Cực trị (Đại số)

Phần I: Mở đầu
i. Đặt vấn đề:
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong
chơng trình dạy và học toán ở trờng trung học cơ sở ( THCS ).
Các bài toán này rất phong phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một
cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Vì vậy, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị
nhỏ nhất gọi chung là: " Bài toán cực trị " thờng xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa,
sách nâng cao của các lớp, các khối.
Làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các bài toán trên, vận
dụng kiến thức nào để giải, phơng hớng chung để giải loại toán này nh thế nào. Giải
quyết đợc vấn đề đó không phải dễ dàng khi mà trong phân phối chơng trình môn toán
THCS không có một tiết nào dành cho giáo viên dạy một cách hệ thống cho học sinh
những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ.
Bài toán cực trị theo cá nhân tôi là một dạng bài toán rất hay, nó giúp cho học
sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao. Trong suốt quá
trình giảng dạy và học tập với kinh nghiệm của mình tôi mạnh dạn trình bày một số suy
nghĩ của bản thân về " Bài toán cực trị " trong chơng trình toán của THCS.
ii. Nội dung đề tài:
1. Mục đích yêu cầu:
* Với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu phơng pháp giải từng dạng: Hệ
thống từ bài dễ đến bài khó.
- Rèn luyện, nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo
kiến thức trong khi nghiên cứu.
- Trong quá trình giảng dạy phải chú ý tìm ra những vớng mắc, sai sót mà học sinh
hay vấp phải trong khi giải bài tập.
* Với học sinh:
- Hiểu đợc cơ bản, bản chất loại toán.
- Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải
toán.

- Phát huy khả năng t duy, sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài
khó với cách giải hay hơn.
2. Nội dung cơ bản:
* Khái niệm về bài toán cực trị:
Trong thực tế có những bài toán yêu cầu đi tìm cái " Nhất " trong những mối
quan hệ cho biết. Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất ( Cực đại ), hay nhỏ nhất
( Cực tiểu ) của một đại lợng và đợc gọi chung là toán cực trị hay còn gọi chung là "
Những bài toán cực trị " mà ta đang tìm hiểu.
* Các loại toán thờng gặp:
- Đại số: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- Hình học: Các bài toán cực trị về độ dài đoạn thẳng, về chu vi và diện tích
các hình.
1
Phần II : Nội dung
A. Lý thuyết chung:
Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức
A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng ) một số k và tồn tại giá trị của
biến để A = k thì k đợc gọi là giá trị nhỏ nhất ( giá trị lớn nhất ) của biểu thức ứng với
các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
Nh vậy:
+ Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh rằng A

k với k là hằng số.
- Chỉ ra dấu " = " có thể xảy ra.
+ Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh rằng A

k với k là hằng số.
- Chỉ ra dấu " = " có thể xảy ra.

Nếu chỉ chứng minh đợc yêu cầu thứ nhất thì cha đủ để kết luận về giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ta ký hiệu minA là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Ta ký hiệu maxA là giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Một biểu thức có thể có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất hoặc chỉ có một trong hai
giá trị nêu trên.(Ví dụ: Xét biểu thức A = x
2
: Ta thấy x
2
> 0 (

x 0 );
x
2
= 0 (khi x = 0 ). Vậy biểu thức x
2
có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0
hay minA = 0 x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất).
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức là vấn đề không đơn giản. ở đây
chúng ta chỉ đề cập tới một số dạng phổ biến trong chơng trình toán THCS.
B. Phân loại bài tậ p và ví dụ minh hoạ:
1. Cực trị của hàm đa thức một biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4( y + 5 )
2
- 7.
Bài giải:
Ta thấy ( y + 5 )
2
0 với

y 4(y + 5)
2
0 với

y 4(y + 5)
2
-7 -7 với

y.
min A = - 7 y + 5 = 0 hay y = - 5.
Vậy min A = - 7 y = - 5.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = ( x - 2 )
2
+ ( x - 6 )
2
.
Bài giải:
Ta có B = ( x - 2 )
2
+ ( x - 6 )
2
= x
2
- 4x + 4 + x
2
- 12x + 36
= 2x
2
- 16x + 40
= 2( x

2
- 8x + 16 ) + 8
= 2( x - 4)
2
+ 8
Mà ( x - 4 )
2
0 với

x 2( x - 4 )
2
0 với

x 2( x - 4 )
2
+ 8 8 với

x
minB = 8 x - 4 = 0 hay x = 4
Vậy minB = 8 x = 4
Chú ý: ở bài này học sinh dễ mắc sai lầm khi làm bài nh sau:
Ta thấy ( x - 2 )
2
0 với

x ( 1 )
( x - 6 )
2
0 với

x ( 2 )
Từ (1), (2) suy ra min B = 0
ở đây kết luận min B = 0 là sai vì không đồng thời xảy ra đẳng thức ở (1), (2).
2
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của C = - x
2
+ 4x - 8.
Bài giải:
Ta có C = - x
2
+ 4x - 8 = - ( x
2
- 4x + 8 )
= - ( x
2
- 4x + 4 + 4 )
= - [ ( x - 2 )
2
+ 4 ]
Vì ( x - 2 )
2
0 với

x ( x - 2 )
2
+ 4 4 với

x - [ ( x - 2 )
2
+ 4 ] - 4

x
max C = - 4 khi x-2 = 0 hay x = 2
Vậy max C = - 4 x = 2.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )
Bài giải:
Cách 1:
Ta có D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )
= [ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ] [ ( x - 2 ) ( x - 3) ]
= ( x
2
- 5x + 4 ) ( x
2
- 5x + 6 )
= ( x
2
- 5x + 4 ) + 2( x
2
- 5x + 4 ) + 1 - 1
= [ ( x
2
- 5x + 4 ) + 1 ]
2
- 1
Vì [ ( x
2
- 5x + 4 ) + 1 ]
2
0 với

x [ ( x
2
- 5x + 4 ) + 1 ]
2
- 1 - 1 với

x
Dấu " = " xảy ra ( x
2
- 5x + 4 ) + 1 = 0
x
2
- 5x + 5 = 0
Ta có = ( -5 )
2
- 4 .5. 1 = 25 - 20 = 5
x
2
- 5x + 5 = 0 x =
2
55

Vậy minD = - 1 x =
5 5
2

Cách 2: Đổi biến x
2
-5x + 4 = t để giải:
Ta có D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )

= [ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ] [ ( x - 2 ) ( x - 3 ) ]
= ( x
2
- 5x + 4 ) ( x
2
- 5x + 6 )
Ta đặt x
2
- 5x + 4 = t khi đó ta có:
D = t ( t + 2 ) = t
2
+ 2t = t
2
+ 2t + 1 - 1 = ( t
2
+ 2t + 1 ) - 1
= ( t + 1 )
2
- 1
Vì ( t + 1 )
2
0 với

t ( t + 1 )
2
- 1 - 1 với

t
Do đó min D = -1 t + 1 = 0 hay t = -1 x
2

- 5x + 4 = -1
x
2
- 5x + 5 = 0
Ta có = ( -5 )
2
- 4 .5. 1 = 25 - 20 = 5
x
2
- 5x + 5 = 0 x =
2
55

Vậy minD = - 1 x =
2
55

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 9.
Bài giải:
Ta có M = x
4
- 6x
3
+ 10x

2
- 6x + 9 = ( x
4
- 6x
3
+ 9x
2
) + ( x
2
- 6x + 9 )
= ( x
2
- 3x )
2
+ ( x - 3 )
2
0
3
Dấu " = " xảy ra



=
=
03
03
2
x
xx

=
=
03
0)3(
x
xx






=



=
=
3
3
0
x
x
x
x = 3
Vậy minM = 0 khi x = 3.
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của N = x

