06 khái niệm cơ bản phương trình tuyến tính

Ch­¬ng­2
HÖ­ph­¬ng­tr×nh
TuyÕn­tÝnh


Bài 1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

1.

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

3.

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

4.

Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

5.

Các phép biến đổi sơ cấp


1.

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

ĐN:

Hệ phương trình tuyến tính của n ẩn số x1 , x 2 ,K , x n là hệ có dạng:

�a11x1  a12 x 2  L
�a x  a x  L
22 2
� 21 1
� L
L
L
�
a x  a m2 x 2  L
�
� m1 1

 a1n x n
 a 2n x n
L
 a mn x n

 b1
 b2
L
 bm

Trong đó: a ij là hệ số của ẩn x j trong phương trình thứ i;

bi là hệ số tự do của phương trình thứ i.

Ví dụ: Xét hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình, 4 ẩn số:

�2x1
�
 x1
�
�3x
� 1

 3x 2
 2x 2
 x2

a12  3

 4x 3
 5x 3
 2x 3
a 34  3

 x4
 2x 4
 3x 4

 2
 3
 1

b 2  3

2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

ĐN:

Xét hệ phương trình tuyến tính:

�a11x1
�a x
� 21 1
�
�L
�
a m1x1
�




 L
 L
L
 L

a12 L
a 22 L

a1n �

a 2n �
� và
L �
a mn �
�
m�n

a12 x 2
a 22 x 2
L
 a m2 x 2




a1n x n
a 2n x n
L
 a mn x n




b1
b2
L
 bm

Ma trận:

�a11
�a
21
A�
�L
�
a
�m1

L
L
a m2 L

�a11 a12
�
a 21 a 22
�
A
�L
L
�
a m1 a m 2
�

L
L
L
L

a1n

a 2n
L
a mn

b1 �
�
b2 �
L �
�
bm �
m�(n 1)

được gọi tương ứng là ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ phương trình


2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình

�2x  3y  4z  2
�
 x  2y
 5
�
�3x  y  2z  3
�
Ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ này là:

�2 3 4 �
�
A�

1
2
0
�
�
�3 1 2 �
�
�

và

�2 3 4 2 �
�
A�

1
2
0
5
�
�
�3 1 2 3 �
�
�

Ví dụ 2: Viết hệ phương trình có ma trận mở rộng là:

Hệ này là:

�2 1 3 1�
�
A�
2

1
2
3
�
�
�3 2 1 4 �
�
�
2x  y  3z  1
�
�
�2x  y  2z  3
�3x  2y  z  4
�


2.

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

Nhận xét:

Một hệ phương trình tuyến tính được xác định nếu biết
ma trận mở rộng của nó.
Điều tương tự là không đúng đối với ma trận hệ số,
nghĩa là nếu biết ma trận hệ số thôi thì hệ phương trình
vẫn chưa được xác định.


3.

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

ĐN:

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số x1 , x 2 ,K , x n
là bộ gồm n số thực có thứ tự 1 ,  2 ,K ,  n sao cho khi gán

x1  1 , x 2   2 ,K , x n   n vào các phương trình thì ta được m
đẳng thức đúng (m là số phương trình của hệ).
Ký hiệu: Có 3 cách viết nghiệm của hệ:
Cách 1:

 x1  1 , x 2   2 ,K , x n   n 

Cách 2:

 1 ,  2 ,K ,  n 

Cách 3:

�x1 

�x
�2 
�
L L
�
�
�x n 

1
2
L
n


4.

Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

ĐN:

Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau được gọi
là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

?:

Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau và đều
vô nghiệm có tương đương với nhau không?

Trả lời: Có tương đương, vì tập nghiệm bằng nhau (là tập rỗng).
ĐN:

Một phép biến đổi biến một hệ phương trình thành một hệ khác
tương đương với nó được gọi là phép biến đổi tương đương.


5.

Các phép biến đổi sơ cấp

ĐN:

Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình tuyến
tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
Phép 1: Đổi chỗ hai phương trình của hệ;
Phép 2: Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số

 �0;

Phép 3: Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách “cộng vào
nó bội của một phương trình khác”.
Ví dụ:

Với hệ phương trình:

 y  3z  5
�x 
�x
�
�
pt (2)  2pt (1)


2x

3y

2z


1
�����
�
�
�
�3x  y  z  2
3x 
�
�
NX:

y



3z

 5

5y  4z  9
y  z  2

Các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính cũng
tương tự như các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma
trận.
Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương.