SKKN Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật

"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
1

I. TÊN ĐỀ TÀI:

“GIÚP HỌC SINH LỚP 6 GIẢI BÀI TOÁN
DÃY SỐ THEO QUY LUẬT”
II. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Tầm quan trọng của vấn đề nghiên cứu:
Môn toán ở THCS có vai trò quan trọng. Bởi vì khi học tốt môn Toán,
học sinh sẽ có khả năng tiếp cận và học tốt các môn khác. Do vậy nếu học tốt
môn Toán ở bậc THCS giống như việc đặt những viên gạch nền móng vững
chắc cho "căn nhà tri thức" vậy. Từ đó học sinh sẽ phát triển tư duy kiến thức
về mọi môn học.
Đối với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường, đứng
trước vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thày cô giáo phải luôn
cố gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng để
bắt kịp với tình hình phát triển mới về giáo dục của đất nước góp phần thực
hiện tốt nhiệm vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp đổi mới giáo dục của đất
nước. Nhất là trong giai đoạn hiện nay đang "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ
phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động
sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền
thụ áp đặc một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ,
khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ
năng, phát triển năng lực..." người giáo viên ngoài trau dồi phương pháp dạy
học, phải trau dồi về kiến thức. Không những kiến thức trong sách giáo khoa
mà người giáo viên phải phát triển kiến thức của mình ở sách nâng cao, sách
tham khảo, kể cả ở trên mạng để bắt nhịp với cuộc sống hiện tại và có kiến
thức giảng dạy cho các em học sinh một cách phong phú và toàn diện.
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi
nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm. Tôi

nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức mà học
sinh cần nâng cao trong từng chương, từng bài như: Các bài toán chia hết, các
bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính giá trị của
“Dãy số viết theo quy luật”. Đây là dạng bài toán tương đối khó đối với học
sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn
lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy
số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài
bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh
tự vận động kiến thức của mình. Dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” là
dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, nó tổng hợp nhiều kiến thức,
đối với học sinh như phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
2

ra quy luật của dãy số. Là một trong những dạng toán đòi hỏi một chút thông
minh cho nên những năm gần đây những giáo viên ra đề thường chọn ra trong
đề kiểm tra định kỳ hay thi học kỳ, và kể cả thi HS giỏi để chọn HS giỏi huyện.
Vì vậy tôi chọn đề tài "Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
để đưa ra một số phương pháp nhận biết cho học sinh ngay từ lớp 6.
2. Tóm tắt thực trạng của vấn đề:
+ Trong quá trình day môn Toán THCS tôi thấy tình trạng chung là học
sinh không thích, thậm chí là sợ môn Toán vì lí do khó hiểu, mất phương
hướng và không biết để giải bài toán thì bắt đầu từ đâu và làm như thế nào.
+ Những năm dạy toán 6 gần đây cho thấy nhiều học sinh chưa nắm
được cách giải các bài toán dãy số đơn giản, học sinh đại trà lại thật sự bối rối
khi đứng trước các bài toán có dạng một chuổi. Các dạng bài tập của loại này

lại đa dạng, phong phú đòi hỏi khả năng vận dụng nhiều kiến thức của chương
trình THCS hiện hành. Thực tế cho thấy khi kiểm tra chương hoặc kiểm tra học
kỳ số điểm học sinh làm dạng bài tập này thường không đạt điểm tối đa.
Qua nghiên cứu tôi thấy có những nguyên nhân như sau:
1. Học sinh chưa nắm chắc những khái niệm cơ bản.
2. Học sinh thường chỉ học vẹt các định lí, qui tắc, công thức.
3. Học sinh không phát hiện thấy sự liên quan giữa bài toán tổng hợp và
các bài tập cơ bản ở SGK.
4. Thường thì giáo viên chỉ soạn đầy đủ theo sách giáo khoa chứ chưa
chuẩn bị một cách chu đáo một giờ luyện tập, hay ôn tập chương thông qua đó
củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào bài
tập, kĩ năng trình bày, hơn thế nữa rèn tính sáng tạo, phát triển tư duy toán học
cho học sinh.
Do vậy để có giờ luyện tập tốt tôi luôn lưu ý những vấn đề:
- Chọn hệ thống bài tập cho một giờ luyện tập.
- Sắp xếp hệ thống các câu hỏi từ dễ đến khó.
- Tổ chức tốt và thể hiện vai trò chủ đạo của người thầy.
- Tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán.
- Chọn thêm bài tập nâng cao phù hợp thường gặp ở các đề kiểm tra hay thi
học kỳ để chọn học sinh giỏi.
3. Lí do chọn đề tài:
Đối với học sinh THCS môn Toán là môn mang tính trừu tượng và khó.
Hầu hết với học sinh đại trà, các em nắm kiến thức trên cơ sở hết sức rời rạc,
chưa đủ khả năng khái quát kiến thức đã học do đó các em chưa định hình
được kiến thức bộ môn. Hơn nữa, môn Toán đòi hỏi không những nắm chắc
kiến thức cơ bản ngay sau mỗi bài học cụ thể, vận dụng lí thuyết vào bài tập
mà còn đòi hỏi sắp xếp kiến thức trước đó một cách hệ thống, liên tục và đặc
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
3

