Tóm tắt dạng toán HHKG 11 HKII theo từng dạng rất hay

Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vectơ trong không gian
Trong không gian, các khái niệm vectơ, các phép toán vectơ được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mp;
Chúng cũng có các tính chất như trong mp. Ngoài ra còn có quy tắc hình hộp
Với hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bất kì ta luôn có
+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
AB AD AA' AC'
Quy tắc hình hộp giúp ta tìm nhanh tổng của ba vectơ không đồng phẳng
2. Sự đồng phẳng của các vectơ
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mp
Lưu ý:
• Nếu
, ,= = =
uuur r uuur r uuur r
OA a OB b OC c
với O bất kì thì
, ,
r r r
a b c
đồng phẳng khi bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng
• Nếu một trong ba vectơ
, ,
r r r
a b c
là
r
0
thì

, ,
r r r
a b c
đồng phẳng
• Nếu hai trong ba vectơ
, ,
r r r
a b c
cùng phương thì
, ,
r r r
a b c
đồng phẳng
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Cho hai vectơ
a,b
r r
không cùng phương.
a,b,c
r r r
đồng phẳng
!m,n R : c ma nb⇔ ∃ ∈ = +
r r r
Lưu ý:
• Nếu có
=
r r r r
ma+nb+ pc 0
và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ
, ,

r r r
a b c
đồng phẳng
• Nếu
, ,
r r r
a b c
là ba vectơ không đồng phẳng và
=
r r r r
ma+nb+ pc 0
thì m = n = p = 0
4. Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng
Nếu ba vectơ
a,b,c
r r r
không đồng phẳng thì mọi
d
r
bất kì luôn tồn tại duy nhất các số m, n, p sao cho
ur r r r
d = ma+nb+ pc
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
1. I là trung điểm AB
( )
1
IA IB 0 OI OA OB , O
2
⇔ + = ⇔ = + ∀
uur uur r uur uuur uuur

2. M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1
OA kOB
MA kMB OM , O
1 k
−
⇔ = ⇔ = ∀
−
uuur uuur
uuuur uuur uuuur
3. G là trọng tâm tam giác ABC
( )
1
GA GB GC 0 OG OA OB OC , O
3
⇔ + + = ⇔ = + + ∀
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
4. G là trọng tâm tứ diện ABCD
( )
1
GA GB GC GD 0 OG OA OB OC OD , O
3
⇔ + + + = ⇔ = + + + ∀
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur
5. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
!k R : AC kAB⇔ ∃ ∈ =
uuur uuur
6. Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng
!x, y, z R; x y z 1:OD xOA yOB zOC, O⇔ ∃ ∈ + + = = + + ∀
uuur uuur uuur uuur
7. Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng

AB,AC,AD⇔
uuur uuur uuur
đồng phẳng
8. Hai đường thẳng AB // CD
!k R : CD kAB⇔ ∃ ∈ =
uuur uuur
và A không thuộc CD
9. Đt AB // mp
( ) AB,a,bα ⇔
uuur r r
đồng phẳng với
a,b
r r
là hai vectơ không cùng phương nào đó của
( )α
và A
không nằm trên
( )α
***********************************
Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O nào đó và lần
lượt song song (hoặc trùng) với a và b
Lưu ý:
• Ta thường lấy O thuộc một trong hai đường thẳng a và b
• Góc giữa hai đường thẳng nằm từ 0
0
đến 90
0

• Kí hiệu góc giữa hai đường thẳng là
·
(a,b)
2. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
. Kí hiệu
a b⊥
Trang 1
Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang
Lưu ý:
• Nếu
⊥a b
mà b // c thì
⊥a c
• Hình hộp thoi là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
1. Tính góc giữa hai đường thẳng
Ta có thể tính góc giữa hai đường thẳng a và b bằng các cách sau
• Sử dụng định nghĩa: Lấy hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm, lần lượt song song (hoặc
trùng) với a và b. Góc giữa a và b bằng góc giữa a’ và b’. Ta tính góc giữa a’ và b’ bằng cách sử dụng hệ
thức lượng trong tam giác (học ở lớp 10) …
• Sử dụng vectơ chỉ phương: Lần lượt chọn hai vectơ chỉ phương
1 2
u , u
uur uur
của a và b rồi tính góc
( )
1 2
u ,uα =

