Phương Pháp Lặp Tìm Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Giả Co Mạnh Trong Không Gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------------------

TèNG V¡N HUY

PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM
BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh
trong kh«ng gian banach

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số

: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

THÁI NGUN, 2013

Số hóa bởi trung
tâm học liệu

u.vn/


I HC THI NGUYấN
TRNG I HC KHOA HC
----------------------------

Tống văn huy

PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM
BấT Động của ánh xạ giả co mạnh
trong không gian banach
Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng
Mó s

: 60.46.01.12

LUN VN THC S TON HC
Ngi hng dn khoa hc:
TS. Nguyn Th Thu Thy

Thỏi Nguyờn 2013


Mnc lnc
Má đau

3

1

Ánh xa giá co và bài tốn điem bat đ®ng

6

1.1

M®t so đ%nh nghĩa và ký hi¾u . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Khơng gian Banach loi đeu, trơn đeu . . . . . .

6

1.1.2

Ánh xa đoi ngau chuan tac . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Ánh xa giá co . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

2

Bài tốn điem bat đ®ng......................................................... 10
1.2.1

Bài tốn điem bat đ®ng.............................................10

1.2.2

M®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng . . .

11

Phương pháp l¾p tìm điem bat đ®ng cúa ánh xa giá co
manh

14

2.1

Xap xí điem bat đ®ng vói dãy l¾p chính xác.......................14

2.2

Xap xí điem bat đ®ng vói dãy l¾p có nhieu.........................24

2.3

Xap xí điem bat đ®ng cna ánh xa khơng xác đ%nh trên
tồn khơng gian......................................................................28

Ket lu¾n......................................................................................42
Tài li¾u tham kháo...................................................................... 44

3

Số hóa bởi trung
tâm học liệu

u.vn/


Báng ký hi¾u
X

Không gian Banach thnc

X∗

Không gian liên hop cna X

∅

T¾p rong

x := y

x đưoc đ%nh nghĩa bang y

∀x

Vói moi x

∃x

Ton tai x

I

Ánh xa đơn v%

J

Ánh xa đoi ngau chuan tac J A∗
liên hop cna toán tú A

Toán tú

(x∗, x)

Giá tr% cna phiem hàm x∗ tai điem

x D(A)

Mien xác đ%nh cna toán tú A

R(A)

Mien ánh cna toán tú A

N (A)

T¾p các không điem cna toán tú A

F ix(A)

T¾p các điem bat đ®ng cna toán tú

A xn → x∗ Dãy {xn} h®i tu manh tói x∗


Má đau

M®t so đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng xuat hi¾n tù đau the kí
XX, trong đó phái ke đen nguyên lý điem bat đ®ng Browder năm
1912 và nguyên lý ánh xa co Banach năm 1922. Các ket quá này
đưoc mó r®ng cho nhieu lóp ánh xa khác nhau, chang han ánh xa
không giãn, ánh xa giá co ... Lý thuyet điem bat đ®ng có nhieu úng
dung trong lý thuyet toi ưu, bài toán cân bang, bat đang thúc bien
phân ... Do đó, vi¾c nghiên cúu phương pháp giái bài toán điem bat
đ®ng là van đe thòi sn thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán
hoc trong nưóc và trên the giói.
Muc đích cna đe tài lu¾n văn là nghiên cúu m®t so phương pháp xap
xí điem bat đ®ng cna ánh xa giá co manh trong không gian Banach
trên cơ só phương pháp l¾p Mann và phương pháp l¾p Ishikawa.
N®i dung cna lu¾n văn đưoc trình bày trong hai chương. Chương
1 giói thi¾u m®t so khái ni¾m ve không gian Banach trơn đeu, không
gian Banach loi đeu, ánh xa đoi ngau chuan tac, ánh xa giá co và
bài toán điem bat đ®ng. M®t so phương pháp co đien xap xí điem
bat đ®ng trong không gian Hilbert đưoc đe c¾p trong phan cuoi cna
chương. Chương 2 trình bày m®t so đ%nh lý h®i tu manh cna dãy l¾p
Mann và dãy l¾p Ishikawa ve điem bat đ®ng cna ánh xa giá co manh
trong không gian Banach. Phan đau cna chương nghiên cúu sn h®i tu
cna dãy l¾p đưoc cho chính xác. Phan thú hai nghiên cúu sn h®i tu


