Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá
trình học tập và nghiên cứu dƣới mái trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vƣơng Thông đã
tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại Số và các bạn đã tạo
điều kiện, và đóng góp những ý kiến hữu ích để em thực hiện khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Xen

Nguyễn Thị Xen

1


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu
vừa qua, dƣới sự hƣớng dẫn của thầy Vƣơng Thông
Em xin cam đoan luận văn về đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự.
Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều” không trùng với bất kỳ luận văn nào
khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2010.
Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Xen

Mục lục
Mở đầu......................................................................................................1
Nội dung...................................................................................................2
Chƣơng 1: Cấu trúc đại số sắp thứ tự...................................................2
1.1. Cấu trúc đại số....................................................................................2
1.1.1. Phép toán đại số n ngôi và tính chất................................................2
1.1.2. Quan hệ n ngôi.................................................................................7
1.2. Cấu trúc sắp thứ tự............................................................................11
1.2.1. Định nghĩa.....................................................................................11
1.2.2. Ví dụ.............................................................................................. 11
Chƣơng 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt................................................. 14
2.1. Một số lớp nhóm đặc biệt.................................................................14
2.1.1. Nhóm tự do....................................................................................14
2.1.2 Nhóm Abel tự do............................................................................19
2.1.3. NhómAbel hữu hạn sinh...............................................................24
2.1.4. Nhóm các đồng cấu nhóm............................................................. 38
2.1.5. Nhóm giải đƣợc............................................................................41
2.2. Một số lớp vành đặc biệt.................................................................. 43
2.2.1. Miền nguyên..................................................................................43
2.2.2. Vành Gauss...................................................................................46
2.2.3. Vành chính.....................................................................................47
2.2.4. Vành Ơclit..................................................................................... 48
2.2.5. Vành nguyên tố và nửa nguyên tố.................................................49
2.2.6. Vành nguyên thủy và nửa nguyên thủy.........................................50
2.2.7. Vành địa phƣơng và nửa địa phƣơng...........................................51
2.3. Một số lớp môđun đặc biệt...............................................................52


2.3.1 Môđun.............................................................................................52
2.3.2. Môđun tự do.................................................................................. 52

2.3.3. Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.................................................... 56
Chƣơng 3: Đại số hữu hạn chiều......................................................... 58
3.1. Định nghĩa và ví dụ.......................................................................... 58
3.1.1. Định nghĩa..................................................................................... 58
3.1.2. Ví dụ..............................................................................................58
3.2. Xét một số K_ Đại số....................................................................... 59
3.2.1. Đại số tenxơ...................................................................................59
3.2.2. Đại số ngoài...................................................................................62
3.2.3. Đại số đối xứng..............................................................................67
3.3. K_Đại số hữu hạn chiề u..................................................................71
Kết luận.................................................................................................. 72
Tài liệu tham khảo.................................................................................73


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Đại số là một chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán
học.Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.Tuy nhiên để đi
sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu
trúc Đại số.
Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu
trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều” cùng với sự giúp đỡ của thầy Vƣơng
Thông, với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đƣa ra một số lớp cấu trúc đại số đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng,
với các kiến thức ở phổ thông, từ đó góp phần làm phong phú thêm các lớp
cấu trúc đại số.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu.
+ Đối tƣợng nghiên cứu:
- Các nhóm

- Vành
- Môđun
+ Phạm vi nghiên cứu: Đọc các tài liệu có liên quan
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
+ Tìm hiểu sâu hơn về các nhóm, các vành, các môdun
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Phƣơng pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá.


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ
1.1. Cấu trúc đại số
1.1.1. Phép toán đại số n ngôi và tính chất
a. Định nghĩa
Cho X , ta gọi là phép toán đại số (PTĐS) 2 ngôi xác định
trên X là một ánh xạ f: X X X.
Thay cho cách viết f(x,y) ta viết xfy.
Thƣờng ký hiệu: +, ., , o, …
Ta mở rộng cho phép toán đại số m ngôi, đó là ánh xạ f: X m
X. Thƣờng viết f(x1,x2,x3,…xm).

Nếu X là tập hữu hạn có n phần tử ta có thể tính đƣợc:
Số phép toán đại số 2 ngôi xác định trên X là: n

n
n

Số phép toán đại số 2 ngôi xác định trên X là: n

2

m

b. Ví dụ
1.

