Giải tích 12 chuong 4

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
§1 SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
2
- Mỗi biểu thức dạng a + bi; a, b ∈ ¡ ,i = −1 được gọi là một số phức.
- Đối với số phức z = ai + b, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
Tập hợp các số phức kí hiệu là £ .
- Hai số phức gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.
a = c
a + bi = c + di ⇔ 
y
b = d

- Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi
điểm M(a;b)
trên mặt phẳng phức (hình bên)
uuuu
r
OM
Độ dài của vectơ
được gọi là môđun của số
phức z và
z
được kí hiệu là .
uuuu
r
uuuu
r
z = OM
a + bi = OM
Vậy

hay
.

b

M

O

a

x

a + bi = a2 + b2
Ta thấy:
- Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a - bi là số phức liên hợp
của z và kí hiệu là z . Vậy z = a − bi
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
NHẬN BIẾT.
Câu 1.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. 3i = 3

Câu 2.

Câu 3.
Câu 4.

1 2 1

i =
2
C. 2

B. 4i = −4

2

2

D.

2i 2 = 2 .

Trong các số sau, số nào không phải là số thực?
A. 2 + 3i
B. 0
C. 2

D. −1 + 0i .

Phần thực và phần ảo của số phức z = 3 + i lần lượt là:
A. 3 và 1.
B. 1 và 3.
C. 3 và 0.

D. 3 và i.

Số nào sau đây là số thuần ảo?
A. -1 +0.i.

B. 1.

C. 0+i.

D. 1 - i

C. P = −1 .

D. P = −2 .

C. 0 + i = i + 0 .

D. 2 − i = −i + 2 .

4
2
Câu 5: Giá trị của biểu thức P = i + i là:

B. P = 0 .

A. P = 1 .
Câu 5.

Câu 6.

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 1 + i = i + 1 .
B. 1 − i = i − 1 .

1

3
−
Số phức z có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 2 là:

A.

1
2

z= −

3
i
2 .

B.

1
2

z= −

3
2 .

C.

z=−

3 1

+ i
2 2 .

D.

1
2

z= +

3
i
2 .


Câu 7.

2
Số phức z = m + 2i bằng số phức z = 4 + 2i khi và chỉ khi:
A. m = 2 .
B. m = −2 .

C. m = 2 hoặc m = −2 .
Câu 8.

Biết

D. m = 2 hoặc m = − 2 .

2 x + 1 + ( 3 y − 2) i = x + 2 + ( y + 4) i

x = 1

y = 3.
A. 

. Khi đó:

x = 3

y = 3.
B. 

Số phức z = 2 − 3i có điểm biểu diễn là:
A. (2; 3i).
B. (2; -3i).
THÔNG HIỂU.

x = 1

y = 2.
C. 

x = 3

y = 2.
D. 

C. (2; 3).

D. (2; -3).

Câu 9.

Câu 10. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Trong các khẳng định dưới đây,
khẳng định nào đúng?
Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:
A. -2 và 1.
B. 1 và -2i.
C. 1 và -2.
D. -2 và i.
Câu 11. Công thức môđun của số phức z = a + bi với a, b ∈ ¡ là:
A.

z = a+b

.

B.

z = a 2 + b2

.

C.

z = a 2 + ( bi )

2

.

D.

z = a2 + b2

.

Câu 12. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 2 + 3i , z2 = 3 , z3 = −i . Số
phức z4 với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là:
A. z4 = −1 + 2i .

B. z4 = −1 − 2i .

C. z4 = 2 − i .

D. z4 = 1 + 2i .

Câu 13. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 2 + i , z2 = 1 − i , z3 = 1 − 2i .
Tam giác ABC là tam giác:
A. cân (không đều).
B. đều.
C. vuông (không cân). D. vuông cân.
Câu 14. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = −2 + i , z2 = −3 + 2i ,

z3 = m 2 − 6 + i . Với giá trị nào của m thì tam giác ABC vuông tại B?

