chương 1 bài tập toán cao cấp

Hướng dẫn giải bài tập chương 1

Chương 1. TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC
_______________________________
Chú ý: Sinh viên có thể tham khảo thêm các dạng bài tập khác trên các tài liệu khác và trên
website:
I. Chứng minh một đẳng thức về tập hợp:
Để chứng minh tập hợp A bằng tập hợp B ta cần chứng minh A ⊂ B và B ⊂ A , hay
∀x ∈ A ⇒ x ∈ B và ngược lại.
Ví dụ:
Cho X, A, B là các tập hợp, chứng minh rằng: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B)
Hướng dẫn:
x∈ X
 x∈ X
 x∈ X \ A

∀x ∈ X \ ( A ∪ B) : x ∈ X \ ( A ∪ B) ⇒ 
⇒ x∉ A ⇒ 
 x∉ A ∪ B x∉ B
 x∈ X \ B

⇒ x ∈ ( X \ A ) ∩ ( X \ B)
Do đó X \ ( A ∪ B) ⊂ ( X \ A ) ∩ ( X \ B) (1)

x ∈ X \ A x ∈ X
⇔
⇔ x ∈ X \ ( A ∪ B)
x ∈ X \ B
x ∉ A ∪ B

Ngược lại, ∀x ∈ ( X \ A) ∩ ( X \ B ) ⇔ 

Suy ra, ( X \ A) ∩ ( X \ B ) ⊂ X \ ( A ∪ B ) (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài 1. Chứng minh với mọi tập A, B, C ta luôn có:
a) A \ ( A \ B) = A ∩ B ;
b) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C ) ;
c) ( A \ B) ∪ ( A \ C ) = A \ ( B ∩ C ) ;
d) ( A \ B) ∪ ( B \ A) = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B);
e) A ∩ ( B \ A) = ∅ ;
f) A \ B = A \ ( A ∩ B) = ( A ∪ B ) \ B .
Hướng dẫn:
x ∈ A
x ∈ A
∀x ∈ A \ ( A \ B ) ⇔ 
⇔
⇔ x∈ A∩ B
x ∉ A \ B
x ∈ B
Suy ra, A \ ( A \ B) ⊂ A ∩ B

a)

Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự.
Vậy, A \ ( A \ B) = A ∩ B
Các câu còn lại sinh viên chứng minh tương tự.
Bài 2: Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
a) A \ ∅ = A ;
b) ( A \ B) \ C = A \ ( B \ C );
c) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B ) \ ( A ∩ C ) .

Hướng dẫn:
Sinh viên dựa vào các phép toán trên tập hợp. Có thể vẽ biểu đồ Venn để minh họa.
Đại số Tuyến tính 1.

1


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

Đối với đẳng thức sai có thể chỉ ra phản ví dụ.
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) ( A ∩ B) × (C ∩ D) = ( A × C ) ∩ ( B × D) ;
b) A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C )
c) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C )
d) A × ( B \ C ) = ( A × B) \ ( A × C )
e) ( A × C ) ∩ ( B × D) = ( A ∩ B) × (C ∩ D)
Hướng dẫn:

b)

x ∈ A
x ∈ A
 ( x, y ) ∈ A × B

∀( x, y ) ∈ A × ( B ∩ C ) ⇔ 
⇔ y ∈ B ⇔ 
⇔ ( x, y ) ∈ ( A × B ) ∩ ( A × C )
(
x
,

y
)
∈
A
×
C
y∈ B ∩C

 y ∈C

⇔ A × (B ∩ C) ⊂ ( A × B ) ∩ ( A× C )

Bao hàm thức ngược lại chứng minh tương tự.
Suy ra, A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) .
- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
II. Phép thế
1) Xác định các phép thế của một tập hợp
Bài 1. Tìm tất cả các phép thế của mỗi tập sau và xác định dấu của mỗi phép thế:
a) X 3 = {1, 2,3}
b) X 4 = {1, 2,3, 4}
Hướng dẫn:
Dựa vào định nghĩa của phép thế là một hoán vị của các phần tử của tập hợp. Số các phép
thế của tập có n phần tử là n!.
a) Ta có các phép thế sau:
1 2 3 
 1 2 3
1 2 3
1 2 3 
1 2 3
 1 2 3

