DSpace at VNU: Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN
——————–

NGUYỄN THỊ HỒNG

PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN
——————–

NGUYỄN THỊ HỒNG

PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ ANH VINH

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

HÀ NỘI - 2014


Mục lục
Danh mục ký hiệu

1

Lời nói đầu

2

1 Phương pháp đếm
1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . .
1.1.1 Hoán vị . . . . . . . . .
1.1.2 Chỉnh hợp . . . . . . .
1.1.3 Tổ hợp . . . . . . . . .
1.2 Sự phân hoạch . . . . . . . . .
1.2.1 Sự phân hoạch một số
nguyên không âm . . .
1.2.2 Phân hoạch tập hợp .
1.2.3 Phân hoạch số nguyên
1.3 Công thức Sieve . . . . . . . .

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

. . . . . . . . .
nguyên dương
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
thành
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

2 Lý thuyết đồ thị cơ bản
2.1 Khái niệm cơ bản về đồ thị . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa đồ thị và phân loại đồ thị .
2.1.2 Đồ thị đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận . . . . .
2.1.4 Đồ thị con, đồ thị thành phần và đồ thị
2.2 Các yếu tố trong đồ thị vô hướng . . . . . . . .
2.2.1 Bậc của đỉnh trong đồ thị . . . . . . . .
2.2.2 Đường đi và chu trình . . . . . . . . . .
2.2.3 Tính liên thông . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Một số loại đơn đồ thị vô hướng . . . .
2.3 Bài toán tô màu và các số Ramsey . . . . . . .

i

. . .
. . .
. . .
. . .
sinh
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
tổng
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
các số
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

4
4
4
6
7
11

.
.
.
.

11
12
14
18

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

26
26
26
27
28
29
30
30
30
31
31
39


MỤC LỤC

2.3.1
2.3.2

Lý thuyết Ramsey cho đồ thị hữu hạn . . . . . . . . . . . . 39
Lý thuyết Ramsey trong trường hợp tổng quát . . . . . . . 42

3 Xác suất và một số ứng dụng
3.1 Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Định lý cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Định lý nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Một số mở rộng của định lý cộng và định lý nhân xác suất . . . .
3.6 Biến ngẫu nhiên và kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Tính tuyến tính của kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Sử dụng xác suất chứng minh một số tính chất của các số Ramsey
3.8 Áp dụng xác suất và kì vọng vào một số bài toán thi học sinh giỏi

44
44
45
45
48
48
50
53
57
64
64
66
68
70

Kết luận

78

Tài liệu tham khảo

79

ii


Danh mục ký hiệu

|A|

Số phần tử của A

p(n)

Số hoán vị của n phần tử phân biệt

Cnk

Số tổ hợp chập k của n phần tử

Akn

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử

S(n, k)

Số cách phân hoạch tập n phần tử thành k phần

B(n)

Số cách phân hoạch tập n phần tử thành một số phần

P (n)

Số cách phân hoạch số n thành k phần

D(n)

Số xáo trộn của tập n phần tử

P (A)

Xác suất của biến cố A

E(X)

Kì vọng của biến ngẫu nhiên X

1


Lời nói đầu
Xác suất là một phần mới đối với toán trung học phổ thông nói chung,Ứng
dụng xác suất trong giải các bài toán Trung học phổ thông là nội dung còn khá
mới mẻ, thú vị. Mặt khác xác suất không chỉ có ứng dụng trong toán học mà
còn có nhiều ứng dụng trong một số môn học khác, trong ngành khoa học khác.
Học và tìm hiểu về xác suất học sinh thấy toán học gần gũi, gắn liền với cuộc

sống thực tế hơn, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Bởi vậy tôi lựa chọn tìm
hiểu “ Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông” .
Xác suất trong toán THPT với cơ sở chủ yếu là các bài toán đếm, với đối
tượng học sinh khá giỏi, còn được tiếp cận với Lý thuyết đồ thị và các bài toán
liên quan giữa lý thuyết đồ thị và tổ hợp xác suất. Với mục đích tìm hiểu về
xác suất , cách tính xác suất, một số ứng dụng của xác suất trong các bài toán
THPT. Nên trong Luận văn này, ngoài phần mở đầu và phần kết luận tôi trình
bày ba chương
Chương 1: Trình bày các quy tắc đếm cơ bản và mở rộng. Nhằm trang bị cho
học sinh kiến thức cơ sở để sử dụng trong các bài toán đếm và bài toán xác
suất. người học muốn học tốt xác suất cần phải có kiến thức tốt về tổ hợp
đếm.
Chương 2: Trình bày rất sơ lược về lý thuyết đồ thị, nhằm trang bị kiến thức
cần thiết cho chương 3.
Chương 3: Là chương trọng tâm, trong chương này tôi trình bày về khái niệm
xác suất,tính chất, các quy tắc tính xác suất. Khái niệm về kỳ vọng, tính
tuyến tính của kỳ vọng và áp dụng vào một số ví dụ.Trong chương này bước
đầu tôi trình bày được cách sử dụng xác suất, kỳ vọng vào một số bài toán
số học, tổ hợp, hình học tổ hợp.
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của Thầy PGS.TS
Lê Anh Vinh – Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội. Từ đáy lòng
mình em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Anh Vinh đối với sự quan
2


Lời nói đầu

tâm, chỉ bảo tận tình của thầy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình theo học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu

và các đồng nghiệp Trường THPT Nam Khoái Châu – Hưng Yên đã tạo điều
kiện cho tôi hoàn thành kế hoạch học tập.
Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Hồng

3


Chương 1

Phương pháp đếm
1.1

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Nội dung chính của chương 1 được tam khảo chủ yếu ở tài liệu số 8 của tác giả
Miko’s Bo’na, “A walk through combinatorics – An introduction to enumeration
anh graph theory”. Ngoài cơ sở lý thuyết chính trong tài liệu trên, hệ thống ví
dụ minh họa được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tương ứng.
1.1.1

Hoán vị

Định nghĩa 1.1.1. Mỗi sự sắp xếp thứ tự của n đối tượng khác nhau thành
hàng, mà mỗi đối tượng xuất hiện đúng một lần được gọi là một hoán vị của n
đối tượng đó.
Định lý 1.1.1. Số hoán vị của tập hợp A có n phần tử là p(n) = n!.
Ví dụ 1.1.1. Một người trồng hoa có 5 cây hoa đỏ, 3 cây hoa vàng, 2 cây hoa

trắng muốn trồng thành một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách trồng?
Lời giải. Ta xét hai trường hợp:
• Trường hợp 1: Các cây hoa đôi một khác loại nhau. Khi đó số cách trồng

là 10!.
• Trường hợp 2: Các cây hoa cùng màu thuộc cùng một loại. Khi đó sự thay

đổi vị trí của 5 cây hoa đỏ cho ta cùng một cách trồng, sự thay đổi vị trí
của 3 cây hoa vàng cho ta cùng một cách trồng, sự thay đổi vị trí của 2 cây
hoa trắng cho ta cùng một cách trồng. Nên số cách trồng 10 cây hoa đó là
10!
.
5!2!3!

4


Chương 1. Phương pháp đếm

Từ ví dụ trên ta thấy khi sắp xếp n đối tượng không đôi một phân biệt định lý
1.1.1 không còn đúng. Mở rộng định nghĩa hoán vị ta có định nghĩa hoán vị lặp
như sau.
Định nghĩa 1.1.2. Cho n, a1 , a2 , ..., ak là các số nguyên dương thỏa mãn
a1 + a2 + ... + ak = n.

Mỗi cách sắp xếp n đối tượng thành hàng trong đó có ai đối tượng loại i là một
hoán vị lặp của n đối tượng đó.
Khi đó ta có số hoán vị lặp được tính như sau.
Định lý 1.1.2. Cho n, a1 , a2 , ..., ak là các số nguyên không âm thỏa mãn
a1 + a2 + ... + ak = n,

có ai đối tượng loại i, i = 1, k . Khi đó số hoán vị lặp của n đối tượng trên là
n!
.
a1 !a2 !...ak !