A. m = 2 .

B. m = −2 .

C. m = 2 hoặc m = −2 .

D. m = 2 hoặc m = − 2 .

z =2 2
Câu 15. Số phức z = x + yi với x, y ∈ ¡ có phần thực và phần ảo đối nhau và
A. x = 2 và y = 2 hoặc x = −2 và y = −2 .
B. x = −2 và y = 2 hoặc x = −2 và y = 2 .
C. x = 2 2 và y = 2 2 hoặc x = −2 2 và y = −2 2 .
D. x = 2 2 và y = −2 2 hoặc x = −2 2 và y = 2 2 .

z = z2
Câu 16. Cho hai số phức z1 = a + (b − 2)i và z2 = a + 1 − bi với a, b ∈ ¡ . Điều kiện để 1
là a
và b phải thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?


A. 2a − 4b + 5 = 0 .
C. 2a + 4b + 5 = 0 .

B. 2a + 4b − 3 = 0 .
D. 2a − 4b − 3 = 0

y

Câu 17. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ ¡ . Để điểm biểu diễn của z
nằm trong hình tròn tâm O bán kính R = 2 (hình vẽ bên) điều
kiện của a và b là:
2

2
2
2
A. a + b ≤ 4 .
B. a + b > 4 .
2
2
C. a + b = 4 .

-2

x

2

O

2
2
D. a + b < 4 .

Câu 18. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z có phần thực dương thoả mãn
A. Nửa hình tròn I(O,2) nằm bên phải trục tung.
B. Hình tròn I(O,2).
C. Nửa hình tròn I(O,2) nằm bên trái trục tung.
D. Đường tròn I(O,2).

z ≤2

là:

VẬN DỤNG THẤP.
Câu 19. Số phức liên hợp của số phức: z = 1 − 3i là số phức:
A. z = 3 − i .

B. z = −1 + 3i .

C. z = 1 + 3i .

D. z = −1 − 3i .

( )

z' = z
Câu 20. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ ¡ khi đó
là:
'
'
'
A. z = a + bi .
B. z = a − bi .
C. z = −a + bi .

'
D. z = −a − bi .

Câu 21. Cho số phức z = 3 − 2i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:
A. – 3 và 2i.
B. – 3 và - 2.
C. 3 và 2i.

D. 3 và 2
Câu 22. Hình vẽ bên biểu diễn các số phức trên mặt phẳng tọa độ là
các điểm A, B, C,. D. Số phức liên hợp z của số phức

z = 1 − i được biểu diển bởi điểm nào trong các điểm ở hình
bên?
A. điểm A.
C. điểm C.

B. điểm B.
D. điểm D.

Câu 23. Cho số phức z = 6 + 7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:
A. (6; 7).
B. (6; -7).
C. (-6; 7).

D. (-6; -7).
y

Câu 24. Số phức có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo
trong hình bên. Số phức liên hợp trên thỏa mãn điều kiện?
A. phần ảo thuộc đoạn [-2;2].
B. phần thực thuộc đoạn [-2;2].
C. phần ảo thuộc đoạn [0;2].
D. phần thực thuộc đoạn [0;2].
VẬN DỤNG CAO.

x
-2

O

2


Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i) + 2z = 2i . Môdun của số phức
A.

5

B. 2 5 .

.

w=

z − 2z + 1
z2
là:

D. 10 .

C. 2 2 .

Câu 26. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa

z −1+ i
mãn điều kiện:
=2:

2
2
A. ( x + 1) + ( y + 1) = 4 .

2
2
B. ( x − 1) + ( y + 1) = 4 .
2
2
D. ( x + 1) + ( y − 1) = 4 .

2
2
C. ( x − 1) + ( y − 1) = 4 .

z −1
z − 2i
= 1 và
=2
z+i
Câu 27. Số phức z thỏa mãn đồng thời z − 3
là:
A. 2+2i.
B. 2-2i.
C. -2+2i.

Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn
A. 8 3 .

1

B
11
C
21
A

2 2 +1.
2
A
12
D
22
D

(1 − 3i)3
1 − i . Môđun của số phức w = z + iz bằng:

B. 8 2 .

Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn
A.

z=

C. 16.

z − 2 + 2i = 1
B.

