;02
Dấu bằng xảy ra khi x 2 = 0 => x = 2
Suy ra
15152
+=
xD
Vậy max D = 15 khi x = 2
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
53
8
+=
+=
xxB
xxA

Giải
áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
yxyx
++
Dấu bằng xảy
ra khi x,y cùng dấu
+) Vậy ta có
888
=++=
xxxxA
Dấu bằng xảy ra khi x(8- x)
0

Lâp bảng xét dấu.
x 0 8
x - + +
8- x + + -
x(8-
x)
- 0 + 0 -
6
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Vây min E = 8 khi
80

x
+) B =
53
+

xx
=
25353
=++
xxxx
Dấu bằng xảy ra khi (x-3)(5-x)
0

(Lập bảng xét dấu nh câu trên) Suy ra
53

x
Vậy min B = 2 khi
53

x
(Còn cách giải khác sẽ trình bày ở phần sau)
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=
9 6x - x1 2x - x
22
+++
Giải
Điều kiện xác định của biểu thức với
Rx

Ta có A
22
)3()1(
+=

xx
231
31
31
)3()1(
22
=+
+=
+=
+=
xx
xx
xx
xx
Dấu bằng xảy ra khi (x- 1)(3- x)
310

x
(làm tơng tự câu
trên)
Vậy min A = 2 khi
31

x
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau.
E =
1815143
++
aaaa
(Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm 1991)

Giải
Điều kiện xác định của biểu thức: D =
{ }
1

aRa
Ta có E
1815143
++=
aaaa
( ) ( )
24121
4121
4121
22
=+
=
=
aa
aa
aa
Vậy max E = 2 khi
( ) ( )
16
04121
1

a
aa
a
3) Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức
3.1) Bất đẳng thức Cauchy
Nếu cho a và b là hai số không âm thì
baba .2
+
Dấu bằng
xảy ra khi a = b
+) Nếu a + b = k => k
ab2

( k là hằng số)
7
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích


ab
4
2
k

Dấu bằng xảy ra khi a = b =
2
k
Vậy max ab
4

2
k
=
khi a = b =
2
k
+) Nếu a.b = p thì a+b
p2

(p là hằng số)
Dấu bằng xảy ra khi a = b =
p
Vậy min a + b = 2
p
khi a = b =
p
Dạng tổng quát của Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không âm a
1
; a
2
; ; a
n
thì
n
a a .a
n
a a a
n21
n21

+++
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
Chú ý: Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất
a. Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
là hằng số thì (a
1
a
2
a
n
) max

a
1
= a
2
= =
a

n
b. Nếu a
1
. a
2
a
n
là hằng số thì (a
1
+ a
2
+ +a
n
) min

a
1
= a
2
=
= a
n
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
M =
4
25
+
+
x
x

Với x > - 4
Giải
TXĐ: D =
{ }
4

xRx
M
4
4
25
)4(
4
25

+
++=
+
+=
x
x
x
x
Vì x > - 4 nên x+ 4 và
4
25
+
x
là hai số dơng
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có

( )
10
4
25
42
4
25
)4(
=






+
+
+
++
x
x
x
x
Dấu bằng xảy ra khi
154
4
25
4
==+
+

=+
xx
x
x
(Vì x + 4 > 0)
x= 1 thoả mãn điều kiện xác định của M
Vậy min M = 10 4 = 6 khi x = 1
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
8
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

A =
3
16
+
+
x
x
Giải
TXĐ: D =
{ }
0

xRx
Ta có A =
( )
6
3
25
3

3
25
3
3
259
3
16

+
++=
+
+=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
Vì
3
+
x
và

3
25
+
x
luôn không âm với
Dx

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có
( )
10
3
25
).3(.2
3
25
)3(
=
+
+
+
++
x
x
x
x
Dấu bằng xảy ra khi
( )
453253
3
25

3
2
==+=+
+
=+
xxx
x
x

(vì
3
+
x
luôn dơng)
Vậy min M = 10- 5 = 5 khi x = 4
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B biết x,y là các số
thay đổi sao cho
;30

x

40

y
.
B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y)
Giải
Ta có B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y)
B =
2.

