Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (tt)

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN TRUNG HIẾU

NHÓM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC
TRÊN VÀNH ĐA THỨC
CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
MÃ SỐ: 9520203 (mã cũ 62.52.02.03)

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2017


Công trình được hoàn thành tại:
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Nguyễn Bình
TS. Nguyễn Ngọc Minh

Phản biện 1: PGS.TS. Đỗ Quốc Trinh
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Hiếu Minh
Phản biện 3: PGS.TS. Đặng Văn Chuyết

Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại:
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Vào lúc:

....... giờ ....... ngày ....... tháng ....... năm ……

Có thể tìm hiểu luận án tại:
Thư viện Quốc gia Việt Nam
Thư viện Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông


i

MỞ ĐẦU
Lý do nghiên cứu

Việc nghiên cứu truyền thống về mã cyclic đã khá hoàn chỉnh, tuy
nhiên loại mã này có nhược điểm là số lượng từ mã được tạo ra hạn chế,
độ dài của mã chỉ cố định ở một số giá trị cụ thể. Trong những năm trở
lại đây một phương pháp khác để xây dựng mã cyclic (gọi là mã cyclic
cục bộ) được nghiên cứu dựa trên phân hoạch vành đa thức. Về mặt lý
thuyết có thể tồn tại mối quan hệ giữa mã cyclic và cyclic cục bộ, điều
đó thôi thúc nghiên cứu sinh nghiên cứu sâu hơn lý thuyết về mã cyclic
cục bộ (mã cyclic được xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân
cyclic), tìm hiểu, chứng minh mối quan hệ có thể tồn tại giữa mã cyclic
và mã cyclic cục bộ.
Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là góp phần hoàn thiện lý thuyết và
thực nghiệm về nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên các vành đa thức,
khảo sát và chứng minh mối quan hệ giữa mã cyclic cục bộ và mã cyclic
truyền thống. Trên cơ sở kết quả nghiên cứu lý thuyết đạt được sẽ đề
xuất một số ứng dụng có thể về mã sửa lỗi và mật mã trong các hệ thống
truyền thông.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các đa thức, nhóm nhân cyclic,
cấp số nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức.
Phạm vi nghiên cứu của luận án này được giới hạn trong việc
nghiên cứu mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với
mã cyclic truyền thống, cấp của đa thức và phương pháp xây dựng nhóm
nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức, trên cơ sở đó có thể đề
xuất một số mã cyclic tốt và phương pháp hiện thực hóa các mã cyclic
trên FPGA.
Phương pháp và công cụ nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phân tích và tổng hợp dựa
vào các công cụ toán học, đặc biệt là đại số, lý thuyết mã hóa, lý thuyết
xác suất,...
Luận án sử dụng các công cụ toán học, kết hợp với việc tính toán,
mô phỏng trên máy tính và các chương trình phần mềm xử lý (C++,
Matlab, VHDL, Excel).


ii
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Những kết quả trong luận án này góp phần phát triển hoàn thiện lý
thuyết mã cyclic, mã cyclic cục bộ nói riêng và lý thuyết mã sửa lỗi nói
chung. Các đóng góp chính của Luận án:
- Kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức
thông qua việc đề xuất phương pháp xác định đa thức có cấp cực đại.
- Chứng minh sự tương đương giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân
cyclic với mã cyclic truyền thống.
- Đề xuất một số bộ mã cyclic tốt xây dựng trên vành đa thức.

Cấu trúc của Luận án

Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương
nội dung. Trong đó, Chương 1 trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu,
lý thuyết cơ bản về vành đa thức, mã cyclic làm cơ sở cho các nội dung
nghiên cứu của luận án. Trong Chương 2, luận án tập trung trình bày
các kết quả nghiên cứu mới và hai đóng góp quan trọng của Luận án là
đề xuất phương pháp kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại
thông qua việc xác định cấp của đa thức với nhiều hướng tiếp cận;
chứng minh mối quan hệ tương đương giữa mã cyclic truyền thống với
mã cyclic xây dựng trên nhóm nhân, cấp số nhân trên vành đa thức [J2],
[J3], [J4], [J5], [C3], [C4], [C5]. Ở Chương 3, Luận án trình bày phương
pháp tìm mã cyclic tốt và danh sách một số mã cyclic tốt được đề xuất,
cũng như mô phỏng đánh giá bộ mã, đề xuất phương pháp xây dựng bộ
mã trên cấu kiện phần cứng FPGA, ở cuối chương luận án trình bày ứng
dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trong việc làm khóa một
số hệ mật [J1], [J6], [C1], [C2].


1
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
Tóm tắt: Nội dung của chương trình bày lý thuyết tổng quan về
vành đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic và mã cyclic. Các
tiêu chuẩn đánh giá mã sửa lỗi cũng được giới thiệu trong chương này.
Chương này cũng sẽ tập trung khảo sát các nghiên cứu liên quan đến
mã cyclic để từ đó tìm ra các hạn chế của các nghiên cứu trước đây và
đề xuất hướng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và phương thức tiếp cận
của luận án.
1.1. GIỚI THIỆU CHUNG

Phần này trình bày tổng quan về lịch sử phát triển của lý thuyết mã
hoá, mã sửa lỗi, mã tuyến tính, mã cyclic và đề cập đến mã cyclic xây
dựng trên vành đa thức.
1.2. VÀNH ĐA THỨC

Phần này đề cập đến các khái niệm cơ bản về vành đa thức, phép
tính trên vành đa thức, đa thức bất khả quy, đa thức đối xứng, vành đa
thức có hai lớp kề cyclic. Tiếp đến là các nội dung liên quan đến chu
trình, lũy đẳng, đặc biệt bổ đề 1.2 đề cập đến tính chất và hệ quả về lũy
đẳng nuốt được sử dụng cho các chứng minh kết quả chính của luận án.
1.3. MÃ TUYẾN TÍNH

Phần này đưa ra khái niệm về mã tuyến tính, tiếp theo trình bày về
mã cyclic, một số mã có tính chất tương tự có thể xây dựng trên vành
đa thức, và một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính phổ biến.
1.3.1. Mã cyclic truyền thống
1.3.2. Một số mã tuyến tính khác
1.3.3. Một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính
1.4. PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ CYCLIC CỤC BỘ

Phần này trình bày về lý thuyết về nhóm nhân cyclic, nhóm nhân
cyclic đối xứng, cấp của đa thức và phân bố đa thức theo cấp trong
nhóm nhân cyclic. Tiếp đến là các nội dung liên quan đến cấp số nhân
cyclic, phân hoạch vành đa thức và mã cyclic cục bộ.
1.4.1. Nhóm nhân cyclic
Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức là tập hợp các phần tử bằng
lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh. Trong vành đa thức có

2
nhiều nhóm nhân mỗi nhóm nhân có thể gồm nhiều nhóm nhân cyclic,
số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành.

A  { ,  2 ,  3 ...,  m }

(1.16)

Bổ đề 1.3: Xét a  x  là một phần tử sinh của nhóm nhân cyclic A,
a  x  là phần tử sinh của nhóm nhân cyclic A ( A được gọi là đối

xứng của nhóm nhân A). Ta có:


A  a  x  mod  x


 1

A  a i  x  mod  x n  1
i

n

(1.19)

A  A ; a i  x   ai  x 

Cấp của đa thức a ( x )  2 [ x ] / ( x n  1) (ký hiệu ord a( x) ) là số
nguyên dương 𝑚 nhỏ nhất thỏa mãn:

 a ( x) 

m 1

 a( x) mod ( x n  1) hoặc  a( x)   e( x) mod ( x n  1) (1.21)
m

Định lý 1.2: Xét vành đa thức Z 2 [ x ] / x n  1 với x n  1   fi ( x)
trong đó f i ( x ) là các đa thức bất khả quy, cấp cực đại của một đa thức

a( x) nào đó được xác định như sau:
- Nếu 𝑛 lẻ thì max ord (a( x))  2m  1 .
- Nếu 𝑛 chẵn, có dạng n  2s (2k  1) thì max ord (a( x))  2s (2m 1) .
Trong đó m  max deg fi ( x) .
Bổ đề 1.4 trình bày về phân bố đa thức theo cấp trong nhóm nhân
cyclic, trong khi bổ đề 1.5 nói về số đa thức đạt cấp cực đại trên vành.
1.4.2. Cấp số nhân cyclic
Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) trên
vành đa thức là một tập hợp con có dạng sau:

A( a ,q )  a ( x), a( x)q( x), a( x) q 2 ( x),..., a( x) q m 1 ( x)

(1.23)

1.4.3. Phân hoạch vành đa thức
Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất là quá trình phân chia
các phần tử trong vành đa thức thành các tập (hay các lớp kề) không

3
trùng nhau. Các phần tử sinh của nhóm nhân sinh được gọi là các hạt
nhân của phân hoạch. Trong mỗi phân hoạch vành đa thức, các lớp kề
của nó là các cấp số nhân cyclic với cùng một công bội. Dựa vào các
lớp kề này ta có thể tạo được mã LCC và các mã cyclic khác nhau.
Trong vành đa thức, số phân hoạch là khá lớn nên có thể xây dựng được
nhiều mã cyclic có đặc tính sửa lỗi tốt.
Các kiểu phân hoạch vành đa thức phổ biến:
a) Phân hoạch chuẩn
b) Phân hoạch cực đại
c) Phân hoạch cực tiểu
d) Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số
e) Phân hoạch vành thành các phần tử có cùng tính chẵn lẻ của
trọng số
f) Phân hoạch vành thành các cấp số nhân theo modulo h(x)
1.4.4. Mã cyclic cục bộ trên vành đa thức
Mã cyclic cục bộ là một mã tuyến tính có các dấu mã là một tập
con không trống tuỳ ý các lớp kề trong phân hoạch của vành đa thức
theo một nhóm nhân cyclic A .
Nhận xét:
- Nếu chỉ chọn 1 lớp kề, khi đó mã LCC trở thành mã cyclic.
- Nếu các lớp kề được chọn có chứa nhóm nhân cyclic đơn vị

I   xi , i  1, 2,3... thì ta có mã LCC hệ thống.

Tập các trưởng lớp kề tạo mã sẽ mô tả đầy đủ mã LCC.
Có hai cách biểu diễn mã cyclic cục bộ phổ biến là: a) Biểu diễn
theo trưởng lớp kề; b) Biểu diễn theo ma trận sinh.
Hai lớp mã LCC phổ biến là: a) Mã cyclic cục bộ tự trực giao
(OLCC); b) Mã LCC có khả năng trực giao (OALCC).

1.5. HƯỚNG NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ
LIÊN QUAN

Trên thế giới, việc nghiên cứu cấu trúc đại số cho các cấu trúc mã
hiện nay vẫn đang được nghiên cứu và hoàn thiện như mã LDPC, mã
Turbo nhằm mục đích tối ưu hóa các mã kênh, mã truyền tin trong các
mạng thông tin di động thế hệ mới. Đối với mã cyclic, một số hướng


4
nghiên cứu trên thế giới hiện nay đã khá hoàn thiện và hiện đang xem
xét một số giới hạn của mã cyclic, đánh giá trọng số của mã cyclic, đề
xuất phương án giải mã tối ưu cho mã cyclic. Một số nghiên cứu đề cập
đến mã tuyến tính và đặc tính của các đa thức sinh dựa trên cấu trúc
trellis, đề xuất xây dựng mã khác dựa trên mã cyclic. Hiện nay các công
trình nghiên cứu đề cập đến mã cyclic đều đang tìm thêm các ứng dụng
dựa trên tính chất dịch vòng của mã cyclic ví dụ tính các chuỗi nhảy tần
tối ưu trong thông tin di động, xây dựng cấu trúc đại số mới để hình
thành mã quasi cyclic, hay quasi cyclic LDPC, hiện thực hóa các mã
cyclic trên các cấu kiện phần cứng. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các mã
cyclic còn chưa chặt chẽ và mang tính tổng thể đối với vành đa thức.
Ở Việt Nam, vào năm 1987 đã bắt đầu một hướng nghiên cứu mới
về mã sửa lỗi đó là mã cyclic cục bộ (LCC) được thực hiện trênh vành
số. Tuy nhiên chỉ tới khi được xây dựng trên các vành đa thức vào năm
1996 các nghiên cứu về mã LCC mới được thúc đẩy mạnh mẽ và thu
được nhiều kết quả khích lệ về: phân hoạch vành đa thức, mã LCC tự
trực giao, mã LCC có khả năng trực giao, mã LCC đối xứng và tự đối
xứng, các mã cyclic trên vành đa thức có 2 lớp kề cyclic,... Các công
trình này đều có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đạt được những thành tựu và
kết quả nhất định. Tuy nhiên, lý thuyết và thực nghiệm về mã cyclic cục

bộ và mã cyclic trên vành đa thức vẫn chưa hoàn thiện và có một số
hướng nghiên cứu mở.
Nghiên cứu sinh xác định luận án nghiên cứu việc kiến thiết nhóm
nhân cyclic có cấp cực đại, mối quan hệ của mã cyclic cục bộ (mã cyclic
xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức)
với mã cyclic truyền thông, phương pháp lựa chọn mã cyclic tốt, ứng
dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trong mã sửa lỗi, mật
mã, và khả năng thực hiện các bộ mã cyclic trên cấu kiện phần cứng.
1.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG

Trong chương này, Luận án đã trình bày cơ sở lý thuyết cho các
nội dung nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung về vành đa thức,
vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tính chất đa thức, chu trình, luỹ đẳng,
mã tuyến tính, mã cyclic truyền thống, một số tiêu chuẩn đánh giá mã
tuyến tính, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa
thức và mã cyclic cục bộ. Ở cuối chương trình bày hướng nghiên của
của luận án và thảo luận một số kết quả nghiên cứu liên quan từ đó làm
rõ hơn nội dung nghiên cứu của luận án.


