SKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toán

Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Hệ thức Vi-ét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9.
Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ
thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất
hiện khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách
giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa phong phú và đa dạng . Ứng dụng hệ thức
Vi-ét vào các bài toán về phương trình bậc hai là một phần không thể thiếu
trong quá trình ôn thi.
Song qua việc dạy toán tại trường THCS tôi nhận thấy các em vận dụng
hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ
thức Vi-ét vào giải nhiều dạng toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng
rộng rãi trong việc giải toán.
Việc phân loại các dạng toán để lựa chọn phương pháp giải hợp lý là điều
rất quan trọng. Qua đó giúp học sinh định hướng được cách giải bài toán nhanh
và hiệu quả. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và học hỏi
kinh nghiệm các đồng nghiệp có kinh nghiệm, kết hợp với tìm tòi thêm các tài
liệu tôi đã phân chia ứng dụng của hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ
nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ thức Vi-ét được ứng
dụng rộng vào bài tập vì thế để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng thì khi dạy giáo
viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với
từng nội dung phải thích hợp.
Vậy nên tôi xây dựng chuyên đề này nhằm mục đích giúp học sinh nâng
cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi
vào lớp 10 trung học phổ thông. Đặc biệt từ đó xây dựng cho học sinh phương
pháp tự học, kỹ năng tư duy sáng tạo, sự đam mê trong học toán và đặc biệt là
đạt kết quả cao trong học tập.
2. Mục đích, nhiệm vụ:
- Trang bị cho học sinh một số phương pháp về giải phương trình bậc hai

có sử dụng tới hệ thúc Vi-ét.
- Sữa chữa những thiếu sót , những sai lầm mà học sinh hay gặp khi giải
toán sử dụng hệ thức Vi-et.
- Giúp học sinh nhận dạng và áp dụng phương pháp phù hợp với từng
dạng toán khác nhau về hệ thức Vi-ét.
- Rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, kỹ năng tư duy sáng tạo.
- Giúp học sinh xây dựng phương pháp tự học khoa học và tạo sự đam mê
trong học toán.
- Giúp học sinh đạt kết quả cao học tập và các kỳ thi, đặc biệt là thi vào
lớp 10 THPT.
3. Đối tượng và phạm vi ứng dụng
- Học sinh khối THCS; đặc biệt là học sinh lớp 9.
- Giáo viên dạy toán ở trường THCS.
Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẽ đẹp
của toán học, đặc biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học, nếu
vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học của các thầy cô giáo thì
1


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

chắc chắn đề tài này sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc bồi dưỡng đội ngủ học
sinh thi vào lớp 10 THPT và các trường chuyên lớp chọn…
4. Thời gian và phương pháp nghiên cứu:
- Đọc sách, tham khảo tài liệu ( các chuyên đề bồi dưỡng toán 9, Bộ đề ôn
thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn toán )
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
- Khảo sát số lượng học sinh ban đầu về nhận biết và ứng dụng hệ thức
Vi-ét thông qua dạy thể nghiệm ở lớp.
% HS nhận biết dạng và khi đưa ra

Số
bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét
Lớp
TB khá Khá Giỏi
HS
số người
%
9C
34
11
6
2
11
31%
9D
36
11
7
3
13
35%
- Thông qua học tập, bồi dưỡng thường xuyên các chu kì.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm
của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút
ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
- Phân loại các dạng toán để giúp học sinh lựa chọn phương pháp giải hợp
lý đồng thời phát huy tính tích cực chủ động của học sinh. Qua đó giúp học sinh
định hướng được cách giải bài toán nhanh và hiệu quả.
- Giúp học sinh nhận dạng và áp dụng phương pháp phù hợp với từng

dạng toán khác nhau về hệ thức Vi-ét.
- Tổng hợp được nhiều dạng vận dụng hệ thức Vi-et trong các đề thi .
- Là chuyên đề bổ ích trong dạy bồi dưỡng học sinh thi tuyển sinh vào lớp
10 THPT.
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở khoa học:
- Hệ thức Vi-ét có nhiều ứng dụng trong giải toán.
- Việc ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán phát triển được tư duy lô gic
và tính sáng tạo của học sinh.
- Dạng toán có ứng dụng định lí Vi-ét là các bài toán hay và gây được
nhiều hứng thú cho học sinh.
- Trong giảng dạy toán lớp 9 không thể không dạy cho học sinh việc ứng
dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán.
2. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập; Bộ đề ôn thi
tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên (Nhà xuất bản Đại học quốc gia
Hà Nội- do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) về phương trình bậc hai và
phương trình bậc hai chứa tham số có ứng dụng của hệ thức Vi-ét khá nhiều, rất
đa dạng và phong phú, đây là một thể loại toán khó của chương trình toán THCS
đối với học sinh từ trung bình khá, đặc biệt trong sách giáo khoa cũng như bộ đề
2