biệt là tư duy logic. Vì vậy, việc vận dụng lí thuyết vào bài tập gặp nhiều khó
khăn. Có một lí do thường gặp là học sinh chỉ giải xong bài toán coi như đã
hoàn thành mà rất ít em tư duy khai thác bài toán, nhìn nhận bài toán dưới
nhiều góc độ khác nhau để tìm nhiều cách giải khác nhau và chọn một cách
giải tối ưu.
Để có thể giúp học sinh giải bài toán dãy số theo quy luật ta cần định ra
hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy
số nhất định, đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách
nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất.
Để góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính
toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí,
phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh tôi chọn đề tài "Giúp học sinh
lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
4. Giới hạn nghiên cứu đề tài:
Trong quá trình dạy toán toàn cấp THCS tôi nhận thấy không khối lớp nào
thiếu loại toán dãy số này. Do vậy để có thể có nền móng vững chắc ngay từ
đầu cấp tôi chọn lớp 6 để nghiên cứu đề tài. Cụ thể là tính tổng của một dãy số,
tính tích của một dãy số và ứng dụng của nó trong các bài tập tìm x, chứng
minh đẳng thức, bất đẳng thức, ... .
III. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Như chúng ta đều biết Toán học là một môn khoa học mà những kết luận
đúng đắn đều được chứng minh bằng lập luận chặt chẽ chứ không bằng cách
qua thực nghiệm như những môn khoa học thực nghiệm khác. Bởi vậy dạy
môn toán cho học sinh không những chỉ truyền thụ kiến thức cho các em mà
quan trọng hơn là dạy tư duy, dạy học sinh giải toán.
Chúng ta cũng nên nhớ rằng tiết luyện tập thì giáo viên cần “luyện”

phương pháp giải các bài tập cho học sinh và học sinh phải “ tập” vận dụng
các phương pháp vừa “ luyện” để giải các bài tập của giáo viên đề ra. Vì vậy
vai trò của giáo viên phải là chủ đạo điều phối các hoạt động học tập của học
sinh. Công việc của giáo viên là phải hướng dẫn học sinh tìm ra con đường
giải quyết các bài tập và học sinh chính là người giải quyết những vấn đề đó
chứ không phải là giáo viên.
Trong tiết luyện tập công việc chính của giáo viên là hướng dẫn học sinh
vận dụng các kiến thức đã học, các phương pháp giải để giải các bài tập vì vậy
chúng ta cần nắm vững các phương pháp dạy học sinh giải bài tập: giải bài tập
đơn giản, giải bài tập bằng angorit…và quan trọng là hướng dẫn học sinh tìm
ra phương pháp giải.
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
4

Dùng phương pháp này giáo viên khai thác được những đóng góp của
học sinh đôi khi cũng có nhiều cách giải cho một bài toán, nhất là việc trình
bày lời giải. Dần dần mọi học sinh trong lớp đều biết giải toán. Từ đó có thể
góp phần đưa chất lượng môn Toán ngày một cao hơn.
IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Trong quá trình lĩnh hội các kiến thức về số học, học sinh gặp khó khăn
trong việc giải các bài toán dạng dãy số. Nhất là đối với học sinh lớp 6, khả
năng lập luận, trình bày bài giải còn rất thấp, họ chỉ quen với cách giải theo
mẫu, điền khuyết của Tiểu học. Do vậy việc giải các bài toán thông thường đã
khó thì việc giải các loại toán về dãy số lại càng khó hơn, nói chung là rất mơ
hồ. Nên khi thực hành giải toán học sinh còn thực hiện sai các kiến thức kĩ
năng cơ bản.

Những năm gần đây, không tổ chức thi tuyển lớp 10, có vẻ học sinh ít
ham học, ít đầu tư nghiên cứu nhất là việc giải toán. Đa số học sinh cho rằng
giải toán là giành riêng cho học sinh giỏi. Mà thực tế là như vậy, qua tâm sự,
trao đổi giữa các giáo viên dạy toán với nhau họ đều nói rằng càng ngày học
sinh giỏi toán càng ít lại, số học sinh yếu toán tăng lên. Cũng không có gì lạ!
Vì đặc thù của môn Toán là như vậy- đã học xong lý thuyết lại phải vận dụng
giải bài tập. Cho nên, gần đây nhiều giáo viên đã quan tâm nghiên cứu quanh
vấn đề làm như thế nào để học sinh ham học toán hơn, qua việc tổ chức trò
chơi xen vào trong các tiết học lí thuyết hay bài tập bằng công nghệ thông tin
cũng khá thành công. Học sinh bắt đầu bớt đi sự ác cảm với môn học này.
Ngoài những biện pháp trên, ngay từ đầu năm học tôi đã nghiên cứu kĩ các
phương pháp dạy học mới, kết hợp với tình hình thực tế của học sinh, tập trung
ngay vào tiết luyện tập cho học sinh ngay từ đầu cấp học, hướng dẫn học sinh
lớp 6 giải bài tập cơ bản ban đầu ở sách giáo khoa một cách thật tường minh, từ
đó ra thêm một số bài tập tương tự để học sinh có cơ hội bắt chước hoặc là khai
thác bài toán để tìm nhiều cách giải. Đồng thời thông qua việc giải toán cũng
rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ tích cực như linh hoạt, độc lập, sáng
tạo, ... nhằm thu hút được nhiều học sinh ham thích bộ môn Toán hơn, chắc
chắn sẽ góp phần không ít vào việc nâng cao chất lượng đại trà môn Toán lớp
6. Từ đó tôi chọn nội dung nghiên cứu là "Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán
dãy số theo quy luật"

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
5

V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

Để có thể rèn được kĩ năng giải bài tập về dãy số cho học sinh lớp 6,
ngay từ đầu chúng ta phải giúp học sinh nắm ngay các kiến thức cơ bản, từng
kiến thức nhỏ của mỗi bài học mà sách giáo khoa đã xây dựng, làm như thế
nào đó mà học xong kiến thức nào phải nhớ ngay kiến thức đó.
Sau đây tôi xin đưa ra một số biện pháp thường dùng để dạy các tiết
luyện tập hay ôn tập; các ví dụ minh họa.
V.1. Các biện pháp:
1. Biện pháp 1: Phân loại dạng bài tập, định lượng bài để củng cố từng
đơn vị kiến thức cho học sinh đồng thời tăng cường ứng dụng công nghệ thông
tin để có thể giải được nhiều bài tập kể cả bài tập trắc nghiệm trong một tiết
luyện tập.
2. Biện pháp 2: Hình thành lý thuyết tổng quát bổ nghĩa cho công thức
3. Biện pháp 3: Rèn kĩ năng nhận dạng kiến thức trước khi giải toán.
4. Biện pháp 4: Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức đã học ở lớp dưới:
Trong quá trình dạy học giải bài tập cần yêu cầu học sinh nhắc lại phần
kiến thức có liên quan như: cộng, trừ, nhân, chia, thứ tự thực hiện phép tính,
tổng hai số đối nhau, tính chất phân phối của phép cộng và phép nhân, tính chất
cơ bản của phân số, ...
5. Biện pháp 5: Đưa thêm bài tập nâng cao có tính tổng hợp trong các
đề kiểm tra, đề thi làm mục tiêu phấn đấu cho học sinh:
Trong các tiết học luyện tập cần lựa chọn các bài tập ở các kì thi những
năm trước với mức độ phù hợp để học sinh rèn luyện nhằm tăng tính hứng thú
học tập của học sinh, tạo niềm tin ở tính thực tế của kiến thức mới tiếp thu.
6. Biện pháp 6: Kiểm tra đánh giá:
Sau mỗi đơn vị kiến thức cần tiến hành kiểm tra thường xuyên, đánh giá
mức độ nắm kiến thức của học sinh, động viên khuyến khích kịp thời đối với
những em có thành tích tốt, chữa lỗi kĩ năng, nhận xét chi tiết trong bài để học
sinh khắc phục.
V.2. Một số dạng toán cụ thể về dãy số:
• DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự siêng năng, chịu khó đọc sách, hoặc
là có chú ý khi nghe giảng sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 có thể
tính hoàn toàn tương tự như bài toán mà nhà toán học Gau-xơ người Đức đã
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
6

tính lúc bảy tuổi, được giáo viên giới thiệu trong mục "Có thể em chưa biết"
trong tiết luyện tập phép cộng và phép nhân số tự nhiên. Cặp số ở giữa vẫn là
51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số
hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98)
+ ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Vậy: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi
cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số
hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. Lúc
đó ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
Cách 2:
B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
+

B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100
2B = 100.99 ⇒ B = 50.99 = 4950

Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999

Lời giải: Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có
500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 +
501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2: Ta thấy:
1 = 2.1 - 1
3 = 2.2 - 1
5 = 2.3 - 1
...
999 = 2.500- 1
Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác
định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
C = 1 + 3 + ... + 997 + 999
+

C = 999 + 997 + ... + 3 + 1

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
7

2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
2C = 1000.500 ⇒ C = 1000.250 = 250.000
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm
của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau: Ta thấy:
10 = 2.4 + 2

12 = 2.5 + 2
14 = 2.6 + 2
...
998= 2.498+ 2
Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là
495, mặt khác ta lại thấy: 495 =

998 − 10
+ 1 hay:
2

số các số hạng=(số hạng đầu-số hạng cuối) : hiệu giữa hai số liên tiếp rồi cộng 1

Khi đó ta có:
D = 10 + 12 + ... + 996 + 998
+

Thực chất D =

D = 998 + 996 + ... + 12 + 10
2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008
2D = 1008.495 ⇒ D = 504.495 = 249480

(998 + 10)495
2

Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách
đều u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách (hay hiệu) giữa hai số hạng liên tiếp của
dãy là d,
Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: n =

un − u1
+ 1 (1)
d

Sn =

n(u1 + un )
(2)
2

Tổng các số hạng của dãy (*) là

Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là:
un = u1 + (n - 1)d
Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)
2

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
8

Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10
Lời giải
Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân

cả hai vế với 100, khi đó ta có:
100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910
= (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910 =

(1011 + 9899).98
+ 9910
2

= 485495 + 9910 = 495405
⇒ E = 4954,05

(Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là

(9899 − 1011)
+ 1 = 98 )
101

Nhận xét: Dạng bài tập này tôi đưa vào dạy trong các tiết 8, 12, 13 (luyện tập,
ôn tập đầu chương I số học)
Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn,
bởi vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng
không gặp mấy khó khăn khi tiếp thu. Lúc này học sinh đại trà đều có thể giải
được các bài tập như:
Bài 45/8 SBT toán 6 tập I: Tính nhanh A =26+27+28 +29+30 + 31+
32+ 33

hay bài 112/16SBT toán 6 tập I: Tính nhanh tổng

8+12+16+20+...+100
Trên cơ sở đó ta có thể ra thêm những dãy số dài hơn trong tiết ôn tập.

Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các
dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.
• DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 5. Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99
*Hướng dẫn giải:
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
9

Ta thấy số hạng của A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu để áp dụng
phương pháp khử liên tiếp hai số đối nhau ta phải nhân mỗi số hạng của A với
3, thừa số 3 này được viết dưới dạng (3-0) ở số hạng thứ nhất, (4-1) ở số hạng
thứ 2, (5-2) ở số hạng thứ 3, ... và (100-97) ở số hạng cuối cùng.
* Cách giải:
A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99
3A=1.2.(3-0) +2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +…+ 98.99.(100-97)
3A=1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +...+ 98.99.100 - 97.98.99
3A=98.99.100
A=

98.99.100
= 323400
3

* Bài toán tổng quát:
A=1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) =

n(n + 1)(n + 2)
3

Bài 6. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)
Lời giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4
= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]
= (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
⇒ B=

(n − 1)n(n + 1)(n + 2)
4

Bài 7. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Lời giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)

2.5 = 2.(2 + 3)

3.6 = 3.(3 + 3)

4.7 = 4.(4 + 3)

…….
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
10

= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
= n(n + 1)(n + 2) +

3(2n + 2)n
n( n + 1)( n + 2) 3(2n + 2) n n( n + 1)( n + 5)
⇒ C=
+
=
2
3
2
3

Bài 8. Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2
Nhận xét: Các số hạng của bài 5 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn
ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài
tập 5:
Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + n.(1 + n)
= 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1
= (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + 2 + 3 + … + n).
⇒ D = 12 + 22 + 32 + … + n2 = A - (1 + 2 + 3 + … + n).