6
1
(3- x). 3(4- y)(2x + 3y)
B =
.
6
1
(6 - 2x). (12- 3y)(2x + 3y)
Vì x,y là các số thay đổi sao cho
;30

x

40

y
nên 6 - 2x; 12
3y ; 2x + 3y là các số không âm
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có.
(6 - 2x). (12- 3y)(2x + 3y)
( ) ( ) ( )
3
3
6
3
3231226
=

+++

yxyx
Suy ra B
366.
6
1
3
=
Dấu bằng xảy ra khi khi 6- 2x = 12- 3y = 2x + 3y
2;0
==
yx
Vậy max B = 36
2;0
==
yx
Ví dụ 4: Cho a, b là hai số dơng; các số dơng x, y thay đổi sao cho
2005
=+
y
b
x
a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y
Giải
9

Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Ta có
( )








++==+
y
b
x
a
yxC
y
b
x
a
.
2005
1
2005
( )

+++=
y
bx
x
ay
baC .
2005
1
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
y
bx
x
ay
;
ta có.
ab
y

bx
x
ay
y
bx
x
ay
2.2
=+

Vậy C
( )
2
.
2005
1
)2.(
2005
1
baabba
+=++
=> min C
( )
b
a
y
x
y
bx
x

ay
ba
==+=
2
.
2005
1
3.2) Bất dẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
Cho hai dãy số a
1
; a
2
;...; a
n
; b
1
; b
2
;....; b
n
ta

có
(a
1
b
1
+ a
2

b
2
+.. + a
n
b
n
) ( a
1
2
+a
2
2
+... a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
+...+ b
2
n
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a

b
a
b
a
===
.............
2
2
1
1
Ví dụ 1 : Cho x,y thoả mãn x
2
+ 4y
2
= 36 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x +2y
Giải
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(x + 2y)
2
(x
2
+ 2y
2
)(1
2
+ 1
2
) = 36.2 = 72

(x + 2y)
2
72
Hay -
26265072

MM
Vậy max M= 6
2
khi





=
=
2
23
23
y
x
minM = 6
2
khi

=
=
2
23
23
y
x
Ví dụ 2 : Cho hai số dơng a,b hai số dơng x,y thay đổi sao cho
1
=+
y
b
x
a
.
10
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
Ta có :

=+>








+






+=+
1,,
2
2
y
b
x
a
oyx
y
b
x
a
yxyx

( )


















+






+=
2
2

22
y
b
x
a
yx
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki
x + y =
( )


















+

+
2
2
22
y
b
x
a
yx
2








+
y
b
y
x
a
x

x + y
( )
2
ba
+
Đẳng thức xảy ra khi
ba
ba
yx
b
y
a
x
+=
+
+
==

x=
( )
baa
+

y=
( )
bab
+
Vậy min(x + y)=
( )
2

ba
+
khi x=
( )
baa
+
; y=
( )
bab
+
Ví dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức
G =
zyx 3
++
Biết rằng x,y,z thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Giải
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
A=
( )
( )( )
222222
2

32132 zyxzyx
++++++
Vì x
2
+ y
2
+ z
2
= 1

A 14.1

A 14
Dấu bằng xảy ra khi
14
14
941
32
31
=
++
++
===
zyxz
z
yx

14
43
;

7
14
;
14
14
===
zyx
Vậy max G =
14
khi
14
43
;
7
14
;
14
14
===
zyx
4) Phơng pháp miền giá trị của hàm số
Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền xác
định (D). Gọi y
0
là một gía trị nào đó của f(x) với x(D). Điều này
có nghĩa là phơng trình f(x) = y
0
( Với x(D)) .Phải có nghiệm .
Sau khi giải phơng trình điều kiện có nghiệm thờng đa đến bất
đẳng thức m y

o
M
Từ đó suy ra min f(x) = m ; x(D)
11
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

maxf(x) = M ; x(D)
Cũng có trờng hợp ta chỉ tìm đợc gía trị nhỏ nhất mà không có
giátrị lớn nhất, hoặc ngợc lại
Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số
a. y = 7x
2
- 4x + 1
b. y= -6x
2
+ 5x - 2
Giải
a. Hàm số xác định với xR
Giả sử y
0
là một giá trị nào đó của y ta có
y
0
= 7x
2
- 4x + 1 => 7x
2
- 4x + 1- y
0
= 0 (1)