Đối tƣợng là số:
Trên  : Xét các quy tắc   
(a,b)  a+b (là PTĐS 2 ngôi)
 ab (là PTĐS 2 ngôi)
 a-b (không là PTĐS 2 ngôi)
 a b (không là PTĐS 2 ngôi)
b

 a (không là PTĐS 2 ngôi)
 Max a,b (là PTĐS 2 ngôi)
 Min a,b (là PTĐS 2 ngôi)
 (a,b): USCLN (không là PTĐS 2 ngôi)
 [a,b]: BSCNN (không là PTĐS 2 ngôi)


Tóm lại trên  có vô số PTĐS 2 ngôi
Tƣơng tự trên các tập số khác  ,  [ 2 ],  [ n 2 ],…  , , , K :số siêu
phức, ta có nhiều phép toán đại số 2 ngôi.
Đối tƣợng là các số nguyên đồng dƣ theo môđun n.

2.

 n = { 0 ,1,… n 1 }
Có 2 PTĐS 2 ngôi thƣờng dùng: i + j = i j
i. j i. j

Cần chứng minh: i+j≥ n thì j = k , k{0,1,…n-1}
i
i.j≥ n thì i. j k , k {0,1,…n-1}
Đối tƣợng là đa thức

3.

R[x]: f(x)+ g(x)
f(x).g(x)
Tổng quát A[x], với A là vành giao hoán, có đơn vị bất kì
Nhận xét: Các ví dụ 2, 3 xuất phát từ các PTĐS 2 ngôi trên các đối tƣợng
đã biết ta xây dựng đƣợc các PTĐS 2 ngôi trên các đối tƣợng mới
4.

Đối tƣợng là tập hợp

Các phép toán: , , \, 
5.

Đối tƣợng là phép thế đặc biệt S3

6.Đối tƣợng là ma trận Matn(  )
7.X là tập khác rỗng .
Xét các phép toán sau mà mà thƣờng gọi là luật nuốt trái (phải) a,
b 
a b= b (nuốt trái)
Nếu x = 1 thì giao hoán


Nếu x > 1 thì không giao

hoán Phép toán có kết hợp


Phép toán có đơn vị nếu x = 1
Nếu x >1 thì có nhiều đơn vị trái mà không có đơn vị phải.
8.

Xuất phát từ tập X đã biết ta có thể xây dựng đƣợc nhiều phép toán

trên các đối tƣợng mới
Ví dụ: -Từ phép cộng, nhân các số thực ta xây dựng đƣợc các phép toán
trên Matn(X), X[x]
Tổng quát : Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, ta xây dựng đƣợc các phép
cộng, nhân trên Matn(X), X[x].
- Từ các phép toán trên các mệnh đề : , ,, 
ta cũng xây dựng
đƣờc các phép toán tƣơng ứng trên các đại số vị từ n ngôi cũng xác định trên
tập X bất kì.

,


n

X M.

:

Ta có

x
x x 
x


 x   x 

,

x
x  x
x
x x 
,

- Cho (X,+) là nhóm giao hoán .
Kí hiệu End(x) = { f: X X là tự đồng cấu
của X } Xác định phép cộng trên End (x) nhƣ sau:
x

X

f,g End(x),

x, y X ,f,g End(x),

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

(f+g)(x+y)= f(x+y)+g(x+y)
= f(x)+f(y)+g(x)+g(y)

= [f(x)+g(x)]+ [f(y)+g(y)]
= (f+g)(x)+(f+g)(y)
Suy ra (f+g)End(x)
9.

Thể Quarternion: (Còn gọi là số siêu phức)
Số siêu phức, dim  =2, dim K =4.


Kí hiệu K={ a+bi+cj+dk | a,b,c,d  }


-Phép cộng : =a+bi+cj+dk
‟

‟

‟

‟

=a +b i+c j+d k

Suy
ra

  =(a+a‟)+(b+b‟)i+(c+c‟)j+(d+d‟)k

-Phép nhân các vectơ cơ sở cho dƣới bảng sau:
1

i

j

k

1

1

i

j

k

i

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

j

-i

-1

Chú ý. Để nhớ bảng nhân cần hoán vị vòng quanh và phản hoán vị (trừ d1,c1)
cụ thể là : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j.
-Căn cứ vào bảng nhân trên ta thực hiện đựơc phép nhân giữa các phần tử của
K.
Giả sử =a+bi+cj+dk
‟

