DSpace at VNU: Trò chơi tháp Hà Nội và một số vấn đề toán học liên quan

Trò chơi tháp Hà Nội và một số vấn đề toán
học liên quan
Mao Thị Thu Hiền
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 40
Người hướng dẫn: PGS. TS Tạ Duy Phượng
Năm bảo vệ: 2013

Abstract. Trò chơi (Bài toán) Tháp Hà Nội được nhà toán học Edouard Lucas phát
minh và phổ biến rộng rãi ở Paris năm 1883, là một bài toán nổi tiếng thế giới, hiện
nay đang được nghiên cứu và phát triển bởi rất nhiều nhà toán học và khoa học máy
tính, các chuyên gia giáo dục và y học, được đưa vào nhiều sách về trò chơi toán học
và các giáo trình tin học như một ví dụ điển hình về thuật giải đệ qui và lập trình căn
bản. Trò chơi Tháp Hà Nội không chỉ thú vị ở chỗ nó mang tên Hà Nội, thủ đô của
Việt Nam. Trò chơi Tháp Hà Nội hấp dẫn các nhà nghiên cứu Toán học và Tin học bởi
nó liên quan đến nhiều vấn đề của Toán-Tin học như giải thuật đệ qui, hệ đếm, tam
giác Pascal, thảm Sierpinski, lý thuyết đồ thị và chu trình Hamilton, ôtômát hữu hạn,
độ phức tạp tính toán,... Bài toán Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu mới trong
toán học và khoa học máy tính…
Keywords. Toán học; Toán sơ cấp; Trò chơi toán học; Bài toán Tháp Hà Nội.


é
rỏ ỡ t ở ữủ t ồ r s
t ờ rở r Prs ởt t ờ
t t ợ ữủ ự t tr rt
t ồ ồ t ử ồ
ữủ ữ s trỏ ỡ t ồ tr t ồ
ữ ởt ử tt q tr
rỏ ỡ ở ổ tú ộ õ t ở
từ ổ ừ t ỏ ự õ

q ừ ồ ữ tt q
t Ps t rs ỵ tt ỗ t tr t
ổtổt ỳ ở ự t t t t ở ủ
ỵ ự ợ tr t ồ ồ t
t r số ự t ở tr ỹ
ồ ồ õ ỡ ợ ợ
õ ử tứ r tr t
ồ t t tr õ ữ ỳ
t sỷ ử t ở tr ồ ử
ồ ỳ ố s t ồ tr õ õ tr trỏ ỡ
ở
ũ trỏ ỡ ở õ t tr tr
tr t ồ t t ữ số ữủ t t t ợ
t trỏ ỡ t ở tr t rt t
ỏ rt sỡ ữủ ữ ữ õ ự t
t t ở ỵ õ ữủ
ỹ ợ ử tr sỷ t tr trỏ ỡ ở
ũ ởt số t ồ q
ỗ P ữỡ ở
ữỡ ờ q sỷ t tr trỏ ỡ ở
ữỡ ữỡ t ở



ữỡ ợ t tờ q sỷ t tr trỏ ỡ
ở ớ t ở ồ ổ ử
tt q ỡ số ỗ t ữủ tr tr
ữỡ
ỡ trỏ ỡ ở õ ỳ tờ
qt õ trỏ ỡ ở ợ ồ trỏ ỡ ở ợ

trỏ ỡ ở ợ ữợ trỏ
ỡ ở s s ỳ tờ qt õ
ỳ t ồ tú t tợ t
ữ õ ớ ụ sỡ ữủ ợ t rở
ừ t ở
tọ ỏ t ỡ s s t tợ P
Pữủ ữớ tr tử tự ữợ t t t
t ữủ ỡ
t ỗ tớ sỷ ử t ố s ừ trỏ
ỡ ở
ụ t ỡ t ổ
ỡ trữớ ồ trữớ ồ ồ ỹ
ở ũ ữớ t õ õ ỵ ú ù ở
t tr q tr ồ t ự t
ở t
ồ




t
P r

t ở

ồ ờ

tr số t
P r

t ở tứ ỵ tt ở

ự t t t

ổ t ồ ố

t tr
ụ ỏ

t ở

ờ tỡ ố

t
ỗ Pữủ t t rtrt t
ở tờ qt

ồ ồ ữ


Pữủ
qt

rỏ ỡ ở sỷ t tờ

ồ ờ tr số t

Pữủ

rỏ ỡ ở sỷ ỳ

t tr

ồ q



t ởởt t õ ú

ỡ ởt tr

ổ t ồ ố

t tr
r rsr

r

Pr t

r tt t



❬✾❪ ▼✳ ❆t❦✐♥s♦♥✱

❚❤❡ ❝②❝❧✐❝ ❚♦✇❡rs ♦❢ ❍❛♥♦✐ ♣r♦❜❧❡♠✳

■♥❢♦r♠❛t✐♦♥

Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▲❡tt❡rs✱ ❱♦❧✳ ✶✸✱ ◆♦ ✸ ✭✶✾✽✶✮✱ ✶✶✽✲✶✶✾✳ ▼❘✵✻✹✺✹✺✼
✭✽✸❢✿✻✽✵✵✹✮ ✳
❬✶✵❪ ❲✳ ❲✳ ❘♦✉s❡ ❇❛❧❧✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧

❘❡❝r❡❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❊ss❛②s✱

▼❛❝♠✐❧✲

❧❛♥ ❛♥❞ ❈♦✳✱ ▲♦♥❞♦♥✱ ❙✐①t❤ ❊❞✐t✐♦♥✱ ✶✾✶✹✳
❬✶✶❪ ❍❡♥r② ❊r♥❡st ❉✉❞❡♥❡②✱
♦✉s ♣r♦❜❧❡♠s✮✱

❚❤❡ ❈❛♥t❡r❜✉r② P✉③③❧❡s ✭❛♥❞ ♦t❤❡r ❝✉r✐✲

❚❤♦♠❛s ◆❡❧s♦♥ ❛♥❞ ❙♦♥s✱ ▲t❞✳✱ ▲♦♥❞♦♥✱ ✶✾✵✼❀ ◆❡✇

❨♦r❦✱ ❊✳ P✳ ❉✉tt♦♥ ❛♥❞ ❈♦♠♣❛♥②✱ ✶✾✵✽✳
❬✶✷❪ ❖tt♦ ❉✉♥❦❡❧✱

❊❞✐t♦r✐❛❧ ♥♦t❡ ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽✱

❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ▼♦♥t❤❧② ✹✽ ✭✶✾✹✶✮✱ ✷✶✾
❬✶✸❪ ▼✳ ❈✳ ❊r✱

❚❤❡ ❈♦❧♦✉r ❚♦✇❡rs ♦❢ ❍❛♥♦✐✿ ❆ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥✱

❚❤❡

❈♦♠♣✉t❡r ❏♦✉r♥❛❧✱ ❱♦❧✳ ✷✼ ✭✶✾✽✹✮✱ ◆♦✳ ✶✱ ✽✵✲✽✷✳
❬✶✹❪ ❏✳ ❙✳ ❋r❛♠❡✱

❙♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽✳

❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳

▼♦♥t❤❧② ✹✽ ✭✶✾✹✶✮✱ ✷✶✻✲✷✶✼✳
❬✶✺❪ ❘♦♥❛❧ ▲✳ ●r❛❤❛♠✱ ❉♦♥❛❧ ❊✳ ❑♥✉t❤✱ ❛♥❞ ❖r❡♥ P❛t❛s❤♥✐❦✱ ❈♦♥❝r❡t❡
♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✿ ❆ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♠♣✉t❡r s❝✐❡♥❝❡s✳