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chưa phân loại các dạng toán. Học sinh
thường lúng túng khi tìm phương pháp giải và nhận dạng bài toán. Do vậy bản
thân tôi thấy cần thiết phải hướng dẫn cho các em nhận dạng bài toán và phân
loại các dạng toán từ đó hình thành phương pháp giải các bài toán về phương
trình bậc hai và pt bậc hai chứa tham số có ứng dụng của hệ thức Vi-ét.

3. Nội dung chính của chuyên đề gồm :
Dạng 1

Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 2

Lập phương trình bậc hai

Dạng 3

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Dạng 4

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số
Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Dạng 5
Dạng 6

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập

Dạng 7

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Dạng 8

A. HỆ THỨC VI-ÉT:

1.1. Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Có hai nghiệm
Suy ra:

Vậy đặt :

x1 =

−b + ∆
2a

;

−b + ∆ − b − ∆ −2b −b
=
=
2a
2a
a
( −b + ∆ )(−b − ∆ ) b 2 − ∆ 4ac c
x1 x2 =
=
= 2 =
4a 2
4a 2
4a

a

x2 =

−b − ∆
2a

x1 + x2 =

- Tổng hai nghiệm là S :

S = x1 + x2 =

−b
a

c
a
Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (1) có liên quan chặt
chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí Vi-ét
- Tích hai nghiệm là P : P = x1 x2 =

a ≠ 0
∆ ≥ 0

Khi dạy ta cần chú ý cho học sinh: Điều kiện để có định lí: 

( a ≠ 0 để có phương trình bậc hai, ∆ ≥ 0 để phương trình có 2 nghiệm)
1.2. Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là
các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Vi-ét đảo)

3


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

Sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí Vi-ét và định lí Vi-ét đảo trong
giải toán.
1.3 Bổ sung:
a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Có hai nghiệm
x1 , x2 thì ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử: ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x –
x2).
b) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Có hai nghiệm trái dấu là P < 0.
- Có hai nghiệm cùng dấu là ∆ ≥ 0 và P > 0.
- Có hai nghiệm đều dương là: ∆ ≥ 0 và P > 0, S > 0.
- Có hai nghiệm cùng âm là: ∆ ≥ 0 và P > 0, S < 0.
B. ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN.
I. TÍNH NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1.1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0)
(1) ta thấy :
a) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1 và
c
nghiệm còn lại là x2 =
a
b) Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = −1 và
nghiệm còn lại là x2 =

−c

a

Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1) 35 x 2 − 37 x + 2 = 0 (1)
2) x 2 − 49 x − 50 = 0 (2) ( SGK toán 9 tập
2)
Ta thấy :
2
35
Phương trình (2) có dạng a - b + c = 0 nên có nghiệm x1 = −1 và
−( −50)
x2 =
= 50
1

Phương trình (1) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = 1 và x2 =

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau bằng cách tính nhẩm nghiệm:
1. 12 x 2 − 13x + 1 = 0
2. 5 x 2 + 25 x − 30 = 0
3. x 2 − 149 x − 150 = 0
4. 7 x 2 + 500 x − 507 = 0 ( SGK toán 9)
5.x2 - mx +m -1 = 0
1.2. Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0, có nghiệm x 1 = 7, tìm m và nghiệm thứ
hai. (SBT toán 9).
b) Phương trình x2 + 7x + m =0 có một nghiệm bằng 5, tìm m và
nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : x 2 − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và
4

Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

hai nghiệm của phương trình.
d) (Đề 12- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho PT: x2 + 2(m+1)x + m2 = 0 (1).
Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm bằng -2.
e) Cho phương trình (m - 1)x2 - 2x +4 = 0 có một nghiệm bằng 2, tìm
nghiệm còn lại?
Bài giải:
a) Đây là phương trình bậc hai có nghiệm, theo hệ thức Vi-ét, ta có: 7.x 2 = 35 ,
suy ra x2 = -5.
Từ x1 + x2 = −m phương trình 7 - 5 = -m  m = -2.
b) Đây là phương trình bậc hai có nghiệm. Thay x1 = 5 vào phương trình ban
đầu ta được :
25 + 35 + m = 0 ⇒ m = −60
−60