‟

‟

‟

=a +b i+c j+d k

Suy
ra

 = (a+a‟)+(b+b‟)i+(c+c‟)j+(d+d‟)k

= aa‟+ab‟i+ac‟j+ad‟k
-bb‟+ba‟i-bd‟j+bc‟k
-cc‟+cd‟i+ca‟j-cb‟k
-dd‟-dc‟i+db‟j+da‟k
= (aa‟-bb‟-cc‟-dd‟)+(ab‟+ba‟+cd‟-dc‟)i+(ac‟+ca‟-bd‟+db‟)j
+(ad‟+bc‟-cb‟+da‟)k

-Mỗi phần tử khác không đều có nghịch
đảo Giả sử K*
2

2

2

2

a +b +c +d 0

Ta biến đổi nhƣ sau:
1

=

1


a bi
cj dk

(a bi) (cj dk)


(a bi) (cj dk )

= (a 2 b 2 2abi) (c 2
2
d 2cdi)

(a bi cj dk )

= (a 2 b2 c 2 d 2 )

2(ab cd )i
(a bi cj dk ) (a b c d ) 2(ab
=


cd
)i
2

2
2
2
K





2

2

2

2 2

(a b c d ) 4(ab cd )

2

Phép nhân không giao hoán (K,+,.) Không lập thành một
trƣờng, ta gọi K là một thể
-Nhân vô hƣớng : r  , r =ra+(rb)i+(rc)j+(rd)kK.
Ta có (K,+) cùng với nhân vô hƣớng trên lập thành  - không gian vectơ
Vậy (K,+,., nhân vô hƣớng với  ) là  - đại số không giao hoán. Đại
số này có 4 chiều
Ta có   K .
10. Lập các bảng toán cho tập X có n phần tử.
- Lập bảng toán 2 ngôi trên X có n phần tử:

2

bằng số các ánh xạ
n
f:X  X X: n

phép toán

- Tổng quát: số bảng toán m ngôi trên X có m phần tử
bằng số các ánh xạ f:X
n
X: n

m

m

phép toán

c. Tính chất
Ta viết phép toán theo lối nhân
 Kết hợp: x, y, z X: (xy)z=x(yz)
 Giao hoán: x, yX:
 Tồn tại trung hoà (đơn vị):

xy=yx

X:+x=x
xX
e X: e x=x

xX


 Mỗi xX, phần tử đối - xX, phần tử nghịch đảo x
1
X

-


2

2

Ví dụ. trên  xác định phép toán : a b=a +b +ab. phép toán có
tính chất giao hoán không có tính chất kết hợp
Tìm đơn vị: giả sử e là đơn vị:
e 


e a 
a,a 

e 

2
2
e a
 ea a

1
2

Cách 1: Gán cho a một số giá trị chẳng hạn a=0
2
( 2 ) e =0 e 0 
2

2

cho a=2 0 2=0 +2 +2.0=4 2
không có đơn vị Cách 2: Xem (2) nhƣ đa thức của
2
2
biến a :a +( e 1).a+ e =0

1 0



e1
 2
e 0

vô nghiệm

Cách 3: Xem (2) là phép toán bậc 2 với e , chọn a=2 e
2e +2=0 có

2

 =1-2=-1 phƣơng trình không có nghiệm (2)
'

không đúng với a=2.
1.1.2. Quan hệ n ngôi
a. ĐN. - Ta gọi là quan hệ 2 ngôi xác định trên X Y một bộ phận
RX Y . Nếu (x,y)R ta viết xRy và nói x có quan hệ R với
y;
Xét theo quan hệ bao hàm thì là hẹp nhất, X Y là rộng nhất:
Kí hiệu : R,S, ,=, ,~
-Nếu X=Y là nói gọn R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X.
-Mở rộng ta gọi bộ phận RX1
X 2 ...X n
định trên

b. VD.

là quan hệ n ngôi xác


X1 X 2
...
Xn .
1. X là tập ngƣời, Y  .
xR1n nếu n là tuổi của x tính đến năm nào đó
xR2n nếu n > tuổi của x
xR3n nếu n< tuổi của x

xR4n nếu x sinh năm n, có thể dẫn ra nhiều quan hệ R tƣơng tự
2. X là tập ngƣời
Xét các quan hệ R sau:
xRy nếu x là bố đẻ của y
xRy nếu x là bạn cùng tuổi với y
xRy nếu x là cùng giới với y
xRy nếu x là cùng trình độ học vấn với y
3.Trên  các số tự nhiên xét các quan hệ sau:
xRy nếu x y
xRy nếu x | y
xRy nếu (x-y) 4
xRy nếu x  y
4.X là tập các tam giác
ABC R
A ' B ' C '