4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1
Bài giải:
Ta có N = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1 = ( x
4
- x
3
+ x
2
) + ( - x
3
+ x
2
- x ) + ( x
2
- x + 1)
= x
2
( x
2

- x + 1 ) - x ( x
2
- x + 1 ) + ( x
2
- x + 1)
= ( x
2
- x + 1 ) ( x
2
- x + 1 )
= ( x
2
- x + 1 )
2
Lại có: x
2
- x + 1 = x
2
- 2.x.
2
1
+
4
1
+
4
3
= ( x -
2
1

)
2
+
4
3
> 0
Nên N đạt giá trị nhỏ nhất x
2
- x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất
x =
2
1
min N =
16
9
x =
2
1
Qua các ví dụ trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức bậc hai:
P = ax
2
+ bx + c
Hoặc có thể đa về tam thức bậc hai đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng bằng bất
đẳng thức: A
2
0 hoặc -A
2
0.
+ Chú ý 1: Tam thức bậc hai P = ax
2

+ bx + c ( a

0 ) sẽ đạt đợc giá trị cực tiểu
nếu a > 0 và đạt giá trị cực đại nếu a < 0.
Giá trị cực tiểu hoặc cực đại của P là:
a
bac
4
4
2

( khi x = -
a
b
2
)
+ Chú ý 2: Học sinh có thể mắc sai lầm ở ví dụ 4:
N = ( x
2
- x + 1 )
2
0 với

x min N = 0, điều này không thể xảy ra vì không
có giá trị nào của x để N = 0.
Hoặc học sinh có thể mắc sai lầm:
N = x
2
( x - 1 )
2

+ 2 ( x -
2
1
)
2
+
2
1
0 min N =
2
1
khi x = 1; x =
2
1
.
Điều này là sai vì x không đồng thời nhận 2 giá trị: 1 và
2
1
đợc.
* Các bài toán tơng tự:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x
2
+ 2x + 3 C = x( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3)
B = 2x
2
+ 3x + 1 D = x
4
- 6x
3

+ 10x
2
- 6x + 9
H = x
2
- x + 1 K = x
2
- 2x + 5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = - 2x
2
+ 5x - 19 N = - 5x
2
- 4x + 1
E = - x
2
+ 4x - 10 G = - x
2
+ x -
2
1
T = - x
2
+5x - 4 K = - x
2
+ x - 3
2. Cực trị của hàm đa thức nhiều biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x
2
+ y

2
- 2xy - 2x + 3.
4
Bài giảI:
Ta có:
A = 2x
2
+ y
2
- 2xy - 2x + 3 = x
2
- 2xy + y
2
+ x
2
- 2x + 1 + 2
= ( x - y )
2
+ ( x - 1 )
2
+ 2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



=
=
01
0
x

yx




=
=
1x
yx

1
==
yx
Vậy minA = 2 x = y = 1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y.
Bài giảI:
Ta có: B = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y = x
2
- 2x + 1 + y
2
- 2y + 1 - x - y +xy + 1 - 3
B +3 = ( x - 1 )

2
+ ( y - 1 )
2
+ ( x - 1 ) ( y - 1 )
Đặt x - 1 = a; y - 1 = b
B + 3 = a
2
+ b
2
+ ab
B + 3 =
ba
bb
a ,0
4
3
2
2
2
+






+


B

- 3

a,b.
Dấu bằng xảy ra

a = b = 0


x = y = 1
Vậy minB = - 3

x = y = 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của D = - x
2
- y
2
+xy + 2x + 2y
Bài giải:
Ta có: D = - x
2
- y
2
+xy + 2x + 2y
2D = - 2x
2
- 2y
2
+ 2xy + 4x + 4y
= ( - x

2
+ 2xy - y
2
) - ( x
2
- 4x + 4 ) - ( y
2
- 4y +4 ) + 8
= 8 - ( x - y )
2
- ( x - 2 )
2
- ( y - 2 )
2