−60

T ừ x1 x2 = −60 suy ra x2 = x = 5 = −12
1
c) Đây là phương trình bậc hai có nghiệm.Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên
theo đề bài giả sử x1 − x2 = 11 và theo viét ta có x1 + x2 = 7 , ta giải hệ sau:
 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔

 x1 + x2 = 7

 x2 = −2
Suy ra q = x1 x2 = −18
d) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ∆' > 0  (m+1)2 - m2 > 0
 2m + 1 > 0  m > -

1
(*).
2

Phương trình có nghiệm x = -2 4 - 4(m+1) + m2 = 0
m = 0

 m2 - 4m = 0  
( thoả mãn ĐK (*)
m = 4
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là giá trị cần tìm.
e) Để phương trình (m - 1)x2 - 2x +4 = 0 có 2 nghiệm thì m ≠ 1.
Xét m ≠ 1: Do x = 2 là nghiệm của phương trình do đó 4(m - 1) = 0  m = 1.
Vậy không có nghiệm còn lại.
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ:
Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S = x1 + x2 = 5
vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có
 P = x1 x2 = 6

Theo hệ thức Vi-ét ta có 
dạng:

x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
5


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

2.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là biểu thức của 2 nghiệm
phương trình đã cho:
1 1

Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x ; x biết x1 ; x2 là nghiệm của
1
2
phương trình x2 +7x - 18 = 0 .
Hướng dẫn: Tính nghiệm của phương trình x2 +7x - 18 = 0 có nghiệm x1 = 2 ,
x2 = -9

1 1 1 1
7

S= + = +
=

x1 x2 2 −9 18
1 1 1
1

Nên x = 2 ; x = −9 , Theo hệ thức Vi-ét ta có 
1
2

 P = 1 . 1 = 1 . 1 = −1

x1 x2 2 −9 18
1 1
;
x1 x2

Vậy

là

x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 −

nghiệm

của

phương

trình

có

dạng

7
1
x− =0
18
18

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm x1, và x2 biết:
a.
x1 = 17 vµ x2 = -4
b.

x1 = 5

vµ

x2 = -14

c.

x1 = 5a

vµ

x2 = a

d.

x1 = 1 + 3

vµ

x2 = 1 − 3

III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phương trình :
(điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0
x 2 − Sx + P = 0
)
Bài 1. Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Bài 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: (SGK toán 9. tập 2)
a. u +v = 32.
và
u.v = 231.
b. u +v = -8.
và
u.v = -105
c. u +v = 2
và
u.v = 9
Bài 3. Tìm 2 số a và b biết
6


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

a. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b. a − b = 5 và ab = 36
c. u2 + v2 = 85 và u.v = 18. (SBT toán 9)

Hướng dẫn: a) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng
hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của a và b.
81 − ( a 2 + b 2 )
2
2
2
T ừ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
= 20
2
 x1 = 4
2
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình : x − 9 x + 20 = 0 ⇔ 
 x2 = 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
b) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Đặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36
 x1 = −4
 x2 = 9

2
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x − 5 x − 36 = 0 ⇔ 

Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9
nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 4
c) Từ giả thiết suy ra u2 + 2uv+ v2 = 121. Do đó u +v = ±11.
- Nếu u +v = 11 và u.v = 18 thì u và v là hai nghiệm của phương trình
2
x - 11x + 18 = 0 , suy ra u = 2, v = 9 hoặc u = 9 , v = 2.
- N ếu u +v = -11 và uv = 18 thì u và v là hai nghiệm của phương trình

2
x +11x + 18 = 0 suy ra u = - 2, v = - 9 hoặc u = - 9 , v =- 2.
IV. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ.

