Giáo án Hình học 12 chương 2 bài 2: Mặt cầu

GIÁO ÁN HÌNH HỌC 12
 MẶT CẦU
I. Mục đích bài dạy:
- Kiến thức cơ bản: khái niệm mặt cầu, tâm mặt cầu, bán kính mặt cầu, đường kính mặt cầu.
Giao của mặt cầu và mặt phẳng, giao của mặt cầu và đường thẳng, tiếp tuyến với mặt cầu, công
thức tính diện tích và thể tích của khối cầu.
- Kỹ năng:
+ Biết cách tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu.
+ Biết chứng minh một số tính chất liên quan đến mặt cầu.
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong
đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp:
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
Hoạt đđộng của Gv
Hoạt đđộng của Hs
I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN
QUAN ĐẾN MẶT CẦU.
1. Mặt cầu:
Tập hợp những điểm M trong không gian cách
điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r
(r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.

.

.

.

B

O

A

Ký hiệu: S(O; r) hay (S).
Ta có: S(O;R) =  M | OM  r
+ Bán kính: r = OM (M S(O; r))
+ AB là dây cung đi qua tâm O nên được gọi là
Đường kính: AB (OA = OB).
2. Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài mặt cầu.


Khối cầu:
Cho mặt cầu tâm O và bán kính r và M là một
điểm bất kỳ trong không gian.
+ Nếu OM = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu
S(O; r).
+ Nếu OM < r thì ta nói điểm M nằm trong mặt
cầu S(O; r).
+ Nếu OM > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt
cầu S(O; r).



.

O

A

M

.



B

M


M

3. Biểu diễn mặt cầu: (H.2.16)SGK, trang 42)
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:
(SGK, trang 43)
Hoạt động 1:
Em hãy tìm tâm các mặt cầu luôn đi qua hai
điểm cố định A và B cho trước.
II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG.
Cho S(0 R,) và mp (P). Gọi H là hình chiếu của
O lên (P) và h = 0H là khoảng cách từ O tới (P)
1. Trường hợp h > r:
 M  (P): 0M  0H = h >R
 S(0; r)  (P) = 

P

Hs thảo luận nhóm để tìm tâm các mặt cầu luôn
đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.


R

2. Trường hợp h = r:
Khi đó H  S(0;R):  M (P), M  H
Thì 0M  0H = R
 S(0;R)  (P) = H
Do đó ta có:
Điều kiện cần và đủ để mp (P) tiếp xúc với mặt
cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán
kính OH tại điểm H đó.

R

M

P

2. Trường hợp h < r:
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H,
bán kính r’ = r 2  h 2

R
M

0

H

H

0

H

P

0


+ Đặc biệt: khi h = 0, ta có giao tuyến của mặt
phẳng (P) và mặt cầu S(O; r) là đường tròn tâm O,
bán kính r, đường tròn này được gọi là đường tròn
lớn.
+ Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là
mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
Hoạt động 2:
a/ Em hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt
cầu S(O; r) và mặt phẳng (). Biết rằng khoảng
r
cách từ tâm O đến () bằng .
2
b/ Cho mặt cầu S(O; r), hai mp () và () có
khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần
lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán
kính của các đường tròn giao tuyến.
III. GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG

THẲNG, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU:
Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của tâm O trên  và d =
OH là khoảng cách từ O đến .
1. Nếu d > r:
Ta có: OM > r
 ()  (S) =  (Mọi điểm M thuộc  đều nằm
ngoài mặt cầu.)
O
R
()

d

H

Hs thảo luận nhóm để:
+ Xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S(O; r) và mặt phẳng (). Biết rằng khoảng
r
cách từ tâm O đến () bằng .
2
+ So sánh hai bán kính của các đường tròn giao
tuyến.


2. Nếu d = r :
Ta có : OM > OH = r
 ()  (S) = M
M: được gọi là tiếp điểm

() : được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
Như vậy : điều kiện cần và đủ để đường thẳng 
tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H là  vuông
góc với bán kính OH tại điểm H đó.

()
O
R
d
H

3. Nếu d < r :
Ta có : OH < r
 ()  (S) = {A, B}

()

O
R
A

d
H

B


* Nhận xét:
a/ Qua điểm A nằm trên mặt cầu (S; r) có vô số
tiếp tuyến của mặt cầu (S; r). Tất cả các tiếp tuyến

này đều nằm trên tiếp diện của mặt cầu (S; r) tại
điểm A.
b/ Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu (S; r) có vô số
tiếp tuyến với mặt cầu (S; r). Độ dài các đoạn
thẳng kẻ từ A tới tiếp điểm đều bằng nhau.
* Chú ý:
+ Ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt
cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện
đó, và mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả
các đỉnh của hình đa diện đều thuộc mặt cầu.
+ Khi nói mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa
diện, ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp)
mặt cầu.
Hoạt động 3:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh
bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:
Hs thảo luận nhóm để xác định tâm và bán kính
a/ Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.
mặt cầu:
b/ Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.
+ Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.
c/ Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương.
+ Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.
IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU
+ Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương.
VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU.
+ Mặt cầu bán kính r có diện tích là:
S = 4..r2
+ Mặt cầu bán kính r có thể tích là:
4

V = .r3
3
IV. Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
+ Dặn BTVN: 1..10, SGK, trang 49.