8
2D

8 D

4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi





=
=

=
02
02
0
y
x
yx








=
=
=
2
2
y
x
yx


x = y = 2
Vậy max D = 4

x = y = 2
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

E = xy ( x - 2 ) ( y + 6 ) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36
Bài giải:
Ta có: E = xy ( x - 2 ) ( y + 6 ) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36
= x ( x - 2 ) y ( y + 6 ) + 12 ( x
2
- 2x) + 3 ( y
2
+ 6y + 12 )
= ( x
2
- 2x ) ( y
2
+ 6y ) + 12 ( x
2
- 2x) + 3 ( y
2
+ 6y + 12 )
= ( x
2
- 2x + 3 ) ( y
2
+ 6y + 12 )

Ta thấy:
x
2
- 2x + 3 = x
2
- 2x + 1 + 2 = ( x - 1 )
2
+ 2

2 > 0 với

x
y
2
+ 6y + 12 = y
2
+ 6y + 9 + 3 = ( y + 3 )
2
+ 3

3 > 0 với

y
( x
2
- 2x + 3 ) ( y
2
+ 6y + 12 )

6 với

xy
E

6 với

xy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1, y = - 3
5
Vậy min E = 6

x = 1, y = - 3
* Nhận xét: Với hàm đa thức nhiều biến ta có thể giải quyết nh đối với hàm đa thức
một biến về phơng pháp.
3. Các cực trị của hàm đa thức có dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3 ( x - 7 )
2
- 2 | x - 7 | + 1
Bài giải:
Ta đặt: | x - 7 | = t ( với t

0 )
Khi đó ta có A = 3t
2
- 2t + 1
= 3 [ t
2
-
3
2

t +
3
1
]
= 3 [ t
2
- 2.t.
3
1
+
9
1
+
9
2
]
= 3 [ t -
3
1
]
2
+
3
2



3
2
với

t
min A =
3
2


t =
3
1
hay | x - 7 | =
3
1
min A =
3
2









=
=
3
2
6

3
1
7
x
x
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = | x - 2 | + | x - 4 |
Bài giải:
Cách 1:
Trong khoảng x< 2

B = - x + 2 - x + 4 = 6 - 2x. Do x < 2

- 2x > - 4


6 - 2x > 2
Trong khoảng x > 4

B = x - 2 + x - 4 = 2x - 6. Do x > 4

2x > 8


2x - 6 > 2
Trong khoảng
42

x

B = x - 2 - x + 4 = 2

So sánh các giá trị của B trong trên ta thấy min B = 2
42

x
.
Cách 2:
Ta có: B = | x - 2 | + | x - 4 | = | x - 2 | + | 4 - x |

| x - 2 + 4 - x |

2
min B = 2

( x - 2 ) ( 4 - x )

0


42

x
.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = ( x- 2 )
2
+ | y - 3 | - 5
Bài giải:
Ta có: C = ( x- 2 )
2
+ | y - 3 | - 5 đạt giá trị nhỏ nhất

C
1
= ( x- 2 )
2
+ | y - 3 | đạt giá trị nhỏ nhất
Ta thấy: ( x- 2 )
2


0; | y - 3 |

0 ( x- 2 )
2
+ | y - 3 |

0
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = 2 và y = 3
Vậy minC
1
= 0

x = 2 và y = 3
Do đó min C = - 5

x = 2 và y = 3
* Nhận xét: Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối điển hình là 3 ví dụ nêu trên ta tìm
giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất bằng các cách:
Đổi biến để đa về tam thức bậc hai.
Xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó so sánh giá trị của hàm đợc trong
các khoảng để chọn lựa giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ).

Dùng tính chất: | a + b |

| a | + | b |. Dùng cách này sẽ nhanh hơn.
Đa về dạng thông thờng, dựa vào tính chất x
2


0; | x |

0 để lập luận.
* Các bài tập t ơng tự:
6