3

A
13
A
23
C

D. -2-2i.

4
C
14
D
24
B

D. 8.

. Giá trị lớn nhất của

2 +2.

z

là:

C. 3 2 − 1 .
5
B
15
D

25
A

ĐÁP ÁN
6
B
16
B
26
D

7
A
17
B
27
B

D. 4 2 − 2
8
C
18
D
28
B

9
A
19
A

29
B

10
D
20
C
30
A


§2 CỘNG VÀ NHÂN SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phép cộng - Phép trừ:
- Phép cộng, phép trừ hai số phức được xác định theo quy tắc cộng trừ đa thức
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.
2. Phép nhân hai số phức cũng đưọc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức:
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
3. Lũy thừa của i
Ta có i2 = -1; i3 = i2.i = -i, …
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
NHẬN BIẾT.
Câu 30. Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được
A. z = 1 + 2i.
B. z = -1 - 2i.

C. z = 5 + 3i.

D. z = -1 – i.

Câu 31. Thu gọn z = (2 + 3i)(2 - 3i) ta được
A. z = 4.
B. z = 13.

C. z = -9i.

D. z =4 - 9i.

Câu 32. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i ; z2 = 2 − 3i . Phần thực và phần ảo của số phức z1 − 2z 2
A. 3.
B. -3.
C. 8.
D. -8.

z = i + ( 2 − 4i ) − ( 3 − 2i )
Câu 33. Thu gọn
ta được
A. z = 1 + 2i .
B. z = −1 − 2i .
Câu 34. Cho số phức

z=

A. −7 và 6 2i .

(

2 + 3i

)

C. z = 5 + 3i .

D. z = −1 − i .

2

. Phần thực và phần ảo của số phức z là

B. 7 và 6 2 .

Câu 35. Số phức z = (1 + i)3 bằng
A. -2 + 2i.
B. 4 + 4i.
Câu 36. Số phức z = (1 - i)4 bằng
A. 2i.
B. 4i.
THÔNG HIỂU.

C. −7 và 6 2 .

D. 7 và 6 2i .

C. 3 - 2i.

D. 4 + 3i.

C. -4.

D. 4.

Câu 37. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i ; z2 = 2 − 3i . Phần thực và phần ảo của số phức z1 − 2z 2
A. 3.
B. -3.
C. 8.
D. -8.
Câu 38. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết
luận nào đúng?
z =1
A. z ∈ ¡ .
B.
.
z = −1
C.
.
D. z là một số thuần ảo.

1
Câu 39. Điểm biểu diễn của số phức z = 2 − 3i là:
 2 3
 13; 13÷
2; − 3)
(
.
A.
.
B. 

C.

( 3; − 2) .

D.

( 4; − 1) .


Câu 40. Thu gọn z = i(2 − i).(3 + i) ta được:
A. z = 2 + 5i .
B. z = 5i .

C. z = 6 .

D. z = 1 + 7i .

Câu 41. Kết quả của phép tính (2 − 3i ).(4 − i ) là :
A. 6 − 14i .
B. −5 − 14i .

C. 5 − 14i .

D. 5 + 14i .

Câu 42. Số phức z = (1 + 3) bằng:
A. 4 + 3i .
B. 3 − 2i .

C. 4 + 4i .

D. −2 + 2i .

C. 1+ 3i .

D.

3

1
3
− +
i
Câu 43. Cho số phức z = 2 2 . Số phức ( z )2 bằng:
1
3
− −
i
A. 2 2 .

1
3
− +
i
B. 2 2 .

3− i .

1
3
− +

i
2
Câu 44. Cho số phức z = 2 2 . Số phức 1 + z + z bằng:
1
3
− +
i
A. 2 2 .

B. 2 -

3i .

C. 1.

(

D. 0.

)

1
z+ z
Câu 45. Cho số phức z = a + bi . Khi đó số 2
là:
A. Một số thực.
B. 2.
C. Một số thuần ảo.

(

D. i.

)

1
z− z
Câu 46. Cho số phức z = a + bi . Khi đó số 2i
là:
A. Một số thực.
B. 0.
C. Một số thuần ảo.

D. i.

2
Câu 47. Cho hai số phức z = x + yi và u = a + bi .Nếu z = u thì hệ thức nào sau đây là đúng:
2
2
2
x 2 - y2 = a 2

x 2 - y2 = a

x + y = a
x - y = a





2
2
A. 2xy = b
.
B.  2xy = b .
C.  x + y = b .
D. 2xy = b .

2
2
Câu 48. Cho số phức z = a + bi . Khi đó số phức z = (a + bi ) là số thuần ảo khi
A. a = 0 và b ≠ 0.
B. a ≠ 0 và b = 0.
C. a ≠ 0, b ≠ 0 và a = ±b.
D. a= 2b.