5
CHƯƠNG 2
CẤP CỦA ĐA THỨC VÀ QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN
CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN
THỐNG
Tóm tắt: Trong chương này, Luận án trình bày các kết quả nghiên
cứu về phương pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại, mối
quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền
thống góp phần bổ sung và hoàn thiện lý thuyết về mã cyclic. Nội dung
chương 2 được bố cục gồm ba phần và kết luận chương. Phần đầu tiên

giới thiệu chung về nội dung của chương và các vấn đề liên quan. Nội
dung tiếp theo trình bày một số kết quả nghiên cứu mới của tác giả về
cấp của đa thức. Phần cuối cùng trình bày kết quả nghiên cứu mới về
mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic
truyền thống qua đó chứng minh được sự tương đương giữa nhóm nhân
và cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống.
2.1. GIỚI THIỆU

Đến thời điểm hiện tại, chưa có công trình nào tập trung nghiên
cứu và có kết quả đầy đủ về cấp của đa thức, về kiến thiết nhóm nhân
cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức. Đặc biệt cũng chưa có tiêu
chuẩn toán học nào cho việc tìm kiếm đa thức có cấp cực đại trên vành.
Chính điều này gợi mở cho nghiên cứu sinh hướng nghiên cứu về xác
định cấp của đa thức, từ đó kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại
trên vành đa thức. Các kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày chi tiết
trong mục 2.2.
Cũng trên cơ sở nghiên cứu về mã cyclic cục bộ (xây dựng từ nhóm
nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức), nghiên cứu sinh thấy
rằng có thể tồn tại mối quan hệ giữa mã cyclic cục bộ (hay nhóm nhân
cyclic, cấp số nhân cyclic) với mã cyclic truyền thống và việc chứng
minh bằng toán học, khảo sát đánh giá mối quan hệ này hiện nay vẫn là
một vấn đề mở cần được nghiên cứu. Việc chứng minh được mối quan
hệ này sẽ góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ và tạo ra cầu nối giữa các
cách xây dựng mã cyclic khác nhau. Một kết quả nghiên cứu về vấn đề
này được trình bày trong mục 2.3.
Khi giải quyết được hai nội dung lý thuyết quan trọng như đề cập
sẽ góp thêm sở cứ cho việc đề xuất một sơ đồ phân loại mã tuyến tính
dựa trên cấu trúc đại số và mã cyclic cục bộ.

6
2.2. XÁC ĐỊNH CẤP CỦA ĐA THỨC

Việc xác định được cấp của đa thức, đặc biệt cấp cực đại của đa
thức có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết mã hóa. Nếu đa thức là phần
tử sinh của nhóm nhân cyclic thì cấp đa thức chính là cấp của nhóm
nhân, khi đa thức được sử dụng làm khóa trong các hệ mật thì ở góc độ
nào đó cấp đa thức giúp xác định một phần độ phức tạp của hệ mật.
Ngoài ra, xác định được cấp đa thức giúp chỉ ra bộ mã cyclic tối ưu,
hoặc hạ bậc của đa thức để tạo ra bộ mã cyclic tối ưu xây dựng trên
vành nhỏ hơn (chi tiết tại chương 3). Như vậy, trong nội dung nghiên
cứu này luận án sẽ đề xuất một số phương pháp và thuật toán xác định
cấp của đa thức trên vành, đồng thời cũng đề xuất đánh giá về xác suất
chọn đa thức có cấp cực đại trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic.
2.2.1. Đề xuất phương pháp xác định cấp của tích các đa thức
Hiện tại vẫn chưa có phương pháp chung để xác định cấp của đa
thức trên vành, do đó trong nội dung này luận án tập trung trình bày
một hướng nghiên cứu xác định cấp của đa thức thông qua việc tìm cấp
của đa thức là tích của các đa thức thông qua việc đề xuất và chứng
minh đầy đủ hai bổ đề liên quan.
k

Bổ đề 2.1: Xét đa thức g ( x)   fi ( x) ; trong đó fi ( x) là các đa
i 1

thức có cấp tương ứng là 𝑚𝑖 . Khi đó, cấp của g ( x) thỏa mãn [J5]:
ord  g ( x)  lcm  m1 , m2 ,..., mk 

(2.1)

Bổ đề 2.2: Xét f1 ( x), f 2 ( x)  2 [ x] / ( xn  1) . Cấp của đa thức
g ( x)  f1 ( x). f 2 ( x) xác định như sau [J5]:
1) Trường hợp 1: Xét hai đa thức f1 ( x)  a i ( x) và f 2 ( x )  a j ( x )
(hoặc f 2 ( x )  a j ( x ) ), a( x)  CMG A cấp 𝑚 thì
ord  f1 ( x). f 2 ( x)  

m
gcd  m, (i  j ) 

(2.2)

2) Trường hợp 2: Nếu f1 ( x)  CMG A1 và f 2 ( x)  CMG A 2 , với
A1  A 2 và không đối xứng nhau, cấp tương ứng của A1 , A2 là m1 , m2
ord  f1 ( x). f 2 ( x)   lcm  m1 , m2 

(2.3)


7
Đặc biệt nếu gcd  m1 , m2   1 , thì ord  f1 ( x). f 2 ( x)   m1 .m2
Hệ quả:
- Cấp của đa thức là tích hai đa thức bất kỳ thuộc cùng CMG hoặc
hai CMG đối xứng không lớn hơn cấp cực đại của CMG đó.
- Có thể tìm đa thức cấp cực đại bằng việc lấy tích của các đa thức
có cấp là nguyên tố cùng nhau.
2.2.2. Đề xuất phương pháp xác định cấp của nhị thức
Nhị thức là một đa thức có biểu diễn khá đơn giản và có khả năng
đạt cực đại trên vành đa thức. Việc nghiên cứu cấp của nhị thức có thể
tìm ra nhị thức đạt cấp cực đại hoặc làm cơ sở tìm đa thức có cấp phù
hợp để nhân với nhị thức tạo thành đa thức có cấp cực đại. Trong phần

này, luận án trình bày kết quả nghiên cứu về cấp của nhị thức thông qua
đề xuất và chứng minh hoàn chỉnh một định lý, một bổ đề, đồng thời đề
xuất một thuật toán xác định cấp nhị thức.
Định lý 2.1: Cấp của nhị thức 1  x j trên
định [J3]:

2

[ x ] / ( x n  1) được xác

ord (1  x j ) | (2mi  1) víi j  Ci

Bổ đề 2.3: Trên vành đa thức

(2.5)

[ x ] / ( x  1) [J5].
n

2

j
+ Các nhị thức (1  x ) với j  C1 là các nhị thức có cấp lớn nhất.

+ Nhị thức (1 + 𝑥) có cấp cực đại trong số tất cả các nhị thức.
Thuật toán xác định cấp của nhị thức (𝟏 + 𝒙) [J3]
VÀO: Giá trị n
RA: Cấp của nhị thức (1 + 𝑥) trên vành đa thức ( order )
1. Chuyển nhị thức về mảng a  x  có kích thước bằng giá trị
𝑛 của vành.

2. Đặt g  x   a  x  và order  1



3. Lấy g  x   XOR g  x  , shift  g  x  ,1



4. So sánh g  x  với a  x  :
4.1. Nếu g  x   a  x  thì order  order  1 và lặp lại bước 2
4.2. Nếu g  x   a  x  , dừng chương trình và in kết quả order


8
Thực hiện thuật toán xác định cấp của nhị thức (1 + 𝑥), thu được
kết quả khảo sát trên một số vành đa thức [J3].
Từ kết quả chạy thuật toán, ta có thể nhận thấy rằng nhị thức (1 + 𝑥) có
khả năng đạt cấp cực đại trên khá nhiều vành, do đó có thể lựa chọn làm phần
tử sinh để tạo ra nhóm nhân đạt cấp cực đại trên những vành mà nhị thức này
đạt cấp cực đại. Ngoài ra, ta có một phương pháp để tìm đa thức 𝑎(𝑥) có
cấp cực đại từ nhị thức (1 + 𝑥), bằng cách chọn a( x)  1  x  . f ( x),
(với điều kiện gcd  ord  f ( x)  , ord 1  x    1 ).
Kết quả nghiên cứu này góp phần khẳng định rằng việc xác định
đa thức đạt cấp cực đại trở nên khá dễ dàng, do đó bài toán quan trọng
trong việc xây dựng các CMG có cấp cực đại đã có một hướng giải
quyết mới và hiệu quả. Kết quả này được công bố trong [J3], [J5].
2.2.3. Đề xuất thuật toán cải tiến để tìm và liệt kê cấp của đa thức
trên vành
Hai phương pháp được trình bày ở trên đã góp phần hoàn thiện lý
thuyết và mở ra hướng tiếp cận mới. Trong phần này nghiên cứu sinh

tiếp tục trình bày một phương pháp thực nghiệm đó là đề xuất thuật toán
tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành.
Thuật toán sử dụng phương pháp vét cạn để xác định cấp của tất
cả các phần tử trên mỗi vành đa thức nên độ phức tạp thuật toán là khá
cao, đặc biệt là đòi hỏi thời gian tính toán lớn và kém hiệu quả đối với
các vành lớn. Trên cơ sở các tính chất của nhóm nhân cyclic, đa thức
và cấp của đa thức đã trình bày trong chương 1, kết hợp một số bổ đề
liên quan để xây dựng một thuật toán cải tiến giúp giảm độ phức tạp
thuật toán, giảm thời gian tính toán trong việc tìm cấp của các đa thức.
a) Ý tưởng chủ đạo của thuật toán là sử dụng các kết quả nghiên
cứu về cấp đa thức và CMG đối xứng, cụ thể:
(1) Tìm cấp cực đại của đa thức trên vành bằng việc kiểm tra
chiều dài cực đại của các lớp kề cyclic (hay chính là các chu trình). Độ
phức tạp O(n).
(2) Áp dụng bổ đề 1.4. Tìm các CMG, các đa thức ở vị trí thứ 𝑘
m
với cấp
, trong đó 𝑚 là cấp của đa thức sinh của CMG.
gcd  m, k 
(3) Áp dụng bổ đề 1.3 để tìm các CMG đối xứng.


9
b) Độ phức tạp thuật toán: O  max_ order * n * N  , N là số nhóm
nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (theo bổ đề 1.5 [C5]).
c) Thuật toán cải tiến do nghiên cứu sinh đề xuất [C5]
INPUT: integer n.
OUTPUT: order of all polynomials.
1. Set all visited    0
2. For k from 1 to ( 2n  2 ) do

2.1. If visited  k   1 then continue
2.2. Convert k to polynomial f ( x)
2.3. Set g ( x)  f ( x)
2.4. Set count  0
2.5. While (1) do
2.5.1. Set g ( x)  g ( x)* f ( x)
2.5.2. Convert inversely g ( x) to an integer M
2.5.3. stored count   M
2.5.3. If g ( x)  f ( x) then break the loop
End while
2.6. For i from 1 to count
2.6.1. poly _ i  stored i 
2.6.2. opp _ poly _ i  2n  1  poly _ i
2.6.3. ord  poly _ i   count / GCD  i , count  , and
ord  opp _ poly _ i   ord  poly _ i 

2.6.4. visited  poly _ i   1 and visited  opp _ poly _ i   1
End for
End for
Sử dụng cùng cấu hình máy tính để chạy hai thuật toán, kết quả
cho thấy thuật toán cải tiến do nghiên cứu sinh đề xuất đã rút ngắn thời
gian tính toán một cách đáng kể so với thuật toán vét cạn, đặc biệt khi
vành lớn hơn, thuật toán cải tiến có thời gian tính toán ngắn hơn đến
hàng nghìn lần và thực hiện được với những vành lớn mà thuật toán vét
cạn không thể thực hiện trong cùng một cấu hình máy tính [C5].


10
2.2.4. Xác suất lựa chọn đa thức có cấp cực đại
Nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trong các vành đa thức có hai lớp

kề cyclic là cơ sở để xây dựng các mã cylic cục bộ có ứng dụng hiệu
quả trong viễn thông và trong lĩnh vực bảo mật. Có thể đánh giá khả
năng tìm phần tử sinh đạt cấp cực đại trên vành đa thức có hai lớp kề
cyclic thông qua tính xác suất chọn theo công thức sau:
p

  2n 1  1
2n 1  1  n

Số phần tử đạt cấp cực đại


(2.7)
Số phần tử được lựa chọn

với 𝑛 là số phần tử trong nhóm nhân cyclic đơn vị; 2n 1  1  n là tổng
số phần tử (trừ đơn thức và lũy đẳng nuốt);   2n 1  1 là hàm Phi-Euler.
Bảng 2.3 chỉ ra kết quả khảo sát xác suất tìm cấp cực đại của phần
tử trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic của 35 giá trị đầu tiên của n .
Bảng 2.3: Kết quả khảo sát 35 giá trị n
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15
16
17
18

n
5
11
13
19
29
37
53
59
61
67
83
101
107
131
139
163
173
173

p(n)
~0,5
~0,586
~0,42
~0,534
~0,494
~0,378
~0,529
~0,65
~0,35
~0,53
~0,658
~0,45
~0,66
~0,575
~0,559
~0,530
~0,529
~0,529

TT
19
20
21
22
23
24
25
26
27

28
29
30
31
32
33
34
35

n
179
181
197
211
227
269
293
317
347
349
389
419
421
443
461
467
491

p(n)
~0,663

~0,315
~0,492
~0,377
~0,664
~0,531
~0,530
~0,532
~0,665
~0,445
~0,531
~0,629
~0,318
~0,665
~0,444
~0,665
~0,557


11
Từ bảng này, có thể nhận thấy xác suất thấp nhất là 0,31 và phần
lớn xác suất là trên 0,5. Trong khi chưa có được tiêu chuẩn lựa chọn
phần tử sinh có cấp cực đại thì việc đánh giá xác suất lựa chọn phần tử
sinh như kết quả ở trên khẳng định rằng khả năng lựa chọn phần tử
nguyên thủy (không phải đơn thức) đạt cấp cực đại thông thường đạt
trên 50%. Kết quả nghiên cứu này được công bố trong [J2].
2.3. QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG

Một số nghiên cứu trước đây đã dự đoán hoặc cho ví dụ trong một
số trường hợp riêng về một quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân

cyclic với mã cyclic truyền thống, tuy nhiên cho đến hiện tại vẫn chưa
có công trình nghiên cứu nào đưa ra chứng minh toán học chặt chẽ cho
trường hợp tổng quát về mối quan hệ này. Trong nội dung này của luận
án, nghiên cứu sinh sẽ đề xuất một cách chứng minh toán học chặt chẽ
cho mối quan hệ này trong trường hợp tổng quát và kết quả thực nghiệm
trên công cụ mô phỏng mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân
cyclic trên vành đa thức với mã cyclic truyền thống.
2.3.1. Cơ sở toán học
2.3.1.1. Quan hệ giữa phép nhân và ánh xạ tuyến tính trên Rn .
2.3.1.2. Một tính chất của tích vô hướng
2.3.2. Sự tương đương của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic
với mã cyclic truyền thống
Bổ đề 2.4: Mã cyclic cục bộ xây dựng từ một cấp số nhân cyclic
cũng là một mã cyclic truyền thống. Mã cyclic này được xây dựng trên
vành đa thức có bậc là cấp của cấp số nhân cyclic trong phân hoạch của
vành đa thức xây dựng cấp số nhân cyclic [J4].
Việc chứng mình hoàn chỉnh bổ đề 2.4 đưa đến khẳng định rằng
mã cyclic cục bộ xây dựng từ cấp số nhân cyclic là một mã cyclic, từ
đây có thể mở ra một phương án mới để xây dựng các lớp mã cyclic.
Với phương án tiếp cận này, việc xây dựng các mã cyclic (nhất là với
các mã cyclic ở trên các vành lớn) trở nên đơn giản hơn, ta chỉ cần khảo
sát các cấp số nhân cyclic trên các vành nhỏ cũng có thể xây dựng được
các mã cyclic ở trên các vành lớn, trong khi đối với các vành lớn (số
mũ 𝑛 lớn), việc phân tích giá trị (𝑥 𝑛 + 1) ra thành các đa thức bất khả
quy cũng là một trở ngại cho việc xây dựng mã cyclic.


12
2.3.3. Thuật toán xác định nhóm nhân cyclic tương đương mã
cyclic truyền thống

Từ kết quả bổ đề 2.4, khi   1 thì cấp số nhân cyclic tương đương
nhóm nhân cyclic, do đó có thể nhận định rằng mã LCC xây dựng trên
nhóm nhân cyclic cũng tương đương với mã cyclic truyền thống. Phần
này sẽ trình bày kết quả khảo sát và đánh giá về sự tương đương giữa
mã LCC xây dựng trên nhóm nhân cyclic và mã cyclic truyền thống.
Thuật toán xác định mã cyclic truyền thống tương đương [C3]
VÀO: a  x   Z 2 [x] /  x n  1
RA: Mã cyclic truyền thống tương đương với CMG
A  {ai ( x), i  1, 2,..., m}

Bước 1:
- Xây dựng A  {ai ( x), i  1, 2,..., m} .
- Đặt n  ord  a  x  
- Lập ma trận mã LCC từ các phần tử của CMG A .
- Sử dụng thuật toán Gauss-Jordan để chuyển ma trận lập được
ở trên về dạng ma trận hệ thống.
- Loại bỏ các hàng bằng 0 (nếu có) của ma trận mã, được ma trận sinh
G  n, k  .
Bước 2:
- Chuyển đổi ma trận sinh G  n, k  về dạng các phần tử trong
nhóm
- Đặt h  x   A k  & k ; h  x   Z 2 / ( x n  1)
*

 xn  1 
- Tính g  x   

 h  x 

- Từ đa thức sinh g  x  , được ma trận mã tương đương với mã

cyclic truyền thống.
Nghiên cứu sinh đã xây dựng chương trình phần mềm và chạy
thuật toán xác định các mã tương đương được trình bày trong [C3] và
phụ lục của luận án.


13
2.4. MỘT CÁCH PHÂN LOẠI MÃ TUYẾN TÍNH MỚI

Từ quan điểm xây dựng mã cyclic và LCC, có thể thực hiện mô tả
mã cyclic theo quan điểm xây dựng mã LCC dựa trên phân hoạch vành
đa thức. Nghiên cứu các mã LCC trong mối quan hệ với mã cyclic nói
riêng và trong hệ thống mã tuyến tính xây dựng trên các cấu trúc đại số
nói chung, với các dạng phân hoạch khác nhau có thể cho ra các loại
mã sửa lỗi khác nhau, hệ thống phân loại các mã tuyến tính xây dựng
trên các cấu trúc đại số được trình bày trong hình 2.3 [C4].
Mã tuyến tính

Không có
cấu trúc
Mã tuyến
tính ngẫu
nhiên

Có cấu trúc
Vành đa thức
Z2[x]/xn+1

Vành ma trận

Ma trận
Cauchy

Ma trận
Vandermon

Mã
Goppa

Mã BCH

n chẵn

n lẻ

n bất kỳ

Vành đồng
dư

Phân hoạch vành
theo CMG

Trên
một
vành

Mã cyclic
theo Ideal
I=<g(x)>

Phân hoạch
cực tiểu

Phân hoạch
chuẩn
LCC đa
nhịp
LCC đơn
nhịp



Vành số



I  xi mod h  x 
Mã cyclic nhịp x

Mã cyclic AN
Vành các lớp
liên hợp

LCC

Trên
hai
vành
Phân hoạch
cực đại

Vành và
vành ước
của vành

Hai vành
bất kỳ

LCC hỗn
hợp

Mã tựa
LCC

Mã cyclic với
nhịp đa thức

Hình 2.3. Sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và
mã LCC [C4]
2.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG

Chương 2 đã trình bày kết quả nghiên cứu mới góp phần hoàn thiện
lý thuyết về mã cyclic. Các kết quả đã được công bố trong các công
trình [J2], [J3], [J4], [J5], [C3], [C5] tập trung vào hai nội dung chính:


14
1) Kiến thiết các nhóm nhân cyclic trên vành đa thức thông qua
việc đề xuất phương pháp xác định cấp của đa thức và đa thức đạt cấp
cực đại, đồng thời chứng minh hoàn chỉnh một số bổ đề quan trọng, cụ

thể: (a) Đề xuất phương pháp xác định cấp của đa thức là tích các đa
thức trên vành đa thức với đóng góp quan trọng nhất là đề xuất và chứng
minh hoàn chỉnh bổ đề 2.2 [J5]; (b) Đề xuất phương pháp xác định cấp
của nhị thức trên vành đa thức với đóng góp là đề xuất và chứng minh
hoàn chỉnh bổ đề 2.3 [J3], [J5]; (c) Đề xuất thuật toán cải tiến để tìm và
liệt kê cấp của đa thức trên vành đa thức [C5]; (d) Đánh giá xác suất
tìm phần tử có cấp cực đại trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic [J2].
2) Chứng minh sự tương đương giữa các nhóm nhân cyclic, cấp số
nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, với việc trình bày một chứng
minh về lý thuyết (bổ đề 2.4), xây dựng thuật toán (thuật toán 2.4), sau
đó tiến hành khảo sát, đánh giá và xây dựng được một phụ lục minh
chứng cho tính tương đương này [J4], [C3].
Ở cuối chương, Luận án đã trình bày và thảo luận một sơ đồ phân
loại các mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã cyclic cục bộ, góp
phần khẳng định mối quan hệ giữa mã cyclic với mã cyclic cục bộ và
vai trò của mã LCC trong hệ thống mã tuyến tính, mã sửa lỗi [C4].
CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
Tóm tắt: Các kết quả đạt được trong chương 2 là cơ sở để tiếp tục
nghiên cứu ứng dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trong
mã sửa lỗi và mật mã. Một đặc điểm nổi bật của các bộ mã cyclic xây
dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic là có độ dài thay đổi được
có khả năng ứng dụng trong LTE, mã mạng. Trong số các nhóm nhân
trên một vành đa thức thì nhóm nhân có cấp cực đại có độ ngẫu nhiên
của các phần tử cao nhất do đó có thể sử dụng các phần tử có cấp cao
nhất trong nhóm nhân cấp cực đại trên vành đa thức làm khóa cho một
số hệ mật. Trong chương này, luận án sẽ trình bày phương pháp xây
dựng mã cyclic, tiếp đến đề xuất một số mã cyclic tốt xây dựng từ nhóm
nhân cyclic, cấp số nhân cyclic gồm phương pháp tìm mã cyclic tốt,
danh sách một số mã cyclic tốt được đề xuất, mô phỏng đánh giá bộ

mã, đồng thời đề xuất phương pháp xây dựng bộ mã trên cấu kiện phần


15
cứng FPGA. Nội dung cuối, luận án trình bày ứng dụng của nhóm nhân
cyclic, cấp số nhân cyclic làm khóa cho một số hệ mật.
3.1. PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG MÃ CYCLIC

3.1.1. Phương pháp xây dựng mạch mã hóa
Trên cơ sở đã xác định được các nhóm nhân sinh, sẽ tạo được cấp
số nhân cyclic tương đương với lớp kề mới, phần tử sinh của lớp kề
(trưởng lớp kề) tương ứng số hạng đầu của cấp số nhân cyclic. Nếu gắn
dấu thông tin cho nhóm nhân sinh, ta sẽ tạo được mã LCC tương ứng
với nhóm nhân đó. Có hai cách chọn nhóm nhân sinh:
+ Cách thứ nhất: Chọn nhóm nhân đơn vị I, các dấu thông tin được
gắn vào nhóm nhân đơn vị I để tạo mã.
+ Cách thứ hai: Chọn nhóm nhân sinh là nhóm nhân cyclic bất kỳ.
Chọn phần tử đầu tiên a( x) nhân với nhóm nhân sinh đó sẽ tạo ra được
cấp số nhân cyclic tương ứng với một lớp kề tạo mã.
3.1.2. Phương pháp xây dựng mạch giải hóa
Có nhiều phương pháp giải mã cho mã cyclic và LCC, trong số đó
giải mã ngưỡng là một phương pháp khá hiệu quả và có sơ đồ giải mã
đơn giản. Các phương pháp giải mã ngưỡng bao gồm: Giải mã ngưỡng
theo đa số (MTD) các tổng kiểm tra; Giải mã ngưỡng theo đa số 1 biểu
quyết (MTD + 1); giải mã ngưỡng theo đa số 2 biểu quyết (MTD + 2).
Các phương pháp giải mã ngưỡng đều sử dụng các OCS, hoặc các
OACS, hoặc CS  liên hệ.
3.2. ĐỀ XUẤT MỘT SỐ MÃ CYCLIC TỐT TRÊN VÀNH ĐA THỨC

3.2.1. Phương pháp tìm mã cyclic tốt

Phần này trình bày phương pháp tìm mã cyclic (n,k,d) tốt phù hợp
theo các tiêu chí đánh giá đề cập trong chương 1. Các kết quả nghiên
cứu liên quan đến mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic.
3.2.1.1. Mã cyclic tối ưu xây dựng từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic
Định lý 3.1: Mã cyclic (2𝑘 − 2, 𝑘) trên vành đa thức 𝑍2 [𝑥]/(𝑥 𝑘 +
𝑖
1) sử dụng tất cả đa thức khác không (trừ đa thức 𝑒0 (𝑥) = ∑𝑘−1
𝑖=0 𝑥 )
làm dấu mã là mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer và thỏa mãn giới hạn
Plotkin, có khoảng cách mã 𝑑0 = 2𝑘−1 − 1 [J6].
Định lý 3.2: Mã cyclic (2𝑘−1 − 1, 𝑘) trên vành đa thức
𝑍2 [𝑥]/(𝑥 𝑘 + 1) với 𝑘 lẻ và sử dụng tất cả đa thức trọng số lẻ (trừ đa


16
𝑖
thức 𝑒0 (𝑥) = ∑𝑘−1
𝑖=0 𝑥 ) làm dấu mã là mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer
và thỏa mãn giới hạn Plotkin, có khoảng cách 𝑑0 = 2𝑘−2 − 1 [J6].
Đối với mã cyclic xây dựng từ các nhóm nhân cyclic thì có thể xây
dựng các bộ mã này như sau:
+ Nếu cấp cực đại của các đa thức thuộc vành 𝑍2 /(𝑥 𝑘 + 1) bằng
𝑘−1
2
− 1 thì chọn đa thức có cấp cực đại làm phần tử sinh của bộ mã.
+ Nếu cấp cực đại của các đa thức thuộc vành 𝑍2 /(𝑥 𝑘 + 1) không
nhỏ hơn 2𝑘−1 − 1 thì chọn đa thức thuộc vành lớn hơn (vành 𝑍2 /(𝑥 𝑝 +
1), với 𝑝 > 𝑘) và có cấp bằng với 2𝑘−1 − 1 sau đó hạ bậc đa thức theo
ℎ(𝑥) thì được đa thức mới có thể chọn làm phần tử sinh của bộ mã.
Việc hạ bậc đa thức theo ℎ(𝑥) như vậy là trường hợp phân hoạch

hỗn hợp trên hai vành đa thức bất kỳ. Xét 2 vành x p  1 và x k  1 với
p  k nếu trên vành x p  1 ta tìm được đa thức h( x) thỏa mãn điều
kiện: h( x) là tích của một số đa thức bất khả quy và deg h( x)  k thì ta
có thể thực hiện được phân hoạch hỗn hợp trên hai vành này [J6].
Dựa trên kết quả hai định lý 3.1, 3.2 cùng với phân tích ℎ(𝑥), có
thể nhận thấy rằng luôn có thể xây dựng được các bộ cyclic mã tối ưu
trên các vành đa thức từ các cấp số nhân (hay lớp kề) cyclic.
3.2.1.2. Mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân cyclic
Các mã cyclic tối ưu (𝑛, 𝑘, 𝑑) được nghiên cứu và đề xuất ở trên
có ưu điểm là sửa lỗi tốt (𝑑 lớn), xây dựng bộ mã dễ dàng, tuy nhiên
tồn tại một nhược điểm lớn là hiệu suất mã (𝑘/𝑛) thường khá nhỏ, do
đó nghiên cứu sinh đề xuất phương pháp tìm mã cyclic tốt xây dựng từ
các cấp số nhân/ lớp kề cyclic với các giá trị (𝑛, 𝑘, 𝑑) phù hợp, đặc biệt
là đề xuất các mã tốt xây dựng từ 3 lớp kề cyclic trên vành. Để tìm mã
cyclic tốt xây dựng trên 3 lớp kề cyclic sử dụng phương pháp giải mã
ngưỡng, ta thực hiện theo các bước sau đây [J6]:
Bước 1: + Cho giá trị 𝑘 của vành đa thức 𝑍2 /(𝑥 𝑘 + 1).
+ Lập phân hoạch cho vành đa thức, xác định số lớp kề
𝑚 (số lượng lớp kề trong vành)
+ Cho 𝑖 = 2
Bước 2: + Gán 𝑗 = 𝑖 + 1
Bước 3: + Lập mã gồm 3 lớp kề {1, 𝑖, 𝑗}


17
+ Xác định giá trị 𝑛 trong bộ mã (𝑛, 𝑘, 𝑑) , trong đó 𝑛
là tổng số phần tử của 3 lớp kề được chọn (cũng là độ dài từ mã).
+ Tính tổng kiểm tra của bộ mã theo cả 3 trường hợp
CS trực giao, CS có khả năng trực giao, CS  liên hệ, sau đó lưu lại số
CS của bộ mã ứng với mỗi trường hợp. Từ số tổng kiểm tra sẽ tính được

khoảng cách Hamming 𝑑.
+ Nếu 𝑗 = 𝑚 thì chuyển sang bước 4, nếu 𝑗 < 𝑚 thì
tăng 𝑗 và lặp lại bước 3.
Bước 4: + Nếu 𝑖 = 𝑚 − 1 thì chuyển sang bước 5, nếu 𝑖 < 𝑚 −
1 thì tăng 𝑖 và lặp lại bước 2.
Bước 5: Tính toán bộ tham số (𝑛, 𝑘, 𝑑) ứng với các bộ mã, so
sánh với các giới hạn tối ưu. Liệt kê bộ mã (𝑛, 𝑘, 𝑑) tốt nhất thu được.
Bắt đầu
Cho giá trị của k
Lập phân hoạch cho vành đa thức
Cho i = 2
j = i + 1;
Lập mã gồm 3 lớp kề {1, i, j}

Xác định n
Lập hệ tổng kiểm tra của bộ mã

j=j+1

N

j=m
Y

i=i+1

N

i=m-1

Y
Liệt kê bộ mã (n, k, d) tốt
Kết thúc

Hình 3.3: Lưu đồ thuật toán tìm bộ mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số
nhân cyclic [J6]


18
Từ các bước trên có thể xây dựng được lưu đồ thuật tìm các bộ mã
cyclic tốt theo lưu đồ thuật toán như trên hình 3.3.
Trên cơ sở thuật toán nghiên cứu sinh đã viết chương trình và xây
dựng được một bảng kết quả một số mã cyclic tốt được xây dựng trên
3 lớp kề cyclic và được công bố trên [J6].
Thực hiện tìm mã cyclic tốt với nhiều lớp kề hơn cũng cho những
bộ mã tốt, tuy nhiên lại phải trả giá về hiệu suất mã (tỉ số 𝑘/𝑛 thấp).
Hướng nghiên cứu tiếp theo, nghiên cứu sinh sẽ tiếp tục tìm các bộ mã
cyclic tốt với nhiều lớp kề hơn, các bộ mã cyclic tốt ứng với các phương
pháp giải mã khác.
3.2.2. Mô phỏng, đánh giá một số bộ mã mã cyclic tốt
Kết quả mô phỏng đối với một hệ thống thông tin vô tuyến số
điểm-điểm cho một số bộ mã như sau:
a) Bộ mã cyclic (255,9,127)

Hình 3.5. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (255,9,127)
Bộ mã này đạt giới hạn Griesmer và Plotkin. Kết quả mô phỏng
như hình 3.5. Trong mô phỏng ứng với bộ mã này, sử dụng nhiễu Gauss
trắng cộng trên kênh truyền. Thử nghiệm với các phương pháp điều chế
khác nhau (QPSK, 16QAM,...), cho chất lượng rất tốt. Hình 3.5 thể hiện
kết quả mô phỏng của bộ mã ứng với điều chế 64QAM, 128QAM và

hai trường hợp khác (chỉ điều chế, và không điều chế, không mã hóa).


19
b) Bộ mã cyclic (15,5,7)
Bộ mã này xây dựng trên vành 𝑍2 /(𝑥 5 + 1) đạt giới hạn Griesmer
và Plotkin. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (15,5,7) như hình 3.6. Thử
nghiệm với các phương pháp điều chế QPSK, 4QAM, 16QAM cho chất
lượng khá tốt. Kết quả mô phỏng cũng cho thấy đường truyền sử dụng
cùng một bộ mã, thì điều chế QPSK cho 𝐵𝐸𝑅 tốt hơn 16QAM.

Hình 3.6. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (15,5,7)
c) Bộ mã cyclic (27,9,9)
Chọn mã cyclic cục bộ xây dựng từ ba lớp kề cyclic {(1), (11),
(61)} trên vành Z2 /(x 9 +1), tiến hành xây dựng bộ mã hóa và giải mã ta
thu được bộ mã cyclic (27,9,9). Kết quả mô phỏng trên hình 3.7.
So sánh với trường hợp truyền dẫn sử dụng bộ mã cyclic (15,5,7)
và trường hợp truyền dẫn tín hiệu chỉ điều chế (QPSK, 16QAM) không
mã hóa. Kết quả mô phỏng cho thấy dù sử dụng phương pháp điều chế
nào thì bộ mã cyclic (15,5,7) đạt giới hạn tối ưu Griesmer và Plotkin
(có khả năng sửa 𝑡 = 3 bit lỗi, và 𝑡/𝑛 = 3/15) cho khả năng sửa lỗi
tốt hơn (hay tỉ số 𝐵𝐸𝑅 thấp hơn) bộ mã cyclic (27,9,9) là mã cyclic tốt
(có khả năng sửa 𝑡 = 4 bit lỗi, và 𝑡/𝑛 = 4/27). Nghiên cứu sinh cũng
đã mô phỏng đánh giá bộ mã với điều chế 64QAM, 128QAM thì cho tỉ
lệ lỗi lớn và khả năng sửa lỗi không tốt như mã (255,9,127).


20

Hình 3.7. Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (27,9,9)

3.2.3. Đề xuất thực hiện các bộ mã trên FPGA
Nhằm kết hợp ưu điểm của cấu kiện logic khả trình và hướng tới
xây dựng một mạch điện tử thực hiện được chức năng một số bộ mã
cyclic, luận án trình bày phương pháp xây dựng mạch mã hoá và giải
mã trên cấu kiện logic khả trình FPGA để thực hiện chức năng của một
số bộ mã. Kết quả liên quan được công bố tại [J1], [C1].
3.3. ĐỀ XUẤT PHƯƠNG PHÁP TẠO KHÓA CHO MỘT SỐ HỆ MẬT

Nghiên cứu sinh đã nghiên cứu ứng dụng CMG và CGP làm khóa
để xây dựng hệ mật mã khối kết hợp sơ đồ Lai-Massey với sơ đồ Feistel
và ứng dụng vào hàm băm công bố trong bài báo [C2].
Trong phần này luận án đề xuất một hướng tiếp cận mới về sự
tương đương của vành đa thức có hai lớp kề cyclic với trường số. Từ
đó trình bày ứng dụng của nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên một số
vành đa thức có hai lớp kề cyclic đặc biệt làm khóa cho một số hệ mật.
3.3.1. Quan hệ giữa vành đa thức có hai lớp kề cyclic và trường số
Trong phần này, luận án đã đề xuất và chứng minh mối quan hệ
tựa đồng cấu chỉ xảy ra đối với một số vành đa thức có hai lớp kề cyclic
đặc biệt, các vành đa thức này được liệt kê trong phụ lục của luận án.
Có thể sử dụng quan hệ tựa đồng cấu này để xây dựng một số hệ mật
trên vành đa thức có 2 lớp kề cyclic.
3.3.2. Hệ mật Omura-Massey trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic
Trong phần này, trên cơ sở hệ mật gốc, kết hợp với tính chất đặc
biệt của một số vành đa thức có hai lớp kề cyclic được trình bày ở phần


21
trên, nghiên cứu sinh sẽ trình bày hệ mật O-M và một số biến thể mới
của hệ mật O-M được xây dựng trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic
trong đó sử dụng phần tử có cấp cao nhất của nhóm nhân cyclic đạt cấp

cực đại trên vành làm khóa cho hệ mật.
3.3.2.1. Hệ mật O-M gốc
3.3.2.2. Hệ mật O-M trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic
a) Tạo khóa
Khóa công khai: ℤ2 [𝑥]/(𝑥 𝑛 + 1)
A chọn ngẫu nhiên (𝑚, 𝑛) làm khóa riêng: 𝑚. 𝑛 ≡ 1 mod (2𝑛−1 − 1)
B chọn ngẫu nhiên (𝑢, 𝑣) làm khóa riêng: 𝑢. 𝑣 ≡ 1 mod (2𝑛−1 − 1)
b) Quá trình truyền thông
A muốn gửi bản tin 𝑀(𝑥) tới B
𝐴(𝑚, 𝑛)
𝐴 tính: [𝑀(𝑥)]𝑚 mod (𝑥 𝑛 + 1)

𝐵(𝑢, 𝑣)
→
←

𝐴 tính:
[𝑀𝑚𝑢 (𝑥)]𝑛 mod (𝑥 𝑛 + 1) =
[𝑀(𝑥)]𝑢 mod (𝑥 𝑛 + 1)

𝐵 tính: [𝑀𝑚 (𝑥)]𝑢 mod (𝑥 𝑛 + 1)

→

←

𝐵 tính:
[𝑀𝑢 (𝑥)]𝑣 mod (𝑥 𝑛 + 1) = 𝑀(𝑥)

c) Nhận xét

- Hệ mật là an toàn nếu bài toán logarit rời rạc trên vành đa thức
có hai lớp kề cyclic là bất khả giải.
- Hệ mật này là không xác thực.
- Hệ số mở rộng bản tin của hệ mật này là 3.
3.3.2.3. Một số biến thể của hệ mật O-M trên vành đa thức có hai
lớp kề cyclic
Nghiên cứu sinh đã tiếp tục nghiên cứu mở rộng ứng dụng và trình
bày hai biến thể của hệ mật trong luận án.
a) Hệ mật O-M cộng trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic