SLIDE bài giảng toán cao cấp đại số tuyến tính

ĐạI HọC KINH Tế QUốC DÂN

LOGO

BàI GIả
GIảNG ĐIệN Tử
TOáN CAO CấP 1 - đại số tuyến tính
Giảng viên: Đoàn Trọng Tuyến
Mobile: 0989-355-056
Email:
kim tra:




Tài liệu học tập:
• Toán Cao Cấp (Tập 1 – ðại số tuyến tính), Bộ môn Toán Cơ Bản


Néi dung ch−¬ng tr×nh

to¸n cao cÊp 1


Ch−¬ng 1. Ma trËn - §Þnh thøc

1

Ma trận và các phép toán

2

ðịnh thức

3

Phương pháp tính ñịnh thức

4

Ma trận nghịch ñảo


Ch−¬ng 2. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh

1

Các khái niệm cơ bản về hpt…

2

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Gauss)

3

Hệ phương trình thuần nhất

4

Hệ Cramer

Ch−¬ng 3. Kh«ng gian vect¬

1

Vectơ n chiều và không gian vectơ

2

Các mối liên hệ tuyến tính trong KGVT

3

Cơ sở của không gian vectơ


Ch−¬ng 1
Ma trËn - ®Þnh thøc


Bài 1. Các khái niệm cơ bản về ma trận

I.

II.

III.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.

Khái niệm ma trận

2.

ðẳng thức ma trận

3.

Ma trận không và ma trận ñối

Các dạng ma trận
1.

Ma trận vuông

2.

Ma trận tam giác

3.

Ma trận ñường chéo và ma trận ñơn vị

Các phép biến ñổi ma trận
1.

Các phép biến ñổi sơ cấp

2.

Phép chuyển vị ma trận


I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.

Khái niệm ma trận

ðN:

Ma trận là một bảng số ñược xếp theo hình chữ nhật, ma trận có m
dòng, n cột ñược gọi là có cấp m × n .

Ký hiệu:

 a11 a12
a
a 22
21

A=
⋯ ⋯

 a m1 a m2

⋯ a1n 
⋯ a 2n 


⋯ ⋯

⋯ a mn m×n

trong ñó a ij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.
Ký hiệu dạng thu gọn:
Ví dụ:

A = ( a ij )

m×n

Xét ma trận:
Cấp của A là bao nhiêu?
 2 −4 3 5 
A =  −6 1 7 −9 


8
2 1 7 

3× 4

Trong ñó:

a12 = −4

a 32 = 2

a 24 = −9


I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.

Khái niệm ma trận

Một câu hỏi ñặt ra là:

Ma trận ñược thường ñược dùng như thế nào?

TRONG THỐNG KÊ KINH TẾ
Ví dụ:

Thông tin về lợi nhuận trong 4 quý của hệ thống 3 cửa hàng (A, B, C)
ñược cho thành một bảng như sau:
Quý
C-Hàng

1

2

3

4

A

30

- 25

43

12

B

21

37

- 24

52

C

-4

14

17

- 26

Thông tin trên có thể ñược tóm tắt một cách ngắn gọn trong ma trận số sau:

 30 −25 43 12 
A =  21 37 −24 52 


 −4 14 17 −26 




I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
2.

ðẳng thức ma trận

ðN:

Hai ma trận ñược coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp
và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng ñôi một bằng nhau.

A = ( a ij )

m×n

; B = ( bij )

m×n

A = B ⇔ a ij = bij , i = 1, m, j = 1, n


I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
3.

Ma trận không và ma trận ñối

ðN:

Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng không

Ký hiệu 0m×n

0m×n

ðN:

0 0 ⋯ 0
0 0 ⋯ 0

=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 


0
0

⋯
0

 m×n

Ma trận ñối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử
của nó là số ñối của các phần tử tương ứng của ma trận A.

Ký hiệu: Ma trận ñối của A ñược ký hiệu là - A
Ví dụ:

Ma trận ñối của ma trận

 −4 9 
A =  5 −2 


7
4 


 4 −9 
− A =  −5 2 


 −7 −4 



II.