π1 = 
÷; π 2 = 
÷; π 3 = 
÷; π 4 = 
÷; π 5 = 
÷; π 6 = 
÷
1 2 3 
 2 1 3
3 2 1
1 3 2 
3 1 2
 2 3 1
b) Sinh viên làm tương tự.
Bài 2. Cho X là tập hợp có n phần tử. Hỏi có thể lập được tổng cộng bao nhiêu phép thế?
Trong đó, có bao nhiêu phép thế chẵn? Phép thế lẻ?
Cho ví dụ khi n bằng 5.
2) Các phép toán trên phép thế:
Bài 1. Cho các phép thế sau:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
i) σ = 
÷ ii) µ = 
÷ iii) ω = 
÷
6 5 4 3 2 1
 4 1 3 6 5 2
3 4 1 2 6 5
a) Tính σµ và ϖµ

b) Với mỗi phép thế trên hãy xác định dấu của nó, tìm phép thế nghịch đảo và dấu của phép
thế nghịch đảo đó.
Hướng dẫn:
Tích hai phép thế thực chất là tích của hai ánh xạ.
a) Ta có:
Đại số Tuyến tính 1.

2


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

 1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6
σµ = 
÷. 
÷= 
÷
6 5 4 3 2 1  4 1 3 6 5 2 3 6 4 1 2 5
Câu còn lại làm tương tự.
b) Dựa vào định nghĩa dấu của phép thế.
1 2 3 4 5 6
Ta có σ = 
÷ = (1 6) ( 2 5 ) ( 3 4 ) . Do đó, số nghịch thế của σ là số lẻ nên
6 5 4 3 2 1
đây là phép thế lẻ, dấu của phép thế này bằng -1.
- Các câu còn lại làm tương tự.
Bài 2. Xác định dấu của các phép thế sau:
 1 2 3
1 2 3 4

1 2 3 4 5
 1 2 3 4 5
a) 
b) 
c) 
d) 
÷
÷
÷
÷
 2 3 1
3 2 4 1
 2 1 5 3 4
 4 3 2 5 1
Hướng dẫn:
- Tìm số nghịch thế từ đó suy ra dấu của phép thế.

Bài 3: Tính σπ , πσ , σ 2 , π 2 , σπ −1 trong các trường hợp sau:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
÷, π = 
÷
2 1 5 3 4
3 5 2 4 1

a) σ = 

1 2 3 4

1 2 3 4

b) σ = 
÷, π = 
÷
3 4 2 1
 4 1 2 3
Hướng dẫn:
Tính π −1 thực chất là lấy nghịch ảnh của phép thế π và σ 2 là tích hai ánh xạ σ
Ta có
 1 2 3 4  −1  1 2 3 4 
σ2 =
÷; π = 
÷
 2 1 4 3
2 3 4 1
Các câu còn lại làm tương tự.
III. Quan hệ:
Dựa vào định nghĩa và tính chất của từng loại quan hệ: Quan hệ tương đương (thỏa các tính
chất phản xạ, đối xứng, bắt cầu); Quan hệ thứ tự (thỏa các tính chất phản xạ, phản xứng, bắt
cầu).
Ví dụ:
1) Trong tập N× N xác định quan hệ hai ngôi R như sau:
∀ (a, b) , (c, d) ∈ N× N : (a, b) R (c, d) ⇔ a + d = b + c
Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương.
2) Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b], xét xem quan hệ sau trên F có là
quan hệ thứ tự không: ∀f , g ∈ F : f R g ⇔ f ( x) ≤ g ( x), ∀x ∈ [a, b]

Hướng dẫn:
1) ∀ (a, b) ∈ N× N : a + b = b + a ⇒ (a, b) R (a, b)
∀ (a, b), (c, d) ∈ N× N :(a, b) R (c, d) ⇒ a + d = b + c

⇒ c + b = d + a ⇒ (c, d) R (a, b)
Đại số Tuyến tính 1.

3


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

(a, b)ℜ(c, d )
a + d = b + c
⇒
(c, d )ℜ(e, f ) c + f = d + e

∀ (a, b), (c, d) , (e, f ) ∈ N× N : 

⇒ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ (a, b) R (e, f)

Do đó R là quan hệ tương đương.
2) ∀f ∈ F : f ( x) ≤ f ( x), ∀x ∈ [a, b]
f R g
 f ( x) ≤ g ( x)
∀f , g ∈ F : 
⇔
, ∀x ∈ [a, b] ⇔ f ( x) = g ( x), ∀x ∈ [a, b]
g R f
 g ( x) ≤ f ( x)
f R g
 f ( x) ≤ g ( x)
∀f , g , h ∈ F : 
⇔

, ∀x ∈ [a, b] ⇔ f ( x) ≤ h( x), ∀x ∈ [a, b]
g R h
 g ( x ) ≤ h( x )

Do đó ℜ là quan hệ thứ tự trên F.
Bài 1. Ký hiệu N∗ chỉ tập hợp số tự nhiên khác không, trong tập N× N∗ xác định quan hệ hai
ngôi R như sau:
∀ (a, b) , (c, d) ∈ N× N∗ : (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc
Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương.
Hướng dẫn:
∀ (a, b) ∈ N× N∗ : ab = ba ⇒ (a, b) R (a, b)
∀ (a, b), (c, d) ∈ N× N∗ :(a, b) R (c, d) ⇒ ad = bc
⇒ cb = da ⇒ (c, d) R (a, b)
(a, b)ℜ(c, d )
ad = bc
⇒
(c, d )ℜ(e, f ) cf = de

∀ (a, b), (c, d) , (e, f ) ∈ N× N∗ : 

Nếu a, c, e đều khác 0 thì ta có adcf = bcde ⇒ af = be ⇒ (a, b) R (e, f)
Nếu trong a, c, e có một số bằng 0, giả sử a = 0 thì: a = 0 ⇒ ad = 0
⇒ bc = 0 ⇒ c = 0 ⇒ cf = 0 ⇒ e = 0 ⇒ af = be ⇒ (a, b) R (e, f)
Do đó R là quan hệ tương đương.
Bài 2: Trên tập số thực ¡ cho quan hệ T như sau: aTb nếu a 2 = b 2 . Chứng minh T là một
quan hệ tương đương.
Hướng dẫn:
∀a ∈ ¡ : a 2 = a 2 ⇔ aTa
∀a, b ∈ ¡ : a 2 = b 2 ⇔ b 2 = a 2 . Suy ra nếu aTb thì bTa.

Đại số Tuyến tính 1.

4


Hng dn gii bi tp chng 1
2
2
a = b
a, b, c Ă : 2
a 2 = c 2 . Suy ra nu aTb v bTc, thỡ aTc.
2
b = c

Vy tp s thc Ă cho quan h T nh trờn l mt quan h tng ng.
Da vo cỏc vớ d v bi tp trờn, sinh viờn lm tng t cỏc bi tp sau.
Bi 3. Cho X l tp cỏc im trong khụng gian v O l mt im c nh ca X. Trong X ta
xỏc nh quan h R nh sau:
P R P khi v ch khi O, P, P thng hng.
a/ R cú phi l quan h tng ng trong X hay khụng?
b/ R cú phi l quan h tng ng trong X\{O} hay khụng?
Hng dn:
a) Khụng phi l quan h tng ng vỡ khụng tha món tớnh cht bt cu.
b) A X \ { O} : O, A, A thng hng nờn A R A.
A, B U\\ { O} : A R B O, A, B thng hng O, B, A thng hng B R A
ng haứ
ng A thuoọ
c ủửụứ
ng thaỳ
ng OB

