08 hệ thuần nhất

Bài 3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất


ĐN:
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của n ẩn số x1 , x 2 ,K , x n là
hệ có dạng:

 a11x1
a x
 21 1

 L
a m1x1
Chú ý:

+
+

a12 x 2
a 22 x 2
L

+ L
+ L
L

+
+

a1n x n
a 2n x n

L

=
=

0
0
L

+ a m2 x 2

+ L

+ a mn x n

=

0

Khi giải hệ thuần nhất bằng khử Gauss ta chú ý các đặc điểm sau:

• Hệ luôn có nghiệm ( x1 = 0, x 2 = 0,K , x n = 0 ) , gọi là nghiệm không (nghiệm
tầm thường), vậy:
 Hệ có duy nhất nghiệm, là nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết
thúc ở
dạng tam giác)


Hệ có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang)

• Mọi hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn đều có vô
số nghiệm;
• Khi khử Gauss để giải hệ thuần nhất ta chỉ cần thực hiện trên ma trận hệ số.


Ví dụ: Giải hệ thuần nhất:

 2x
 3x


−5x
 8x

+ 3y − z + 2t = 0
− 2y + 3z + t = 0
+ 12y − 11z + t = 0
− y + 5z + 4t = 0

Giải: Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận hệ số A:

 2
 3
A=
 −5

8
2
0


→ 
0

0

3 −1
−2 3
12 −11
−1 5
3 −1
−13 9
0
0
0
0

2  ×(−3)×5×(−4)
2
0
×2
1÷
÷

→
0
1 ÷× 2
÷

4  ×1
0

2
−4 ÷
 2 3 −1
÷ 
→
0÷
 0 −13 9
÷
0

3
−1 2 
×3 ×(−1)
−13 9 −4 ÷
÷
39 −27 12 ÷×1
÷
−13 9 −4  ×1
2
Hệ đưa về dạng hình
÷
−4  thang, nghiệm là:

7
7
9
4


x

=
−
α
−
β
,
y
=
α
−
β
,
z
=
α
,
t
=
β

÷; α, β ∈ ¡
13
13
13
13