Phương pháp giải các bài toán loại này là:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0).
- Biểu diễn tham số qua x1, x2 từ tổng hoặc tích 2 nghiệm sau đó thế vào biểu
thức còn lại.
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Bài 1 ( Đề 14 . Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
2
2
a. Tìm m đề phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 10.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Giải: b. PT (1) có 2 nghiệm khi: ∆' ≥ 0  ( m - 1) 2 + (m+3) ≥ 0
1
2

 m2 - 2m +1 +m +3 ≥ 0  m2 - m + 4 > 0  (m − )2 +

15
> 0 đúng với mọi m.
4

7

Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

Chứng tỏ PT có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
 x1 + x2 = 2( m −1) (2)
(3)
 x1 .x2 = −m − 3

Theo hệ thức Viet ta có: 

2
2
2
2
Ta có x1 + x2 = 10.  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 10 <=> 4(m − 1) + 2(m + 3) = 10

m = 0
 4m − 6m + 10 = 10 <=> 2m(2m − 3) = 0 <=> 
3
m=

2
2

(Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.)
Từ (3) ta có m = - x1x2 - 3 thế vào (2) ta có:

x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 -8

 x1 + x2 + 2x1x2 +8 = 0.
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Bài 2. Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0
(m ≠ 0, m là tham
số )
Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
không phụ thuộc vào m.
Giải : Để pt có 2 nghiệm thì m ≠ 0 và ∆' ≥ 0 
m ≠ 0 và {

9

m ≤
7
(m -3) - m(m +1) ≥ 0  
 m ≠ 0
2

Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:
2( m − 3)
6
= 2−
(1)
m
m
m +1
1
x1 x2 =
= 1+
(2)

m
m
x1 + x2 =

Ta có (2) ⇔ 6x1x2 = 6 +

6
m

(3). Cộng vế theo vế của (1) và (3)

ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x1 + x2 + 6x1x2 = 8
Từ bài toán 2 ta có thể đưa ra cho HS bài toán 3 với cách giải vận dụng
hệ thức Vi-et nhằm phát triển tu duy.
2
Bài 3. Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 .

8


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán
Chứng minh rằng biểu thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của

m.
Do phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 nên :
m ≠ 1
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0

m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

V' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
 m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0
m ≥ 5

Theo hệ thức vi-ét ta có :
2m

 x1 + x2 = m − 1

 x .x = m − 4
1 2
m −1


thay vào biểu thức A ta có:

A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3.

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
0

+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1
4
5

Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích
nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không
phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
2
* Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã
cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có
 x1 + x2 = −(4m + 1)
4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⇔

 x1.x2 = 2(m − 4)
4m = 2 x1 x2 + 16(2)

Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0

V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Phương pháp giải: Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là
phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng 2 nghiệm
S và tích 2 nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị của biểu thức.
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2
Ví dụ 1

2
2
2
2
2
a) x1 + x2 = ( x1 + 2 x1 x2 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2

2
3
3
2
2
b) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 

9


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 ) 2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 =  ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x22
2

2

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

d)

x1 − x2 = ?

Ví dụ 2

Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ±
2

2

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
2
2

= ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….
1. x1 − x2
3
3
2. x1 − x2

=…….
4
4
3. x1 − x2

=

( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 )

2

− x1 x2 


2
2
2
2
= ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =……

6
6
2 3
2 3

2
2
4
2 2
4
4. x1 + x2 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ……..
Bài tập áp dụng

5. x1 − x2
6

7
7
7. x1 + x2

5
5
6. x1 + x2

6

1

2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Bài 1.
a) (Đề 6- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh).
Cho x1 và x2 là hai nghiệm của PT: x2 - x - 3 = 0.
2
2
Tính giá trị của biểu thức: P = x1 + x2

Giải: ta có x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
= 12 – 2.(-3) = 7
b ) (Đề 8 -Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho x1 và x2 là hai nghiệm của PT: 3x2 - x - 2 = 0.
1

1

Tính giá trị của biểu thức: P = x + x
1
2
Giải: ta có

1 1 x1 + x2 1 −2 −1
+ =
= :
=
x1 x2
x1 x2
3 3
2

Từ hai câu trên ta có thể luyện thêm cho HS
x

x

1
2
c ) Tính x + x

2
1

biết x1 và x2 là hai nghiệm của PT: x2 - x - 3 = 0.

x1 x2
Giải: ta có x + x =
2
1

10

2
x12 + x22 ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 1  – 2. ( −3)   −7
=
=
=
x1.x2
x1.x2
−3
3

1

8. x − 1 + x − 1
1
2


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

Bài 2.
a) Cho phương trình : 2 x 2 − 3x + 1 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1

1− x

1− x

x1

x2

1. x + x
1
2

(3)

1
2
2. x + x
1
2

3. x12 + x22

(1)

4. x + 1 + x + 1
2
1

(1)
5
 ÷
6

b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1

1. x + x
1
2
c)

9
 ÷
8

2. x12 + x22

(65)

( đề 14 . Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)

cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
2
2
Tìm m đề phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 10.

VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU
THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Dạng toán này có khá nhiều câu trong bộ đề ôn thi tuyển sinh THPT- Sở
GDĐT Hà Tĩnh và có nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Phương pháp giải chung: Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: (Đề số 4-Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho phương trình ẩn x: x2 - 2mx + 4 = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
2
2
( x1 + 1) + ( x2 + 1) = 2
m ≥ 2
(*)
m ≤ −2

Giải: Ta có ∆' = m2 - 4, phương trình (1) có nghiệm ⇔∆ ' ≥ 0 ⇔ 
Theo hệ thức vi ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1 x2 = 4.
2
2
Suy ra: ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = 2

⇔ x12 + 2 x1 + x22 + 2 x2 = 0
⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 0 ⇔ 4m 2 − 8 + 4m = 0
m = 1
⇔ m2 + m − 2 = 0 ⇔ 
m = 2

Đối chiếu điều kiện (*) chỉ có m =2 thỏa mãn. Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

11


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

Ví dụ 2: ( Đề kiểm tra chất lượng kì 2 năm 2010-2011 toán 9 phòng GD Thạch
Hà)
Cho phương trình: x 2 - 3x + m -1 = - 9. (*) với m là tham số.
Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2 x1 - 3 x2 = -14
HD: ∆ = (−3) 2 − 4.1.( m − 1) = −4m + 13 .
Để pt (*) có 2 nghiệm thì ∆ = −4m + 13 ≥ 0 ⇔ m ≤
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có

13
(1)
4

x1 + x2 = 3 (2) và x1 x2 = m - 1 (3)

Theo giả thiết ta có: 2 x1 - 3 x2 = -14 (4) . Từ (2 )và (4) ta suy ra x1 = -1 và x2
=4
Thay vào (3) ta có x1 x2 = (-1).4 = m -1 => m = - 3. Thỏa mãn ĐK (1).

Vậy m = -3 thì pt có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2 x1 - 3 x2 = -14.
2
Ví dụ 3: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1 + x2 = x1.x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là :
 m ≠ 0
m ≠ 0
⇔

2

2
2
∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0
 ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
m ≥ −1

6(m − 1)

 x1 + x2 =
m
Theo hệ thức Vi-ét ta c ó: 

và từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:
 x x = 9(m − 3)
 1 2
m

6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

x1 + x2 = x1.x2
Ví dụ 4: ( Đề số 8 Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho phương trình ẩn x: x2 - x + 1+ m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn:
x1 x2 .( x1 x2 - 2) = 3( x1 + x2 )

Giải:
12

Do a ≠ 0, ta có : ∆ = 1- 4(1 + m) = - 3 - 4m.


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

Để PT có nghiệm thì ∆  -3 - 4m ≥ 0 m ≤

−3

(*) .
4

Theo hệ thức vi ét ta có x1 + x2 = 1, x1 x2 = 1 + m.
Thay vào đẳng thức x1 x2 .( x1 x2 - 2) = 3( x1 + x2 ) ta được: (1 + m)( (1 + m -2) = 3
 m2 = 4  m = ± 2. Đối chiếu điều kiện (*) chỉ có m = - 2 thỏa mãn.
Ví dụ 5: Cho phương trình ẩn x : x2 + mx + m -1 = 0
a, Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b, Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất
2
2
của biểu thức: B = x1 + x2 − 4.( x1 + x2 ) ( Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 vào THPT
năm học 2013-2014. Phòng GD-ĐT Thạch Hà)
Giải: Xét phương trình: x2 + mx + m -1 = 0
Có ∆ = m2 – 4(m – 1) = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 ≥ 0 .
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
 x1 + x2 = − m
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 x1 x2 = m − 1
2
2
Theo đề bài B = x1 + x2 − 4.( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) 2 - 2 x1 x2 - 4( x1 + x2 ) =
= m2 – 2 (m – 1) – 4.(-m) = m2 + 2m + 2 = ( m + 1)2 +1 ≥ 1.
Vậy MinB = 1 khi và chỉ khi m = -1.
Bài tập áp dụng

1. Cho phương trình : x 2 − (m + 1) x − 6 = 0

( m là tham số). Gọi x1 và x2 là 2

nghiệm của pt trên. Tìm m để: x12 + x22 = 16 . ( Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10,
THCS Phan Huy Chú năm học 2010-2011)
2
2. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
3. Đề 21 ( Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho phương trình: 2x2 +(2m-1)x + m-1 = 0 với m là tham số.
2
2
Tìm m để pt có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 4 x1 + 2 x1 x2 + 4 x2 = 1 .