❆❞❞✐s♦♥✲❲❡s❧❡②✱

❘❡❛❞✐♥❣✱ ▼❆✱ ✶✾✽✾✳ ❙❡❝♦♥❞ ❊❞✐t✐♦♥✱ ✶✾✾✹✳
❬✶✻❪ ❆♥❞r❡❛s ▼✳ ❍✐♥③✱

❚❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐✳

❊♥s❡✐❣♥✳ ▼❛t❤✳ ✭✷✮ ✸✺

✭✶✾✽✾✮✱ ✷✽✾✲✸✷✶✳ ▼❘✶✵✸✾✾✹✾ ✭✾✶❦✿✵✺✵✶✺✮✳
❬✶✼❪ ❆♥❞r❡❛s ▼✳ ❍✐♥③✱ P❛s❝❛❧✬s ❚r✐❛♥❣❧❡ ❛♥❞ t❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐✱ ❆♠❡r✲
✐❝❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ▼♦♥t❤❧②✱ ❱♦❧✳ ✾✾ ◆♦✳ ✻✱ ♣✳ ✺✸✽✲✺✹✹✱ ❏✉♥❡✲❏✉❧②
✶✾✾✷✳
❬✶✽❪ ❊✳ ■✳ ■❣r❛t✐❡✈✱ ❚r♦♥❣ ✈÷ì♥❣ q✉è❝ s→♥❣ t↕♦ ❤❛② ❙è ❤å❝ ❝❤♦ ♠å✐ ♥❣÷í✐✱
◗✉②➸♥ ✶✱ ❙✳✲P❡t❡r❜✉r❣✱ ✶✾✶✹ ✭❚→✐ ❜↔♥ ❧➛♥ t❤ù t÷✱ t✐➳♥❣ ◆❣❛✮✳
❬✶✾❪ ❩♦❧t→♥ ❑→t❛✐✱ ▲❡❤❡❧ ■st✈→♥ ❑♦✈→❝s ❚♦✇❡r
♠✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❜❧❡♥❞

♦❢ ❍❛♥♦✐✲✇❤❡r❡ ♣r♦❣r❛♠✲

❆❝t❛ ❯♥✐✈✳ ❙❛♣✐❡♥t✐❛❡✱ ■♥❢♦r♠❛t✐❝❛ ✶✱ ✶

✭✷✵✵✾✮✱ ♣♣✳ ✽✾✲✶✵✽✳
✼✸


❬✷✵❪ ❙❛♥❞✐ ❑❧❛✈✞③❛r✱ ❯r♦✞s ▼✐❧✉t✐♥♦✈✐✁❝✱ ❛♥❞ ❈✐r✐❧ P❡tr✱

❖♥ t❤❡ ❋r❛♠❡✲

❙t❡✇❛rt ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤❡ ♠✉❧t✐✲♣❡❣ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐ ♣r♦❜❧❡♠✱

❉✐s❝r❡t❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ✶✷✵ ✭✷✵✵✷✮✱ ♥♦✳ ✶✲✸✱ ✶✹✶✲✶✺✼✳ ▼❘✶✾✶✷✽✻✹
✭✷✵✵✸❝✿✵✺✵✷✽✮✳
❬✷✶❪ ➆❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s✱ ◆♦✉✈❡❛✉①

❥❡✉① s❝✐❡♥t✐❢✐q✉❡s ❞❡ ▼✳ ➆❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s✱

▲❛ ◆❛t✉r❡✱ 17t h ②❡❛r✱ 2n d s❡♠❡st❡r ✭✶✽✽✾✮✱ ♥♦✳ ✽✺✺ ✭❖❝t♦❜❡r ✺✮✱
✸✵✶✲✸✵✸✳✳
❬✷✷❪ ➆❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s✱