Mặt khác theo bài tập 5 ta có:
A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) =
⇒ D = 1 2 + 22 + 32 + … + n 2 =

n( n + 1)( n + 2)
n(n + 1)
và 1 + 2 + 3 + … + n =
3
2

n(n + 1)(n + 2) n( n + 1) n(n + 1)(2n + 1)
=
3
2
6

• DẠNG 3: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG LÀ PHÂN SỐ.
Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có
3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau hoặc cùng có tử và mẫu là số cụ
thể hoặc cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh
giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng
quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải.
Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số
hạng đối nhau. Việc quan trong nhất là tìm ra các phân số đối nhau đó.
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
11

1
1
1
1
+
+
+ ... +
Bài 9. Tính tổng sau:
S=
1.2 2.3 3.4
100.101

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là
1.2; 2.3; 3.4; ...; 100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải
bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy
tính cộng thành dãy tính cộng và trừ.
Chẳng hạn:
1
1
1
1 1
1
1
1
= − ; …. ;
−
= 1− ;
=

1.2
2 2.3 .2 3
100.101 100 101

Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau
* Cách giải:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
100.101
1
1
1
1
1
1
1  1 1
100

 
 
 1
−
=
= −

=  −  +  −  +  −  + ... + 
1 2   2 3   3 4 
 100 101  1 101 101

S=

* Bài toán tổng quát:
1

1

1

1

Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)
1  1
1
n
1 1   1 1   1 1 
1
=
= −
=  −  +  −  +  −  + ... +  −
1

2 2

3 3

4

n

n + 1

1

n +1

n +1

Sau khi giải xong bài 9, giáo viên cung cấp bài toán tổng quát như trên và
cho thêm một số bài toán tương tự để học sinh áp dụng trong đó có cả những
dạng không áp dụng được như sau:
2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
4
4
4
4
+
+

+ ... +
B=
3.7 7.11 11.15
95.99
1
1
1
1
+
+
+ ... +
C=
2.9 9.16 16.23
65.72

A=

Nếu nắm cách giải dạng bài 9 chưa vững thì chắc chắn học sinh sẽ áp dụng
2 2 2
1
1 1
= − hoặc
= − từ đó ta có cách hướng dẫn như sau:
1.3 1 3
2.9 2 9
2
2
2
2
+

+ ... +
Bài 10. Tính tổng: A= +
1.3 3.5 5.7
99.101

sai chẳng hạn

* Phương pháp tìm lời giải:
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
12

Ta thấy A là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích
của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân
số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất,
phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
VD:

2 1 1
2
1 1
2
1 1
2
1
1
= − ;

= − ;
= − ; …;
=
−
1.3 1 3 3.5 3 5 5.7 5 7
99.101 99 101

Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
1 1 1 1 1 1
1
1
= − + − + − + ... + −
1 3 3 5 5 7
99 101
1
100
=
= 1−
101 101

A=

* Bài toán tổng quát:
2

2

1 1
1 3

1
3

2

2

2

Tính tổng: P= 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 99.101 + ... + n.(n + 2) (n lẻ)
1
5

1
5

1
7

1

n

= − + − + − + ... + −

1
1
n +1
=
= 1−
n+2
n+2 n+2

Như vậy đối với biểu thức B thì tương tự A vì mẫu là hai số liên tiếp hơn
kém nhau 4 đơn vị bằng với tử, còn biểu thức C thì sao, từ đó học sinh sẽ thấy
phải tiếp tục tìm tòi cách giải khác, dẫn đến phải làm cho mẫu xuất hiện số 7
bằng kiến thức cơ bản đã có về tính chất của phân số, học sinh sẽ làm được
1
1
1
1
1 7
7
7
7
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +

)
= (
2.9 9.16 16.23
65.72 7 2.9 9.16 16.23
65.72
11 1 1 1 1 1
1
1 
=  − + − + − + ... + − ÷
7  2 9 9 16 16 23
65 72 
1  1 1  1 35 5
=  − ÷= . =
7  2 72  7 72 72

C=

Bài 11. Tính giá trị của biểu thức D =

72
72
72
72
+
+
+ ... +
2.9 9.16 16.23
65.72

Nhận xét: Ta thấy: 9 - 2 = 7 ≠ 7 2 ở tử nên ta không thể áp dụng cách làm

của các bài trên (ở tử đều chứa 72), nếu giữ nguyên các phân số đó thì ta không
thể tách được thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên được. Mặt khác

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
13
7
1 1
= − , vì vậy để giải quyết được vấn đề ta phải đặt 7 làm thừa số
ta thấy:
2.9 2 9

chung ra ngoài dấu ngoặc, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản.
Vậy ta có thể biến đổi:
7
7
7 
 7
+
+
+ ... +
÷
65.72 
 2.9 9.16 16.23

D= 7. 

=

1
1 
35
29
1 1 1 1 1 1
1 1 
7.  − + − + − + ... + − ÷= 7.  − ÷ = 7. = 3
65 72 
72
72
 2 9 9 16 16 23
 2 72 

Bài 12. Tính giá trị của biểu thức D =

3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
49.51

Lời giải
Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào
đó ta đưa 3 ra ngoài và đưa 2 vào trong thay thế.

Ta có: D =
=

2 3
3
3
3  3 2
2
2
2 
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +

÷= 
÷
2  1.3 3.5 5.7
49.51  2  1.3 3.5 5.7
49.51 
3 1 1 1 1 1 1
1 1  3  1 1  3 50 25
 − + − + − + ... + − ÷=  − ÷ = g =
2 1 3 3 5 5 7
49 51  2  1 51  2 51 17

* Sau khi đưa ra những bài tập dạng trên vào các tiết luyện tập, học
sinh đã hiểu cách làm, tôi đã mạnh dạn đưa loại bài tập này vào kiểm tra một

tiết phần đầu chương III và nhiều học sinh đã làm như sau:
2
2
2
2
2
+
+
+ ... +
+
2.5 5.8 8.11
92.95 95.98
21 1 1 1
1
1 
=  − + − + ... +
− ÷
32 5 5 7
95 98 
M =

=

2  1 1  2 24 16
=
 − ÷= .
3  2 98  3 49 49

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
14
6
6
6
6
6
N=
+
+
+ ... +
+
15.18 18.21 21.24
84.87 87.90
1
1
1
1
1
1 
1 1
= 2.  − + − + ... +
− +
− ÷
84 87 87 90 
 15 18 18 21

1 

1 1
1
= 2.  − ÷= 2. =
18 9
 15 90 

Bài 13. Tính giá trị của biểu thức E =

1 1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
7 91 247 475 775 1147

Lời giải
Ta thấy: 7 = 1.7 ;

91 = 13.7 ;

247 = 13.19 ;

475 = 19.25

775 = 25.31 ; 1147 = 31.37
Tương tự bài tập trên ta có:E =

1 1 1

1

1

1

1

1

1

1 6
6
6
6
6
6 
+
+
+
+
+

÷=
6  1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 
1

1

1

1 

1 

1 

1 36

6

=  − + − + − + − + − + − ÷= ×1 − ÷ = × =
6  1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37  6  37  6 37 37

1
6

Bài 14. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: ;

1
1
1
;
;
; ...
66 176 336

* Phương pháp tìm lời giải:
Dạng này hơi khó hơn một chút, vì để tính được tổng ta cần tìm số hạng
thứ một trăm.
Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176;
336; ... Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải
đi tìm số hạng thứ 100 của dãy.
Ta nhận thấy: 6= 1.6
66= 11.6
176= 11.16
336= 16.21
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
15
1
1
1
1
+
+ ... +
Ta cần tính tổng A= +
1.6 6.11 11 .16
496.501

Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận
1
1

1
6

5
1 1 1
1
=> ( − ) =
1.6
5 1 6 1.6
1 1
5
1 1 1
1
Tương tự như vậy − =
=> ( − ) =
6 11 6.11
5 6 11
6.11
1
1
5
1 1
1
1
−

=
−
)=
=> (
496 501 496.501
5 496 501 496.501

thấy : − =

Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
* Cách giải:
1 1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
6 66 176 336
2484966
1
1
1
1
+
+ ... +
= +
1.6 6.11 11 .16
496.501

1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
1
−
)
= ( − ) + ( − ) + ( − ) +…+ (
5 1 6 5 6 11 5 11 16
5 496 501
1
1 
1 1 1 1 1 1
−
= 1 − + − + + + ... +
496 501
5  6 6 11 11 16
1  1 500 100
1
= .
= 1 −
=
5  501  5 501 501

A=

* Bài toán tổng quát:
1

1

1

1

A= 1.6 + 6.11 + 11 .16 + ... + (5n − 4)(5n + 1)
1 1

1

1

1

1
5

1  1 5n
n
= .
=
5n + 1  5 5n + 1 5n + 1

1

1 1

1

= ( − ) + ( − ) +…+ 5 ( (5n − 4 − (5n + 1) )
5 1 6 5 6 11

= 1 −

Ngoài ra, đối lớp bồi dưỡng học sinh giỏi thì yêu cầu còn cao hơn, chẳng
hạn:
Bài 15. Tính tổng B=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 .2 .3 2 .3 .4 3 .4 .5
37.38.39

* Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của
các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng
thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm
sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu,
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
16

phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số
giữa trùng nhau).
1

1
2
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
1.2 2.3 1.2.3
2  1.2 2.3  1.2.3
1
1
2
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
…
23 3.4 2.3.4
2  2.3 3.4  2.3.4
1
1
2
1 1

1 
1
−
=
=> 
−
=
37.38 38.39 37.38.39
2  37.38 38.39  37.38.39
1
1
2
Tổng quát ta có thể áp dụng: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

Ta thấy:

* Cách giải:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 .2 .3 2 .3 .4 3 .4 .5
37.38.39
1 1
1  1 1
1 
1 1

1 
−

=  −  +  −  +…+ 
2  1.2 2.3  2  2.3 3.4 
2  37.38 38.39 
1 1
1
1
1
1
1 
+
−
+ ... +
−

=  −
2  1.2 2.3 2.3 3.4
37.38 38.39 
1 1
1  11
1 
=  −

=  −
2  1.2 38.39  2  2 38.39 
1 741 − 1 1 740 1 370 185
= .
= .

= .
=
2 38.39 2 38.39 2 741 741

B=

* Bài toán tổng quát:
1

1 1
1
1
1
1
. −
+
+
+ ... +
=
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1).(n + 2) 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
1  (n + 1).(n + 2) − 2  (n + 1).(n + 2) − 2
= .
= 4(n + 1).(n + 2)
2  2(n + 1).(n + 2) 

B=

3 8 15 9999
....

4 9 16 10000

Bài 16. Tính tích sau A= . .

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Các phân số đã cho trong tích đề có tử nhỏ hơn mẫu số một đơn vị, mẫu là
bình phương của một số tự nhiên n (n ≥ 2 ). Nếu để cho học sinh vận dụng quy
tắc nhân các phân số thì sẽ rất phức tạp trong tính toán. Với đặc điểm trên A
được viết như sau.
A=

3 8 15 9999
. . ....
2 2 3 2 4 2 100 2

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
17

Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích tử của các phân số trên thành một tích như
thế nào đó để có thể rút gọn được. Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích
của hai thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị.
3 1.3
=
22 22
8 2.4
=

32 32
15 3.5
=
....
42 42
9999 99.101
=
100 2
100 2

Chẳng hạn:

Sau đó ta lập ra ở tử và mẫu hai dãy thừa số để có thể rút gọn được. Hướng
dẫn cho học sinh rằng các thừa số thứ nhất của tử thuộc dãy các thừa số thứ
nhất, còn các thừa số thứ 2 thuộc dãy các số thứ 2. Từ đó ta có kết quả bài toán.
* Cách giải:
3 8 15 9999
. . ....
2 2 3 2 4 2 100 2
1.3 2.4 3.5
99.101
= 2. 2 . 2 …
2
3
4
100 2
1.2.3....99 3.4.5....101
.
=
2.3.4....100 2.3.4....100

1 101 101
.
=
=
100 2
200

A=

* Bài toán tổng quát:
A=

1.3 2.4 3.5
(n − 1).(n + 1)
2 .
2 .
2 …
2
3
4
n2



Bài 17. Tính tích B= 1 −

1 n +1 n +1
=
n 2
2n

(n ≥ 2 ) = .

1 
1 
1  
1 
.1 − 1 − ....1 −

21   28  36   1326 

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Thực hiện phép tính trong ngoặc được tích sau:
20 27 35 1325
. . ....
21 28 36 1326

Các phân số này có tử nhỏ hơn mẫu 1 đơn vị, còn mẫu số chưa được viết theo
một quy luật nào cả. Mẫu của 3 phân số đầu tiên có thể viết được là: 3.7; 4.7;
4.9. Các thừa số có lặp lại nhưng chưa theo một quy luật nào cả. Nhận thấy
thừa số 4 và 7 được lặp lại các thừa số ở mỗi tích không có mối liên hệ với
nhau. Vậy nếu có có các tích 6.7; 7.8; 8.9 thì các thừa số ở 3 mẫu của 3 phân
số đầu tiên đã được viết theo một quy luật nhất định, đó là dãy hai thừa số là 2
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
18

số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 6. Để có được như vậy ta phải nhân tử và
mẫu của 3 phân số với 2 ta được:
40 54 70
5.8 6.9 7.10
. .
.
.
hay ta có thể viết là:
42 56 72
6.7 7.8 8.9

Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị. Nhân tử
và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và mẫu
của 3 phân số đầu, ta có :
2650 50.53
=
2652 51.52

Như vậy tích đã cho được viết thành :

5.8 6.9 7.10
50.53
.
.
….
6.7 7.8 8.9
51.52

Đến đây các thừa số viết trước ở tử và mẫu là dãy tích ở tử và mẫu của phân
số thứ nhất, các thừa số viết sau ở tử và mẫu là dãy các tích ở tử và mẫu của

phân số thứ 2. Từ đó ta có kết quả của bài toán.
* Cách giải
1 
1 
1  
1 

.1 − 1 − ....1 −

 21   28  36   1326 
20 27 35 1325
= . . ....
21 28 36 1326
5.8 6.9 7.10
50.53
= . .
….
6.7 7.8 8.9
51.52
5.6.7....50 8.9.10.....53
.
=
6.7.8....51 7.8.9.....52
5 53 265
= . =
51 7 357

B= 1 −

• DẠNG 4: Ứng dụng giải bài toán tìm x:

Bài 18. Tìm số tự nhiên x biết rằng:
1 1 1
2
1998
+ + + ... +
=
3 6 10
x( x + 1) 2000

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
2

Trước hết ta xét phân số x( x + 1) ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu
là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:
2
1 
1
2. −

=
x( x + 1)
 x x + 1
1 1 1
;... về dạng phân số có
3 6 10

Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đôit các phân số: ; ;

tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không?
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,

không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
19

Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta càn áp dụng tính chất cơ bản của phân
số, cụ thể là:
1 1.2
2
1 1.2
2.
1
1.2
2
=
=
=
=
=
; =
;
3 2.3 2.3 6 6.2 3.4 10 10.2 4.5

Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là
tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa
bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết.
* Cách giải: Tìm x,
1

1

1

2

1998

biết 3 + 6 + 10 + ... + x( x + 1) = 2000
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
2
2
2.
2
1998
+ +
+…+ x( x + 1) =
2.3 3.4 4.5
2000
 1
1
1
1  1998
+
+ ... +
2.  +
=
x ( x + 1)  2000
 2.3 3.4 4.5
1

1  1998
1 1 1 1 1
2.  − − + − + .... + −
=
x x + 1 2000
2 3 4 4 5
1  1998
1
=
2.  −
 2 x + 1  2000
1
1
1998
−
=
:2
2 x + 1 2000
1
1
999
−
=
2 x + 1 2000
1
1 999
= −
x + 1 2 2000
1
1000 − 999

1
=
=
x +1
2000
2000

Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là:
x+1=2000 => x=1999
Bài 19. Tìm x biết rằng
1
1
1
1
101
+
+
+…+ x( x + 3) =
5.8 8.11 11 .14
1540

*) Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn mẫu số
là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị.
Ta xét
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"

20
1 1
3
1 1 1
1
− =
=>  −  =
5 8 5.8
3  5 8  5.8
1 1
3
1 1 1 
1
− =
=>  −  =
8 11 8.11
3  8 11  8.11
1 1
3
11 1
1
− =
=>  −  =
11 14 11 .14
3  11 14  11 .14
3
1
1 
1
1

1 1
−
=
= x( x + 3) =>  −
x x +1
3  x x + 3  x.( x + 3)

Từ đó ta có cách giải bài toán
* Cách giải: Tìm x
1
1
1
1
101
+
+
+…+ x( x + 3) =
5.8 8.11 11 .14
1540

Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
1  101
1 1 1 1 1 1  1  1 1 
1 1
 −  +  −  +  −  +…+  −
=
3  5 8  3  8 11  3  11 14 
3  x x + 3  1540
1
1  101

1 1 1 1 1 1 1
=
.  − + − + − + ... + −
x x + 3  1540
3  5 8 8 11 11 14
1  101
1 1
=
. −
3  5 x + 3  1540
1
1
101
−
=
.3
5 x + 3 1540
1
1
303
−
=
5 x + 3 1540
1
1 303
5
= −
=
x + 3 5 1540 1540
1

1
=
x + 3 308

Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là:
x+3=308 => x=308 - 3=305
* Năm học 2015-2016 tôi đã đưa bài tập của đề thi học kỳ II năm 20142015 của PGD Núi Thành vào đề kiểm tra như sau:
6
6
6
6
+
+
+ ... +
> 96%
3.5 5.7 7.9
97.99
6
6
6
6
+
+
+ ... +
> 64% khó là vậy nhưng vẫn có đến
Chứng tỏ rằng:
3.6 6.9 9.12
96.99

Chứng tỏ rằng:

hơn 15% số học sinh khối 6 giải đúng. Cũng năm học này tôi đã đưa bài tập
sau của đề thi học kỳ II năm 2013-2014 của PGD Núi Thành vào đề cương ôn
tập học kỳ II để ôn cho học sinh. Đề bài như sau:
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
21

1 1 1 1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + ... + 2012 + 2013 . Chứng tỏ: S < 1 .
2 2 2 2
2
2
1 1 1
1
1
Giải: 2S = 1 + + 2 + 3 + ... + 2011 + 2012
2 2 2
2
2
1
2S-S = S = 1 −
<1
2013

Cho

S=

Khi ôn tập theo đề cương, thì bài toán trên được nhiều học sinh quan tâm
nhất, tôi đã hướng dẫn rất kỹ. Nhờ vậy mà, thi học kỳ II vừa qua có bài tập
sau:
1 1 1
1
1
+ + + ... +
+
Chứng tỏ rằng : A >1
10 11 12
99 100
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
+
+
+ ×××+
+
+
+
+

...
+
+
Giải: A =
> 10 100
1 4 4100
4 4 2 4 100
4 4 4100
3
10 11 12
99 100
90s/hang

Cho tổng A =

A>

10
90
+
=1
100 100

Đây là bài toán không dễ, nhưng vẫn có học sinh giải đúng hoàn toàn và
đạt điểm tối đa. Chứng tỏ rằng học sinh hiểu rất kỹ và áp dụng được loại toán
về dãy số.

VI. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Qua thực tế giảng dạy và vận dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh nắm được
kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình huống cụ thể, đồng

thời cũng đã ghi nhận được một số kết quả tích cực. Việc giảng dạy về các bài
toán “Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh
nghiệm của bản thân và đồng nghiệp với mục đính xây dựng một phương pháp
giảng dạy, tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “Giúp học sinh lớp 6 giải bài
toán dãy số theo quy luật” nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho
mình(giáo viên) và nâng cao chất lượng học tập nhận thức cho học sinh.
Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số viết
theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra cách
giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua đề tài này tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm
tòi lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối
giữa lý thuyết với thực hành toán học.
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phương pháp tìm lời giải
Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
22

- Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật
dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy
luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng
những vấn đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc
giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi.
+ Học sinh vận dụng tốt các kiến thức

+ Học sinh có thói quen nhận dạng kiến thức cần áp dụng trước khi giải.
+ Học sinh làm tốt bài tập tính tổng dãy số đơn giản và dần dần ứng
dụng rộng rãi hơn ở những dạng khác.
+ Học sinh vận dụng giải những bài tập nâng cao chắc chắn không sai
sót đối với HS khá giỏi và tạo cơ hội cho các em hứng thú học tập, dần dần
hình thành cho học sinh đại trà biết giải toán hơn.
+ Bước đầu hình thành ở các em cách học sáng tạo, tạo cho các em có
thói quen sau khi giải quyết xong bài toán trong sách giáo khoa tự mình nghiên
cứu, tự đặt cho mình những bài toán mới, và tìm nhiều lời giải khác nhau cho
môt bài toán hoặc tìm tòi qua các đề thi, đề kiểm tra các năm trước để giải. Qua
đó giúp các em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu.
+ Nhờ áp dụng hệ thống bài tập theo từng dạng bài và phương pháp giải
cụ thể, HS được ôn luyện kỹ từng dạng bài toán
+ Khi giảng dạy ở hai lớp 61 và 62 sau khi thực hiện đề tài tôi đã khảo sát
bằng bài kiểm tra dưới hình thức cho hai bài trong đó một bài ở sách giáo khoa,
một bài là từ bài đó tôi thay đổi một chút sao cho có bài toán về dãy số một câu
trắc nghiệm và một câu tự luận, được kết quả như sau:
Trước khi thực hiện đề tài:
Lớp
Tổng số 0 → 2,8
3 → 4,8
5 → 6,8
61
34
3
12
14
62
33
5

10
15
Sau khi thực hiện đề tài- bài kiểm tra 1 tiết chương I:
Lớp
Tổng số 0 → 2,8
3 → 4,8
5 → 6,8
61
34
0
5
10
62
33
1
6
11

7 → 8,8
3
2

9 → 10
2
1

7 → 8,8
13
10

9 → 10
6
5

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
23

VII. KẾT LUẬN:
1. Khi áp dụng đề tài đã đem lại hiệu quả tích cực góp phần giải quyết
được vấn đề vướng mắc mà giáo viên thường gặp phải khi giảng dạy nội
bài toán về dãy số.
2. Đề tài còn đem lại một hướng mới cho các chúng ta khi tiếp cận việc bồi
dưỡng học sinh giỏi. Không áp dụng máy móc mà sáng tạo những cách
giải đúng theo quy luật, giúp học sinh dễ hiểu hơn, nhớ lâu hơn.
3. Đề tài góp phần tích cực vào việc cổ vũ phong trào đổi mới phương pháp
dạy học theo định hướng phát triển năng lực. Cái quan trọng hơn là hình
thành cho học sinh tư duy toán học, tư duy nghiên cứu khoa học, tính
độc lập sáng tạo. Ngoài ra học sinh còn tự tìm tòi các bài toán tương tự
qua các loại sách tham khảo hoặc qua các đề thi, ôn luyện, qua đó học
sinh sẽ nhìn thấy được bộ môn toán không đơn điệu, cứng nhắc mà rất
sinh động và thú vị, làm cho học sinh say mê hứng thú với môn học, bắt
đầu có sự khám phá môn học. Chính vì điều đó sẽ giúp cho học sinh học
tốt môn toán hơn và vận dụng môn học vào trong thực tiễn một cách linh
hoạt và hiệu quả.
4. Để có được một hệ thống bài tập trọng tâm, phù hợp cả ba đối tượng học
sinh, đòi hỏi giáo viên bộ môn phải có tầm nhìn xuyên suốt chương trình

giảng dạy, nắm vững kiến thức từng bài và mối liên hệ giữa những kiến
thức với nhau để có phương pháp hợp lý hướng dẫn học sinh nắm chắc
hướng giải quyết bài toán, biết giải và nhớ lâu dạng bài đã giải.
5. Để học sinh luôn tập trung học tập ở lớp và tự giải bài tập ở nhà, giáo
viên bộ môn phải kiên trì, đầu tư soạn giảng với nhiều phương pháp cải
tiến, biết vận dụng hợp lý vào tiết dạy để giúp học sinh nắm được cách
giải quyết bài toán, tự học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học tìm
đúng đáp án, các em sẽ thích học toán hơn, từ đó chất lượng đại trà mới
có thể nâng lên.
6. Mỗi giáo viên phải chịu khó học hỏi, tiếp cận công nghệ thông tin, vận
dụng triệt để những gì sẵn có ở trường mình như truy cập mạng, đèn
chiếu sẵn có ở mỗi phòng học để có thể thực hiện một cách có hiệu quả
các tiết luyện tập trong môn học được học sinh cho rằng quá khó này.
7. Phát huy đội ngũ học sinh giỏi toán trong lớp là động lực thúc đẩy phong
trào học tập sôi nổi ở lớp, giúp giáo viên xây dựng được nề nếp tự quản,
ý thức học tập và tinh thần đoàn kết giúp đỡ nhau trong học tập là yếu tố
cần thiết cho giáo viên bộ môn đồng thời cùng phối hợp với giáo viên
chủ nhiệm trong nhiệm vụ "dạy người".

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
24

Trên đây là nội dung đề tài: "Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo
quy luật" Tôi chỉ dừng lại ở mức độ này để phù hợp với năng lực và trình độ
học sinh bậc THCS, phù hợp với chương trình sách giáo khoa phổ thông. Với
phương pháp nghiên cứu này giáo viên cũng nâng cao được năng lực chuyên

môn, xây dựng được hệ thống kiến thức cần có để định hướng cho học sinh
trong quá trình học. Song quan trọng hơn là gây hứng thú học tập bộ môn, giúp
các em có phương pháp học tập bộ môn toán có hiệu quả.
Đề tài này có thể tiếp tục vận dụng cho các lớp 7, 8, 9. Vì đây là loại toán
chỉ giải được khi tìm ra quy luật, tuy nhiên nếu ít giải thì sẽ rất dễ quên.
Đề tài chưa phải quyết định cho tất cả chất lượng bộ môn nhưng đã làm
nên những kết quả đáng ghi nhận góp phần nâng cao chất lượng. Đề tài sẽ
không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của
đồng nghiệp, lãnh đạo.
Xin trân trọng cảm ơn!

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.


"Giúp học sinh lớp 6 giải bài toán dãy số theo quy luật"
25

VIII. ĐỀ NGHỊ:
1. Để thực hiện đề tài có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên thực hiện ngay từ
đầu cấp học nghĩa là đối với học sinh lớp 6. Như vậy học sinh sẽ có nề
nếp, có cách học dựa vào chính mình. Kể cả đối với các lớp 7, 8, 9 hiện
nay, chương trình cũng khá nặng, trình độ học sinh lại có hạn, tiết giải
bài tập hay ôn tập chương còn ít, phụ huynh đa số còn khó khăn, học
sinh lại đang rất yên tâm rằng nhất định mình sẽ lên cấp 3, vì đâu có thi
tuyển. Dó đó phụ huynh ít đầu tư, giao hẳn cho Trường và thiếu định
hướng cho học sinh nên những năm gần đây phong trào học tập còn hạn
chế nhất là mũi nhọn bị thất bại. Do vậy, trong những năm đến Trường
nên tổ chức dạy bồi dưỡng học sinh giỏi ngay từ đầu hè. Đối với học
sinh khối 6, Trường nên tìm hiểu kỹ đối tượng học sinh giỏi lớp 5 thế

mạnh ở môn nào để định hướng cho các em đi đúng sở trường của mình.
2. Trong năm học tiếp tục tổ chức dạy thêm tại Trường để mọi học sinh đều
có thể tham gia và tham gia học được nhiều môn, đồng thời Trường cũng
quản lý được các em.
3. Đối với học sinh kém, học sinh mắc bệnh thiểu năng trí tuệ trong trường
thì ta nên mở thêm lớp phụ đạo riêng cho học sinh yếu, kém từ đầu năm
học thì càng tốt.

Sáng kiến này do cá nhân tôi đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và công tác,
không sao chép dưới bất cứ hình thức nào. Nếu có tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.