MÔ HÌNH hóa bề DÙNG mặt CONG vá b SPLINE đều bậc BA và PHÂN TÍCH SAI số mô HÌNH TRONG kỹ THUẬT NGƢỢC

HỘI NGHỊ KHCN TOÀN QUỐC VỀ CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC NĂM 2017
Ngày 14 tháng 10 năm 2017 tại Trường ĐH Bách Khoa – ĐHQG TP HCM

MÔ HÌNH HÓA BỀ DÙNG MẶT CONG VÁ B-SPLINE ĐỀU BẬC BA VÀ
PHÂN TÍCH SAI SỐ MÔ HÌNH TRONG KỸ THUẬT NGƢỢC
Trần Anh Sơn1, Hồ Triết Hƣng1, Lƣơng Hồng Sâm2
1

Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM, 2Trường Đại học Trần Đại Nghĩa

TÓM TẮT:
Bài báo trình bày phương pháp mô hình hóa
bề mặt chi tiết từ dữ liệu điểm đo, hay còn gọi làm
đám mây điểm. Đám mây điểm được thu thập
thông qua máy quét tọa độ (CMM). Một mô hình

CAD 3D được hình thành trên cơ sở mặt cong Bspline đều ứng dụng kỹ thuật ngược. Đồng thời
bài báo cũng phân tích và đánh giá sai số giữa mô
hình thực và mô hình CAD.

Từ khóa: kỹ thuật ngược, CAD/CAM, B-spline
1. GIỚI THIỆU
Với sự phát triển liên tục của phần mềm và
phần cứng hệ thống máy tính, CAD/CAM ngày
càng phát triển nhanh chóng trở thành công cụ
thiết thực không thể thiếu trong sản xuất công
nghiệp [1]. Đặc biệt là trong lĩnh vực khuôn mẫu,
CAD/CAM hỗ trợ rút ngắn đáng kể thời gian thiết
kế và gia công. Tuy vậy, công việc thiết kế không
phải lúc nào cũng đi theo một chiều từ ý tưởng,
dựng mô hình, rồi đến gia công chi tiết. Đôi khi

một hình mẫu được tạo thành từ bàn tay khéo léo
của con người, ví dụ như các bình gốm, các hình
tượng,… Tiếp theo, muốn nhân bản sản phẩm ta
cần thiết kế khuôn từ mô hình mẫu ban đầu. Đây
là công việc vô cùng phức tạp. Điều này trở nên
dễ dàng hơn nếu được ứng dụng kỹ thuật ngược
để dựng lại mô hình CAD từ mô hình mẫu [2].
Ngày nay, nhờ sự hỗ trợ của các máy quét tọa độ
(CMM) nên việc thu thập dữ liệu đám mây điểm
của bề mặt mẫu được tiến hành khá thuận lợi. Từ
dữ liệu đám mây điểm, hình dáng của chi tiết
được tái dựng ở dạng mô hình mặt hoặc mô hình
khối. Cuối cùng được lập trình và gia công trên
các máy CNC hoặc các máy in 3D một cách dễ
dàng và thuận lợi. Hình 1 mô tả một cách đơn
giản quá trình kỹ thuật ngược.

Mô hình mẫu
Dữ liệu mây
điểm của mẫu
Dựng mô hình
CAD
In 3D sản phẩm hoặc
gia công khuôn

Phân tích sai số

Dữ liệu mây điểm
của sản phẩm
Sản phẩm

Hình 1. Quá trình kỹ thuật ngược

Trong quá trình nêu trên, có thể thấy vấn đề
cốt lõi nằm ở việc tái dựng mô hình CAD 3D. Ở
đây khó khăn lớn nhất chính là giải quyết một
lượng rất lớn các điểm từ quá trình đo CMM. Có
nhiều công trình nghiên cứu trên thế giới ứng
dụng các mô hình mặt cong nhằm giải quyết vấn
đề này. Trước tiên Liu và Hoschek [3] – sau đó
Du và Schmitt [4] đã phát triển kỹ thuật ngược
ứng dụng bề mặt vá Bezier trên cơ sở điều kiện
liên tục thứ nhất để tái dựng bề mặt chi tiết. Mô
hình mặt cong Bezier có những hạn chế nhất định
so với mặt con B-spline. Tương tự, Milroy và các
cộng sự [5] đã ứng dụng mặt vá B-spline trong
nghiên cứu của mình để tạo ra mô hình CAD từ

Trang 213


HỘI NGHỊ KHCN TOÀN QUỐC VỀ CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC NĂM 2017
Ngày 14 tháng 10 năm 2017 tại Trường ĐH Bách Khoa – ĐHQG TP HCM

dữ liệu đám mây đểm. Tuy nhiên, để đảm bảo độ
chính xác giữa sản phẩm (hoặc khuôn) tạo ra và
mô hình mẫu thì việc dừng lại ở xây dựng các bề
mặt là chưa đủ. Công việc này cần có sự so
sánh, đánh giá và đôi khi cần phải can thiệp vào
dữ liệu mây điểm trước khi tạo mô hình CAD.

Điều này có thể hiểu như một công đoạn tiền xử
lý dữ liệu mây điểm nhằm bỏ bớt các điểm ít vai
trò hoặc thậm chí gây nhiễu cho dữ liệu. Nghiên
cứu này trình bày một phương pháp tiền xử lý dữ
liệu dựa trên việc đồng bộ gốc tọa độ khi đo của
vật mẫu và sản phẩm. Sau đó, ứng dụng mặt vá
B-spline đều bậc 3 để mô hình hóa cho bề mặt
sản phẩm.
2. SAI SỐ GIỮA SẢN PHẨM CHẾ TẠO VÀ VẬT
MẪU

Pi+1,j

Pi-1,j Pi,j

Y
Z

k k k
ei PiM

i

i+1

(3)

Bằng cách xác định các chỉ số i, j giúp ích
trong việc đồng bộ gốc tọa độ các cặp điểm đo
trên vật mẫu và đo trên mô hình. Từ đó ta có các

bộ điểm đồng bộ như sau:
Điểm trên mẫu (chỉ số trên M):
 P0,0M
 M
P
Pi ,Mj   1,0

 PmM,0


P0,nM 

P1,nM 


M
Pm ,n 


P0,0M
P1,1M
PmM,1

(4)

Điểm trên sản phẩm (chỉ số trên P):
 P0,0P
 P
P
Pi ,Pj   1,0


 PmP,0


P0,nP 

P1,nP 


PmP,n 

P0,0P
P1,1P
PmP,1

(5)

Độ dốc:
Z  Ppi1   Z  Ppi 

(1)

D

 X  P   X  P    Y  P   Y  P  
i
p

2

i 1
p

3

(6)

i 0 j 0

Việc phân tích sai số giữa sản phẩm chế tạo
và vật mẫu là cơ sở để hiệu chỉnh mô hình CAD,
nâng cao độ chính xác cho sản phẩm khi ứng
dụng kỹ thuật ngược. Trên cơ sở các yêu cầu về
dung sai và độ nhám bề mặt, một mặt vá di động
dùng mặt cong B-spline đều được sử dụng để
đánh giá sai số giữa hai chi tiết vật mẫu – sản
phẩm. Xây dựng phương trình mặt cong B-spline
cho mặt mặt vá cần xác định các điểm điều khiển
(lưới điểm). Vị trí các lưới điểm được xác định
dựa trên độ cao và vị trí của chúng chiếu trên mặt
phẳng XY (Hình 2). Từ đó tính toán được sai số
giữa hai bề mặt nêu trên. Một số giá trị tính toán
từ mô hình:

Trang 214

Y  Y0
, j
k

3

Hình 2. Sai số giữa sản phẩm chế tạo và vật mẫu

i 1
p

Chỉ số j theo phương Y: j 

r (u, v)   Ni3  u  N 3j  v Vij

M: điểm trên mẫu (Model)
P: điểm trên sản phẩm (Part)

với D 

(2)

Để mô hình hóa bề mặt sản phẩm, một mặt
cong vá B-spline đều bậc ba với 16 điểm điều
khiển được sử dụng (Hình 3). Phương trình diễn
tả mặt cong như sau [1]:

P
a Pi

ai 

X  X0
, i

k

3. MÔ HÌNH HÓA BỀ MẶT SẢN PHẨM ỨNG
DỤNG MẶT CONG B-SPLINE

X

i-1

Chỉ số i theo phương X: i 

i
p

2

trong đó 0  u  1; 0  v  1
V03

V02
V01

V13
V23

V12
V22

V11

V33
V32

V21
V31

V00
V10

V20
V30

Hình 3. Mô hình mặt cong B-spline và
các điểm điều khiển

r (u, v)  UNBN T VT

(7)

với U  1 u u 2 u3  V  1 v v2 v3 
V00
V
B   10
V20

V30

V01
V11
V21

V31

V02
V12
V22
V32

V03 
V13 
V23 

V33 

(8)


HỘI NGHỊ KHCN TOÀN QUỐC VỀ CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC NĂM 2017
Ngày 14 tháng 10 năm 2017 tại Trường ĐH Bách Khoa – ĐHQG TP HCM

1 4 1

1 3 0 3
N 
6  3 6 3

 1 3 3

0
0 
0


1

(9)

N03  u   1  3u  3u 2  u 3  / 6

(10)

N13  u    4  6u 2  3u 3  / 6

(11)

N23  u   1  3u  3u 2  3u 3  / 6

(12)

N u   u / 6

(13)

3
3

3

Giả sử Pij, i = 0, 1, 2, …, m và j = 0, 1, 2, …, n
là các điểm đo trên toàn mặt cong. Khi ứng dụng
mô hình mặt cong B-spline đều từ (m+1)(n+1)
điểm, ta cần xác định được (m+3)(n+3) điểm điều

khiển
 i  0,1,2,...,m 2 
V  Vij

 j  0,1,2,...,n  2 

(14)

Ngoài ra, phương trình điều kiện biên xác
định bởi các vector tiếp tuyến theo phương u là
S  S0 j , Smj : j  0,1,2,...,n

(15)

và vector tiếp tuyến theo phương v là
t  ti 0 , tim : i  0,1,2,...,m

(16)

cùng với 4 twist vector
   00 , m 0 , 0 n , mn 

(17)

Kết hợp phương trình (8~17) ta có thể suy ra hệ
phương trình (18) như sau
 1
1

0



0

0
0


0 1 0
4 1 0
1 4 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0

0 0   Vi ,0   2di 


0 0   Vi ,1   6Ci ,0 
0 0   Vi ,2   6Ci ,1 
 



 (18)






6C 
1 4 1 0 Vi ,n
  i ,n1 

0 1 4 1  Vi ,n 1   6Ci ,n 
0 1 0 1  Vi ,n 2   2ei 
0
0
0

0
0
0

trong đó, i = 0, 1, 2, …, m+2, di là vector tiếp
tuyến biên bên trái, ei là vector tiếp tuyến biên
bên phải và Ci,j là các điểm điều khiển tạm thời
của mặt vá. Giải hệ phương trình (18), sau đó
thay vào phương trình (7) ta được phương trình
mặt vá của bề mặt chi tiết.
4. XÁC ĐỊNH SAI LỆCH TẠI TỪNG ĐIỂM ĐO
Công thức (7) là phương trình mặt cong
B-spline đều bậc 3. Có thể vận dụng công thức
này để xác tọa độ của điểm trên mặt vật mẫu và
tọa độ của điểm trên mặt vá. Sai lệch của tại điểm
đo, εi,j, được xác định bằng độ chênh lệch cao độ
Z của vật mẫu và sản phẩm (Hình 2).
e i , j  PzM (u, v)  PzP (u, v)

(19)

Dựa trên giá trị dung sai cho phép của bề mặt
so sánh với sai lệch tại điểm đo, εi,j, ta có thể
đánh giá mức độ đạt yêu cầu của sản phẩm so
với vật mẫu.
5. KẾT LUẬN
Bài báo đã trình bày một phương pháp xác
định sai lệch tại các điểm đo giữa bề mặt vật mẫu
và bề mặt sản phẩm khi ứng dụng kỹ thuật ngược
trong sản xuất. Trong đó, một thuật toán xác định
đồng bộ cặp điểm trên hai bề mặt cũng được
trình bày một cách chi tiết. Mô hình mặt cong Bspline đều bậc 3 được vận dụng để mô hình hóa
bề mặt vật mẫu. Nhờ đó, cơ sở dữ liệu bề mặt
CAD 3D của vật mẫu được xây dựng, lưu trữ và
xa hơn là tăng tính linh hoạt trong sản xuất, dễ
dàng thay đổi điều chỉnh các thông số khi cần.
Điều này có ý nghĩa rất lớn trong quá trình sản
xuất công nghiệp.

REFERENCES
[1]. Choi, B. K., Surface Modeling for CAD/CAM.
Elsevier, New York, (1991).
[2]. Raja, V. and Fernande, K. J., Reverse
Engineering, (2013).

[4]. W. H. Du and Schmitt, F. J. M., On the G1
continuity of piecewise Bezier surfaces: a
review with new results. Computer-Aided
Design, 22(9): p. 556-573, (1990).

[3]. D. Liu and Hoschek, J., GC1 - continuity
conditions between adjacent rectangular and
triangular Bezier surface patches. ComputerAided Design, 21(4): p. 1994-200, (1989).

[5]. M. J. Milmy, C. Bradley, Vickers, G. W. and
Weir, D.J., G1 - continuity of B-spline surface
patches in reverse engineering. ComputerAided Design, 27(6): p. 471-478, (1995).

Trang 215


HỘI NGHỊ KHCN TOÀN QUỐC VỀ CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC NĂM 2017
Ngày 14 tháng 10 năm 2017 tại Trường ĐH Bách Khoa – ĐHQG TP HCM

SURFACE MODELING USING BICUBIC UNIFORM
B-SPLINE PATCH SURFACES AND ERROR ANALYSIS IN REVERT
ENGINEERING
ABSTRACT:
This paper present a modeling method for a
real given surface from measured points. The
measured points are collected from a coordinate
measuring machine (CMM). A 3D-CAD model is
established based on the Bicubic Uniform

B-spline patch surfaces using in revert
engineering. In addition, the research also
analyses the errors between the real and CAD
model.

Keywords: reverse engineering, CAD/CAM, B-spline

[6].

Trang 216