04 phương pháp tính định thức

Bài 4.

Phương pháp tính định thức

1.

Khái niệm phần bù đại số

2.

Quy tắc khai triển định thức


1.

Khái niệm phần bù đại số

Xét định thức cấp n:

a11
L
d  a i1
L
a n1

L
L
L
L
L

a1j
L
a ij
L
a nj

L
L
L
L
L

a1n
L
a in
L
a nn

Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij) của định thức d,
ta được định thức cấp n – 1, ký hiệu là Mij.
ĐN:
Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (-1)i+j Mij được gọi là
phần bù đại số của phần tử aij của định thức d.
Chú ý:

A ij   1

i j

 M ij , nếu i + j là số chẵn

�
.M ij  �
� M ij , nếu i + j là số lẻ


1.

Khái niệm phần bù đại số
Ví dụ 1: Xét định thức

4 1 3
d  2 5 3
2 4 1
Các phần bù đại số lần lượt là:

5 3
A11  
 7
4 1

A12  

2 3
8
2 1

2 5
A13  
 18
2 4

2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 2: Xét định thức

3 2 1
d  7 1 1
4 3 2
Hãy tính các giá trị sau đây:

d  68
A11  5

A12  18 A13  17

S1  a11A11  a12 A12  a13 A13  3A11  2A12  1A13  68
A 21  7

A 22  2

A 23  17

S2  a 21A11  a 22 A 22  a 23A 23  7A 21  1A 22  1A 23  68
A 31  1

A 32  10

A 33  17

S3  a 31A 31  a 32 A 32  a 33A 33  4A 31  3A 32  2A 33  68


2.

Quy tắc khai triển định thức

Quy tắc khai triển định thức cấp n:

a11
L
a i1
L
a n1
NX:

L
L
L
L
L

a1j
L
a ij
L
a nj

L
L
L
L
L

a1n
 a i1A i1  a i2 Ai2  L  a ijAij  L  a in Ain
L
(Công thức khai triển định thức theo dòng i)
a in
L  a1jA1j  a 2 jA 2 j  L  a ijA ij  L  a njA nj
a nn
(Công thức khai triển định thức theo cột j)

Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dòng
(hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.
Quy tắc trên cho phép ta thay vì tính một định thức cấp n bởi tính
cùng lắm là n định thức cấp n – 1 (không phải lúc nào cũng tính nhiều
đến thế).


2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 3: Tính định thức cấp 4

d

Chú ý:

2 1 0 3
3 2 1 2
6

4

0

5

1

2

0 1

Theo QUY TẮC KHAI TRIỂN, ta có thể chọn dòng hay cột bất kỳ để
khai triển, nhưng nên chọn dòng hay cột nào mà số lượng tính toán
là ít nhất (Một gợi ý là dòng có nhiều số 0)

Khai triển định thức theo cột 3:

d  0.A13  1.A 23  0.A 33  0.A 43
Trong đó

2 1 3
A 23   6 4

5  41

1 2 1
Suy ra

d  41


2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 4: Tính định thức cấp 4

d

NX:

2

1

2 3

3

2

1

5

2

3

1

4

4

2

3

2

Trong trường hợp này, chọn dòng hay cột nào khai triển thì cũng
phải tính 4 định thức cấp 3 (các phần bù đại số).

Xem xét các tác động của phép biến đổi sơ cấp lên giá trị của định thức:
Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức;

Định thức đổi dấu

Phép 2: Nhân một dòng (cột) của d với số k;

Định thức bằng k.d

Phép 3: Cộng vào một dòng (cột) bội của

Định thức không đổi

dòng (cột) khác trong định thức.


2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 4: Tính định thức cấp 4

d

2

1

2 3

3

2

1

2

3

1

4

2

3

�2 �(3) �2

5 �1
4 �1
2 �1



2

1

2

7
8
8

0
0
0

3 11
7 5
1 8

Khai triển định thức theo cột thứ 2 ta được:

7 3 11
d  1.A12   8 7 5  243
8 1 8

3


Giá trị của định thức

2 1 3 4
3 2 1 5
2
1

5
2

4 3
3 4

50:50
A: - 5

B: 5

C: 15

D: - 15


Giá trị của định thức

3 1 4
4 2 3
5
2

1
3

2
1

2 3
3 1

50:50
A: 85

B: - 75

C: - 85

D: 75