Câu 49. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i . Điều kiện giữa a, b, a’, b’ để z + z ' là một số thực là
a, a '∈ ¡
a + a ' = 0
a + a ' = 0
a + a ' = 0




A. b+b'=0 .
B. b, b '∈ ¡ .
C. b = b '
.
D. b + b ' = 0 .

Câu 50. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i . Điều kiện giữa a, b, a’, b’ để z + z ' là một số thuần
ảo là:
a + a ' = 0
a + a ' = 0
a + a ' = 0
a + a ' = 0




A. b + b ' = 0 .
B.  a, b '∈ ¡ .
C. b = b '
.
D.  a + b ' ≠ 0 .
Câu 51. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i . Điều kiện giữa a, b, a’, b’ để z.z ' là một số thực là
A. aa '+ bb ' = 0 .
B. aa '− bb ' = 0 .
C. ab '+ a ' b = 0 .
D. ab '− a ' b = 0


VẬN DỤNG THẤP.
2
Câu 52. Cho hai số phức. z = x + yi và u = a + bi . Nếu z = u thì hệ thức nào sau đây là đúng:

2
2
2


x − y = a

2
A. 2 xy = b
.

x2 − y 2 = a

B.  2 xy = b
.

2
Câu 53. Cho số phức u = 3 + 4i. Nếu z = u thì ta có:
z = 1+ i
z = 2 + i
z = 1− i

A. 
.
B.  z = −2 − i .

2
2
2

x + y = a

2
C.  x + y = b
.

x − y = a

D. 2 xy = b .

z = 4 + i

C.  z = −4 − i .

 z = 1 + 2i

D.  z = 2 − i .

2
Câu 54. Cho số phức u = −1 + 2 2i . Nếu z = u thì ta có:

z = 2 + i

z = 2 2 −i
A. 
.

 z = 2 + 2i

z = 2 −i
B. 
.

 z = 1 + 2i


z = −1 − 2i
C. 
.

 z = 1 + 2i

D.  z = 2 − i .

Câu 55. Cho số phức z = a + bi . Mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là
A. z + z = 2bi.

B. z - z = 2a.

C. z. z = a2– b2.

2

2
D. z = z .

Câu 56. Cho số phức z = − a + bi . Mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là
A. z + z = 2bi .

B. z + z = 2a .

2
2
C. z.z = a + b .

2

2
D. z = z .

Câu 57. Cho ba số phức z1 = 4 + 3i, z2 = −4 + 3i và z3 = z1.z2 , lựa chọn phương án đúng
A. z1 = z2 .
1
D
11
D
21
D

2
B
12
C
22
C

B.
3
C
13
D
23
B

4
D

14
B
24
B

z3 = z1

2

5
C
15
D
25
C

.

C.
ĐÁP ÁN
6
A
16
A
26
D

z3 = 25
7
C

17
A
27
D

.
8
C
18
B
28
C

D.

z1 + z2 = z1 + z2 .

9
B
19
C

10
B
20
A


§3: NGHỊCH ĐẢO CỦA SỐ PHỨC, PHÉP CHIA SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

- Tổng và tích của hai số phức liên hợp.
2

z + z = 2a; z.z = z
Cho z = a + bi. Ta có:
Tổng của một số phức với liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của nó. Tích của một số phức
với liên hợp của nó bằng bình phương môđun của nó. Trong cả hai trường hợp kết quả đều là
một số thực.
- Nghịch đảo của một số phức.

z

z = a + bi là một số phức khác 0. Số phức

z

2

được gọi là số phức nghịch đảo của z và kí hiệu

1
là z
1 a − bi
=
( z ≠ 0)
z a2 + b2
- Phép chia hai số phức.
Chia số phức a + bi cho số phức c + di ≠ 0 là nhân a + bi với nghịch đảo c + di. Thương của
z = a + bi ⇒

a + bi
phép chia này được kí hiệu là c + di .
a + bi
Chú ý: Để thực hiện phép chia c + di , ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của c + di.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
NHẬN BIẾT.

1− i
Câu 58. Số phức i có dạng:
A. 1 + i .
B. −1 + i .

C. 1 − i .

D. −1 − i .

Câu 59. Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 − 3i là:
−1

A. z

1
3
+
i
= 2 2 .

