DSpace at VNU: Mối quan hệ giữa đạo hàm với tích phvà ứng dụng trong chương trình toán phổ thông

Mối quan hệ giữa đạo hàm với tích phvà ứng
dụng trong chương trình toán phổ thông
Đào Huy Nam
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 01 13
Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Đình Sang
Năm bảo vệ: 2013

Abstract. Nghiên cứu mối quan hệ giữa đạo hàm với tích phân và ứng dụng. Trình
bày các bài toán tích phân được tính nhờ đạo hàm và một số ứng dụng của nó. Khai
thác các tích phân bất định có thể tính được bằng đạo hàm mà nếu bằng cách tính
thông thường có thể rất dài hoặc phức tạp. Phương pháp dùng đạo hàm để tính tích
phân bất định là phương pháp tương đối mới, nó chỉ mới xuất hiện không đáng kể ở
một số tích phân đơn giản mà chưa được nâng cấp, hệ thống hoá. Hệ thống hoá và
phân loại được các dạng tích phân thường gặp trong chương trình toán phổ thông có
thể tính được bằng đạo hàm.
Keywords. Toán học; Đạo hàm; Tích phân.


MỞ ĐẦU
Đạo hàm và tích phân không xác định là hai phép toán ngược nhau,
chúng thuộc lĩnh vực toán cao cấp nhưng lại liên quan mật thiết và giúp
giải quyết nhiều bài toán sơ cấp.
Trước hết việc tìm nguyên hàm cơ bản được chứng minh bằng đạo hàm,
sau đó để tìm nguyên hàm ta thường dùng các công thức hoặc biến đổi
đưa về nguyên hàm cơ bản. Có rất nhiều cách để tìm nguyên hàm của
một hàm số như dùng bảng nguyên hàm cơ bản, đổi biến số ... Tuy nhiên
trong một số trường hợp ta có thể dùng đạo hàm để kiểm chứng nhanh
hơn dùng các phương pháp khác.
√
∫

dx
Ví dụ: √
= ln x2 + a + x + C
x2 + a
vì
)′
(√
2
( √
)′
x +a+x
1
ln x2 + a + x = √
=√
x2 + a + x
x2 + a
giải quyết bài toán này nhanh hơn phương pháp đổi biến.
Với lý do đó, luận văn này muốn khai thác một ý tưởng chính là dùng
đạo hàm để giải bài toán tích phân cũng như dùng đạo hàm để giải bài
toán tổng rời rạc (hữu hạn hoặc vô hạn) và từ đó cho ta những ứng dụng
khác nhau đối với một số bài toán sơ cấp. Nội dung chính của luận văn:

⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này sẽ nhắc lại các
kiến thức cần thiết cũng như các công thức tính đạo hàm và nguyên
hàm cơ bản, công thức Euler trong trường số phức, công thức khai
triển Taylor của đa thức tại 1 điểm.
4


⋄ Chương 2: Mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân. Chương này

chủ đạo là nghiên cứu cách tính tích phân bằng đạo hàm. Các tích
phân được chia thành các dạng riêng biệt và được viết dưới dạng các
bài toán. Mỗi bài toán đều có các ví dụ cụ thể minh hoạ cho bài toán
đó.

⋄ Chương 3: Đạo hàm và tích phân với tổng hữu hạn. Một số
ứng dụng. Chương này đưa ra một số ứng dụng của đạo hàm và tích
phân cho bài toán tổng rời rạc, phương trình, bất phương trình, giới
hạn ...
Mặc dù đã rất cố gắng trong tìm tòi các bài toán tích phân có thể tính
được nhờ đạo hàm cũng như các ứng dụng của nó. Nhưng kiến thức là vô
tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong
nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có
giá trị khoa học cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

5


Tài liệu tham khảo
[1] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình
giải tích, bài tập giải tích I,II , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội - 2007.
[2] Bộ giáo dục và đào tạo, Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12
ban cơ bản và ban nâng cao.
[3] Nguyễn Xuân Liêm, Hoàng Chính Bảo, Toán nâng cao Đại số và giải
tích 12, Nhà xuất bản giáo dục.
[4] Phan Huy Khải, Toán nâng cao giải tích - Hàm số và ứng dụng của
hàm số, Nhà xuất bản Hà Nội.
[5] Đoàn Quỳnh (chủ biên) , Tài liệu chuyên toán Giải tích 12, nhà xuất
bản giáo dục việt Nam.

102