PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HÓA TRONG SỐ PHỨC
Ví dụ 1: Cho số phức z a bi 0 sao cho z không phải là số thực và w
thực. Tính
z
z
là số
1 z3
2
2
1 z
.
1
2a 1
2
B.
a2
1
3a 2
1
D.
2a 2
A.
C.
Lời giải:
Chuẩn hóa: : Vì w là số thực nên ta chọn w 1
2
z
1 z 0,6624 0, 5623i
1 z3
2
0,6624 0, 5623i
1
1
Suy ra
0
2
2
2
a
1
2.0,6624
1
1 z
1 0,6624 0, 5623i
z
Vậy đáp án là A
Ví dụ 2: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z w 2 z w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u
z
. Tính a2 b2 ?
w
1
2
7
B.
2
1
8
1
D.
4
A.
C.
Lời giải:
Chuẩn hóa: w 1 . Theo đề ta có:
x 12 y 2 4 x 2 y 2
1
15
1
15
1
z 1 2 z
z
iu
i a2 b2
2
2
8
8
8
8
4
z 1 1
x 1 y 1
Ví dụ 3: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z w 5 z w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u z.w . Tính a2 b2 ?
1
A.
50
1
B.
25
1
100
1
D.
10
C.
Lời giải:
Chuẩn hóa: w 1 . Theo đề ta có:
x 12 y 2 25 x 2 y 2
1 3 11
1 3 11
1
z 1 5 z
z
iu
i a2 b2
2
2
50
50
50
50
25
z 1 1
x 1 y 1
Ví dụ 4: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z1 z2 z3 1 và z1 z2 z3 1 . Biểu
thức P z12n1 z22n1 z32n1 , n
nhận giá trị nào sao đây?
A. 1
C. 1
B. 0
D. 3
Lời giải:
Chuẩn hóa: n 1, z1 1, z2 i , z3 i Suy ra đáp áp A
Ví dụ 5: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z1 z2 z3 1 . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1
B. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1
C. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1
D. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1
Lời giải:
Chuẩn hóa: z1 i , z2 i , z3 1 suy ra đáp án A
Ví dụ 6: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 và z1 z2 z3 0 . Tính giá trị
của biểu thức P z12 z22 z32 .
B. 1
D. 2
A. 0
C. 1
Lời giải:
Chuẩn hóa: z1
1
3
1
3
i , z2
i , z3 1 Suy ra P 0
2 2
2 2
Ví dụ 7: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z2 z3 1999
và z1 z2 z3 0 . Tính P
z1 z2 z2 z3 z3 z1
.
z1 z2 z3
A. P 1999
C. P 999,5
B. P 19992
D. P 5997
Lời giải:
Chuẩn hóa: z1 1999; z2 1999; z3 1 i 19992 1 suy ra P 1999
Ví dụ 8: Cho các số phức a, b, c , z thỏa az2 bz c 0 a 0 . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
2
2
P z1 z2 z1 z2 2 z1 z1
A. P 2
B. P
2
c
a
c
a
1 c
D. P .
2 a
C. P 4
c
a
Lời giải:
1
z1
2
Chuẩn hóa: a b c 1
z 1
2
2
3
i
2 P 4 . Đáp án C thỏa P 4
3
i
2
Ví dụ 9: Nếu z không phải là số thực đồng thời
1
có phần thực bằng 4 thì môđun
z z
của z là?
1
8
1
B.
6
1
12
1
D.
16
A.
C.
Lời giải:
Thử đáp án:
Đáp án A:
Với z
1
17
1
17
1
, chọn x y
, do đó z
i
9
72
9 72
8
Thay z vào ta được
1
4 4 17i ( thỏa yêu cầu đề bài có phần thưc bằng 4 )
z z
Vậy đáp án là A
Ví dụ 10: Nếu hai số thức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 1 và z1 .z2 1 thì số phức
w
z1 z2
có phần ảo bằng?
1 z1 z2
A. 0
B. 1
C. 1
D. Lớn hơn 1
Lời giải:
Chuẩn hóa: z1 i ; z2 1 do đó w
Vậy đáp án là A
i 1
1 suy ra phần ảo của w bằng 0
1 i.1
Ví dụ 11: Cho số phức z a bi a , b
thỏa mãn điều kiện
z 2 4 2 z . Đặt
P 8 b2 a2 12 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P z 2
B. P z 4
D. P z 4
2
2
C. P z 2
2
2
2
2
Lời giải:
2
Ta có: z 2 4 2 z a2 b2 4 4a2b2 4 a2 b2
Chọn b 0 a2 4
2
a 1
. Thay a, b vào P
4a2 a 1 i 3 suy ra z 1 i 3
b 3
ta được P 4
Thay z 1 i 3 vào đáp án C ta được kết quả là 4. Vậy đáp án là C
Ví dụ 12: Cho các số phức z1 , z2 0 a , b
giá trị của biểu thức P
thỏa mãn điều kiện
z1
z
2 .
z2
z1
A.
2
2
C.
3
B.
2
D.
3 2
2
Lời giải:
Chuẩn hóa: z1 1 2
P
1
1
z2 0, 5 0, 5i
z2 z2 1
1
0, 5 0, 5i 3 2
0, 5 0, 5i
1
2
2 1
1
. Tính
z1 z2 z1 z2
Ví dụ 13: Cho số phức z a bi 0 sao cho z không phải là số thực và w
thực. Tính
z
1 z
2
z
là số
1 z2
.
1
5
1
B.
3
A.
C.
1
2
D. 1
Lời giải:
Chuẩn hóa: Vì w là số thực nên ta chọn w 1
Suy ra
z
1 z
2
0, 5 0, 5 3i
1 0, 5 0, 5 3i
2
z
1 z 0, 5 0, 5 3i
1 z2
1
2
Ví dụ 14: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z1 z2 1 . Tính giá trị
2
z z
của biểu thức P 1 2
z2 z1
A. 1
B. 1 i
2
C. 2
D. 1 i
Lời giải:
1
3
i
z1
2
2
P 1
Chuẩn hóa:
z 1 3 i
2
2 2