−1

B. z

1
3
+
i
= 4 4 .

−1
C. z = 1 +

3i .

−1
D. z = -1 +

3i .

3 − 4i
Câu 60. Số phức z = 4 − i bằng:
16 13
16 11
− i
− i
A. 17 17 .
B. 15 15 .

9 4
− i
C. 5 5 .

9 23
− i
D. 25 25 .

3+ 2i 1− i
+
Câu 61. Thu gọn số phức z = 1− i 3 + 2i ta được:
21 61
23 63
+ i
+ i
A. z = 26 26 .
B. z = 26 26 .

15 55
+ i
C. z = 26 26 .

2 6
+ i
D. z = 13 13 .

1 + i + i2
Câu 62. Số phức

2 + i có dạng:


1

2i
+
3 .
A. 3

1
2i
−
3 .
B. 3

1
2i
− −
3 .
C. 3

1
2i
− +
3 .
D. 3

(3 + 2i )(1 − 3i )
1+ i 3

Câu 63. Số phức

có dạng:

9−7 3 7+9 3
+
i
4
4
A.
.

9−7 3 7+ 9 3
−
i
4
4
B.
.

7−9 3 9+ 7 3
+
i
4
4
C.
.
THÔNG HIỂU.

7−9 3 9+ 7 3
−
i
4
4

D.

(1 + i )5
3
Câu 64. Phần thực và phần ảo của số phức (1 − i ) lần lượt là
A. -2 và 1.
B. 1 và -2.
C. 0 và 2.

D. 2 và 0.

( x + y ) + ( 2 x − y ) i = 3 − 6i
Câu 65. Với giá trị nào của x,y thì
A. x = −1; y = 4 .
B. x = −1; y = −4 .
C. x = 4; y = −1 .

D. x = 4; y = 1 .

Câu 66. số phức

z=

( 3 − 4i ) ( 1 + 2i ) + 4 − 3i
1 − 2i

A. 27 + 9i .

Câu 67. Cho số phức
21

A. 68 .
Câu 68. Cho số phức
phức z bằng
ac + bd
2
2
A. a + b .

là:

B. 27 − 9i .
w=

C. 1 + i .

2 + 3i
(4 + i )(2 − 2i ) . Khi đó phần thực của số phức w là:
1
B. 68 .

z=

27 9
+ i
D. 5 5 .

C.

−

1
68 .

D.

−

21
68 .

c + di
a + bi , với a, b, c, d là các số thực và a + bi ≠ 0 . Khi đó phần thực của số
ad − bc
2
2
B. a + b .

ad + bc
2
2
C. a + b .

ac − bd
2
2
D. a + b .
z=

m + 9i
1 − i là số thực?

D. m = ±3 .

Câu 69. Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức
A. m = 9 .
B. m = −9 .
C. m = ±9 .
VẬN DỤNG THẤP.
2 + 3i
w=
(4 + i )(2 − 2i ) . Khi đó phần thực của số phức w là:
Câu 13 : Cho số phức
21
A. 68 .

Câu 70. Cho số phức

1
B. 68 .
w=

C.

−

1
68 .

3
5 − i . Khi đó phần ảo của số phức w là:

D.

−

21
68 .


A.

−

15
26 .

B.
w = 5 − 2i −

Câu 71. Cho số phức
26 44
w=− − i
5 15 .
A.
Câu 72. Cho số phức
phức z bằng
ac + bd
2
2
A. a + b .

z=

−

3
26 .

3
C. 26 .

15
D. 26 .

5 + 4i
3 − 6i . Ta có:

B.

w=

26 44
+ i
5 15 .

C.

w=−

26 44
− i

5 15 .

D.

w=

26 44
− i
5 15 .

c + di
a + bi , với a, b, c, d là các số thực và a + bi ≠ 0 . Khi đó phần thực của số
ad − bc
2
2
B. a + b .

ad + bc
2
2
C. a + b .

ac − bd
2
2
D. a + b .

z +i
Câu 73. Cho số phức z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ). Khi z ≠ i , hãy tìm phần ảo của số phức z − i .

x2 − y 2 −1
2
2
A. x + ( y − 1) .

2x
2
2
B. y + ( x − 1) .

Câu 74. Tìm số phức z biết (4 − 5i ) z = 2 + i .
3 14
3 14
z= + i
z=− + i
41 41 .
41 41 .
A.
B.
3 + 5i
= 2 − 4i
Câu 75. Tìm số phức z biết z
.
7 11
7 11
z= + i
z=− + i
10 10 .
10 10 .
A.

B.

x2 + y2 −1
2
2
C. x + ( y − 1) .

C.

C.

z=

2x
2
D. x + ( y − 1) .
2

3 14
− i
41 41 .

z=−

D.

7 11
− i
10 10 .

D.

z=−

z=

3 14
− i
41 41 .

7 11
− i
10 10 .

x(3 − 2i)
+ y (1 − 2i) 2 = 6 − 5i
2
+
3
i
Câu 76. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức
.
A. x = 6; y = −5 .
B. x = 12; y = −10 .
C. x = 13; y = −2 .
D. x = 2; y = 13 .

A= z + z
Câu 77. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i).z = 2 + 11i . Giá trị của biểu thức
bằng:

A. 5.

B.

5.

D. 10 .

C. 10.

Câu 78. Thực hiện phép chia 3 + 2i cho 2 + 3i được kết quả là:
12 5
12 5
5 12
− i
− + i
− i
A. 13 13 .
B. 13 13 .
C. 13 13 .
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
D

B
A
C
A
B
D
A
12
13
14
15
16
17
18
19
C
B
C
D
A
D
A
B

D.
9
D
20
C

−

5 12
+ i
13 13

10
B
21
C

11
A
22
A


§4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Căn bậc hai của số thực âm
Tương tự căn bậc hai của số thực dương, từ đẳng thức i 2 = -1, ta coi i là một căn bậc hai của -1.
Cũng vậy -i cũng là căn bậc hai -1, vì (-i)2 = - 1.

±i a
Tóm lại, các căn bậc hai của số thực a < 0 là
.
2
2. Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0.
Xét biệt số ∆ = b2 - 4ac của phương trình. Ta thấy:
b

x= −
a;
- Khi ∆ = 0, phương trình có 1 nghiệm thực
x1,2 =

−b± ∆
2a

- Khi ∆ > 0, phương trình có 2 nghiệm thực
- Khi ∆ < 0, phương trình không có nghiệm thực, vì không tồn tại căn bậc hai thực của ∆. Tuy
nhiên trong trường hợp ∆ < 0, nếu xét trên tập số phức ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆
là

±i ∆

x1,2 =

. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

−b± i ∆

2a
- Phương trình bậc hai trên trường số phức luôn có hai nghiệm (không nhất thiết là phân biệt).
Tổng quát, người ta chứng minh được mọi phương trình bậc n ≥ 1.
a0xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an = 0

. Trong đó a0 ≠ 0, a0, a1,..., an ∈ £ đều có n nghiệm

phức.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:

NHẬN BIẾT.
2
Câu 79. Trong C, phương trình z + 4 = 0 có nghiệm là:
 z = 1+ 2i
 z = 2i
 z = −2i

A. 
.
B.  z = 1− 2i .
C.

 z = 1+ i
 z = 3 − 2i

.

 z = 5 + 2i

D.  z = 3 − 5i .

2
Câu 80. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z + 2z + 3 = 0. Tọa độ điểm M biểu

diễn số phức z1 là:
A.
Câu 81.

M(−1; 2) .

B. M(−1; −2) .

C. M(−1; − 2) .

D. M(−1; − 2i)

2
P = z14 + z24
ọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z − 2z + 5 = 0 . Tính

G
A. – 14.

B. 14.

C. -14i.

D. 14i.

4
2
Câu 82. Tập nghiệm của phương trình z − 2z − 8 = 0 là:

{±

A.

}.

2; ± 2i

B.

{±

}.

2i; ± 2

C.

{ ±2;

± 4i}

.

D.

{ ±2;

± 4i}

.

.