Mé đau

cna dãy l¾p đưoc cho có nhieu. Phan cuoi cna chương dành đe trình
bày các nghiên cúu ve đieu ki¾n đe dãy l¾p Mann và Ishikawa xác đ
%nh khi mien xác đ%nh cna ánh xa là m®t t¾p con chính thưòng cna
toàn không gian.
Đóng góp chính cna tác giá là tìm đoc, d%ch và tong hop các kien
thúc trong [1]-[4].


Lài cám ơn
Lu¾n văn này đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Khoa hoc, Đai hoc
Thái Nguyên dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Nguyen Th% Thu
Thny. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac ve sn t¾n
tâm và nhi¾t tình cna Cô trong suot quá trình tác giá thnc hi¾n lu¾n
văn.
Trong quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn, tù bài giáng cna các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tai Vi¾n Toán hoc, Vi¾n Công ngh¾ Thông
tin thu®c Vi¾n Hàn lâm và Khoa hoc Vi¾t Nam, các Thay Cô trong
Đai hoc Thái Nguyên, tác giá đã trau doi thêm rat nhieu kien thúc
phuc vu cho vi¾c nghiên cúu và công tác cna bán thân. Tù đáy lòng
mình, tác giá xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói các Thay Cô.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u, phòng Đào tao
Khoa hoc và Quan h¾ quoc te, Khoa Toán - Tin trưòng Đai hoc
Khoa hoc, Đai hoc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đõ tác giá
trong suot thòi gian hoc t¾p tai trưòng.
Cuoi cùng tôi xin gúi lòi cám ơn tói gia đình, ban bè, lãnh đao đơn
v% công tác và đong nghi¾p đã đ®ng viên, giúp đõ và tao đieu ki¾n tot
nhat cho tôi khi hoc t¾p và nghiên cúu.
Tác giá

Tong Văn Huy

Chương 1

Ánh xa giá co và bài toán điem
bat đ®ng
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá
cơ bán ve ánh xa giá co và m®t so phương pháp xap xí điem bat
đ®ng trong không gian Banach. Các kien thúc cna chương này
đưoc tong hop tù các tài li¾u [1]-[5].
1.1
1.1.1

M®t so đ%nh nghĩa và ký hi¾u
Không gian Banach loi đeu, trơn đeu

Cho X là m®t không gian Banach thnc, X ∗ là không gian liên hop
cna X và (x∗, x) là ký hi¾u giá tr% cna x∗ ∈ X ∗ tai x ∈ X. Ký
hi¾u 2X là m®t ho các t¾p con khác rong cna X. Cho T là m®t ánh
xa vói mien xác đ%nh là D(T ) và mien giá tr% là R(T ) và N (T )
là t¾p các không điem và F ix(T ) là t¾p điem bat đ®ng cna ánh xa
T tương úng, nghĩa là
N (T ) = {x ∈ D(T ) : Tx = 0},
F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : Tx = x}.
Ký hi¾u m¾t cau đơn v% cna X là SX , trong
{x ∈ X : "x" = 1}.

đó SX

=

Chương 1. Ánh xa giá co và bài toán đi›m bat đ®ng

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Không gian Banach X đưoc goi là không gian
(i) loi ch¾t neu vói x, y ∈ SX , x ƒ= y thì
"(1 − λ)x + λy" < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) loi đeu neu vói moi ε thóa mãn 0 < ε ≤ 2, moi x, y thóa mãn
"x" ≤ 1, "y" ≤ 1 và "x − y" ≥ ε suy ra ton tai δ = δ(ε) ≥ 0 sao
cho
.. x + y ..
.. ≤ 1 − δ.
.. 2
Chú ý rang moi không gian Banach loi đeu đeu là không gian phán
xa và loi ch¾t.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X đưoc goi là
(i) có chuan khá vi Gâteaux (ho¾c không gian trơn) neu giói han
lim
t→0

"x + ty" − "x"
t

ton tai vói moi x, y ∈ SX ;
(ii) có chuan khá vi Gâteaux đeu neu giói han trên đat đưoc đeu vói x
∈ S X.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Giá sú X là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan
thnc vói so chieu lón hơn ho¾c bang 2, và x, y ∈ X. Mô đun trơn
cna X đưoc xác đ%nh
bói

.
.
" x + y " + "x − y "
.
ρX (τ ) :=
− 1 : "x" = 1, "y"
sup
2
=τ

(1.1)

Ta có đ%nh nghĩa khác ve không gian trơn đeu như sau:
Đ%nh nghĩa 1.1.4. M®t không gian Banach X đưoc goi là trơn đeu
neu
lim hX (τ ) := ρX (τ
= 0.
lim
)

(1.2)


Chương 1. Ánh xa giá co và bài toán đi›m bat đ®ng
τ→0
τ→0
τ

Các không gian Lp, lp là các ví du ve không gian trơn đeu.

1.1.2

Ánh xa đoi ngau chuan tac

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Ánh xa đoi ngau chuan tac cna không gian Banach
X là ánh xa J : X → 2X∗ xác đ%nh bói
J (x) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗, x) = "x""x∗", "x∗" = "x"}
(1.3)
vói moi x ∈ X.
Ký hi¾u ánh xa đoi ngau chuan tac đơn tr% là j. Ánh xa đoi ngau
chuan tac có tính chat sau đây.
M¾nh đe 1.1.1. Giá sú X là m®t không gian Banach. Khi đó,
(i) J (x) là t¾p loi, J (λx) = λJ (x), vói moi λ > 0;
(ii) J là ánh xa đơn tr% khi X ∗ là không gian loi ch¾t. Trong trưòng hop
X là không gian Hilbert thì J ≡ I-ánh xa đơn v% trong X.
Neu X là không gian Banach trơn thì ánh xa đoi ngau chuan tac J
là đơn tr%. Neu X là không gian Banach trơn đeu thì ánh xa đoi ngau
chuan tac J liên tuc đeu trên các t¾p con b% ch¾n cna X.
M®t bat đang thúc đơn gián và thông dung thưòng đưoc dùng đe
thiet l¾p moi quan h¾ giua ánh xa đoi ngau chuan tac J và chuan
"."
trong không gian Banach là bat đang thúc Petryshyn [5].
Đ%nh lý 1.1.1. Cho X là m®t không gian Banach thnc, J : X → 2X∗
là ánh xa đoi ngau cúa X. Khi đó
"x + y" 2 ≤ "x"2 + 2(y, j(x + y))

(1.4)

vói moi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J (x + y).

Bat đang thúc (1.4) đưoc goi là bat đang thúc Petryshyn.
1.1.3

Ánh xa giá co

Đ%nh nghĩa 1.1.6. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là m®t ánh xa. Ánh
xa
T đưoc goi là liên tuc Lipschitz vói hang so Lipschitz L neu vói moi


"T x − T y" ≤ L"x − y".

x, y ∈ D(T ) ta
có

Neu 0 ≤ L < 1 thì ta có đ%nh nghĩa ánh xa co, neu L = 1 thì ta
có
đ%nh nghĩa ánh xa không giãn.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là m®t ánh xa.
(i) Ánh xa T đưoc goi là accretive neu vói moi x, y ∈ D(T ), ton tai
j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho
(T x − T y, j(x − y)) ≥ 0.

(1.5)

(ii) Ánh xa T đưoc goi là h-accretive (hemiaccretive) neu vói moi
x ∈ D(T ) và q ∈ N (T ), ton tai j(x − q) ∈ J (x − q) sao cho
(T x, j(x − q)) ≥ 0.

(1.6)

(iii) Ánh xa T đưoc goi là accretive manh neu vói moi x, y ∈ D(T ),
ton tai j(x − y) ∈ J (x − y) và hang so k ∈ (0, 1) sao cho
(T x − T y, j(x − y)) ≥ k||x −
y||

2

.

(1.7)

Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là m®t ánh xa.
(i) Ánh xa T đưoc goi là giá co neu vói moi x, y ∈ D(T ), ton tai
j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho
(T x − T y, j(x − y)) ≤ "x − 2.

(1.8)

y"
(ii) Ánh xa T đưoc goi là giá co manh neu vói moi x, y ∈ D(T ) ton
tai j(x − y) ∈ J (x − y) và hang so l ∈ (0, 1) sao cho
(T x − T y, j(x − y)) ≤ l"x −
y"

2

(1.9)

(iii)Ánh xa T đưoc goi là giá co ch¾t neu vói moi x, y ∈ D(T ), ton

tai m®t hang so k > 0 và j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho
2
(T x − T y, j(x − y)) ≤ "x − 2 − k"(Ix − Iy) − (T x − T y)"
,

y"
(1.10)


ó đây I là ánh xa đong nhat trong X.
Chú ý rang, bat đang thúc (1.10) đưoc viet dưói dang
((I − T )x − (I − T )y, j(x − y)) ≥ k"(I − T )x − (I − T )y"2.
(1.11)
Trong không gian Hilbert, bat đang thúc (1.10) và (1.11) tương đương
vói
"T x − T y"2 ≤ "x −
y"

2+

λ"(I − T )x − (I − T
,
)y 2
"

(1.12)

vói moi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1. Khi λ = 0 thì bat đang

thúc
(1.12) có dang
"T x − T y" ≤ "x − y", ∀x, y ∈ D(T ).

(1.13)

Như v¾y lóp các ánh xa giá co ch¾t chúa lóp các ánh xa không giãn.
Ta có moi liên h¾ giua ánh xa accretive và giá co như sau.
Bo đe 1.1.1. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là m®t ánh xa. Khi đó,
(i) T là ánh xa accretive khi và chs khi I − T là ánh xa giá co;
(ii) T là ánh xa accretive manh khi và chs khi I − T là ánh xa giá co
manh, ó đây I là ánh xa đơn v% trong X.
1.2
1.2.1

Bài toán điem bat đ®ng
Bài toán điem bat đ®ng

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Phan tú x ∈ D(T ) trong không gian Banach X
đưoc goi là m®t điem bat đ®ng cna ánh xa T neu x = T x.
Ký hi¾u t¾p các điem bat đ®ng cna ánh xa T là F ix(T ). Chú ý
rang t¾p điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn T trong không gian
Banach loi ch¾t X neu khác rong là m®t t¾p loi và đóng. Bài toán


điem bat đ®ng đưoc phát bieu như sau: Cho K là m®t t¾p con loi
cna không


gian Banach X, T : K → K là m®t ánh xa.

Hãy tìm phan tú x∗ ∈ K sao cho T x∗ = x∗.

(1.14)

Vi¾c tìm nghi¾m cna bài toán điem bat đ®ng (1.14) tương đương
vói vi¾c giái phương trình ánh xa
Tx − x = 0.

(1.15)

Năm 1974, Deimling [2] đã chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng cho
ánh xa liên tuc giá co ch¾t (giá co manh) trong không gian Banach.
Đ%nh lý 1.2.1. Giá sú X là m®t không gian Banach, K là m®t t¾p
con loi đóng khác rong cúa X và T : K → K là m®t ánh xa giá
co ch¾t (manh). Khi đó T có duy nhat điem bat đ®ng trong K.
1.2.2

M®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng

Trong muc này chúng ta nhac lai m®t so phương pháp xap xí điem bat
đ®ng co đien, đó là phương pháp l¾p Mann, phương pháp l¾p
Ishikawa.
Đ%nh lý 1.2.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đay đú và T : X →
X là ánh xa co. Khi đó T có duy nhat điem bat đ®ng q trong X và vói
moi x0 ∈ X, dãy l¾p {T n x0 } (dãy l¾p {xn} đưoc đ%nh nghĩa bói
xn+1 = T xn ,

vói n ≥ 0) h®i tn tói q.

Năm 1953, Mann [4] đã đưa ra m®t dãy l¾p h®i tu manh đen điem

bat đ®ng cna ánh xa T .
Đ%nh lý 1.2.3. Cho T là m®t ánh xa liên tnc tù t¾p compact [a, b]
vào chính nó. Khi đó dãy {xn} trong [a, b] đưoc xác đ%nh bói:
n

x
0 ∈ [a; b] ,xn+1 = T xn , xn =
.

xk

,

n ≥ 0.

(1.16)

h®i tn tói m®t điem bat đ®ng
cúa T .


k

k=1


Hau het các nghiên cúu ve phương pháp l¾p Mann vói dãy {xn}
đưoc xác đ%nh bói:

x0 ∈ K,

(1.17)

xn+1 = (1 − αn) xn + αn T xn , n
≥ 0,
trong đó K là m®t t¾p loi đóng cna X và {αn} là dãy thnc thóa mãn:
(1) α0 = 1,
(2) 0 < αn < 1, n ≥ 1,
.∞
n=
(3)
αn = ∞.
0

Ngưòi ta goi (1.16) là dãy l¾p Mann tong quát và (1.17) là dãy l¾p
Mann.
Năm 1974, Ishikawa [3] đã nghiên cúu m®t suy r®ng cna dãy l¾p
Mann, và đưoc goi là dãy l¾p Ishikawa:
Đ%nh lý 1.2.4. Cho K là t¾p con compact loi cúa không gian Hilbert
H và T : K → K là ánh xa giá co, liên tnc Lipschitz. Khi đó, dãy l¾p
{xn} trong K xác đ%nh bói:

 x0 ∈ C,

yn = (1 − βn) xn + βn T xn , n
(1.18)
≥ 0,


xn+1 = (1 − αn) xn + αn T yn , n ≥ 0
h®i tn manh tói điem bat đ®ng cúa T , trong đó {αn} và {βn} là

dãy thnc trong [0, 1] thóa mãn:
(1) 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1, n ≥ 1,
(2) lim
n→∞ βn = 0,
.∞
(3) n= αnβn = ∞.
1

Bo đe sau đây đưoc sú dung trong các chúng minh cna các đ%nh lý
h®i tu manh trong toàn b® Chương 2.


Bo đe 1.2.1. Cho {an}, {bn} và {cn} là dãy các so thnc không âm
thóa mãn đieu ki¾n:
an+1 ≤ (1 − tn)an + bn + cn, n ≥ n0,
trong đó n0 là so nguyên dương và {tn} là dãy trong [0; 1] sao
cho
.∞

n

n=1 t

= ∞,
bn

=
)
o(tn và

.∞

n
n=1 c

< ∞. Khi đó an → 0 khi
n

→ ∞.

Vi¾c nghiên cúu sn h®i tu manh cna dãy l¾p Mann và dãy l¾p
Ishikawa vói ánh xa giá co manh đưoc trình bày chi tiet trong Chương
2.


Chương 2

Phương pháp l¾p tìm điem bat
đ®ng cúa ánh xa giá co manh
Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so phương pháp l¾p tìm
điem bat đ®ng cna ánh xa giá co manh trong khơng gian Banach, trên
cơ só các dãy l¾p kieu Mann và Ishikawa. Các ket q và phan chúng
minh trong chương này đưoc t¾p hop tù tài li¾u [1].
2.1

Xap xí điem bat đ®ng vái dãy l¾p chính xác

Cho L ≥ 1 và t > 1 tương úng là hang so Lipschitz và hang so
giá co manh cna ánh xa T : K → K, ó đây K là m®t t¾p con loi
đóng

1
. Cho r là hang
t

khác rong cna khơng gian Banach X. Đ¾t k = 1
−
so tùy ý nhưng co đ%nh trong khống (0, k2). Sn h®i tu manh cna dãy
l¾p Ishikawa đen điem bat đ®ng cna ánh xa T đưoc trình bày trong
đ%nh lý sau đây.
Đ%nh lý 2.1.1. Cho X là khơng gian Banach thnc bat kỳ và K là t¾p
con loi đóng khác rong cúa X. Cho T : K → K là ánh xa liên tnc
Lipschitz và giá co manh. Giá sú {αn} và {βn} là dãy so thnc
trong [0, 1] thóa mãn các đieu ki¾n sau:
k(1 − k)
20

Số hóa bởi trung
tâm học liệu


u.vn/


i) βn
≤

, n ≥ 0.
L(1 + L)

21

Số hóa bởi trung
tâm học liệu

u.vn/


Chương 2. Phương pháp l¾p tìm đi›m bat đ®ng cúa ánh xa giá co manh

ii) αn ≤
iii)

.∞
n=
0

k2 − r

L(1 + L2)
αn = ∞.

, n ≥ 0.

Khi đó dãy l¾p Ishikawa {xn} đưoc đ%nh nghĩa bói


 x0 ∈ K




 yn = (1 − βn)xn + βn T xn , n ≥ 0

 xn+1 = (1 − αn)xn + αn T yn , n
≥ 0.

(2.1)

h®i tn manh đen điem bat đ®ng duy nhat cúa ánh xa T.
ChNng minh. Vì T : K → K là ánh xa Lipschitz và giá co manh nên
theo Đ%nh lý 1.2.1 ta suy ra T có duy nhat điem bat đ®ng trong K.
Ký hi¾u điem bat đ®ng cna T là x∗. Nh¾n xét rang:
xn+1 − x∗ =(1 − αn)(xn − x∗) + αn (T xn+1 − T x∗ )
(2.2)
− α(T x
− T y ).
n+1

Đ¾t

n

Kn = L(1 + L2)αn + L(1 +
L)βn.

Khi đó sú dung (2.1) ta có
||T xn+1 − T yn || ≤ L||xn+1 − yn|| ≤ Kn||xn − x∗||. (2.3)
Tác đ®ng j(xn+1 − x∗) ∈ J (xn+1 − x∗) trong đang thúc (2.2) ta
nh¾n đưoc
∗

||xn+1 − x∗
||
≤(1
−
α
)(x
−
,
j(x
−
x
))
n
n
n+1
2

x∗

+ αn (T xn+1 − x∗, j(xn+1 −

+ αn (T xn+

x∗))

T x∗ , j(xn+

− αn (T xn+1 − T yn , j(xn+1 −

x∗))

x∗))

+ αn||T xn+

≤(1 − αn)||xn − x∗||.||xn+1 − x∗||

T yn||.||xn+1


Chương 2. Phương pháp l¾p tìm đi›m bat đ®ng cúa ánh xa giá co manh

(2.4)


Ta thay ton tai j(xn+1 − x∗) ∈ J (xn+1 − x∗) sao cho
(T xn+1 − Tx∗2 , j(xn+1 − x∗ )) ≤ (1 − k)||xn+1 −∗x .

(2.5)

||
Vì v¾y thay the (2.3) và (2.5) trong (2.4) ta đưoc
∗
||xn+1 − x∗
||
≤(1
−
α
)||x
−

||.||x
−
x
||
n
n
n+1
2
2

x∗
+ (1 − k)αn||xn+1 − x∗||

(2.6)

+ Knαn||xn − x∗||.||xn+1 −
x∗||.
Tai đây ta có the giá sú rang ||xn+1 − x∗|| > 0. Tù (2.6) ta suy ra
||xn+1 − x∗|| ≤(1 − αn)||xn − x∗|| + (1 − k)αn||xn+1 − x∗||
(2.7)

+ Knαn||xn −
x∗||.

Tù đieu ki¾n i) và ii) cna đ%nh lý ta có Kn ≤ k − r vói ∀n > 0. Tù
(2.7) ta suy ra
1 − αn + K n α n
∗
||xn+1 − x∗|| ≤
||xn − x ||

−
1 (1 k)α
.
.
n
−
r
≤ 1−
||xn − x∗||
1 − (1 − k)α
n
αn

(2.8)

≤(1 − rαn)||xn − x∗||
∞
.
..

≤exp

−r

||x0 − x∗|| → 0,

αj
j=0

khi n → ∞. V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh xong.

Q

H¾ quá 2.1.1. Cho X, K, T và αn như trong Đ%nh lý 2.1.1 và đ%nh
nghĩa dãy l¾p Mann {xn} như sau:






x0 ∈ K
xn+1 = (1 − αn)xn + αn T xn , n ≥ 0.

Khi đó dãy {xn} h®i tn manh tói điem bat đ®ng duy nhat cúa ánh xa
T.