4. Đề 23 ( Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho phương trình: x2 -2x + m - 3 = 0 với m là tham số
Tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn điều kiện:

x12 − 2 x2 + x1 x2 = −12 .
5. (Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm 2016 phòng GD-ĐT Thạch Hà )
Cho phương trình: x2 – 2x + m – 3 = 0 (1) ( m là tham số)
Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều
kiện:

x13 x2 + x1 x23 = −6
13


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

6. ( Mã đề 01-Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2010-2011, Sở GD-ĐT Hà Tĩnh)
Cho phương trình: x2 – 5x + m – 2 = 0 (2) ( m là tham số)

Tìm giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn đẳng thức: (

x1 x2 - 1)2 = 20(x1 + x2).
7. ( Mã đề 02-Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2012-2013, Sở GD-ĐT Hà Tĩnh)
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình: x2 – 4x – m2 + 5m = 0 (3) ( m là tham
số)
Tìm các giá trị của m sao cho: x1 − x2 = 4
Hướng dẫn cách giải:
Trong các bài tập trên thì các biểu thức nghiệm không cho sẵn tổng nghiệm
x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 , do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu
thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm
x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: Ta thấy phương trình có a.c = - 6 => ∆ ≥ 0 với mọi m, do đó pt luôn có 2
nghiệm phân biệt .
 x1 + x2 = m + 1
 x1 x2 = −6

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

và từ giả thiết x12 + x22 = 16 . Suy ra ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1.x2 = 16 hay (m + 1)2 − 2.(−6) = 16
m 2 + 2m − 3 = 0 suy ra m1 = 1, m2 = −3

.

m ≠ 0
16
BT2: - Để pt có 2 nghiệm thì 
: m ≠ 0&m ≤
15
∆ ≥ 0

−(m − 4)

 x1 + x2 =
m
(1)
-Theo VI-ÉT: 
m
+
7
x x =
 1 2
m
 x1 + x2 = 3 x2
⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: 
2( x1 + x2 ) = 3x1

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:

m 2 + 127 m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128

14


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

VII. Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào bài tập
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

 x+ y =3

a)  2
2
x + y = 5
Giải:

 x− y =2
b)  2
2
 x + y = 34

a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
 S =3
S = 3
⇔ 
 2
P = 2
S − 2P = 5

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 .

Vậy (x ; y) ∈ { ( 2;1) ; ( 1; 2 ) }

b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ
S =2

S =2
⇔
 2
 S + 2 P = 34

 P = 15

Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình
X2 - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = 3; x2 = -5.
Vậy (x ; y) ∈ { ( 3;5) ; ( 5;3) }
VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Hãy tìm điều kiện để phương
trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:

S = x1 + x2

P = x1 x2 ∆

Dấu nghiệm

x1

x2

trái dấu
cùng dấu
cùng dương

±
±

m

+

+

S>0

P<0
P>0
P>0

cùng âm

−

−

S<0

P>0

±

Điều kiện chung

∆≥ 0 ∆≥
∆≥ 0 ∆≥
∆≥ 0 ∆≥
∆≥
∆≥ 0
0.

0 ; P < 0.
0 ;P>0
0 ;P>0;S>0
0 ;P>0;S<

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:
2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

15


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán
∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0
∆
≥
0
∆ = ( m − 7) 2 ≥ 0∀m


2
⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3

m −m−6
<0
P < 0
 P = (m − 3)(m + 2) < 0

P =

2

Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm khác dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải:
a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0 ⇔ m < 1
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
( 2m − 3) 2 > 0
∆ > 0


 S > 0 ⇔  1 − 2m > 0 ⇔ không có giá trị nào của m thoả mãn
P > 0
 m −1 > 0



c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi
∆ > 0
( 2m − 3 ) 2 > 0
 m >1




 S < 0 ⇔  1 − 2m < 0 ⇔ 
3
P > 0
 m −1 > 0
 m ≠ 2



d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu
nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi
∆ ≥ 0

S = 0

⇔ 1 - 2m = 0 ⇔ m =

1
2

Điều cần chú ý ở đây là khi ∆ < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của
phương trình vì phương trình vô nghiệm.
Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì ∆ > 0
Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là ∆ và S
Bài tập tham khảo:
1. (Đề thi tuyển sinh vào THPT của trường THCS LV- Năm 2012- Hà Tĩnh)
Cho pt: x2 - 2m x + m - 1 = 0 (1)
a. Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá tri tuyệt đối.

2
2. Tìm m để PT 3mx + 2 ( 2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm.
2
3. Tìm m để PT ( m − 1) x + 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
4. Cho pt: x2 - 2(m+1)x + m2 - 4m + 5 = 0. ( Bộ đề ôn thi thuyển sinh vào lớp
10)

16


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

a. Xác định m để phương trình có nghiệm.
b. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương.
5. ( Đề 11- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho PT x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của m thi PT có hai nghiệm trái dấu.
5. (đề 32- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
Cho PT x2 + (2m + 1)x +m2 +1 = 0.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.
C. KẾT QỦA SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI:
Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy chất lượng đã được nâng lên đáng kể, đặc
biệt là đối tượng học sinh trung bình và trung bình khá được nâng lên rõ rệt.
Cách làm này đã mang lại nhiều kết quả đáng phấn khởi:
- Học sinh có hứng thú , say mê học toán;
- HS có thói quen tìm tòi, tư duy độc lập sáng tạo hơn;
- HS biết phân loaị các dạng toán và có ý thức tìm hiểu, nắm vững về mỗi dạng
toán.
D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
Trên đây là nội dung ứng dụng hệ thức Vi-ét vào các dạng bài tập mà tôi
đã hệ thống trong quá trình dạy cho học sinh lớp 9 ôn thi vào THPT. Bằng cách

hệ thống thành nhiều dạng. Tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết
và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm,
đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong
thời gian học và ôn thi các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các
dạng trên. Vì thế việc áp dụng hệ thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ
thi không còn khó khăn nữa. Và các em biết vận dụng linh hoạt khi tiếp tục học
lên chương trình THPT.
Đến thời điểm này số học sinh nhận biết và ứng dụng được hệ thức Vi-ét
vào giải toán đã được nâng lên rõ rệt. Cụ thể qua số liệu khảo sát sau:
% HS nhận biết dạng và khi đưa ra
Lớp Số HS TB khá Khá
Giỏi bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét
số người
%
9C
34
14
12
8
24
71%
9D
36
16
13
7
27
75%
Phần ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã có nhiều đồng nghiệp quan tâm, là
một phần có nhiều ứng dụng hay. Tuy nhiên tôi đã trình bày theo quan điểm của

mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp 9 nhiều năm và cho thấy có hiệu quả tốt.
Nhưng do thời gian có hạn và mục đích chính của đề tài là áp dụng cho học sinh
đại trà, nên lượng bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ, do đó
không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng
để đề tài của tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn! .
Việc thực hiện các chuyên đề và đề tài theo tôi thấy rất cần thiết không chỉ
đối với học sinh mà còn có ý nghĩa đối với thầy. Đây là một trong những hình
17


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

thức tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao tay nghề cũng như tạo cơ
hội học hỏi đồng nghiệp rất có giá trị. Do đó kính đề nghị các cấp lãnh đạo
ngành thường xuyên tổ chức các chuyên đề hay để mọi người có điều kiện học
hỏi kinh nghiệm. Đối với những đề tài có giá trị thực tiễn cần đem phổ biến tới
các trường hoạc đăng tải trên trang Website của ngành nhằm nâng cao hơn nữa
chất lượng giáo dục và đào tạo.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 10 năm 2016

18


Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán

Tài liệu tham khảo:
1. Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyênNXB ĐH quốc gia Hà Nội- 2011. Do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên.
2. Các đề thi vào THPT, trường chuyên các tỉnh
4. Sách giáo khoa Toán 9(tập 2) , Sách bài tập- NXB giáo dục-2005

5. Sách Nâng cao và phát triển Toán 9(tập 2)- NXB giáo dục-2005 - Vũ Hữu
Bình
6. Sách Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- NXB giáo dục-2005
- Vũ Dương Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm
7. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS- Đại số- NXB giáo dục-2005
- Nguyễn Vũ Thanh

19