▲✬❆r✐t❤♠➨✐q✉❡

❘➨❝r➨❛t✐♦♥s ▼❛t❤❡♠❛t✐❝q✉❡s ✱

❆♠✉s❛♥t❡✿

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❛✉①

●❛✉t❤✐❡r✲❱✐❧❧❛rs✱ P❛r✐s✱ ✶✽✾✺✱ ♣♣✳

✶✼✾✲✶✽✸✳
❬✷✸❪ ❍❡♥r✐ ❞❡ P❛r✈✐❧❧❡✱

❘➨❝r➨❛t✐♦♥s ♠❛t❤➨♠❛t✐q✉❡s✿ ▲❛ t♦✉r ❞✬❍❛♥♦✐ ❡t

❧❛ q✉❡st✐♦♥ ❞✉ ❚♦♥❦✐♥✱

▲❛ ◆❛t✉r❡✱ ✶✷t❤ ②❡❛r✱ ✶st s❡♠❡st❡r✱ ♥♦✳ ✺✻✺

✭▼❛r❝❤ ✷✾✱ ✶✽✽✹✮✱ ✷✽✺✲✷✽✻✳
❬✷✹❪ ❉❛✈✐❞ ●✳ P♦♦❧❡✱ ❚❤❡
❝❛❧ ❦♥♦✇s ❍❛♥♦✐✮✱

❬✷✺❪ ❆✳ ❙❛♣✐r✱

t♦✇❡rs ❛♥❞ tr✐❛♥❣❧❡s ♦❢ Pr♦❢❡ss♦r ❈❧❛✉s ✭P❛s✲

▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✻✼ ✭✶✾✾✹✮✱ ✸✷✸✲✸✹✹✳

❚❤❡ ❚♦✇❡rs ♦❢ ❍❛♥♦✐ ✇✐t❤ ❋♦r❜✐❞❞❡♥ ▼♦✈❡s✱

❚❤❡ ❈♦♠✲

♣✉t❡r ❏♦✉r♥❛❧✱ ✹✼ ✭✶✮ ✭✷✵✵✹✮✱ ✷✵✲✷✹✳
❬✷✻❪ ❘✳ ❙✳ ❙❝♦r❡r✱ P✳ ▼✳ ●r✉♥❞②✱ ❛♥❞ ❈✳ ❆✱ ❇✳ ❙♠✐t❤✱
❣❛♠❡s✱

❙♦♠❡ ❇✐♥❛r②

▼❛t❤✳ ●❛③✳ ✷✽ ✭✶✾✹✹✮✱ ◆♦ ✷✽✵ ✭❏✉❧②✮✱ ✾✻✲✶✵✸✳

❬✷✼❪ ❇✳ ▼✳ ❙t❡✇❛rt✱

❆❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽✱

❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ▼♦♥t❤❧② ✹✻

✭✶✾✸✾✮✱ ✸✻✸✳
❬✷✽❪ ❇✳ ▼✳ ❙t❡✇❛rt✱

❙♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽

❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳

▼♦♥t❤❧② ✹✽ ✭✶✾✹✶✮✱ ✷✶✼✲✷✶✾✳
❬✷✾❪ P❛✉❧ ❑✳ ❙t♦❝❦♠❡②❡r✱
♣✉③③❧❡✱

❱❛r✐❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❢♦✉r✲♣♦st ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐

❈♦♥❣r✳ ◆✉♠❡r✳ ✶✵✷ ✭✶✾✾✹✮✱ ✸✲✶✷✳

✼✹


❬✸✵❪ P❛✉❧ ❑✳ ❙t♦❝❦♠❡②❡r✱
♣❤②✱

❚❤❡

❚♦✇❡r

♦❢

❍❛♥♦✐✿

❆

❇✐❜❧✐♦❣r❛✲

❤tt♣✿✴✴✇✳✇✳✇✳❝s✳✇♠✳❡❞✉✴ ♣❦st♦❝✴❤♣❛♣❡rs✳❤t♠❧✱ ❱❡rs✐♦♥ ✷✳✷✱

✷✷✴✶✵✴✷✵✵✺✳
❬✸✶❪ P✳❑✳ ❙t♦❝❦♠❡②❡r✱ ❋r❡❞ ▲✉♥♥♦♥✱
❍❛♥♦✐✱

◆❡✇ ❱❛r✐❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢

❚❤✐rt❡❡♥t❤ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❋✐❜♦♥❛❝✐ ◆✉♠❜❡rs

❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❏✉❧② ✼✲✶✶✱ ✷✵✵✽✱ P❛tr❛s✱ ●r❡❡❝❡✳
❬✸✷❪ ❨✉✲❑✉♦ ❲❛♥❣✱

❆♥❛❧②s✐s ♦♥ ❛♥ ■t❡r❛t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦❢ ✏❚❤❡ ❚♦✇❡r

♦❢ ❍❛♥♦✐ ♣r♦❜❧❡♠✑ ✇✐t❤ P❛r❛❧❧❡❧ ▼♦✈❡s✱

▼✳ ❙❝✳ ❚❤❡s✐s✱ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢

❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ❛♥❞ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣✱ ❈❤✉♥❣ ❍♦❛ ❯♥✐✲
✈❡rs✐t②✱ ✶✾✾✾✳
❬✸✸❪ ❉❡r✐❝❦ ❲♦♦❞✱

❚♦✇❡rs ♦❢ ❇r❛❤♠❛ ❛♥❞ ❍❛♥♦✐ ❘❡✈✐s✐t❡❞✱

▼❛t❤✳ ✶✹✭✶✾✽✶✮✱ ◆♦ ✶✱ ✶✼✲✷✹✳ ▼❘ ✵✻✷✾✸✹✵ ✭✽✷✐✿✻✽✵✸✶✮✳

✼✺

❏✳ ❘❡❝r✳