(1.1)

Ví dụ 1.1.2. Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số nguyên dương có 8 chữ
số được lập từ A. Biết chữ số 2 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện 2 lần.
Lời giải.
Ta coi mỗi số có 8 chữ số là một hoán vị lặp của 8 đối tượng, trong đó số 2
xuất hiện 3 lần, số 3 xuất hiện 2 lần, số các số thỏa mãn yêu cầu là:
40320
8!
=
= 3360 (số).
2!3!
2.6

Ví dụ 1.1.3. Cho 2n người, trong đó có n nam, n nữ. Hỏi
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi thành hàng sao cho nam nữ
ngồi xen kẽ?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi thành hàng sao cho nam ngồi
liền nhau?
c) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi quanh một bàn tròn?
d) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi quanh một bàn tròn sao cho
nam nữ ngồi xen kẽ?
Lời giải.
a) Ta xét hai trường hợp

5


Chương 1. Phương pháp đếm

• Trường hợp 1: n nam ngồi ở các vị trí lẻ có n! cách. Với mỗi cách sắp

xếp nam ta có n! cách sắp xếp n nữ vào các vị trí chẵn, nên ta có
n!n! = (n!)2

cách sắp xếp nam vào vị trí lẻ, nữ vào vị trí chẵn.
• Trường hơp 2: n nam ngồi vị trí chẵn, n nữ ngồi vị trí lẻ, vậy ta có (n!)2

cách sắp xếp.
Vậy có 2(n!)2 cách sắp xếp nam nữ ngồi xen kẽ.
b) Trước hết ta sắp xếp n nam vào n vị trí liền kề nhau trong 2n vị trí. Khi đó
ta có n + 1 cách (tương ứng với người thứ 1 ngồi ở vị trí thứ 1 tới vị trí
n + 1). Sau đó với mỗi cách chọn n vị trí liền kề đó có n! cách sắp xếp n
nam. Với mỗi cách sắp xếp n nam lại có n! cách sắp xếp n nữ vào n chỗ còn
lại nên có
(n + 1)(n!)2 (cách).

c) Ta cần chọn một người vào một vị trí bất kỳ trong bàn tròn để xác định số
thứ tự của các chỗ ngồi, sau đó sắp xếp 2n − 1 người vào 2n − 1 vị trí có
(2n − 1)! cách.
Vậy số cách sắp xếp 2n người khác nhau vào 2n vị trí trong bàn tròn là
(2n − 1)!.
d) Lập luận tương tự ý a), ý c) ta có số cách sắp xếp là 2n!(n − 1)! cách.
1.1.2

Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.1.3. Cho tập hợp A có n phần tử n ∈ N∗ (phân biệt). Mỗi cách
sắp thứ tự k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của A sao cho không phần tử nào xuất hiện
nhiều hơn một lần được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Chú ý: Quy ước: 0! = 1.
Định lý 1.1.3. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
Akn =

n!
.
(n − k)!

(1.2)

Tương tự hoán vị lặp ta mở rộng định nghĩa chỉnh hợp lặp như sau.
Định nghĩa 1.1.4. Cho tập hợp A có n (n ∈ N∗ ) phần tử phân biệt. Mỗi cách
sắp thứ tự k phần tử của A, mà mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều hơn một
6


Tài liệu tham khảo
[1] Trần Nam Dũng, “Phương pháp xác suất ”, bài viết đăng trên trang Thông
tin toán học, Hội Toán Học Việt Nam tháng 12 năm 2012 tập 16 số 4, tháng
3 năm 2013 tập 17 số 1, tháng 6 năm 2013 tập 17 số 2.
[2] Đào Hữu Hồ(1996), “Xác suất thống kê” – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,
trang 3 – 49.
[3] Đào Hữu Hồ(2011), “Hướng dẫn giải bài toán xác suất thống kê” – NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 3 – 52.
[4] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Hà Huy Khoái, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn

Trọng Tuấn(2012), “Tài liệu chuyên toán Hình học 12” – NXB Giáo dục
Việt Nam.
[5] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh(2005), “Lý thuyết xác suất và thống kê
toán” – NXB Thống kê, trang 9 -122.
[6] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh(2006), “Bài tập xác suất và thống kê
toán” – Đại học Kinh tế Quốc dân, trang 5 -74.
[7] Dusan Djukic, Vladimir Jankovíc, Ivan Matíc, Nikola Petrovíc, “The IMO
compendium” – Spinger, trang 338,661,667.
[8] Miko’s Bo’na, “A walk through combinatorics – An introduction to enumeration anh graph theory”.

79