uur uur
. Nếu
0
90α ≤
thì góc giữa a và b là
α
. Nếu
0
90α >
thì góc giữa a và b là
0
180 −α
• Lưu ý rằng với mọi
α
, ta luôn có
·
cos(a,b) cos= α
2. Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Chứng minh
1 2
u .u 0=
uur uur
với
1 2
u , u
uur uur
lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b
• Ta lấy hai đường thẳng a’ và b’ cùng nằm trong một mp mà a // a’ hoặc
a a '≡
và b // b’ hoặc

b b'≡
.
Sau đó chứng minh
a ' b'⊥
bằng cách dùng định lí pytago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất đường
chéo hình thoi, hình vuông, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn …
*******************************************
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Đường thẳng d gọi là vuông góc mp
( )α
nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong
( )α
. Kí hiệu
d ( )⊥ α
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mp
Nếu một đt vuông góc với hai đt cắt nhau cùng nằm trong một mp thì nó vuông góc với mp đó
Lưu ý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba
3. Các tính chất
• Có duy nhất một mp đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một đt a cho trước. Như vậy, mọi đt đi
qua A và vuông góc với a đều nằm trong mp này
• Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với một mp cho trước
• Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mỗi
đoạn thẳng có duy nhất một mp trung trực, đó là mp vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng
• Trục của tam giác là tập hợp tất cả các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Mỗi tam giác có duy nhất một
trục, đó là đường thẳng vuông góc với mp chứa tam giác và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
• MP nào vuông góc với một trong hai đt song
song thì cũng vuông góc với đt còn lại

a // b
(P) b
(P) a

⇒ ⊥

⊥

• Hai đt phân biệt cùng vuông góc với một mp
thì song song với nhau
a b
a // b
(P) a,(P) b
≠

⇒

⊥ ⊥

• Đt nào vuông góc với một trong hai mp song
song thì cũng vuông góc mp còn lại
(P) //(Q)
a (Q)
a (P)

⇒ ⊥

⊥

• Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một

đường thẳng thì song song với nhau
(P) a,(Q) a
(P) //(Q)
(P) (Q)
⊥ ⊥

⇒

≠

• Cho đt a và mp (P) song song với nhau. Đt nào
vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a
a //(P)
b a
b (P)

⇒ ⊥

⊥

• Nếu đt a và mp(P) (không chứa a) cùng vuông
góc với một đt thì chúng song song với nhau
a (P)
a //(P)
a b,(P) b
⊄

⇒

⊥ ⊥


5. Định lí ba đường vuông góc (Quan trọng)
Cho mp(P), một đt a không vuông góc với (P) và đt b nằm trong (P). Khi đó b vuông góc với a nếu và chỉ nếu b
vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)
Trang 2
Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang
Lưu ý: Hình (H’) gọi là hình chiếu (vuông góc) của hình (H) trên mp(P) nếu (H’) là ảnh của (H) qua phép chiếu
vuông góc lên (P), tức là phép chiếu song song lên (P) thep phương vuông góc với (P)
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu đt a vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90
0
• Nếu đt a không vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và (P) là góc giữa a và hình chiếu của nó trên (P)
Lưu ý: Góc giữa đt và mp không vượt quá 90
0
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P)
• Chứng minh đt a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c nằm trong (P)
• Chứng minh đt a song song với đt b mà đt b vuông góc với mp(P)
• Chứng minh a vuông góc với mp(Q) mà (Q) lại song song với (P)
• Chứng minh (P) chứa ba điểm phân biệt mà mỗi điểm cách đều hai điểm M, N, trong đó M, N thuộc a. Khi đó
(P) là mp trung trực của đoạn MN nên
(P) a⊥
• Chứng minh a chứa hai điểm phân biệt mà mỗi điểm cách đều ba điểm A, B, C thuộc (P). Khi đó a là trục của
tam giác ABC nên
a (P)⊥
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
Ngoài các cách trong bài 2 ta còn có các cách sau (sử dụng đt vuông góc mp)
• Chứng minh đt này vuông góc với mp chứa đt kia
• Dùng định lí ba đường vuông góc
• Chứng minh đt này vuông góc với mp song song với đt kia

