CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY tập 3

Biên soạn: Thầy Lê Viết Nhơn – Hồ Hà Đặng

CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
KHỐI TRÒN XOAY (tập 3)
1. Thể tích khối cầu
Bài toán gốc. Cho khối cầu có bán kính R, cắt một
chỏm cầu theo mặt phẳng cách tâm khối cầu một
đoạn bằng a. Tính thể tích khối còn lại và thể tích
phần cắt đi.
Công thức giải.
Phần bị cắt đi (tính dựa vào thể tích vật thể tròn
R2

xoay tạo bởi phần đường tròn y

x2 quay

xung quanh Ox từ a đến R):
R

Vcut

R2

out

x2dx

a

Phần còn lại:

Vremain

4 3
R
3

Vcut

R

4 3
R
3

out

R2

x2dx

a

Bài toán 1. Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4dm, người ta muốn cắt bỏ một
chỏm cầu có diện tích mặt cắt là 15 (dm2 ) để lấy phần còn lại làm chậu nuôi cá. Hỏi thể
tích nước tối đa mà chậu cá này có thể chứa là bao nhiêu? (giả sử bề dày chậu không
đáng kể)
Giải.

r2

Diện tích mặt cắt là S

a

R2

r2

16 15
R

2

4 3
R
3

Vcut

16 x2dx

x dx

27 (dm3 )

1

a

Vremain

OC) . Khi đó, tính được

4
2

out

15 (r

1.

R

Khi đó: Vcut

r2

15

out

4 3
4
3

27

175

175
(dm3 ) . Đáp số:
(dm3 ) .
3
3

TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN - 08 66815118

1


Biên soạn: Thầy Lê Viết Nhơn – Hồ Hà Đặng

Bài toán 2. Nhà sản xuất muốn tạo một cái lu đựng nước bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu
của một khối cầu để tạo phần đáy và miệng lu như hình vẽ. Biết bán kính khối cầu là 50
cm, phần mặt cắt ở đáy là hình tròn có bán kính 30cm và mặt phẳng ở miệng lu cách tâm
khối cầu 30cm. Tính thể tích nước tối đa mà cái lu có thể chứa. (giả sử độ dày của lu
không đáng kể)
Giải.
Xét phần đáy lu. Ta có,

r

30

R2

a

r2

502

50

Vcut out 1    (502  x 2 )dx 
40

302

40

14000
 (cm3 )
3

Xét phần miệng lu. Ta có:
Vcut

50
out 2

30

(502

52000
(cm3 ) .
3

x2 )dx

4
.503
3

Suy ra phần thể tích còn lại Vremain

14000
3

52000
3

434000
(cm3 ) .
3

2. Thể tích khối trụ
Bài toán gốc. Cho một khối trụ có bán kính đáy bằng R và
chiều cao h. Cắt khối trụ theo một mặt phẳng song song với
trục và cách trục (tâm) một khoảng r. Tính thể tích phần còn
lại và phần bị cắt đi.
Công thức giải.
Diện tích phần bị cắt đi (bằng 2 lần diện tích hình tạo bởi

R2

phần đường tròn y

x2 và trục Ox tính từ r đến R):
R

Scut

out

R2

2

x2 dx.

r

Thể tích phần bị cắt đi:

Vcut

out

Scut

out

.h.

Thể tích phần còn lại:

Vremain

Vtru

Vcut

out

.R2 .h Vcut

out

Bài toán 3. Một bồn trụ đang chứa dầu được đặt nằm ngang
TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN - 08 66815118

2


Biên soạn: Thầy Lê Viết Nhơn – Hồ Hà Đặng
có chiều dài bồn là 5m, bán kính đáy 1m. Người ta rút dầu ra trong bồn tương ứng với
0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của thể tích dầu trong bồn (theo
đơn vị m3)
B. 12, 637m3

A. 11, 781m3

C. 14, 923m3

D. 8 , 703m3

1

Giải. Ta có: Vcut out  Scut out .h  2.  1  x 2 dx.5  3, 071
0,5

Thể tích dầu: Vdau

V

Vcut

.R2 .h Vcut

out

.1.5 3, 071

out

12, 637(m3 ) . Đáp án B.

3. Thể tích khối nón
Bài toán gốc. Cho một khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h. Cắt khối nón
theo một mặt phẳng đi qua đỉnh và cắt đường tròn đáy theo một dây cung cách tâm một
khoảng r. Tính thể tích phần còn lại và phần bị cắt đi.
Công thức giải.
Diện tích phần bị cắt đi (bằng 2 lần diện tích hình tạo
R2

bởi phần đường tròn y

x2 và trục Ox tính từ r

đến R):
R

Scut

R2

2

out

x2 dx.

r

Thể tích phần bị cắt đi:

Vcut

out

1
S
3 cut

R

2
h.
3 r

.h
out

R2

x2 dx.

Thể tích phần còn lại:
Vremain

Vnon

Vcut

out

1

.R2 .h Vcut
3

out

Bài toán 4. Một khối nón bán kính bằng 5cm, đường cao
bằng 4cm. Cắt khối nón theo một mặt phẳng từ đỉnh xuống
đáy và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 6cm. Thể tích
phần còn lại của khối nón là:
A. 99, 27cm3 B. 5, 45cm3

C. 297 , 81cm3 D. 88, 37cm3

Giải. Thể tích phần bị cắt đi ( r

52

32

4 ):

TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN - 08 66815118

3

Biên soạn: Thầy Lê Viết Nhơn – Hồ Hà Đặng

Vcut

1
S .h
3 cut

1
.2

3

R

R2

x2 dx.h

r

8
3

5

25 x2 dx

5, 45 (cm3)

4

Thể tích phần còn lại:
Vremain

Vnon

Vcut

1
.R2 .h Vcut
3

1
.25.4 5, 45
3

99, 27(cm3 ) . Chọn A.

Nhận xét. Trong các bài toán trên, việc tính tích phân giải nhanh bằng Casio. Ta hoàn
R

toàn có thể giải tay tích phân Scut

out

R2

2

x2 dx bằng đổi biến x

R sin t.

r

BÀI TOÁN MỞ RỘNG
Bài toán về: 2 khối cầu giao nhau, 2 khối trụ giao nhau, khối cầu giao khối trụ, khối cầu
giao khối nón, khối nón giao khối trụ…
(còn tiếp…)

 Follow facebook thầy Đặng: www.facebook.com/thaydangtoan
 Follow facebook thầy Nhơn: www.facebook.com/viet.nhon
 Fanpage: www.facebook.com/thithuthptquocgia
 Group hỏi đáp: www.facebook.com/groups/giaidaponthidaihoc
 Website: www.dethithptquocgia.com

TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN - 08 66815118

4