A R B O, A, B thaỳ
A, B, C U\\ { O} :


ng haứ
ng C thuoọ
c ủửụứ
ng thaỳ
ng OB
B R C O, B, C thaỳ

O, A, C thng hng A R C
Bi 4. Trong tp cỏc s nguyờn  xỏc nh cỏc quan h R v T nh sau:
a R b khi v ch khi a + b l
a T b khi v ch khi a + b chn.
Hóy xột xem cỏc quan h trờn cú nhng tớnh cht gỡ?
Hng dn:
Kim tra xem cỏc quan h R , T cú tha nhng tớnh cht ca quan h tng ng khụng?
Bi 5. Cho tp X 0 . Trờn tp P( X ) cỏc tp con ca X xỏc nh cỏc quan h P, Q, R, S nh
sau:
APB
AQB
ARB
ASB

A B = A
A\B = A
AB
A B=

Hóy xột xem nhng quan h trờn cú nhng tớnh cht gỡ?
Hng dn:
Kim tra cỏc quan h nờu trờn cú tha cỏc tớnh cht ca quan h th t khụng?
IV. nh x:
1. Kim tra tớnh cht n ỏnh, ton ỏnh, song ỏnh
Da vo nh ngha v cỏc tớnh cht ca n ỏnh, ton ỏnh, song ỏnh.
Vớ d:
R vi f ( x ) = x 2 -5 x + 3=
Cho ỏnh x f : R
, xột xem f cú l ton ỏnh khụng? f cú l n
ỏnh khụng? Vỡ sao?
Hng dn:
i s Tuyn tớnh 1.

5


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

- Chọn y = –5 ∈ R0thì phương trình x 2 -−5 x + 3=
= −5=vô nghiệm, do đó f không là toàn ánh.
- Chọn y = 3 ∈ R0thì phương trình x 2 -−5 x + 3=
= 3 có 2 nghiệm phân biệt, do đó f không là
đơn ánh.
Bài 1. Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Trong
trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược.
a. X = ¡ , Y = (0, π ), f ( x) = arc cot x
b. X = [1; 2], Y = [1;7], f ( x) = x 2 + 3x − 3
c. X = Y = ¡ , f ( x ) = 3 x − 4 | x |;
x2

;
1 + x2 + x4
1+ x 
e. X = (-1; 0) Y = ¡ , f ( x) = ln 
÷.
1− x 

d. X = ¡ , Y = [0;5], f ( x) =

Hướng dẫn:
b) Ta có f’(x) = 2x +3.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(x) trên đoạn [1, 2] ta thấy f(x) là hàm đơn điệu tăng và
nhận giá trị biến thiên thuộc đoạn [1;7] do đó, f(x) là song ánh.
Khi đó, f −1 ( x) =
-

−3
21
+ x+
2
4

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.

2. Chứng minh một đẳng thức về ánh xạ:
Ví dụ:
Cho ánh xạ f : X → Y, A và B là các tập con của X. Chứng minh:
a) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
b) Bao hàm thức ngược lại không đúng.
Hướng dẫn:

a) ∀ y ∈ f (A ∩ B): y ∈ f (A ∩ B) ⇒ ∃ x ∈ A ∩ B : y = f (x)
∃x ∈ A : y = f ( x)  y ∈ f ( A)
⇒
⇒ y ∈ f ( A) ∩ f ( B ) ⇒ đpcm
∃x ∈ B : y = f ( x)  y ∈ f ( B)

⇒

b) Xét ánh xạ f : R → R , f (x) = 1 với mọi x ∈ R ; A = {–3, 0}, B = {2, 5}
Khi đó A ∩ B = ∅ nên f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ nhưng f (A) ∩ f (B) = {1} tức là không có
f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B)
Bài 1. Cho f : X → Y là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y.
Chứng minh:

Đại số Tuyến tính 1.

6


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

a. f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B );
b. f −1 (C ∪ D) = f −1 (C ) ∪ f −1 ( D);
c. f −1 (C ∩ D) = f −1 (C ) ∩ f −1 ( D);
d. f ( X \ A) ⊃ f ( X ) \ f ( A);
e. f −1 (Y \ C ) = X \ f −1 (C ).

Hướng dẫn:
a) Lấy y ∈ f ( A ∪ B ) khi đó, tồn tại x ∈ A ∪ B sao cho y = f ( x) . Khi đó,
 y = f ( x) ∈ f ( A)

 y = f ( x) ∈ f ( B ) ⇒ y ∈ f ( A) ∪ f ( B ) .

Suy ra, f ( A ∪ B) ⊂ f ( A) ∪ f ( B)

Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự.
Vậy có, f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B)
- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
Bài 2. Giả sử f : X → Y là ánh xạ và A ⊂ X ; B ⊂ Y . Chứng minh:
a) f −1 ( f ( A)) ⊃ A và f ( f −1 ( B )) ⊂ B ;
b) f −1 ( f ( A)) = A , với mọi A ⊂ X khi và chỉ khi f là đơn ánh.
c) f ( f −1 ( B)) = B , với mọi B ⊂ Y khi và chỉ khi f là toàn ánh.
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa nghịch ảnh của hàm số để chứng minh các bao hàm thức.
Lấy y ∈ f ( f −1 ( B)) , khi đó có x ∈ f −1 ( B ) để y = f ( x) . Mặt khác,
x ∈ f −1 ( B ) ⇒ ∃y ' ∈ B : y ' = f ( x ) . Nhận thấy y’ = y suy ra, y ∈ B ⇒ f ( f −1 ( B )) ⊂ B .
1 khi x ∈ A
0 khi x ∉ A

Bài 3. Cho A ⊂ X, hàm đặc trưng của A là χA: X → {0, 1} xác định bởi χ A ( x) = 
.
Chứng minh nếu A ⊂ X, B ⊂ X thì χA ∩ B(x) = χA (x).χ B(x) với mọi x ∈ X.
Hướng dẫn:
Với x tùy ý thuộc X thì x ∈ A ∪ B hay x ∉ A ∪ B
Nếu x ∉ A ∪ B thì x ∉ A ∩ B, x ∉ A, x ∉ B ⇒ χA ∩ B(x) = 0 = χA (x).χ B(x)
Nếu x ∈ A ∪ B thì có các trường hợp sau:
 x ∈ A ∩ B: khi đó χA ∩ B(x) = 1 = χA (x).χ B(x)
 x ∈ A \ B: khi đó χA ∩ B(x) = 0 = χA (x).χ B(x)
 x ∈ B \ A: khi đó χA ∩ B(x) = 0 = χA (x).χ B(x)
3. Tìm ảnh và nghịch ảnh của một hàm số trên một tập hợp:
Bài 1: Cho ánh xạ f : ¡ → ¡ bởi f ( x) = x 3 − 24 x + 2

a) Xác định f ( ¡ ) ;
Đại số Tuyến tính 1.

7


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

b) Cho A = [-1; 1], xác định f −1 ( A) .
Hướng dẫn:
Có thể khảo sát hàm số để tìm tập giá trị và nghịch ảnh của một hàm số trên một tập hợp.
a) Ta có: f (¡ ) = ¡
b) Sinh viên tự làm như bài tập nhỏ.
Bài 2:
V. Số phức:
1. Tính các biểu thức của số phức:
Dùng các công thức tính phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa số phức và đưa về dạng lượng
giác.
Ví dụ:
Tính các biểu thức:
a. (2 + i)(3 − i ) + (3 + 2i)(4 + i);
(5 + i)(7 − 6i )
b.
;
3+i
c. (2 + i)3 + (2 − i )3 ;
d.

(1 + i )5
(1 − i )3

e. i n , n ∈ ¢.

Hướng dẫn:
π 
π 
 nπ 
 nπ 
n
e) Ta có: i = Cos  ÷+ i sin  ÷⇒ i = Cos  ÷+ i sin  ÷
2
2
2
2
















Các câu còn lại sinh viên tự làm.
Bài 3. Tìm dạng lượng giác của số phức sau:
a) 5;
b) – 2;
c) -3i;
d) 1 + i;
e) 1 – i;
f) 3 − i;

(

)

g) 1 − 2 + 3 i.

Hướng dẫn:
Muốn tìm dạng lượng giác của một số phức cần tìm r và góc ϕ .
1 
π
π
 1

1+ i = 2 
+i
d) Ta có:
÷ = 2  cos + i sin ÷
 2

2



4

4

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
Bài 4. Biến đổi về dạng lượng giác để tính các biểu thức sau:

Đại số Tuyến tính 1.

8


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

a) (1 + i )1000 ;
b) (1 + i 3)150 ;
c) ( 3 + i )30 ;
24


3 i
d)  1 +
+ ÷
2 2÷


12

 1− i 3 
e) 
÷
÷
 1+ i 

Hướng dẫn:
Đưa về dạng lượng giác rồi áp dụng công thức Moivre để nâng lên lũy thừa.
1 
π
π
 1

+i
a) Ta có 1 + i = 2 
÷ = 2  cos + i sin ÷.
 2

Suy ra, ( 1 + i )

1000

=

( 2)

1000

2



4

4

1000π
1000π 

+ i sin
 cos
÷=
4
4 


( 2)

1000

( cos 250π + i sin 250π )

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
2. Giải các phương trình lượng giác:
Ví dụ:
1) Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình sau:
a. (2 + i ) x + (1 + 2i) y = 1 − 4i;
b. (3 + 2i) x + (1 + 3i ) y = 4 − 9i.
Hướng dẫn:
a) Ta có:

2x + y + i(x + 2y) = 1 -4i
2 x + y = 1
x = 2 / 3
⇔
 x + 2 y = −4
 y = −1/ 3

Suy ra, 

b) Làm tương tự
2) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho (1 – i )n là một số dương.
Hướng dẫn:
Ta có: 1 – i =

π
π

2  cos − i sin ÷ nên (1 – i )n =
4
4


( 2)

n

nπ
nπ 

− i sin ÷

 cos
4
4 


nπ

nπ

cos 4 > 0
>0
cos
⇔
Để thỏa yêu cầu bài toán, phải có: 
4
sin nπ = 0
n = 4k (k ∈ Z)

4

Do đó n = 8.
Bài 1:Hãy giải các phương trình sau trên £

Đại số Tuyến tính 1.

9


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

a. x 2 = i;
b. x 2 = 3 − 4i;
c. x 2 = −12i;
d. x 2 − 5 x + 4 + 10i = 0;
e. x 2 + (2i + 7) x + 13 − i = 0.
2010

Bài 2: Tính z

2010

1
+ ÷
z

1
z

biết rằng z + = 1

Hướng dẫn:
z+

1
1
3
π
π
= 1 ⇔ z2 − z +1 = 0 ⇔ z = ± i
⇔ z = cos ± i sin

z
2
2
3
3

Do đó z2010 = cos
2010

1
⇒ z 2010 +  ÷
z

2010π
2010π
± i sin
= cos 670π ± i sin 670π = 1
3
3

1
= 1+ = 2
1

Bài 3: Cho k là số thực,
a) Tính z =

1 + ki
(viết kết quả dưới dạng đại số)
2k + (k 2 − 1)i

b) Tìm k sao cho z là số thực, là số thuần ảo.
Hướng dẫn:
(1 + ki )  2k − (k 2 − 1)i 
1 + ki
a) z =
=
2k + (k 2 − 1)i
4k 2 + (k 2 − 1) 2
=

b) Vì

k (k 2 + 1) + ( k 2 + 1)i
k
1
= 2
+ 2
i
2
2
(k + 1)
( k + 1) ( k + 1)
1
≠ 0 với mọi k nên không có giá trị k nào để z là số thực.
k +1
2

Khi k = 0 thì z là số thuần ảo.
Bài 4: Cho a, b là các số thực, tìm x và y sao cho (x + ai)(b + yi) = 4 + 3i

Hướng dẫn: Áp dụng phép toán trên số phức khai triển vế trái, áp dụng tính chất hai số phức
bằng nhau đưa về giải và biện luận một hệ phương trình với hai ẩn x, y.
3

 z+i 
Bài 5: Giải phương trình sau trong tập hợp số phức: 
÷ =1
i−z

Hướng dẫn:
Đại số Tuyến tính 1.

10


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

Điều kiện: z ≠ 1

u = 1

−1 + i 3
z +i

Đặt u =
, ta có phương trình u3 = 1 ⇔ u =
2
i−z



−1 − i 3
u =
2


* Với u = 1 thì z = 0
* Với u =

−1 + i 3
z + i −1 + i 3
thì
⇔z = –
=
2
i−z
2

* Với u =

−1 − i 3
z + i −1 − i 3
thì
⇔z =
=
2
i−z
2

3. Biểu diễn hình học của một tập hợp số phức:
Ví dụ:

Cho hai số phức z, z'.
a) Chứng minh rằng | z + z'|2 + | z – z'|2 = 2(|z|2 + |z'|2).
b) Giải thích ý nghĩa hình học của đẳng thức trên.
Hướng dẫn:
a)

Giả sử z = x + iy , z' = x' + iy', khi đó:

| z + z'|2 + | z – z'|2 = (x + x' )2 + (y + y' )2 + (x – x' )2 + (y – y' )2
= 2x2 + 2x'2 + 2y2 + 2y'2 = 2(|z|2 + |z'|2)
8

Gọi các điểm M ( x, y ), M '( x ', y ') lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z = x + iy,
z' = x' + iy'.
b)

6

4

N

M

2

M'
O

uuuu

r

uuuu
r

Ta có OM = ( x, y ) , OM ' = ( x ', y ') ,

5

10

15

-2

uuuu
r uuuuu
r uuur uuur
uuuu
r uuuuu
r uuuuuu
r uuuuuur
OM + OM ' = ON , ON = ( x + x ', y + y ') , OM − OM ' = M ' M , M ' M = ( x − x ', y − y ')
-4

Ý nghĩa hình học của đẳng thức: trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo
bằng tổng bình phương các cạnh.
-6

Đại số Tuyến tính 1.

-8

11


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

Bài 1: Cho số phức z = a + ib (a, b là số thực). Tìm điều kiện của a, b để điểm biểu diễn
của z nằm trong đường tròn tâm O, bán kính 2.
Hướng dẫn: Gọi M(a, b) là điểm biểu diễn của z. M nằm trong đường tròn tâm O, bán kính
2 khi và chỉ khi a2 + b2 < 4.
Bài 2: Biểu diễn hình học các số phức z thỏa các điều kiện sau:
a) | z – 2| = 2
b) | z + 1| + | z – 1| = 4
Hướng dẫn:
a) Gọi M(x, y) là biểu diễn hình học của số phức z, I(2, 0) là biểu diễn hình học của số phức
z1 = 2.
Khoảng cách từ điểm M đến điểm I (cố định) luôn bằng 2 nên tập hợp các điểm M chính là
tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm I bán kính 2.
Sinh viên vẽ hình minh họa.
b) Gọi M(x, y) là biểu diễn hình học của số phức z, A(–1, 0) là biểu diễn hình học của số
phức z1 = –1, B(1, 0) là biểu diễn hình học của số phức z2 = 1.
Tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cố định A, B luôn bằng 4 nên tập hợp các điểm M
chính là tập hợp các điểm thuộc ellipse(E).
(E) có hai tiêu điểm là A, B ; nửa trục lớn là a = 2; tiêu cự 2c = AB = 2; nửa trục nhỏ
b = a − c = 4 − 1 = 3 , do đó phương trình của (E) là
2

2

x2 y 2
+
=1.
4
3

Sinh viên vẽ hình minh họa.
Bài 3: Biểu diễn trên mặt phẳng phức các tập hợp sau:
a. {z | z |= 3};
b. {z | z − 1 + i |≤ 2};

3


c.  z 1 ≤| z |< 2, π ≤ arg(z) ≤ π 
4


d. { z | z − 1|≤ 1,| z − 1 − i |< 1}

Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như bài 2.
BÀI TẬP CỦNG CỐ:
1) Cho A, B là các tập hợp, chứng minh rằng:
a) (A \ B) ∪ B = A ∪ B
b) Tìm điều kiện để (A \ B) ∪ B = A.
2) Cho các phương trình g ( x) = 0 , h( x) = 0 với g ( x), h( x) là các đa thức hệ số thực. Gọi
A1, A2, B lần lượt là các tập hợp nghiệm của các phương trình g ( x) = 0 , h( x) = 0 ,
g 2 ( x) + h 2 ( x ) = 0 . Chứng minh rằng A1 ∩ A2 = B.

Đại số Tuyến tính 1.

12


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

3) Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b], xét xem quan hệ sau trên F có là
quan hệ thứ tự không: ∀f , g ∈ F : f S g ⇔ max[a,b] f ≤ max[a,b] g
4) Cho U là tập hợp các điểm trong mặt phẳng, O là một điểm cố định trong U . Trong U
xác định quan hệ hai ngôi R như sau: ∀A, B ∈ U : A R B ⇔ O, A, B thẳng hàng. Xét xem R có
là quan hệ tương đương không.
5) Giả sử X ∆ là tập hợp các tam giác, X 0 là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng.
a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có phải là
ánh xạ từ X ∆ đến X 0 không? Tại sao?
b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong nó có phải là ánh
xạ từ X 0 đến X ∆ không? Tại sao?
6) Cho tập X gồm m phần tử, tập Y gồm n phần tử. Tìm số ánh xạ có thể có từ X đến Y.
Hướng dẫn:
Giả sử X = { x1, x2, …, xm} và Y = { y1, y2, …, yn}. Khi đó phần tử xi bất kỳ trong X có n
cách chọn ảnh, suy ra số ánh xạ có thể có từ X đến Y là nm.
Sinh viên có thể cho ví dụ với các giá trị cụ thể của m và n.
7) Giải phương trình sau trong tập số phức C : (z + 1)6 – 2 = 0
8) Tìm số phức z thỏa: z 2 + 2 z = 0
Hướng dẫn: Đặt z = x + iy ⇒ z = x − iy , thay vào phương trình giải hệ tìm được 4 nghiệm
(0, 0) , (–2, 0) , (1, ) , (1, –) ,
Do đó có 4 số phức thỏa đkbđ: z1 = 0 ; z2 = –2 ; z3 = 1 + i ; z4 = 1 – i
9) Tính z n +

1

1
z + = 2 cos α , n là số nguyên khác không, α là số thực.
n biết rằng
z
z

10) Biểu diễn hình học các số phức z thỏa các điều kiện sau:
a) | z – 2| = 2
b) | z + 1| + | z – 1| = 4
11) Tìm số nghịch thế của phép thế sau, từ đó suy ra đâu là phép thế chẵn, đâu là phép thế
lẻ:
1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

1

... n 

2

a) 
b) 
c) 
÷
÷
÷
5 3 2 4 1
1 9 6 3 2 5 4 7 8 
 n n − 1 ... 1 

12) Cho π là một phép thế thuộc Sn , chứng minh rằng sign(π ) = s ign(π −1 )
1 khi x ∈ A
.
0 khi x ∉ A

13) Cho A ⊂ X, hàm đặc trưng của A là χA: X → {0, 1} xác định bởi χ A ( x) = 

Chứng minh rằng nếu A ⊂ X, B ⊂ X thì χA ∪ B(x) = χA (x) + χ B(x) – χA ∩ B(x) với mọi x ∈
X.
Đại số Tuyến tính 1.

13


Hướng dẫn giải bài tập chương 1

Hướng dẫn
Với x tùy ý thuộc X thì x ∈ A ∪ B hay x ∉ A ∪ B. Nếu x ∉ A ∪ B thì x ∉ A ∩ B, x ∉ A, x
∉ B ⇒ χA ∩ B(x) = 0 = χA (x).χ B(x). Nếu x ∈ A ∪ B thì có các trường hợp x ∈ A ∩ B hoặc x
∈ A \ B hoặc x ∈ B \ A . Tương ứng với từng trường hợp đó, xét χA ∪ B(x).
14) Chứng minh rằng:
a) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (k, k+1)
trong đó 1 ≤ k < n .
b) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (1, k) trong
đó 1 < k ≤ n .
15) Chứng minh rằng mỗi phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vòng xích độ
dài 3.

Đại số Tuyến tính 1.

14