Các dạng ma trận
1.

Ma trận vuông

ðN:

Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột. Một ma trận có số
dòng và số cột ñều bằng n ñược gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận
vuông cấp n có dạng tổng quát:

 a11 a12
a
a 22
A =  21
⋯ ⋯

 a n1 a n 2
 3 −1 6 
A =  −7 3 8 


 9 0 5



⋯ a1n 
⋯ a 2n 

⋯ ⋯

⋯ a nn  n × n

ðường chéo chính


II.

Các dạng ma trận
2.

Ma trận tam giác

ðN:

Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía
của ñường chéo chính bằng 0.

 a11 a12
a
 21 a 22
⋯ ⋯

 a n1 a n 2

⋯ a1n 
⋯ a 2n 
⋯ ⋯


⋯ a nn 

 3 −1 6 
A = 0 3 8


0 0 0



 a11 a12
 0 a
22

⋯ ⋯

0
 0

⋯ a1n 
⋯ a 2n  Ma trận tam giác trên
⋯ ⋯

⋯ a nn 

 a11 0
a
 21 a 22
⋯ ⋯


 a n1 a n 2

0 
⋯ 0 
Ma trận tam giác dưới
⋯ ⋯

⋯ a nn 
⋯

là ma trận tam giác trên


II.

Các dạng ma trận
3.

Ma trận ñường chéo và ma trận ñơn vị

ðN:

Ma trận ñường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm
ngoài ñường chéo chính bằng 0. Ma trận ñường chéo cấp n có dạng:

 a11 0
 0 a
22

⋯ ⋯


0
 0
ðN:

0 
⋯ 0 
⋯ ⋯

⋯ a nn 
⋯

 −7 0 0 
A =  0 4 0


 0 0 9



Ma trận ñơn vị là ma trận ñường chéo có tất cả các phần tử trên
ñường chéo chính bằng 1. Ma trận ñơn vị cấp n ký hiệu là

1 0 ⋯ 0
0 1 ⋯ 0

En = 
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 



0
0
⋯
1



1 0 0
E3 =  0 1 0 


0 0 1



En


III.

Các phép biến ñổi trên ma trận
1.

Các phép biến ñổi sơ cấp

ðN:

Các phép biến ñổi sau ñây trên các dòng của ma trận ñược gọi là
các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng.
Phép 1: ðổi chỗ hai dòng của ma trận;

Phép 2: Nhân một dòng với số α ≠ 0 ;
Phép 3: Biến ñổi một dòng bằng cách cộng vào nó bội của dòng
khác;

Ví dụ:

Với ma trận:

 2 −1 3 1 
d1 ↔ d3
→
A =  1 −2 2 −3  


 −2 1 3 2 



 −2 1 3 2 
 1 −2 2 −3 


 2 −1 3 1 



 2 −1 3 1  ×1
d3 + d1

→

A =  1 −2 2 −3 


 −2 1 3 2 



 2 −1 3 1 
 1 −2 2 −3 


 0 0 6 3 



Cộng vào dòng 3 tích của dòng 1 với 1


III.

Các phép biến ñổi trên ma trận
1.

Các phép biến ñổi sơ cấp
Tương tự các phép biến ñổi sơ cấp trên các dòng (1-ñổi chỗ hai dòng,

2-nhân dòng với một số khác không, 3-cộng vào một dòng bội dòng khác), ta
cũng có các phép biến ñổi sơ cấp trên các cột của ma trận:
ðN:

Các phép biến ñổi sau ñây trên các cột của ma trận ñược gọi là
các phép biến ñổi sơ cấp trên cột.
Phép 1: ðổi chỗ hai cột của ma trận;
Phép 2: Nhân một cột với số α ≠ 0 ;
Phép 3: Biến ñổi một cột bằng cách cộng vào nó bội của cột khác;


III.

Các phép biến ñổi trên ma trận
2.

Phép chuyển vị ma trận
Cho ma trận A cấp m × n

ðN:

 a11 a12
a
a 22
21

A=
⋯ ⋯

 a m1 a m2

⋯ a1n 
⋯ a 2n 
⋯ ⋯


⋯ a mn 
m×n



A′ = 




⋯ a m1 

⋯ a m2 
⋯ ⋯ 

⋯ a mn 
n×m

a11 a 21
a12 a 22

⋯

⋯

a1n a 2n

Ma trận A' ñược gọi ma trận chuyển vị của ma trận A, phép biến ñổi
biến ma trận A thành ma trận A' ñược gọi phép chuyển vị ma trận.

III.

Các phép biến ñổi trên ma trận
2.

Phép chuyển vị ma trận

Ví dụ:

Với ma trận

 −3
3
A=
1

7

5
5 −2 

5 −5 

9 1  4×3
1

 −3 3 1 7 
A′ =  1 5 5 9 



 5 −2 −5 1 

3 × 4
Ví dụ:

Tìm ma trận chuyển vị của

 −2 1 4 1 
A =  5 a 3 −2 


 3 1 2 −5 



 −2 5 3 
1 a

1

A′ = 
 4 3 2


1
−
2
−

5




Bài 2.

I.

II.

Các phép toán trên ma trận

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

ðịnh nghĩa phép toán

2.

Các tính chất cơ bản

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

ðịnh nghĩa phép toán

2.

Các tính chất cơ bản

I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

ðịnh nghĩa phép toán

Ví dụ:

Thông tin về lợi nhuận của 3 siêu thị (A, B, C) kinh doanh 4 mặt
hàng (1, 2, 3, 4) trong 6 tháng ñầu năm ñược cho thành một bảng
như sau:
MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

12

-2

13

27

B

23

31

14

22

C

3

12

47

29

Lợi nhuận trong 6 tháng cuối năm có sự thay ñổi, cụ thể như sau:
MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

30

17

-1

11

B

20

23

16

5

C

13

-9

37

19


I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.
ðịnh nghĩa phép toán
Hãy ñưa ra bảng kê về lợi nhuận trong cả năm:

MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

12

-2

13

27

B

23

31

14

22

C

3

12

47

29

1

2

3

4

A

30

17

-1

11

B

20

23

16

5

C

13

-9

37

19

1

2

3

4

A

42

15

12

38

B

43

54

30

27

C

16

3

84

48

MH
Siêu thị

MH
Siêu thị

 12 −2 13 27 
A =  23 31 14 22 


 3 12 47 29 



 30 17 −1 11 
B =  20 23 16 5 



 13 −9 37 19 



 42 15 12 38 
A + B =  43 54 30 27 


 16 3 84 48 




I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

ðịnh nghĩa phép toán

Ví dụ:

Thông tin về doanh thu của 2 doanh nghiệp (A, B) kinh doanh 3
mặt hàng (1, 2, 3) trong ñược cho thành một bảng như sau:

MH
Siêu thị

1

2

3

A

12

32

13

B

23

31

14

 12 32 13 
A=

 23 31 14 

Nếu ñánh thuế 10% số doanh thu thu ñược
thì doanh thu sau thuế của các doanh nghiệp sẽ là:
MH
Siêu thị

1

2

3

A

10,8

28,8

11,7

B

20,7

27,9

12,6

 10,8 28,8 11,7 
0,9 × A = 

20,7
27,9
12,6



I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

ðịnh nghĩa phép toán

Cho hai ma trận cùng cấp m × n :

A = ( a ij )

m×n

;

B = ( bij )

m×n

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, ký hiệu là A + B
và ñược xác ñịnh như sau:

A + B = ( a ij + bij )

m×n

Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp m × n, ký hiệu
là αA và ñược xác ñịnh như sau:

αA = ( α.a ij )

m×n

Chú ý:
+)

Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp;

+)

Việc thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và nhân ma trận với
số ñược thực hiện “theo từng vị trí”:


I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

ðịnh nghĩa phép toán

Ví dụ:

Cho các ma trận

 3 −2 5 
A=
;


 −4 1 7 

 −6 2 −4 
B=

 3 7 9

Khi ñó:

 −3 0 1 
A+B=

−
1
8
16


 6 −4 10 
2A = 

−
8
2
14