Do đó phơng trình (1) phải có nghiệm


( )
7
3
037174
000
/
==
yyy
Vậy min y=
7
2
7
3
=
x
(nghiệm kép vì lúc đó
0
/
=
)
b. Làm tơng tự câu a
- 6x
2
+ 5x - 2 - y
0
= 0

- 6x
2
- 5x + 2 + y
0
= 0

= 25 24(2 + y
0
) 0

-24 y
0
- 23 0


24
23
0

y
Vậy max y = -
12
5
24
23
=
x
Ví dụ 2 : Cho A =
( )
1

12
2
2
+
++
x
xx
Tìm gía trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A
(Đề thi học sinh giỏi toán 9 TP Hồ chí Minh 1990 )
Giải
Vì x
2
+1 > 0 với x nên A xác định với mọi x
Phơng rình : A
0
(x
2
+ 1) = 2(x
2
+ x+ 1)

(A
0
- 2) x
2
- 2x + (A
0
- 2) = 0 (*)
Có nghiệm khi
/

= 1- (A
0
-2)
2
0

1 A
0
3
1, Khi A
0
= 1 Từ (*) ta có - x
2
- 2x- 1 =0

(x+1)
2
= 0

x= -1
2. Khi A
0
=3 Từ (*) ta có x
2
- 2x + 1 =0

(x-1)
2
= 0

x = 1
12
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Vậy minA = 1

x= -1
Max A = 3

x=1
Chú ý : Bạn đọc có thể giải cách khác không dựa vào miền giá trị
của hàm số
5) Phơng pháp đồ thị
Để làm bài tập về phơng pháp này trớc tiên phải vẽ đợc đồ thị
cuả hàm số y=f(x) sau đó áp dụng một số các tính chất, chẳng hạn:
1. Khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng d ngắn nhất là AH với
H(d) và AH d
2. Để tổng khoảng cách MA+MB ngắn nhất (M (d) A,B cố định) thì tìm A
/

đối xứng với A qua đờng thẳng (d) khi đó (MA+MB) A
/
B => min
(MA+MB) A
/
B
3. A;B thuộc parabol (P) tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất .
Ví dụ 1: Cho parabol (P) : y =
2

4
1
x
và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A,B trên
(P) có hoành độ lần lợt là -2 và 4
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) cảu hàm số trên .
2) Viết phơng trình của (D)
3) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x[ -2; 4]
sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất .
Giải:
1) TXĐ : R
x .. 2 -1 0 1 2 ..
y .. 1
4
1
0
4
1
1 ..
Hàm số đồng biến trong khoảng x > 0 , nghịch biến trong khoảng x < 0
Điểm cực tiểu O(0;0)
(P) Là parabol có đỉnh O, nhận trục tung làm trục đối xứng và
nằm ở phía trên của trục hoành
13
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích
Y 4
x

2) Giải ra phơng trình đờng thẳng (D) là
2.

2
1
+=
xy
3) Gọi (D

) là tiếp tuyến tại điểm M








4
;
2
m
m
và song song với đờng
thẳng
AB thì phơng trình của (D

) có dạng :
4
)(
2
1
).(

2
1
4
2
2
m
mxy
mx
m
y
+=
=
Phơng trình hoành độ giao điểm của (D

) và (P)
=
4
2
x
022
4
)(
2
1
22
2
=++
mmxx
m
mx

Để (D

) tiếp xúc với (P) thì phơng trình phải có nghiệm kép.
1021
2'
==+=
mmm
Vậy M có toạ độ M






4
1
;1
. Phơng trình của (D

) là
4
1
.
2
1
=
xy
Ta phải chứng minh rằng ngoài điểm M, các điểm khác thuộc
cung AB sẽ có khoảng cách tới đờng thẳng AB ngắn hơn khoảng
cách từ M tới đờng thẳng AB; điều này tơng đơng với việc chứng

minh (P) ở trên (D

). Thật vậy:
14
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích
41 2-2 -1
1
A
B