 ABC A'B'C '


ABC A'B'C '


 



ABC

A'B 'C '

c. Tính chất
Cho R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X
1. Tính chất phản xạ : Ta nói R có tính chất phản xạ nếu
xX, xRx
2. Tính chất đối xứng: x,yX, Nếu xRy thì yRx
3. Tính chất phản xứng: x,yX. Gỉa sử xRy và yRx suy
ra x=y
4. Tính chất bắc cầu: x,y,zX. Gỉa sử xRy và yRz suy
ra xRz.
d. Hai quan hệ 2 ngôi đặc biệt
 Quan hệ tƣơng đƣơng.


-Định nghĩa : Quan hệ 2 ngôi R có 3 tính chất : Phản xạ, đối xứng, bắc cầu là
quan hệ tƣơng đƣơng.
Thƣờng kí hiệu : ~


x,y X. Nếu x~y theo quan hệ tƣơng đƣơng ~ thì ta xem x và y là
nhƣ nhau, điều này giúp rất nhiều trong hoạt động thực tiễn của con ngƣời.
-Tính chất :
Lớp tƣơng đƣơng x ={ y
X

| y  x }, x
y

x~ y.

Định lí 1

 x X , x 
ii. x,yX, x y hoặc x y
iii. X=  x

xX

Tập thƣơng X/~ ={ x | x X }
Sự phân hoạch: Chia X


ra thành các bộ phận khác rỗng và rời nhau

từng đôi, khi đó ta có sự phân hoạch tập X
Định lí 2
Có sự tƣơng ứng (1-1) giữa sự phân hoạch trên X với các quan hệ
tƣơng đƣơng xác định trên X.
Từ kết quả này cho phép ta tìm đƣợc các quan hệ tƣơng đƣơng trên X.
Khi X có hữu hạn phần tử bằng cách tìm các sự phân hoạch khác nhau có thể
có trên X
Ý nghĩa : Có một quan hệ tƣơng đƣơng ~ trên X. Khi đó với
x,y X,
nếu x~y thì theo quan hệ ấy ta coi x và y là nhƣ nhau( x y
x  y ).


Quan hệ thứ tự

- Định nghĩa: Quan hệ 2 ngôi có 3 tính chất : phản xạ, phản xứng, bắc cầu gọi
là quan hệ thứ tự bộ phận.

Thƣờng kí hiệu là: ( )
Khi đó ta nói X là tập đƣợc sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự bộ phận .
Thƣờng kí hiệu là (X, )


x,yX, gọi là so sánh đƣợc với nhau nếu x  y hoặc y  x.
Tập sắp thứ tự bộ phận (X,  ) gọi là toàn phần nếu x,y
X đều so sánh đƣợc với nhau.

- Có 4 loại phần tử trong tập sắp thứ tự bộ phận (X, )
+Tối thiểu(TT):aX gọi là phần tử TT nếu xX giả
sử x  a thì x = a
+Bé nhất(BN): aX gọi là phần tử BN nếu xX a x
+Tối đại(TĐ): aX gọi là phần tử TĐ nếu xX giả sử
a  x thì x = a
+Lớn nhất(LN):aX gọi là phần tử LN nếu xX x  a
Ta có : Nếu aX là phần tử BN thì a là TT, ngƣợc lại nói chung
không đúng Nếu a X là phần tử LN thì a là TĐ, ngƣợc lại nói
chung không đúng Nếu có nhiều TT thì không có BN
Nếu có nhiều TĐ thì không có LN
- Inf(A) , Sup(A)
Cho A X
x X đƣợc gọi là cân dƣới của A nếu x a với mọi aA.
Phần tử lớn nhất trong các cận dƣới của A gọi là cận dƣới đúng của A,
Nếu có thì đƣợc kí hiệu là inf(A) .
Tƣơng tự có cận trên và sup(A).
-Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật
- Hai tập sắp thứ tự đẳng cấu:

+Cho hai tập sắp thứ tự (X, 1) (X‟, 2).
+Nếu tồn tại song ánh f:X X‟ sao cho a,bX,
a1 b thì f(a) 2f(b).
Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X, 1) đẳng cấu với (X‟, 2).
Chú ý : Ta còn xét quan hệ tiền thứ tự : Là quan hệ hai ngôi thoả mãn phản
xạ và bắc cầu, trong thực tế quan hệ tiền thứ tự đƣợc dùng rộng rãi hơn.


1.2. Cấu trúc sắp thứ tự
1.2.1.Định nghĩa.
Gọi là cấu trúc đại số sắp thứ tự một bộ (X, , ) trong đó
X là tập nền khác rỗng, là tập các phép toán đại số với số ngôi
khác nhau, là tập quan hệ thứ tự toàn phần trên X.
Thoả mãn một số điều kiện nào đó.
Các điều kiện này gọi là hệ tiên đề của cấu trúc sắp thứ tự (X,
, ) .
1.2.2. Ví dụ.
Ví dụ 1: Nhóm sắp thứ tự là (X, , ) trong đó X,
gồm một PTĐS 0 ngôi phép lấy phần tử trung hoà 

một PTĐS 1 ngôi phép lấy phần tử đối của mỗi phần tử
một PTĐS 2 ngôi: a+b
Hệ tiên đề của nhóm sắp thứ tự:
1 PTĐS 2 ngôi + có tính chất kết hợp
2 PTĐS 2 ngôi + có tính chất giao
hoán 3 aX , +a=a
4 a X , a‟X: a+a‟=
5 a,bX, giả sử a b thì a+c b+c.
Chẳng hạn : Nhóm sắp thứ tự (  ,+, ),(  ,+, ), (  ,+, ), (
 ,+,  ).

Ví dụ 2. Vành sắp thứ tự là(X, , ) , trong đó X,
gồm một PTĐS 0 ngôi lấy phần tử 

một PTĐS 1 ngôi lấy phần tử đối của
a  X một PTĐS 2 ngôi viết theo lối
cộng : a+b một PTĐS 2 ngôi viết theo lối
nhân: a.b.
Hệ tiên đề của vành sắp thứ tự :


1. PTĐS hai ngôi + có tính chất kết hợp
2. PTĐS hai ngôi + có tính chất giao hoán


3. aX , +a=a .
4. Mỗi aX , a‟ X: a+a‟=
5. PTĐS hai ngôi “.” có tính chất kết hợp
6. Nhân có tính chất phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab+ac
(b+c)a = ba+ca
7. Quan hệ thứ tự toàn phần tƣơng thích đối với hai phép toán, nghĩa là:
a,bX, giả sử a b thì a+c  b c

, c  X

a.c b.c , c X +
a.c b.c , c
X - X+ ={xX | x}, X-

={x X| x }
Chẳng hạn ta có các vành số sắp thứ tự

(  ,+,., ) , (  ,+,.,  ) , (  ,+,., ).
Ví dụ 3. Trƣờng sắp thứ tự : (X, ,
) trong đó X 
gồm 2 PTĐS 0 ngôi : Lấy phần tử không : 

Lấy đơn vị

:e

2 PTĐS 1 ngôi : Lấy phần tử đối của aX
Lấy phần tử nghịch đảo
*

a X 1 PTĐS 2 ngôi : a+b
1 PTĐS 2 ngôi : a.b
Hệ tiên đề của trƣờng sắp thứ tự :
1. PTĐS 2 ngôi „ + ‟có tính chất kết hợp
2. PTĐS 2 ngôi „ + ‟ có tính chất phân
phối 3. a  X , +a=a .
4. Mỗi aX , a‟X: a+a‟=
5. PTĐS 2 ngôi „. ‟ có tính chất kết hợp
6. PTĐS 2 ngôi „. ‟ có tính chất giao hoán


7. a  X : e a = a
*

”

”

8. Mỗi aX , a X: a .a = e
9. phép nhân phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab + ac
10. tƣơng thích đối với 2 phép toán , nghĩa là
a, bX , giả sử a b thì a+c b+c cX
a.c b.c cX+
a.c b.c cX
Chẳng hạn có các trƣờng sắp thứ tự : (  ,+,.,  ) , (  ,+,., ).
Còn (  ,+,., ) không trở thành trƣờng sắp thứ tự theo nghĩa :
Giả sử trên  xác định đƣợc quan hệ cũng tƣơng thích đối với hai
phép
*
2
*
toán. Khi đó ta có x  , x > 0 vì x  , nếu x> 0.
2
2
x > 0, Nếu x< 0 -x> 0 (-x)(-x) = x
> 0.

Ta có   , Ta muốn quan hệ trên  khi thu hẹp về  vẫn giữ
*

2

ngƣyên Khi đó gặp mâu thuẫn sau : x = i  nhƣng i = -1 < 0 (mâu
thuẫn)