• Khi cần chứng minh hai đt a và b vuông góc, ta có thể chỉ ra trên đt a hai điểm M, N, trên đt b hai điểm A, B
mà AM = AN, BM = BN. Khi đó A, B thuộc mp trung trực của đoạn MN nên
AB MN hay a b⊥ ⊥
3. Xác định góc giữa đường thẳng a và mp (P)
• Nếu a // (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0
0
• Nếu
a (P)⊥
thì góc giữa a và (P) bằng 90
0
• Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định
hình chiếu H của B trên (P). Góc giữa a và (P) bằng góc
·
BAH
. (Nếu không thấy ngay giao điểm A, ta có thể
chọn đt b // a hoặc mp(Q) // (P) để đưa về trường hợp trên vì góc giữa b và (Q) cũng bằng góc giữa a và (P))
*************************************
Bài 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mp là góc giữa hai đt lần lượt vuông góc với hai mp đó
Lưu ý: Nếu hai mp song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0
0
2. Định lí về diện tích hình chiếu
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(Q) thì
S' S.cos
= ϕ
trong đó
ϕ
là góc giữa hai mp(P) và (Q)

3. Khái niệm hai mp vuông góc
Hai mp(P) và (Q) gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
. Kí hiệu
(P) (Q)⊥
4. Các tính chất
• Nếu một mp chứa một đt vuông góc với một
mp khác thì hai mp đó vuông góc với nhau
a (P)
(P) (Q)
a (Q)
⊂

⇒ ⊥

⊥

• Nếu hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau thì
bất cứ đt a nào nằm trong (P) mà vuông góc
với giao tuyến của (P) và (Q) thì đều vuông góc
với (Q)
(P) (Q),(P) (Q) c
a (Q)
a (P),a c
⊥ ∩ =

⇒ ⊥

⊂ ⊥


• Nếu hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau và
A là một điểm nằm trong (P) thì đt a đi qua
điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)
(P) (Q),a (P)
a (P)
a (Q), A a
⊥ ∈

⇒ ⊂

⊥ ∈

• Nếu hai mp cắt nhau và cùng vuông góc với
mp thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông
góc với mp thứ ba
(P) (Q) c
c (R)
(P) (R),(Q) (R),
∩ =

⇒ ⊥

⊥ ⊥

• Qua đt a không vuông góc với mp(P), có duy nhất một mp(Q) vuông góc với mp(P)
Trang 3
M
H
P
Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang

5. Lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
• Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Như vậy, các mặt bên của hình
lăng trụ đứng là các hình chữ nhật, chúng vuông góc với mặt đáy
• Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Như vậy, các mặt bên của lăng trụ đều là những
hình chữ nhật bằng nhau
• Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Như vậy, hình hộp đứng có bốn mặt bên là
hình chữ nhật, hai mặt đáy có thể chỉ là hình bình hành
• Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Như vậy, cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều
là hình chữ nhật. Độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật
• Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Như vậy, hình lập phương có sáu mặt
đều là hình vuông
Lưu ý: Vì phép chiếu song song không bảo toàn góc và tỉ số của hai đoạn thẳng không song song nên hình biểu diễn
của hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương là như nhau. Khi giải toán, ta cố gắng chọn cách biểu diễn
nào để dễ hình dung, dễ tìm tòi lời giải và không gây nhầm lẫn
6. Hình chóp đều, hình chóp cụt đều
• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Như vậy:
 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi
qua tâm của đáy
 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các
góc bằng nhau
• Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt được tạo thành khi cắt một hình chóp đều bởi một mp song song với đáy.
Như vậy, trong hình chóp cụt đều, các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau, hai mặt đáy là hai đa giác
đều đồng dạng với nhau, đường cao (đoạn nối tâm của hai đáy) vuông góc với hai đáy
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
• Lấy
a (P),b (Q)⊥ ⊥
rồi tính
·
(a,b)

• Giả sử
c (P) (Q)= ∩
. Lấy mp
( )α
vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a, b. Khi đó
góc giữa (P) và (Q) bằng góc
·
(a,b)
Trong nhiều bài toán thường sẵn có đt AB
∈ ∈(A (P),B (Q))
vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c tại
H. Lúc này mp
(α)
chính là mp(ABH) và a, b lần lượt là AH, BH
• Sử dụng định lí hình chiếu: Giả sử đa giác (H) nằm trong mp(P), có hình chiếu trên mp(Q) là đa giác (H’).
Khi đó
ϕ
S'
cos =
S
với
ϕ
là góc giữa (P) và (Q), S’ là diện tích của (H’), S là diện tích của (H)
2. Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc
• Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90
0
• Chứng minh trong (P) chứa đt a lần lượt vuông góc với hai đt cắt nhau nằm trong (Q)
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
• Lấy mp(Q) chứa a mà
(Q) (P), (Q) (P) c⊥ ∩ =

rồi chứng minh a vuông góc với c
• Chứng minh a là giao tuyến của hai mp cắt nhau cùng vuông góc với (P)
4. Dựng mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng a cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước
Từ một điểm trên a, dựng đt b vuông góc với (P). Mặt phẳng (a,b) chính là mp(Q) cần dựng
**********************************
Bài 5. KHOẢNG CÁCH
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
∆
là khoảng cách giữa hai điểm M và H
trong đó H là hình chiếu của M trên
∆
. Kí hiệu d(M,
∆
)
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì thuộc
∆
.
Nếu
M d(M, ) 0∈∆ ⇒ ∆ =
2.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trang 4
H
M
b
P
B
a
Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11 GV: Đỗ Minh Quang

Khoảng cách từ điểm M đến mp(P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên
(P). Kí hiệu
d(M, (P))
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì thuộc mp(P). Nếu
M (P) d(M,(P)) 0∈ ⇒ =

3. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó
Khoảng cách giữa đt a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì
của a đến mp(P). Kí hiệu
d(a,(P))
d(a,(P)) d(A,(P)), A a= ∈
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa một điểm bất kì của a và một
điểm bất kì của (P)
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mp này đến mp kia. Kí hiệu
d((P),(Q))
d((P),(Q)) d(A, (Q)) d(K,(P)), A (P),K (Q)= = ∈ ∈
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa một điểm bất kì của (P) và
một điểm bất kì của (Q)
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Với hai đt chéo nhau a và b, luôn tồn tại duy nhất một đt c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b. Đt c
như thế gọi là đường vuông góc chung của hai đt chéo nhau a và b. Nếu gọi I và J lần lượt là giao điểm của c với a và
b thì đoạn IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đt đó. Kí hiệu d(a,b)
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt
nằm trên a và b
Lưu ý:
• Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đt

đó và mp song song với nó chứa đt còn lại
• Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mp song
song lần lượt chứa hai đt đó
•
IJ = d(a,b)= d(a,(Q))= d(b,(P))= d((P),(Q))

II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
Khi gặp bài toán tính khoảng cách, ta phải nắm chắc các định nghĩa về khoảng cách và sử dụng chính những
định nghĩa đó để xác định các đoạn thẳng mà ta cần tính độ dài rồi từ đó có khoảng cách. Đối với bài toán xác định
khoảng cách từ một điểm đến một mp, ta cần có kĩ năng dựng một đt đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một
mp cho trước
1. Dựng một đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước
Bước 1. Dựng một mp(Q) đi qua A và vuông góc với (P) (cụ thể: chọn một đt d trong (P) rồi dựng mp(Q) đi qua A và
vuông góc với d)
Bước 2. Gọi c là giao tuyến của hai mp (P) và (Q). Trong (Q) kẻ đt qua A vuông góc với c tại H. Khi đó, AH chính là
đường thẳng cần dựng
Lưu ý
• Thường trong những bài toán đơn giản, đã có sẵn đt d và mp(Q)
• Nếu đã có sẵn đt b vuông góc với (P), ta chỉ cần dựng đt a qua A và song song với b
• Kĩ năng dựng đt đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mp cho trước được sử dụng rất nhiều trong
các bài toán xác định khoảng cách, xác định góc giữa đt và mp, …
2. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b
Trang 5
a
b
Q
P
I
J
H

A
B
K
a
b
P
Q
H
A
B
K
a
b