2
2
2
)1(
012
4
1
4
1
4
1

+

x
xx
xx
Dấu bằng xảy ra khi x = 1 = x
M
Vậy tam giác ABM có diện tích lớn nhất khi M có toạ độ M

4
1
;1
.
Ví dụ 2.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-2;1) và B (2;3).
Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải
Gọi A là điểm đối xứng của A qua trục hoành. Xét một điểm
M bất kỳ trên trục hoành, ta luôn có
MA + MB = MA + MB

AB
= MA + MB
= MA +MB
Vậy MA + MB

MA +MB (M là giao của AB với trục
hoành)
Vậy tổng MA + MB nhỏ nhất khi M

M
Phơng trình của đơng thẳng (d) qua hai điểm A, B có dạng y = ax +
b
A(-2;-1)

(d) => -1 = a.(-2) + b => -2a + b = -12a + b
= 3
B (2; 3)

(d) => 3 = a.2 + b => 2a + b = 3
Vậy a,b là nghiệm của hệ
15
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích
A
A

M

M 2
-1
3
B
x
y

1;1
3 b 2a
1- b 2a-
==



=+
=+

ba
Vậy phơng trình của (d) là y = x + 1
Giao điểm của (d ) với trục hoành: Cho y = 0 => x + 1 = 0 hay x = -1
Vậy điểm M phải tìm là M (-1; 0)
C- Các dạng bài tập thờng gặp
1- Đa thức bậc nhất có chức giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
bxaxE
+=
với a < b
2006....21
5432
+++=
+++=
xxxG
xxxxF
Giải
+)
bxaxE
+=

xbaxE
+=
áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có:
xbaxE
+=
abxbax
=+
Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( )

0
>
xbax
giải ra ta đợc
bxa

Vậy min E = b a khi
bxa

+) Đặt
52
1
+=
xxF

43
2
+=
xxF
Thì ta có F = F
1
+ F
2
do đó F sẽ nhỏ nhất khi đồng thời F
1
và F
2
nhỏ
nhất.
Theo câu trên ta có min F

1
= 5 2 = 3 khi
52

x
min F
2
= 4 - 3 = 1 khi
43

x
Vậy min F = 3 + 1 = 4 khi
43

x
+) Tơng tự câu trên
min
20061(
+
xx
) = 2006- 1 = 2005 khi
20061

x
min
20052(
+
xx
) = 2005- 2 = 2003 khi
20052

x
min
20043(
+
xx
) = 2004- 3 = 2001 khi
20043

x
min
20034(
+
xx
) = 2003- 4 = 1999 khi
20034

x
...................................................................
min
10031002(
+
xx
) = 1002- 1003 = 1 khi
10031002

x
16
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Vậy min G = 2005 + 2003 +.. + 1 = 1003
2
khi
10031002

x
Ví dụ 2: Tìm giá trị ln nhất của các biểu thức.
a. C =
122005

x
b. D =
32
12
+
x
Giải:
a. Vì
012

x
với mọi x.
Dấu bằng xảy ra khi
2
1
012
==
xx
Vậy maxC = 2005 khi
2

1
=
x
b. Vì
02

x
với
x

4
3
12
32
12
332
=
+
=
+
x
D
x
Vậy max D = 4 khi x = 2
Bài tập áp dụng
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
1. A =
32125

x

2. B = (
112)13
+
x
3. C =
1412

a
4. D =
41
+
xx
5. E =
8542312
+++
zyx
6. F =
12231232
+
xx
7. G =
1414
+
xx
8. H =
200520042003
++
xxx
9. I =
cxbxax

++
(với a < b < c)
10. J =
axaxaxax 432
+++
11. K =
54.
4
1
43.
3
1
32.
2
1
++
xxx
2) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức.
1. A =
522132
+
x
2. B =
3224
++
xx
3. C =
25.
5
1

52.
2
1
12
+
xx
17
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích