SKKN Ứng dụng của nguyên lý Đirichle vào giải một số dạng toán

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Hiện nay với sự phát triển mạnh mẽ của đất nước, đặc biệt là sự phát triển
như vũ bão của khoa học kĩ thuật. Theo hướng đó, ngành giáo dục phải thay đổi
tầm nhìn và phương thức hoạt động là yêu cầu tất yếu vì sản phẩm của giáo dục
là nhân cách của con người. Nó quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước.
Do đó cần phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam
theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa giáo dục. Đồng thời trong
phương pháp giảng dạy và giáo dục luôn lấy người học làm trung tâm, đề cao
việc tự học của học sinh là cốt yếu.
Trong giáo dục và giảng dạy môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà
trường các tri thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác, trong đời sống
hàng ngày thì có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc,
ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành hoạt động
lao động trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước.
Thực tế dạy học nói chung và môn toán nói riêng đang chuyển dần theo
hướng dạy học từng chủ đề, lấy người học làm trung tâm, lấy sự tự học làm cốt
yếu.Tuy vậy trong trường học hiện nay việc áp dụng dạy học theo chủ đề chưa
được phổ biến nhưng tôi và đồng nghiệp đã áp dụng phương pháp này trong việc
bồi dưỡng học sinh giỏi bước đầu có hiệu quả, đa số học sinh có hứng thú học
tập yêu thích môn học, đặc biệt sau mỗi dạng toán, học sinh vận dụng lý thuyết
vào giải toán có phương pháp và kỹ năng tốt.
Mặt khác trong quá trình giảng dạy thực tế mới chỉ dạy cho học sinh ở
mức độ truyền thụ trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng
toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho học sinh. Do đó tôi đã
phân loại dạng toán với định hướng dạy học theo chủ đề. Vì vậy tôi đã và đang
nghiên cứu về ứng dụng của nguyên lý Đirichle vào giải một số dạng toán đối
với việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6, lớp 7 nói riêng và dạy học đại trà nói
chung.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Ứng dụng của nguyên lí Đirichle vào giải một số bài toán lớp 6, 7 trong

quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy học đại trà ở trường THCS.
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:
1


Nghiên cứu nhằm đề ra các giải pháp sư phạm giúp cho học sinh có năng
lực ứng dụng giải toán trong chương trình giải toán lớp 6, lớp 7 chủ yếu cho bồi
dưỡng học sinh giỏi góp phần nâng cao chất lương dạy học toán nói chung và bồi
dưỡng học sinh giỏi nói riêng.
Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ như sau:
1.Làm sáng tỏ cơ sở lí luận nguyên lý Điricle
2. Đề xuất các biện pháp sư phạm trong ứng dụng của nguyên lí Điricle
vào giải một số bài toán cho HS.
3.Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
4. Giaỉ pháp nghiên cứu:
4.1. Nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có nội
dung liên quan đến nguyên lý Điriclê.
4.2. Phân tích, tổng hợp: phân tích các số liệu từ tài liệu để sử dụng trong
đề tài. Sau đó tổng hợp các số liệu.
4.3. Điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng về năng lực giải Toán của
học sinh lớp 6, lớp 7 đặc biệt là giải toán nhờ sử dụng nguyên lí Điricle.
4.4. Ứng dụng khoa học: Đưa nội dung đề tài vào thực tế giảng dạy để
thực hiện.
...
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận:
Dựa trên định hướng dạy học theo chủ đề thì việc giải toán củng chuyển
dần sang từng mảng kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng kết hợp liên hệ thực
tế đồng thời tích hợp các môn học, đặc biệt môn Toán càng quan trọng hơn vì
lượng kiến thức của bộ môn Toán có mối quan hệ chặt chẽ với nhau và liên quan

đến nhiều môn học khác. Do đó trong quá trình dạy học cần rèn luyện giúp HS
nắm vững các kiến thức cơ bản từ đó có cơ sở để giải và nhận dạng bài tập thuộc
chủ đề nào các em đã được học.
1. Trong quá trình dạy học cần có nguyên tắc cơ bản về quá trình giải toàn
theo trình tự 4 bước cơ bản là:
Bước 1: Đọc đề phân tích đề ;
Bước 2: Tìm tòi lời giải;
2


Bước 3: Xây dựng lời giải;
Bước 4: Kiểm tra đánh giá lời giải.
2. Trong quá trình dạy học ngoài việc tuân thủ các nguyên tắc cơ bản, GV
cần chú trọng đến việc giúp HS nhận dạng dạng toán ngay trong hai bước đầu
của việc giải toán. Muốn vậy, trong quá trình giải toán GV phải tập dần cho HS
thói quen nhận dạng bài toán và phần lý thuyết cần áp dụng có thể thông qua bốn
bước cơ bản của giải toán. Trong bước 1 và bước 2 đòi hỏi HS huy động hết kiến
thức về dạng toán mà đã phát hiện, khi đó các em cần có sẵn lượng kiến thức để
thực hiện , chính vì vậy đòi hỏi người dạy phải hình thành sẵn cho HS kiến thức
hợp lí để đáp ứng được yêu cầu từng thời điểm thích hợp.Đó chính là các nguyên
lí toán học và phương pháp ứng dụng, như nguyên lí Đirichlê.
2. Cơ sở thực tiễn:
Qua khảo sát cho học sinh làm bài kiểm tra về cách giải toán dựa trên
nguyên lí Đirichlê ở lớp 6 của trường THCS tôi giảng dạy cho kết quả điểm số
như sau:
Khối
6

Tổng Loại Giỏi
Loại Khá

%
SL
%
số HS SL
33
3
11
12
76
Tôi rút ra được một số nhận xét như sau:

Loại TB
SL
%
7
4

Loại Yếu
SL
%
15
9

1. Về phía giáo viên:
Trong quá trình dạy học ở trường THCS hiện nay nói chung ta đang dạy
theo chương trình Sgk, từng nội dung độc lập và chưa hệ thống được bài tập theo
chủ đề. Bên cạnh đó một số giáo viên chưa chú trọng nhiều đến việc phân loại
các dạng bài tập theo chủ đề cho học sinh để áp dụng lý thuyết và tìm nhiều cách
giải sáng tạo đồng thời chưa liên hệ được thực tế đối với những dạng toán có tính
thực tế cao như toán về ứng dụng nguyên lý Điricle.Hơn nữa trong chương trình

sgk toán, đây củng là một phần bài tập chưa phổ biến nhưng lại có tính tư duy
cao nên ít được giáo viên chú trọng.
2.Về phía học sinh:
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy học sinh giải bài tập về nguyên lý
Diricle nhưng không nhận ra dạng lý thuyết áp dụng của bài toán,đồng thời các
em không xâu chuổi được các dạng bài tập nên khi học gặp nhiều khó khăn.
3. Giải pháp đã thể nghiệm:
3


Bồi dưỡng kiến thức cơ bản về nguyên lý Đirichlê cho HS
a. Nội dung của nguyên lý Đirichlê:
Nếu nhốt n con thỏ vào m cái lồng, với n>m,nghĩa là số thỏ nhiều hơn
số lồng thi ít nhất có 2 con thỏ cùng nhốt một lồng.
b. Một số điều cần lưu ý:
1. Các bài toán áp dụng nguyên tắc Đirichlê thường là các bài toán chứng
minh sự tồn tại của sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách
tường minh sự vật, sự việc đó.
2. Nhiều bài toán, nguyên tắc Đirichlê chỉ xuất hiện sau khi biến đổi qua
một bước trung gian, hoặc thành lập các dãy số mới.
3. Để giải bài toán áp dụng nguyên tắc Đirichlê, nhiều khi ta phải kết hợp
với phương pháp chứng minh phản chứng.
4. Khi giải các bài toán mà ta đã biết phải áp dụng nguyên tắc Đirichlê
hoặc dự đoán sẽ phải dùng nguyên tắc này, chúng ta cần suy nghĩ hoặc biến đổi
bài toán để làm xuất hiện khái niệm "thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào
lồng".
5. Cũng có thể có những bài toán phải áp dụng 2, 3 lần nguyên tắc
Đirichlê.
6. Trong suy nghĩ khi giải toán ta cố gắng làm xuất hiện các khái niệm
"thỏ" và "lồng", nhưng trong trình bày phần lời giải ta cố gắng diễn đạt theo

ngôn ngữ toán học thông thường.
7. Khi giải xong các bài toán áp dụng nguyên tắc Đirichlê, chúng ta cố
gắng suy nghĩ để sáng tạo ra được các bài toán tổng quát hơn hoặc cụ thể hơn.Vì
chỉ có như thế ta mới thật nắm chắc bài toán mà mình đã làm
c. Các bài toán minh họa:
* Dạng toán suy luận
Khi giải dạng toán này có tính thực tế cao và rất gần gũi đời sống hàng
ngày với nội dung suy luận một vấn đề liên quan đến các số liệu có tính quy luật
thì luôn có một nguyên tắc nhất định nhưng thường thì học sinh không nhớ rằng
đó là quy tắc toán học mà các em hay dự đoán hoặc nhẩm tính máy móc.Vì vậy
đưa nguyên lí Đirichlê áp dụng vào từng bài, từng dạng để từ từ học sinh sử
dụng thành thạo.
4


Bài 1
Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có
tháng sinh giống nhau.
(Với bài này cần cho học sinh xác định số thỏ là 40 học sinh,số lồng là 12
tháng.)
Bài giải:
Một năm có 12 tháng. Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng đó. Nếu mỗi
tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra thì số học sinh không quá:
3.12 = 36 mà 36 < 40
Vậy tồn tại một tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh
Bài 2.
Có 10 đội bóng thi đấu với nhau trong một giải, mỗi đội phải đấu một trận
với các đội khác. CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như
nhau
Bài giải

Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong
các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận.
Như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy
theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội trận đấu như nhau. (Đội chưa đấu
trận nào, số trận = 0)
Bài 3.
Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2
học sinh được điểm 10. CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra
bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10)
(Trong bài này phải hiểu được số thỏ là 45-2 = 43; số lồng là 11-3= 8)
Bài giải
Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi loại
trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá
5.8=40 học sinh, ít hơn 43 học sinh. Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng
nhau.
Bài 4
5


Một đồi thông có 800 000 cây thông. Trên mỗi cây thông có không quá
500 000 chiếc lá. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 2 cây thông có cùng số lá
như nhau trên cây.
Bài giải:
Ta hãy tưởng tượng mỗi cây thông là một "thỏ", như vậy có 800.000 "thỏ"
được nhốt vào không quá 500.000 "chiếc lồng". Lồng 1 ứng với cây thông có
một chiếc lá trên cây, lồng 2 ứng với cây thông có 2 chiếc lá trên cây v.v…
Số thỏ lớn hơn số lồng, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất có 1 lồng nhốt
không ít hơn 2 thỏ nghĩa là có ít nhất 2 cây thông có cùng số lá.
* Dạng toán chia hết
Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt.Phép chia

có hàng loạt các tính chất mà các phép còn lại không có. Ví dụ các phép toán
cộng, trừ, nhân đều thực hiện với số 0 còn phép chia thì không thể.Vì những lí do
đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn một lý thuyết về phép chia . Những
ví dụ sau được ứng dụng liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý
Dirchle.
Bài 5.
Cho dãy số gồm 5 số tự nhiên bất kì a 1, a2, a3, a4, a5. Chứng minh rằng tồn
tại một số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã cho chia
hết cho 5.
Bài giải:
Ta sẽ thành lập dãy số mới gồm 5 số sau đây:
S1 = a1;
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3;
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
- Nếu một trong cách Si (i = 1, ... 5) chia hết cho 5 thì bài toán đã được
chứng minh.
- Nếu không có số nào chia hết cho 5 thì khi đem chia các số S i cho 5 sẽ
được số dư có giá trị từ 1 đến 4.
6


Có 5 số dư mà chỉ có 4 giá trị (5 thỏ, 4 lồng). Theo nguyên tắc Điriclê ít
nhất phải có 2 số dư có cùng giá trị. Hiệu của chúng chia hết cho 5. Hiệu này
chính là tổng các ai liên tiếp nhau hoặc là ai nào đó.
Bài 6.
CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2016.
Bài giải
Xét 2017 số có dạng 1;11;...;11...111;11...11. Theo nguyên tắc Đirichlê thì

tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2016. Giả sử hai số đó là:
A = 11...1 (n chữ số 1)
B=11...1 ( k chữ số 1)

(với k
Khi đó A−B=11...1. 10k ( n-k chữ số 1)
A− B chia hết cho 2016 Do (2016,10k) =1
Nên C=11...1 (n−k chữ số 1) chia hết cho 2016.
Bài 7.
Chứng minh rằng trong hệ viết cơ số 10 có thể tìm được bội số của số
2016 mà trong đó các chữ số của nó chỉ là 0 và 1.
Bài giải:
Để làm xuất hiện "số thỏ" và số "lồng" ta thành lập dãy số sau đây:
A1 = 1;A2 = 11;A3 = 111;
A4 = 1111;...;A2016 = 11 ... 11 (có 2016 chữ số 1)
Đem chia các Ai (i = 1, 2016) cho số 2016 ta sẽ được các số dư có giá trị
từ 0 đến 2015 (0 ≤ ri ≤ 2015).
Có hai khả năng xảy ra:
a. Có một Ai nào đó chia hết cho 2016 (tức r i = 0) thì bài toán đã được
chứng minh.
b. Không có Ai nào chia hết cho 2016 thì với 2015 số dư (số thỏ) với 2015
các giá trị khác nhau từ 1 đến 2015, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất cũng phải có
2 số dư trong phép chia nào đó bằng nhau. Giả sử đó là phép chia A k và Al cho
2016 có cùng số dư, thế thì hiệu A k - Al sẽ chia hết cho 2016. Hiệu Ak - Al chính
là số thỏa mãn điều kiện bài toán chỉ gồm các chữ số 0 và 1.
Bài 8. Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên tùy ý, chí ít cũng có một cặp gồm
7

hai số sao cho hoặc tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100.
Bài giải:
Để làm xuất hiện số "thỏ" và số "lồng ta làm như sau:
Trong tập hợp các số dư trong phép chia cho 100 ta lấy ra từng cặp số sao
cho tổng các cặp đó bằng 100 và thành lập thành các nhóm sau:
(0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94)... (49 ; 51), (50 ; 50).
Chú ý rằng sẽ có 50 cặp như vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) sẽ có 51 cặp (51 lồng).
Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 sẽ có 52 số dư (52 thỏ).
Có 52 số dư mà chỉ có 51 nhóm, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất cũng phải
có 2 số dư cùng rơi vào một nhóm.
Rõ ràng là cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư này chính là hai số tự nhiên
có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100. (đpcm)
Bài 9.
Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên bất kì ta luôn luôn tìm được một số
mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 10.
Bài giải:
Trước hết ta chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng
tồn tại một số chia hết cho n. (Các bạn tự chứng minh điều này).
Với 19 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn luôn tồn tại 10 số liên tiếp có chữ số hàng
chục như nhau, còn các chữ số hàng đơn vị có giá trị từ 0 đến 9.
Vì thế tổng các chữ số của mỗi số trong 10 số này cũng làm thành dãy số
gồm có 10 số tự nhiên liên tiếp, do đó tồn tại một số chia hết cho 10 (đpcm).
Bài 10.
Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi rằng ta có thể tìm được một số mà tổng
các chữ số của nó chia hết cho 11 hay không?
Bài giải:
Từ 20 số đầu tiên của dãy bao giờ ta cũng có thể tìm được 2 số mà chữ số
hàng đơn vị là 0, và trong hai số đó ít nhất phải có một số có chữ số hàng chục
khác 9. Giả sử N là số đó, và ta gọi S là tổng các chữ số của N.
Ta có dãy số mới N, N + 1, N + 2,... N + 9, N + 19 là 11 số vẫn nằm trong

39số cho trước mà tổng các chữ số của chúng là S, S + 1, S + 2, ... S + 9, S + 10.
Đó là 11 số tự nhiên liên tiếp, ắt phải có một số chia hết cho 11.
8


* Dạng toán tìm số
Bài 11.
Chứng minh rằng tồn tại lũy thừa của 29 mà các chữ số tận cùng của nó là
00001.
Bài giải:
Trước hết ta chú ý rằng:
29m có tận cùng là 1 nếu m là số chẵn
29m có tận cùng là 9 nếu m là số lẻ.
Ta hãy xét 105 lũy thừa của 29 với các số mũ chẵn khác nhau. Có hai khả
năng xảy ra:
a. Trong đó nếu có số mũ 2k nào mà 292k có tận cùng là 00001 thì bài toán
đã được chứng minh.
b. Không có số mũ 2k nào để 292k có tận cùng là 00001.
Từ b, ta thấy rằng:Số các số có 5 chữ số tận cùng khác nhau nhỏ hơn 10 5
(kể từ 5 chữ số tận cùng 00002, 00003, ... 99 999, 105).
trong khi đó số các số khác nhau mà ta đang xét là 10 5 số. Theo nguyên tắc
Điriclê ít nhất phải có hai lũy thừa nào đó có 5 chữ số tận dùng là như nhau.
A1 = 29 2k1 = M1 . 105 abcd1

Giả sử

A2 = 292k 2 = M2 . 105 abcd1
Có thể giả sử k1 > k2 mà không làm mất tính chất tổng quát của bài
toán.Thế thì ta có:
A1 - A2 = 29 2k1 - 29 2k 2 = (M1 - M2) 105

(

)

A1 - A2 = 29 2k1 - 292k 2 = 292k 2 29 2(k1 - k 2 ) − 1

Vì 29 2k 2 có tận cùng là 1 và A1 - A2 = (M1 - M2)105 có tận cùng không ít

(

)

hơn 5 số 0 nên suy ra 29 2(k1 - k 2 ) − 1 phải có tận cùng không ít hơn 5 chữ số 0, từ
đó suy ra 29 2(k1 - k 2 ) có tận cùng là 00001 (số các chữ số 0 ít nhất là 4).
Ta tìm được số k = 2(k1 - k) thỏa mãn đề bài (đpcm).
Bài 12.
Cho 51 số nguyên dương khác nhau có 1 chữ số và có 2 chữ số. CMR ta
có thể chọn ra 6 số nào đó mà bất cứ 2 số nào trong số đã lấy ra ấy không có chữ
9


số hàng đơn vị giống nhau cũng không có chữ số hàng chục giống nhau.
Bài giải
Vì có 51 số nên tìm được 6 chục sao cho một nhóm có không ít hơn 6 số
rơi vào một trong các số chục đó, một nhóm có không ít hơn 5 số rơi vào chục
khác... Cuối cùng có ít nhất một trong các số đã cho rơi vào một chục nào đó
(như vậy số các chục khác nhau không ít hơn 6) về các số đã cho là khác nhau
(chú ý các số dạng xét nhiều nhất có 2 chữ số ) do đó ở nhóm cuối cùng ta lấy
một số , sau đó nhóm trước đó (vì có ít nhất 2 chữ số hàng đơn vị của hai số

trong nhóm ấy khác nhau) ta lấy một số khác với chữ số hàng đơn vị khác số
chọn trước, rồi nhóm trước đó lại lấy 1 số có chữ số hàng đơn vị khác 2 số chọn
trước... Cuối cùng sẽ được 6 số phải tìm với các chữ số khác nhau.
Bài 13:
Chọn bất kì n+1 số trong 2n số tự nhiên từ 1 đến 2n (n>=2). CMR trong
các số được chọn có ít nhất 1 số bằng tổng của 2 số được chọn (kể cả các trường
hợp 2 số hạng của tổng bằng nhau ).
Bài giải
Giả sử

a1
Xét n số: an+1 - a1 =b1 ; an+1 - a2 =b2 ... (mỗi hiệu đều nhỏ hơn 2n)
Trong tập 2n+1 số đó là a1; a2 ;a3; … ;an+1 b1; b2 ;b3; … ;bn tồn tại 2 số
bằng nhau, hai số ấy không thể cùng thuộc dãy a1,a2,...,an+1a1,a2,...,an+1 cũng
không thể cùng thuộc dãy b1,b2,....,bn . Ta có:
an+1 - a1 =ai suy ra an+1 = a1 +ai (đpcm)
Bài 14.
Chứng minh rằng tồn tại lũy thừa của 29 mà các chữ số tận cùng của nó là
00001.
Bài giải:
Trước hết ta chú ý rằng:
29m có tận cùng là 1 nếu m là số chẵn
29m có tận cùng là 9 nếu m là số lẻ.
Ta hãy xét 105 lũy thừa của 29 với các số mũ chẵn khác nhau. Có hai khả
năng xảy ra:
10


a. Trong đó nếu có số mũ 2k nào mà 292k có tận cùng là 00001 thì bài toán

đã được chứng minh.
b. Không có số mũ 2k nào để 292k có tận cùng là 00001.
Từ b, ta thấy rằng:Số các số có 5 chữ số tận cùng khác nhau nhỏ hơn 10 5
(kể từ 5 chữ số tận cùng 00002, 00003, ... 99 999, 105).
trong khi đó số các số khác nhau mà ta đang xét là 10 5 số. Theo nguyên tắc
Điriclê ít nhất phải có hai lũy thừa nào đó có 5 chữ số tận dùng là như nhau.
A1 = 29 2k1 = M1 . 105 abcd1

Giả sử

A2 = 292k 2 = M2 . 105 abcd1
Có thể giả sử k1 > k2 mà không làm mất tính chất tổng quát của bài
toán.Thế thì ta có:
A1 - A2 = 29 2k1 - 29 2k 2 = (M1 - M2) 105

(

)

A1 - A2 = 29 2k1 - 292k 2 = 292k 2 29 2(k1 - k 2 ) − 1

Vì 29 2k 2 có tận cùng là 1 và A1 - A2 = (M1 - M2)105 có tận cùng không ít

(

)

hơn 5 số 0 nên suy ra 29 2(k1 - k 2 ) − 1 phải có tận cùng không ít hơn 5 chữ số 0, từ
đó suy ra 29 2(k1 - k 2 ) có tận cùng là 00001 (số các chữ số 0 ít nhất là 4).
Ta tìm được số k = 2(k1 - k) thỏa mãn đề bài (đpcm).

* Toán áp dụng 2 lần nguyên tắc
Bài 15.
Có 17 nhà toán học viết thư cho nhau trao đổi về 3 vấn đề khoa học, mỗi
người viết thư cho một người về một vấn đề. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3
nhà toán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề.
Bài giải:
Gọi A là nhà toán học nào đó trong số 17 nhà toán học, thì nhà toán học A
phải trao đổi với 16 nhà toán học còn lại về 3 vấn đề. Như vậy nhà toán học A
phải trao đổi ít nhất với 6 nhà toán học về một vấn đề nào đó. Vì nếu chỉ trao đổi
với số ít hơn 6 nhà toán học về một vấn đề thì số nhà toán học được trao đổi với
A ít hơn 16. (Các bạn có thể diễn tả theo khái niệm "thỏ" và "lồng" để thấy ở đây
đã áp dụng nguyên tắc Điriclê lần thứ nhất.)
Gọi các nhà toán học trao đổi với nhà toán học A về một vấn đề nào đó
(giả sử vấn đề I) là A1, A2, A3, A4, A5, A6 . Như vậy có 6 nhà toán học trao đổi với
11


nhau về 3 vấn đề (không kể trao đổi với A). Như vậy có 6 nhà toán học A 1, A2,
A3, A4, A5, A6 trao đổi với nhau về 3 vấn đề, I, II, III.
Có hai khả năng xảy ra:
a. Nếu có 2 nhà toán học nào đó cùng trao đổi với nhau về vấn đề I thế thì
có 3 nhà toán học (kể cả A) trao đổi với nhau về vấn đề I. Bài toán được chứng
minh.
b. Nếu không có nhà toán học nào trong 6 nhà toán học A1, A2 ... A6 trao
đổi về vấn đề I thì ta có 6 nhà toán học chỉ trao đổi với nhau về 2 vấn đề II và III.
Theo nguyên tắc Điriclê có ít nhất 3 nhà toán học cùng trao đổi với nhau về một
vấn đề II hoặc III. Bài toán cũng được chứng minh.
Bài 16.
Người ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành dòng hàng ngang theo một
thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi một trong các số đã cho với số thứ tự chỉ vị trí mà

nó đứng.
Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của hai
tổng đó là như nhau.
Bài giải
Gọi 10 số tự nhiên đầu tiên là a 1, a2, a3, a4, ... a10. Ta hãy thành lập một dãy
số mới sau đây theo đề bài cho trước:
A1 = a1 + 1

A6 = a6 + 6

A2 = a2 + 2

A7 = a7 + 7

A3 = a3 + 3

A8 = a8 + 8

A4 = a4 + 4

A9 = a9 + 9

A5 = a5 + 5

A10 = a10 + 10

Các Ai chính là các tổng của số đã cho với số chỉ vị trí mà nó đứng. Từ giả
thiết dãy a1, a2 ... a10 chỉ là các số tự nhiên đầu tiên từ 1 đến 10 nên ta có:
A1 + A2 + A3 + ... + A10 = 2 (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 110 Vì 110 là một số
chẵn nên không thể xảy ra trường hợp có 5 số A 1 nào đó lẻ và 5 số A j nào đó

chẵn. Nói cách khác số Ai chẵn và số Aj lẻ phải khác nhau. Từ đó suy ra
Số Ai lẻ > 5
Số Aj chẵn > 5

(*)

Từ 1 đến 10 chỉ có 5 vị trí lẻ và 5 vị trí chẵn.
12


Từ (*) và áp dụng nguyên tắc Điriclê suy ra hoặc là có ít nhất hai số A i lẻ
tận cùng như nhau hoặc ít nhất hai số Aj chẵn có chữ số tận cùng như nhau.
Vì 110 là một số chẵn nên không thể xảy ra trường hợp có 5 số A 1 nào đó
lẻ và 5 số Aj nào đó chẵn. Nói cách khác số A i chẵn và số Aj lẻ phải khác nhau.
Từ đó suy ra
Số Ai lẻ > 5
Số Aj chẵn > 5

(*)

Từ 1 đến 10 chỉ có 5 vị trí lẻ và 5 vị trí chẵn.
Từ (*) và áp dụng nguyên tắc Điriclê suy ra hoặc là có ít nhất hai số A i lẻ
tận cùng như nhau hoặc ít nhất hai số Aj chẵn có chữ số tận cùng như nhau.
IV. Hiệu quả sau khi áp dụng giải pháp:
Sau khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy , giúp học sinh rất nhiều
trong quá trình học tập như:
Nắm vững các kiến thức. Hứng thú và sáng tạo trong học tập.
Học sinh định hướng một cách chính xác các dạng bài toán.
Trình bày một cách chặt chẽ, hợp lí và logic.
Làm mất ít thời gian trong quá trình dạy và học.

Tăng khả năng tự học ở nhà cũng như khả năng học nhóm.
Tăng chất lượng dạy và học.
*Kết quả cụ thể như sau:

Tỉ lệ

Năm học
2013-2014
2014-2015
2015-2016
Chưa áp Áp dụng Chưa áp Áp dụng Chưa áp Áp dụng
dụng
dụng
dụng
15%
62%
12%
78%
18%
68%
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾNGHỊ

1. Kết luận:
Trong điều kiện học tập hiện nay công việc giáo viên triễn khai các chuyên
đề toán học phù hợp với đối tượng học sinh là rất cần thiết và bổ ích. Đồng thời
với quá trình học tập chương trình cơ bản thì các em luôn có nhu cầu học hỏi vì
vậy bồi dưỡng một số chuyên đề toán cho học sinh là một công việc hết sức quan
trọng mà các giáo vên dạy bộ môn, nhà trường, tổ chuyên môn luôn đặt ra từ đầu
13

năm học. Tôi là một giáo viên dạy toán thì công việc đó luôn luôn tồn tại trong
bản thân, để nhằm làm tăng khả năng giải toán cho các em và nâng cao chất
lượng giảng dạy do đó tôi không ngừng tìm cách giúp đỡ cho các em thông qua
triễn khai một số chuyên đề về giải toán
Sau khi áp dụng đề tài này vào trong giảng dạy tôi đã nhận thấy rằng hiệu
quả của đề tài mang lại : tăng khả suy luận, khả năng phân tích, khả năng tính
toán, khả năng tư duy, khả năng lập luận một cách chính xác và logic, khả năng
sáng tạo, hứng thú và say mê học toán hơn.
Việc ứng dụng các nguyên tắc toán học vào giải toán cho em cần phải làm
thường xuyên và làm lâu dài mới làm tăng khả năng giải toán cho các em.Qua đó
cũng góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng giảng dạy đại trà cũng như chất
lương bồi dưỡng học sinh giỏi ngày một đi lên. Từ đó tìm ra những học sinh
năng khiếu học toán trong nhà trường để có điều kiện bồi dưỡng cho các em và
giúp các em phát huy hết khả năng giải toán của mình.
Với ý nghĩ đó tôi đã giúp cho học sinh rất nhiều trong quá trình học tập
như:
Nắm vững các kiến thức. Hứng thú và sáng tạo trong học tập.
Học sinh định hướng một cách chính xác các dạng bài toán.
Trình bày một cách chặt chẽ, hợp lí và logic.
Làm mất ít thời gian trong quá trình dạy và học.
Tăng khả năng tự học ở nhà cũng như khả năng học nhóm.
Tăng chất lượng dạy và học.
2. Kiến nghị:
- Tổ chuyên môn của trường có thể lấy sáng kiến kinh nghiệm để nhân
rộng ra cho giáo viên của trường nhằm để trao đổi và học hỏi lẫn nhau.
- Cần coi trọng và tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên tìm kiếm học sinh
năng khiếu để bồi dưỡng và phụ đạo học sinh yếu, kém.
Xin trân trọng cảm ơn!

14


15


Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [ləˈʒœn diʀiˈkle] (13 tháng 2, 1805 – 5
tháng 5, 1859) là một nhà toán học người Đức được cho là người đưa ra định
nghĩa hiện đại của hàm số.
Gia đình ông xuất thân từ thị trấn Richelette ở Bỉ, do đó mà họ của ông là
"Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", tiếng Pháp nghĩa là "chàng trai trẻ
từ Richelette") được đặt theo, và đó là nơi ông nội ông sống.
Dirichlet được sinh ra ở Düren, nơi cha ông là một đứng đầu một trạm bưu điện.
Ông được giáo dục ở Đức, và sau đó là Pháp, nơi ông học hỏi từ hầu hết các nhà
toán học nổi tiếng nhất thời đó. Ông cũng học từ Georg Ohm. Bài báo đầu tiên
của ông là về định lý Fermat bao gồm một phần của chứng minh cho trường hợp
n = 5, được hoàn thiện bởi Adrien-Marie Legendre, một trong những người
referees. Dirichlet cũng hoàn thiện chứng minh của ông trong cùng một thời
gian; sau đó ông đã đưa ra toàn bộ lời giải cho trường hợp n = 14.
Vào năm 1831, ông thành hôn với Rebecca Henriette Mendelssohn Bartholdy,
một cô gái thuộc gia đình danh giá đã chuyển đổi từ đạo Do Thái sang Thiên
chúa giáo; cô là cháu gái của triết gia Moses Mendelssohn, con gái của Abraham
Mendelssohn Bartholdy và là em của nhà soạn nhạc Felix Mendelssohn
Bartholdy và Fanny Mendelssohn.
Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, và Rudolf Lipschitz là học trò của
ông. Sau khi ông qua đời, các bài giảng của Dirichlet và các kết quả khác trong
ngành số học được sưu tập, biên khảo và xuất bản bởi đồng nghiệp và cũng là
bạn ông là nhà toán học Richard Dedekind dưới tựa đề Vorlesungen über
Zahlentheorie (Các bài giảng về số học).
•

Các định lý mang tên Định lý Dirichlet:
o

Định lý Dirichlet về cấp số cộng (số học, đặc biệt là số nguyên tố)

o

Định lý Dirichlet về xấp xỉ diophantine (số học và xấp xỉ)

o

Định lý Dirichlet về phần tử đơn vị (số học đại số and vành)
16


CHUYEN DE PHAN SO

.
Ví dụ 3 ( Đề số 5 đề kiểm tra toán 6 tập 2 tr 74 )
Một đội sản xuất nông nghiệp có 360 ha đất, diện tích đất ở là 54 ha, diện
tích đất trồng trọt là 270 ha, còn lại là diện tích hồ nước. Vẽ biểu đồ ô vuông
biểu diễn tỉ số phần trăm giữa diện tích đất ở, diện tích đất trồng trọt và hồ nước
so với tổng diện tích của đội sản xuất.
Phân tích bài toán
GV: Dựa vào số liệu của bài toán ta có thể vẽ được biểu đồ hay chưa ?
GV: Để vẽ được biểu đồ ta cần làm gì ?
HS: Tính tỉ lệ % của các diện tích.
GV: Để tính tỉ lệ % của các diện tích ta làm như thế nào ?
Giải

Diện tích đất ở so với tổng diện tích là

54
.100 = 15%
360

Diện tích đất trồng trọt so với tổng diện
tích là

270
.100 = 75%
360

Diện tích hồ nước so với tổng diện tích
là
100% - (15% + 75% ) = 10%
Trong quá trình dạy học, cũng như hướng dẫn
HS giải các bài toán như những ví dụ ở trên.
GV cần hỏi chúng ta đã sử dụng kiến thức nào ? Để giúp HS khắc sâu kiến thức
đã học.
II/ Bồi dưỡng năng lực định hướng đường lối giải bài toán
1. Cơ sở xác định biện pháp
Công việc định hướng tìm đường lối giải bài toán là một vấn đề khó khăn
cho những học sinh yếu, kém và kể cả những học sinh khá, giỏi. Để giải quyết
17


tốt bài toán thì cần phải có định hướng giải đúng. Do đó việc định hướng giải bài
toán là một vấn đề rất cần thiết và rất quan trọng.
2. Nội dung biện pháp

Khi giải bài toán thì chúng ta cần phải biết đường lối giải nhưng không
phải bài toán nào cũng dễ tìm thấy đường lối giải. Do đó việc tìm ra đường lối
giải cũng là một vấn đề nan giải nó đòi cả một quá trình rèn luyện lâu dài. Ngoài
việc nắm vững các kiến thức cơ bản thì việc thực hành cũng rất quan trọng. Nhờ
quá trình thực hành đó giúp cho HS hình thành nên những kỹ năng, kỹ xảo và
định hướng được đường lối giải bài toán. Do đó nó đòi hỏi người dạy, người học
phải có tính nghiêm túc, cẩn thận và kiên nhẫn cao.
3. Yêu cầu của biện pháp
Việc xác định đường lối giải chính xác sẽ giúp cho HS giải quyết các bài
toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn và tránh mất được thời gian.
Chính vì vậy, đòi hỏi mỗi GV cần phải rèn luyện cho HS khả năng định hướng
đường lối giải bài toán là điều không thể thiếu trong quá trình dạy học toán.
4. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( Bài tập 168d ôn tập Toán 6 tr 92 )
Tính:

5 18
+
+ 0, 75
24 27

Định hướng giải bài toán
GV: Để thực hiện được phép tính trên, trước tiên chúng ta cần làm gì ?
HS: Đổi số thập phân ra thành phân số

5 18 75
+
+
24 27 100

GV: Các phân số đó đã được tối giản chưa ?
HS: Rút gọn phân số

5 2 3
+ +
24 3 4

GV: Để thực hiện phép cộng phân số không cùng mẫu ta làm như thế nào ?
HS: Quy đồng các phân số cùng mẫu, sau đó lấy tử cộng tử và giữ nguyên mẫu.
Giải
5 18
5 18 75
5 2 3 5 16 18 39 13
+
+ 0, 75 = +
+
= + + = + + = =
24 27
24 27 100 24 3 4 24 24 24 24 8

Qua bài toán này nhằm giúp cho HS nắm vững các kiến thức và làm quen
dần các bước phân tích, lập luận bài toán cho HS.
Ví dụ 2 ( Ví dụ 64 ôn tập Toán 6 tr 99 )
18


Tính nhanh: A =

7 11 2 7 8
. + . +

15 13 13 15 15

Định hướng giải bài toán
GV: Hãy quan sát và nhận xét ở 3 số hạng của biểu thức ?
HS: Số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai có chung phân số là

7
15

GV: Để tính nhanh giá trị của biểu thức trên ta cần vận dụng tính chất nào để giải
?
HS: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để giải.
Giải
A=

7 11 2 7 8
7 11 2
8
7
8 15
. + . + = .( + ) +
= .1 + = = 1
15 13 13 15 15 15 13 13 15
15
15 15

Qua bài toán này rèn luyện khả năng quan sát và vận dụng các kiến thức
đã học để giải bài toán.
Ví dụ 3 ( Ví dụ 62 ôn tập Toán 6 tr 94 )
Tính: S =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.3 3.4 4.5
19.20

Định hướng giải bài toán
Đối với những bài toán như thế này thì chúng ta không thể tiến hành quy
đồng mẫu để tính tổng được vì làm như vậy chỉ làm mất thời gian của ta. Khi
chúng ta gặp những bài toán như thế này thì cần phải tìm ra quy luật của nó.
GV: Hãy phân tích số hạng thứ nhất thành hiệu ?
HS:

1
1 1
= −
2.3 2 3

GV: Tương tự hãy phân tích các số hạng tiếp theo.
1 1 1
1
1 1
= − ;
= − ; ... ;
3.4 3 4 4.5 4 5

HS:
1
1 1
= −
19.20 19 20

Giải
1
1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1
= − ;
= − ;
= − ; ... ;
= −
2.3 2 3 3.4 3 4 4.5 4 5
19.20 19 20
1
1
1
1
1 1 1 1
1 1
+
+
+ ... +
= − + − + ... + −
2.3 3.4 4.5

19.20 2 3 3 4
19 20
1 1 10 1
9
= −
=
−
=
2 20 20 20 20

S=

19


Bài toán này nhằm tăng khả năng tư duy và lập luận cho HS một cách chặt
chẽ. Tìm ra được qui luật chung để giải hợp lí và nhanh hơn.
Ví dụ 4 ( Bài 7 Em học giỏi Toán 6 tr 92 )
Một số có ba chữ số, chữ số tận cùng bên trái là 4. Nếu chuyển chữ số 4
này xuống cuối thì được một số mới bằng

3
số ban đầu. Tìm số đó.
4

Phân tích bài toán
GV: Bài toán yêu cầu làm gì ?
HS: Tìm số có ba chữ số thỏa mãn bài toán.
GV: Theo đề bài, ban đầu ta có số có ba chữ số nào ?
HS: 4ab

GV: Các em viết số có ba chữ số đó dưới dạng tổng của các số ?
HS: 4.100 + 10.a + b = 400 +10a + b.
GV: Nếu ta đổi chữ số 4 sang phải thì ta được số có ba chữ số nào ?
HS: ab4
GV: Các em viết số có ba chữ số đó dưới dạng tổng của các số ?
HS: a.100 + 10.b + 4 = 100a +10b + 4
GV: Giữa số ban đầu và số mới có quan hệ như thế nào ?
3
4

HS: ( 400 +10a + b ) . = ( 100a +10b + 4 )
Giải
Số ban đầu là 4ab = 4.100 + 10.a + b = 400 +10a + b
Số mới là ab4 = a.100 + 10.b + 4 = 100a +10b+ 4
3
4

Theo đề bài ( 400 +10a + b ) . = ( 100a +10b + 4 )
( 400 + 10a + b).3 = 4(100a + 10b + 4)
1200 + 30a + 3b = 400a + 40b + 16
1200 − 16 = 400a − 30a + 40b − 3b
370a + 37b = 1184
10a + b = 32 hay ab = 32

Vậy số cần tìm là 432.
Đây một dạng toán học ( lớp 6 ) mà HS gặp rất ít vì trong chương trình
SGK cũng hạn chế cho những dạng bài tập như thế này. Phần đông chỉ có HS
khá, giỏi mới giải được vì những bài toán này đòi hỏi khả năng phân tích, tư duy,
20

suy luận rất cao. Do đó trong quá trình dạy học GV cũng cần tăng cường những
bài tập như vậy để làm tăng khả năng tư duy, suy luận cho những HS khá, giỏi và
gây được hứng thú công việc học toán của các em.
Tóm lại: Công việc định hướng giải bài toán cho HS là một công việc
quan trọng đầu tiên của một bài giải, nó đòi hỏi phải định hướng đúng nên GV
cần rèn luyện thường xuyên cho HS nhằm làm tăng khả năng suy luận, lập luận
một cách logic, giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và tránh được mất thời
gian khi giải bài toán.
III/ Phân loại bài toán để bồi dưỡng năng lực giải toán cho các đối tượng HS
1. Cơ sở xác định biện pháp
Bồi dưỡng năng lực phân loại bài toán cũng được coi là một bước quan
trọng để bồi dưỡng cho từng đối tượng HS một cách hợp lí nhất. Khi chúng ta
làm tốt công việc này sẽ giúp nhiều cho việc học tập của HS, nó cũng giúp HS
nắm vững các kiến thức đồng thời tăng khả năng giải toán cho các em và gây
được hứng thú nhu cầu ham học toán ở tất cả các đối tượng HS.
2. Nội dung biện pháp
Muốn bồi dưỡng năng lực phân loại bài toán có hiệu quả thì chúng ta cần:
Phân biệt được mức độ của bài toán.
Mức độ và khả năng học tập của HS.
Hiệu quả của việc phân loại bài toán.
3. Yêu cầu của biện pháp
Việc phân loại bài toán nhằm giúp cho HS nắm vững các kiến thức đã học.
Qua đó cũng đánh giá được mức độ học tập của các em đồng thời cũng tăng khả
năng học toán, giải toán cho các em. Từ đó GV có thể xây dựng kế hoạch dạy
học một cách hợp lí nhằm đem lại hiệu quả học tập cho HS một cách tốt nhất.
4. Các ví dụ minh họa
Học sinh yếu
Ví dụ 1 ( Bài 1.1a, b Rèn luyện kĩ năng giải bài tập Toán 6 tập 2 tr 42 )
Cộng các phân số sau: a)

−1 7
+
3 −3

b)

1 −5
+
6 12

Giải
Do đối tượng là HS yếu nên khi giải bài toán cần đặt nhiều câu hỏi gợi mở
ở mức độ dễ và xác với yêu cầu câu hỏi.
GV: Em có nhận xét gì về mẫu của 2 phân số ( câu a )
21


HS: Có cùng mẫu ( cùng số ) nhưng chỉ khác nhau về dấu.
GV: Vậy để thực hiện phép cộng 2 phân số đó ta làm như thế nào ?
HS: Biến mẫu âm thành mẫu dương ( phân số thứ 2 ) sau đó áp dụng quy tắc
cộng 2 phân số cùng mẫu.
a)

−1 7 −1 −7 −8
+
=
+
=
3 −3 3

3
3

Riêng câu b, GV có thể cho HS nhắc lại quy tắc cộng 2 phân số không
cùng mẫu trước khi thực hiện.
HS: nhắc lại quy tắc.
GV có thể đặt thêm nhiều câu hỏi gợi ý ( các bước quy đồng mẫu ) cho
HS.
b)

1 −5 2 −5 −3 −1
+
= +
=
=
6 12 12 12 12 4

Qua những bài toán như thế này nhằm giúp cho HS nắm lại các kiến cơ
bản đặt biệt là những HS yếu kém nên GV cần thường xuyên đặt nhiều câu hỏi
gợi ý, từ đó HS mới có thể giải được những bài toán cao hơn.
Học sinh trung bình
Ví dụ 2 ( Bài 2.1a, b Rèn kuyện kĩ năng giải bài tập Toán 6 tập 2 tr 43 )
Tìm x biết
1
5

a/ x = +

−6
7

b/

x 1 −3
= +
2 3 4

Gợi ý
GV: Để tìm giá trị của x ta làm như thế nào ?
HS: Chỉ cần tính tổng của

1 −6
+
.
5 7

GV: Để tính tổng trên ta làm như thế nào ?
HS: Quy đồng cùng mẫu, sau đó lấy tử cộng tử và giữ nguyên mẫu.
Giải
1 −6
7 −30
+
⇔x=
+
5 7
35 35
−23
⇒x=
35
a) x =

Đối với HS trung bình đặt các câu hỏi dễ hiểu, gợi ý các chi tiết rõ ràng để
các em dễ nắm được cách giải nội dung bài tập một cách hợp lí hơn. Câu b tương
tự như câu a.
22


x 1 −3
x 4 −9
= +
⇔ = +
2 3 4
2 12 12
x −5
−5
⇔ =
⇒x=
2 12
6

b)

Qua bài toán này nhằm giúp cho HS vận dụng được các kiến thức cộng 2
phân số và tùy thuộc vào đối tượng giáo viên có thể đặt câu hỏi gợi ý thêm cho
HS.
Học sinh khá, giỏi
Ví dụ 3 ( Đề số 2 Đề kiểm tra Toán 6 tập 2 tr 30 )
Ba người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng người thứ nhất
phải mất 4 giờ, người thứ hai phải mất 6 giờ, người thứ ba phải mất 5 giờ. Hỏi
nếu làm chung thì mỗi giờ cả ba người làm được bao nhiêu phần công việc.

Phân tích bài toán
GV: Người thứ nhất phải mất 4 giờ để làm chung một công việc. Vậy người thứ
nhất làm được bao nhiêu phần của công việc ?
HS: Người thứ nhất làm được

1
công việc.
4

GV: Người thứ hai phải mất 6 giờ để làm chung một công việc. Vậy người thứ
hai làm được bao nhiêu phần của công việc ?
HS: Người thứ hai làm được

1
công việc.
6

GV: Người thứ ba phải mất 5 giờ để làm chung một công việc. Vậy người thứ ba
làm được bao nhiêu phần của công việc ?
HS: Người thứ ba làm được

1
công việc.
5

Đối với HS khá giỏi chúng ta sẽ hướng dẫn qua một cách sơ xài để cho HS
tự độc lập suy nghĩ cách giải nào cho hợp lí nhất.
Giải
Người thứ nhất làm được
Người thứ hai làm được

Người thứ ba làm được

1
công việc.
4

1
công việc.
6
1
công việc.
5

23


1
4

1
6

1
5

Vậy trong 1 giờ cả ba người làm được + + =

15 + 10 + 12 37
=
(công

60
60

việc )
Đây là một bài toán rất gần với thực tế của cuộc sống nên học sinh rất tòi
mò về các dạng bài toán như vậy vì qua những bài toán vậy làm cho học thấy
mối quan hệ của toán học với cuộc sống thực tế, đồng thời thấy được lợi ít của
học toán mang lại.
Học sinh khá, giỏi
Ví dụ 4 ( Bài tập 176 Ôn tập Toán 6 tr 93 )
Có hai xe ô tô: Xe thứ nhất chạy từ A đến B hết 3 giờ, xe thứ hai chạy từ B
đến A hết 2 giờ. Xe thứ hai khởi hành sau xe thứ nhất 1 giờ. Hỏi sau khi xe thứ
hai chạy được 1 giờ thì hai xe đã gặp nhau chưa ?
Phân tích bài toán

GV: Để biết hai xe có gặp nhau hay không ta làm như thế nào ?
HS: Tìm tổng phần quãng đường của hai xe đi được. Nếu tổng quãng đường của
hai xe lớn hơn hoặc bằng 1 thì hai xe đó gặp nhau.
GV: Theo đề bài thì Ô tô A đi hết mấy giờ ?
HS: Ô tô đi hết 2 giờ.
GV: Ô tô A đi được bao nhiêu phần của quãng đường AB ?
HS: Ô tô đi được

2
quãng đường AB.
3

GV: Theo đề bài thì Ô tô B đi hết mấy giờ ?
HS: Ô tô A đi hết 1 giờ.
GV: Ô tô B đi được bao nhiêu phần của quãng đường AB ?

HS: Ô tô đi được

1
quãng đường AB.
2

Giải
Ta có: Ô tô A đi trong 2 giờ được
Ô tô B đi trong 1 giờ được

2
quãng đường AB.
3

1
quãng đường AB.
2

24


Tổng quãng đường cả hai xe chạy được là:
2
1 4 3 7
+ = + = > 1 ( quãng đường AB ).
3
2 6 6 6

Vậy với thời gian trên thì hai xe đã gặp nhau.
Đây là một trong những bài toán mà học thường rất ngán ngại trong giải

toán vì đa số các em còn nhỏ nên khả năng phân tích bài toán chưa cao. Do đó
trong quá trình giải toán GV nên hướng dẫn cho HS tập quen dần cách phân tích
những dạng toán này. Nhằm làm tăng dần khả năng phân tích cho HS và đồng
thời cũng tăng khả năng giải toán cho HS.
Tóm lại: Trong quá trình dạy học GV cần thực hiện phân loại bài toán vì làm như
vậy sẽ giúp ít cho HS trong quá trình học tập và cũng gây được hứng thú học tập
cho HS.
IV/ Bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp và so sánh
1. Cơ sở xác định biện pháp
Nói đến năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh thì chúng ta cũng đã biết
gần như mọi ngành nghề, mọi cấp học đều sử dụng đến nó. Đặt biệt với sự thay
đổi phương pháp dạy học hiện nay thì năng lực này càng được chú trọng. Năng
lực phân tích, tổng hợp, so sánh này không thể thiếu được trong toán học vì nó
giúp cho học sinh tăng khả năng suy luận, sáng tạo trong giải toán và tự chiếm
lĩnh tri thức. Qua đó cũng giúp cho HS hiểu rõ, hiểu sâu, hiểu rộng về vấn đề
toán học.
2. Nội dung của biện pháp
Muốn rèn luyện cho HS khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh tốt các bài
toán chúng ta cần:
Cần nắm vững các kiến thức cơ bản.
Nắm kỹ nội dung của bài toán.
Bài toán đã cho ta biết điều gì ?
Yều cầu của bài toán là gì ( cần tìm cái gì ) ?
Bài toán thuộc dạng toán nào ( nhận dạng bài toán) ? Để từ đó tìm mối
quan hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
Tổng hợp các dữ kiện để tìm ra lời giải.
3. Yêu cầu của biện pháp
Nhằm giúp HS từng bước tăng khả năng tư duy, rèn luyện phương pháp
suy luận và sáng tạo trong giải toán.
25