3
Câu 83. Trong C, phương trình z + 1 = 0 có nghiệm là:

1± i 3
2 .
A. -1;

2± i 3
2 .
B. -1;

1± i 5
4 .
C. -1;

5± i 3
4
D. -1;

THÔNG HIỂU.
2
F = z1 + z2
Câu 84. Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm của phươngtrình: z − 2z + 5 = 0 . Tính

A. 2 5 .

B. 10.

D. 6.

C. 3.

Câu 85. Cho số phức z = 3+ 4i và z là số phức liên hợp của z . Phương trình bậc hai nhận z và z làm
nghiệm là:
3
1
z2 − 6z + i = 0
z2 − 6z+ = 0
2
2
2
2
A. z − 6z + 25 = 0.
B. z + 6z − 25 = 0.
C.
.
D.
.
1
z + = −1
P = z13 + z23 là:
z
Câu 86. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình
. Giá trị của
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = 2.
D. P = 3.
1
1
z+ = 1
P = z2017 + 2017

z . Giá trị của
z
Câu 87. Biết số phức z thỏa phương trình
là:
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = 2.
D. P = 3.
2
2
Câu 88. Tập nghiệm của phương trình: (z + 9)(z − z + 1) = 0 là:


1
3i 
±3; +

2 2 


A.
.


1
3i 
 ±3; −

2 2 



B.
.


1
3i 
±3i; ±

2 2 


C.
.

 1
3i 
3; ±

2 2 


D.
.

−1− 5i 5
−1+ 5i 5
z2 =
3
3

Câu 89. Phương trình bậc hai với các nghiệm:
,
là:
2
2
2
2
A. z − 2 z + 9 = 0 .
B. 3 z + 2 z + 42 = 0 . C. 2 z + 3z + 4 = 0 .
D. z + 2 z + 27 = 0 .
z1 =

VẬN DỤNG THẤP.
z1 z2
+
z2 z1

2
Câu 90. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình 2z + 3z + 3 = 0 . Giá trị của
3
3
1
1
−
−
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .

là

2
Câu 91. Gọi là z1 nghiệm có phần ảo dương của nghiệm phương trình 4 z − 16 z + 17 = 0 . Số phức w = i

z1

là:

1
w = − + 2i
2
A.
.

1
w = − − 2i
2
B.
.

C.

w=

1
− 2i
2
.

D.

w=

1
+ 2i
2
.


4
2
Câu 92. Gọi z1 , z2 z3 và z4 là các nghiệm của phương trình z − z − 12 = 0 . Tính tổng của

T = z1 + z2 + z3 + z4

là:
B. T = 2 3 .

A. T= 4.

C. T = 4+ 2 3 .

D. T = 2 + 2 3 .

2
2
2
Câu 93. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z + 3 z + 3 = 0 . Khi đó, giá trị của z1 + z2 là:
9

−9
4
B. 4 .
C. 9.
D. 4.
A. .

VẬN DỤNG CAO.
2
Câu 94. Cho phương trình z + bz + c = 0 . Nếu phương trình nhận z = 1 + i làm một nghiệm thì b và c
bằng (b, c là số thực):
A. b = 3, c = 5.
B. b = 1, c = 3.
C. b = 4, c = 3.
D. b = -2, c = 2.
3
2
Câu 95. Cho phương trình z + az + bz + c = 0 . Nếu z = i + 1 và z = 2 là hai nghiệm của phương trình thì
a, b, c bằng (a,b,c là số thực):
a = −4
a = 2
a = 4
a = 0




b = 6
b = 1
b = 5

b = −1
c = −4
c = 4
c = 1
c = 2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.

2
Câu 96. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z − 4z + 9 = 0 . Gọi M, N là các điểm biểu diễn

của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:
A. MN = 4 .

B. MN = 5.

C. MN = −2 5 .

D. MN = 2 5 .

2
Câu 97. Phương trình z + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i . Tổng của hai số a và b là :
A. 0.
B. -4.

C. -3.
D. 3
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
A
B
A
A
A
C
C
C
B
12
13
14
15
16

17
18
19
20
21
22
A
A
A
B
D
A
D
D

BÀI TOÁN TỔNG HỢP
VẬN DỤNG THẤP.
2
Câu 98. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z − 2iz − 4 = 0 . Khi đó mô đun của số phức

w = (z1− 2)(z2 − 2)

A. 4.

là:
B. 5.

C. 6.

D. 7.

2

Câu 99. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z:
A. 4.
B. 3.

4z2 + 8 z − 3 = 0

C. 2.

là:
D. 1.


Câu 100. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + 2i ) z = 5(1 + i ) . Tổng bình phương của phần thực và phần
2

ảo của số phức w = z + iz bằng
A. 2.
B. 4.

C. 6.

D. 8.

2
Câu 101. Phần thực của số phức z thỏa mãn: (1 + i ) .(2 − i) z = 8 + i + (1 + 2i).z là:
A. -6.
B. -3.
C. 2.

D. -1.
2

Câu 102. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện:
A. 0.
B. 1.

z2 = z + z

.

C. 3.

D. 2.

Câu 103. Cho số phức z = 6 + 7i . Số phức liên hợp của z có điểm biễu diễn là:
A. ( 6; 7).
B. ( 6; -7).
C. ( -6; 7).

D. (-6; -7).

Câu 104. Cho số phức z = −5 − 12i . Khẳng định nào sau đây là sai
A. Số phức liên hợp của z là z = 5 − 12i .
B. ω = 2 − 3i là một căn bậc hai của z.
−5 12
z −1 =
+
i
169 169 .

C. Mô đun của z là 13. D.
2
Câu 105. Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z + 2 z + 10 = 0 . Giá trị của biểu thức:
2

A = z1 + z2

A. 100.

2

là:
B. 10.

C. 20.

D. 17.
2

Câu 9 : Tập hợp các nghiệm phức của phương trình
{ −i; i;0} .
A. Tập hợp mọi số ảo. B.
{ −i;0} .
C.
D. Tập hợp mọi số thực.

(2 + i)z +

Câu 106. Cho số phức z thỏa mãn
A. 6.

B. 3.
VẬN DỤNG CAO.

Câu 107. Cho số phức z thoa mãn hệ thức
A.

26
5 .

là:

2(1 + 2i)
= 7 + 8i
1+ i
. Môđun của số phức w = z + i + 1 bằng:
C. 5.
D. 4

(i + 3) z +

6
B. 5 .
z1 = −3 + 6i; z2 =

z2 + z = 0

2+i
= (2 − i ) z
i
. Môđun của số phức ω = z − i là:

2 5
C. 5 .

26
D. 25 .

−2i
. z1
3
có các điểm biểu diễn mặt phẳng phức là A,B. Tam

Câu 108. Cho hai số phức
giác ABO là:
A. Tam giác vuông tại. A.
vuông tại O.
D. Tam giác đều.

B. Tam giác vuông tại. B.

C.

Tam

giác

Câu 109. Tìm hai số phức z biết rằng tổng của chúng bằng 4 − i và tích của chúng bằng 5.(1 − i ) . Đáp số
của bài toàn là:
z = 3+ i
 z = 3 + 2i

z = 3+ i
 z = 1+ i
 z = 1− 2i
 z = 5 − 2i
 z = 1− 2i

A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.  z = 2 − 3i .


z −1
z − 3i
= 1 và
=1
z
−
i
z
+
i
Câu 110. Số phức z thỏa mãn đồng thời
là:
A. 1- i.
B. 1+i.
C. -1+i.

D. -1-i.

z− i = 1
Câu 111. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện
là:
A. Một đường thẳng.
B. Một đường tròn.
C. Một đoạn thẳng.
D. Một hình vuông.
Câu 112. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện
2i − 2 z = 2 z − 1

là:

1
A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A,B lần lượt biểu diễn các số i và 2 .
1
B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A,B lần lượt biểu diễn các số -i và - 2 .
1
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A,B lần lượt biểu diễn các số -i và 2 .
1
D. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A,B lần lượt biểu diễn các số i và - 2 .

Câu 113. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biễu diễn các số phức z thỏa mãn đi ều kiên:
zi − (2 + i ) = 2

là:
2
A. ( x − 1) + ( y + 2) = 4 .

C. 3 x + 4 y − 2 = 0 .
2

B. x + 2 y − 1 = 0 .
2
2
D. ( x + 1) + ( y − 2) = 9

2 z − 2 + 3i = 2i − 1 − 2 z
Câu 114. Cho số phưc thỏa mãn:
. Tập hợp điểm biễu diễn cho số phức z là:
A. 20 x − 16 y − 47 = 0 . B. 20 x + 16 y − 47 = 0 . C. 20 x + 16 y + 47 = 0 . D. 20 x − 16 y + 47 = 0 .
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
D
C
C
B
A

C
A
C
11
12
13
14
15
16
17
18
A
C
C
B
B
C
A
A