Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ HÀ

CÁC CẤU TRÚC TỰ DO
VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

HÀ NỘI – 2009
1


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ HÀ

CÁC CẤU TRÚC TỰ DO
VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GVC. VƢƠNG THÔNG

HÀ NỘI - 2009


Lời cảm ơn.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “ Các cấu trúc tự do và
bài toán phân tích ” cùng với sự cố gắng của bản thân, em đã nhận được sự
hướng dẫn,giúp đỡ tận tình của thầy giáo Vương Thông. Đồng thời em cũng
nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô và của các bạn sinh viên trong
khoa toán.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Vương Thông đã giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa toán các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2009
Sinh viên
N guyễn Thị Hà


Lời cam đoan.
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu bên cạnh đó em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô
giáo trong khoa toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vương Thông.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin khẳng định đề tài : “

các cấu trúc tự do và bài toán phân tích ”.không có sự trùng lặp với đề tài của
các tác giả khác.
Sinh viên
Nguyễn Thi Hà.



Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Mục lục

Trang

Lời nói đầu......................................................................................................5
Chương 1.những kiến thức chuẩn bị................................................................6
1.1 phép toán đại số 2-ngôi.............................................................................6
1.2 Nhóm.........................................................................................................6
1.3 Nhóm abel.................................................................................................6
1.4 Nhóm xyclic.............................................................................................. 7
1.5 Cấp của nhóm,cấp của một phần tử...........................................................8
1.6 Nhóm con.................................................................................................. 9
1.7 Định lý Lagrage.........................................................................................9
1.8 Nhóm con sylow........................................................................................10
1.9 Nhóm con chuẩn tắc..................................................................................10
1.10 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp....................................................................10
Chương 2. Các cấu trúc tự do..........................................................................12
2.1 Nhóm tự do................................................................................................12
2.1.1 Định nghĩa..............................................................................................12

2.1.2 Tính chất.................................................................................................12
2.2 Nhóm abel tự do........................................................................................ 17
2.2.1 Định nghĩa..............................................................................................17
2.2.2 Tính chất.................................................................................................18
2.3 Nhóm abel hữu hạn sinh............................................................................22
2.3.1 Định nghĩa..............................................................................................22
2.3.2 Tính chất.................................................................................................22
2.4 Nhóm các đồng cấu nhóm.........................................................................23
2.4.1 Định nghĩa..............................................................................................23
2.4.2 Tính chất.................................................................................................23
2.5 Nhóm giải được.........................................................................................27
5


2.5.1 Chuỗi chuẩn tắc......................................................................................27
2.5.2 Chuỗi hợp thành.....................................................................................27
2.5.3 Định nghĩa nhóm giải được....................................................................27
2.5.4 Tính chất.................................................................................................27
2.6 Mô đun tự do.............................................................................................29
2.6.1 Môđun sinh bởi một tập,tập sinh............................................................29
2.6.2 Tập độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính......................................29
2.6.3 Cơ sở của Môđun....................................................................................29
2.6.4 Định nghĩa và ví dụ môđun tự do...........................................................30
2.6.5 Các điều kiện tương đương.....................................................................30
Chương 3.Bài toán phân tích...........................................................................32
3.1 Sự phân tích nhóm.....................................................................................32
3.2 Sự phân tích của các nhóm xyclic............................................................33
3.2.1 Sự phân tích của nhóm xyclic vô hạn.....................................................33
3.2.2 Sự phân tích của các nhóm xyclic hữu hạn............................................34
3.3 Sự phân tích nhóm abel.............................................................................36

3.4 Sự phân tích nhóm abel hữu hạn sinh........................................................39
Kết luận..........................................................................................................45
Tài liệu tham khảo...........................................................................................46

7


Lời nói đầu
Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học. Nó
là cơ sở của nhiều nghành toán học khác như: đại số tuyến tính, giải tích,
phương trình đạo hàm riêng…Tuy nhiên để đi sâu nghiên cứu về đại số cần có
những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc đại số.
Đối tượng chủ yếu của cấu trúc đại số là nhóm, vành, trường ,…trong đó
lớp các cấu trúc tự do là một trong những khái niệm quan trọng của đại số hiện
đại. Để nghiên cứu sâu về lớp cấu trúc này ngoài các khái niệm thông thường về
nhóm, nhóm con,…còn có các khái niệm tích trực tiếp, tổng trực tiếp của các
nhóm, sự phân tích của nhóm, nhóm abel, nhóm abel hữu hạn sinh,…qua đó sẽ
cho ta một cái nhìn tổng quát hơn về cấu trúc của các lớp cấu trúc tự do.
Vì tất cả những ý nghĩa trên,và nhờ có sự động viên, chỉ bảo, hướng dẫn của thầy
Vương Thông em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ các cấu trúc tự do và bài toán
phân tích ”.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn đại số
và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Các cấu trúc tự do.
Chương 3 : bài toán phân tích.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do điều kiện về thời gian và kinh
nghiệm nghiên cứu của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của em không
thể tránh khỏi những thiếu sót.vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý

kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2009


Chƣơng1. Những kiến thức chuẩn bị.
1.1 Phép toán đại số 2 -ngôi.
Định nghĩa1.
cho X là một tập hợp khác rỗng. Ta gọi là phép toán đại số 2-ngôi xác
định trên X là một ánh xạ f : X × X → X

(x, y) f (x, y)
1.2

= x∗ y

Nhóm.
Định nghĩa.
Cho X là một tập khác rỗng tùy ý . Trên X ta xác định một phép toán đại
số 2-ngôi kí hiệu ( ∗ ). X là một nhóm khi và chỉ khi:
- phép toán ( ∗ ) có tính chất kết hợp
tức là
- ∀x

(x ∗ y ) ∗ z

sao cho ex = xe = x

∈ X , ∃e
∈ X

- ∀x
∈ X , ∃x
∈ X

x ∗( y ∗ z) =

'

sao cho xx' = x' x = e

Đối với phép toán cộng phần tử e được gọi là phần tử trung lập(trung hòa)
Phần tử

x được gọi là phần tử đối xứng.
'

Đối với phép toán nhân phần tử e được gọi là phần tử đơn vị.
Phần tử

x được gọi là phần tử nghịch đảo.
'

- Nếu không có gì nhầm lẫn thì phép toán 2-ngôi trong một nhóm tùy ý
thường được kí hiệu theo lối nhân “ . ”
1.3

Nhóm abel
Định nghĩa.
Nhóm (G, . ) được gọi là giao hoán (hay nhóm abel ) nếu

Hệ quả 1.


Một nửa nhóm X là nhóm khi và chỉ khi:
- ∃e ∈ X sao cho ex = x
, ∀x
∈ X

- ∀x
∈ X , ∃x
∈ X

Hệ quả 2 .

'

sao cho x ' x = e

xy = yx,∀x, y
∈G


Một nửa nhóm X là nhóm khi và chỉ khi phương trình và ya = b có
ax = b

Cho

nghiệm trong X, ∀a,b ∈ X .
1.4

(G, .) là

Nhóm xyclic.

một

1.4.1 Định nghĩa.

nhóm. G
được gọi
là nhóm
xyclic khi
và chỉ khi
mọi phần
tử của nó
đều là lũy
thừa của 1
phần tử a
∈ G

.khi đó ta
gọi a là
phần tử
sinh của
nhóm
xyclic G.
Kí hiệu G =
<a>.
Theo

định

11


nghĩa nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thể được viết
dưới
dạng G = {an l n∈ Z }
Nếu phép toán 2-ngôi trong x là phép toán ( + ) thì G
={na l n∈ Z }
1.4.2 Phân loại nhóm xy clic .
Nếu

với mọi cặp số nguyên khác nhau n,m thì khi đó
cấp của

n

a
≠
m
a

nhóm xyclic là vô hạn ta có nhóm xyclic vô hạn.
Nếu tồn tại 2 số
nguyên n ≠ m

sao
cho

n

n
− m
> 0

hơn
nữa

a

n −m

n

= a .a

−m

−n

m

a = a ⇒ a
−m
= a , nên có thể giả

sử rằng
m

= a a

−m

= e . Vậy luôn

tồn tại 1 số tự nhiên

r> 0

bé

nhất sao r
a = e.
cho
Ta sẽ đi chứng
minh G

=

{a

0

1

2

= e, a , a ,..., a

r −1

}

Thật vậy nếu tồn tại 2 số i < j, o ≤ i, j ≤ r −1 sao cho
i,j giả sử
i

j

a = a ⇒ a

i− j

= e

điều này trái với tính bé nhất của r
vì j − i < r . Vậy

i

a ≠ a

j

Giả ak với k là số nguyên nào k = nr
ta có
sử ∈ đó thì
+ m.0 ≤ m
< r

G
k

a = a

nr +m

=

(a )n .a
r

m

= a

m

Vậy trong trường hợp này ta chứng minh được G là nhóm hữu hạn
có cấp là số
12

b r
a = e
é
n
h
ất
r

c
ó
tí
n
h
c
h
ất
B
ổ
đ
ề
.


Cho X a ,Y blà 2 nhóm xyclic cùng cấp.
Khi đó ánh xạ f : X
→
m

Xa 
b

m

Là một đẳng cấu nhóm.
Chứng minh.
+) ∀x, y ∈ X , x = am , y = an , m.n ∈ Ζ
Ta có

f

( xy ) =

f (a a
m

n

) = f (a ) =
m +n

b

m +n

m

n

= b .b = f

( x). f ( y )

⇒ f là một đồng cấu nhóm.

+) f là đơn cấu
Thật vậy: ∀x, y ∈ X , mà f(x) = x = am , y = an ⇔ bm = bn
m −n
⇔b

= e
f( y) với
Y
Mà giả sử X và Y cùng cấp k nên ( m − n)k ⇔ m − n = ks
⇔ m = n + ks

Vậy

m

a
n
= a .a

ks

n
= a

(a

= a

k

n

) ( e )s

= ⇒ x= y.

n
a

s

X

+) f là toàn cấu.
∀y
m
∈Y = ⇒ y = b m
⇒ ∃x = a
b
∈ a = X

Nhận
xét:

sao cho f ( x ) = y . 

- Các nhóm xyclic cấp vô hạn sẽ đẳng cấu với Z.
- Các nhóm xyclic cấp n hữu hạn sẽ đẳng cấu với nhóm

1.5 Cấp của nhóm, cấp của 1 phần tử.
Định nghĩa1.

Ζn .


Cho G là 1 nhóm với phép toán (.). Cấp của nhóm G là số phần tử của

nhóm G.
Định nghĩa 2.
Cấp của phần tử a
∈ G

là cấp của nhóm <a>.

Chú ý:
Cấp của phần tử a là n nếu n là số nguyên dương bé nhất để
Khi đó

a =

{a

0

1

2

= e, a , a ,..., a

n−1

}

Nếu không tồn tại số nguyên khác không nào để an = e

n

a = e


thì ta nói cấp của a là ∞ .
Mệnh Đề.
Nếu G =
a

thì ta nói cấp của a xác đinh G chính xác tới một đẳng cấu tức là.

nếu a = ∞ thì G ≅ Z
nếu a = n hữu hạn thì G ≅ Ζn
1.6 Nhóm con.
Định nghĩa 1. ( bộ phận ổn định )
Cho (G, .) là một nhóm. A ⊂ G . A gọi là bộ phận ổn định của G
nếu
∀x, y thì xy ∈ A .
∈ A

Định nghĩa 2.
Một bộ phận ổn định A của nhóm G là nhóm con của nhóm G nếu A cùng
với phép toán cảm sinh lập thành 1 nhóm.
Mệnh đề:
Một tập hợp con A là nhóm con của 1 nhóm G ⇔ A ≠ ∅ và
−1

xy ∈ A, ∀x, y ∈ A .

Định nghĩa 3.

Các bộ phận xA

={xa / a ∈ A} gọi là các lớp ghép trái của nhóm

con A
trong G tương tự Ax = {ax / a ∈ A} gọi là các lớp ghép phải của nhóm con
A trong
G.
1.7 Định lý Lagrage .
Cho (G, .) là nhóm hữu hạn cấp của mọi nhóm con A của G là ước cấp
của nhóm G.
Hệ quả :
+) Cấp của mỗi phần tử trong 1 nhóm hữu hạn là ước cấp của nhóm đó.


G là nhóm hữu hạn cấp n và a là 1 phần tử của G thì

a = e.
n

+) Mọi nhóm có cấp là số nguyên tố là nhóm xyclic sinh bởi 1 phần tử
khác phần tử đơn vị của nhóm đó.


+) Cho a là số tự nhiên không chia hết cho 1 số nguyên tố p thì
ap

−1

≡ 1(mod p ) .

1.8 Nhóm con sylow.
Định nghĩa.
- cho p là một số nguyên tố , nhóm H được gọi là p-nhóm nếu cấp của H là
1 lũy thừa của p tức là

H= p

n

- Cho G là nhóm, nhóm H được gọi là một p-nhóm con của G nếu H vừa là
một nhóm con của G vừa là một p-nhóm
- Nhóm H được gọi là một p-nhóm con sylow của G nếu H vừa là một pnhóm con của G và

H = p là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp cuẩ
n

G.
Ví
dụ:

Ζ8 là một p-nhóm vì cấp
của Ζ8

3

là 8 = 2 , 2 là số nguyên tố.

1.9 Nhóm con chuẩn tắc .
Định nghĩa 1:

Một nhóm con H của nhóm (G, .) được gọi là 1 nhóm con chuẩn tắc
của nhóm G nếu các lớp ghép trái của H trong G trùng với các lớp ghép
phải của H trong G tức là: xH = Hx, ∀x ∈G
Theo định nghĩa trên thì khi nói đến các lớp ghép của 1 nhóm con chuẩn
tắc ta không cần phân biệt các lớp ghép trái hay phải.
Ví dụ .
-Với mọi nhóm G luôn có 2 nhóm con chuẩn tắc tầm thường là G và nhóm
{e}.
- Với G là một nhóm abel thì mọi nhóm con của nó đều là nhóm con
chuẩn tắc.
1.10 tích trực tiếp, tổng trƣc tiếp của các nhóm.
1.9.1 Định nghĩa ( tích trực tiếp).


Cho 2 nhóm A ,B. trên tập tích đề các P = A × B ta xác định phép toán sau:

( a,b )( c, d ) = (ac,bd ) . Khi đó P là một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B.


Có 2 đơn cấu iA : A

→
A× B

và iB : B → A× B
b  (eA , b )

a  (a, eB

Gọi là các phép nhúng tự nhiên.

)

Có 2 pA :
toàn A
cấu ×

và

pB : A× B
→ B

(a, b)  b

B
→
A

(
a
,
b

)

a

Là các phép chiếu tự nhiên.
Do iA Và iB là các phép nhúng
nên đồng nhất A với i(A) , b với i(B)

do đó coi A, B là các nhóm con
chuẩn tắc của P.
Nhận xét:
Ta có thể mở rộng khái niệm tích
trực tiếp cho 1 họ bất kì các
nhóm.
Cho
họ
các
nhóm
.P
kí
X
tích đề các
hiệu
của
chúng
{X i }
=
i là
i∈I

P = X1 × X 2
×...× X i , (i ∈ I ) .

Xác định phép toán

( xi )

∏

i∈I

.( yi )


= ( xi
yi )

Khi đó
P là
nhóm.

thườ
ng kí
hiệu
là

i
i
i

X1 ta có
⊕

các
X ánh xạ
sau:l
2

k ∈

hầu hết
í =
} ta có
h {i P
WP.
i (∈
I
W gọi là
ệ xix tích trực
u ) =tiếp yếu

⊕
.
.
.
⊕

We

X

i

n

c
=
. Nếu I là i
ủ
hữu hạn thì∈ ⊕

a
W = P.
h
ọ

Xi

{

i
∈

v
ớ
i

X
i

I

}
1.10.2 Định
nghĩa tổng
trực tiếp

x

Ta gọi
tích

trực
tiếp
yếu là
tổng
trực
tiếp
của
các i
nhóm,

j x nếu k
: = i
X=
→
x
P

:

i
: k
→
i
x∈xk = ei
x
i

iI

(

)

p

nếu

i
≠

k

(i  x
∈
I

i

x
i

)
Là các đơn cấu, toàn cấu gọi là phép
nhúng, phép chiếu thứ i


Chƣơng2: Các cấu trúc tự do.
2.1 Nhóm tự do
2.1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập tuỳ ý, ta gọi là nhóm tự do xác định trên X là cặp (F,
f) trong đó S là một nhóm , f: S → F là ánh xạ sao cho với mọi ánh

xạ
g: S → X , X là nhóm thì tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm h: F
→ X sao cho hf = g, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

f
S

F
g

∃ !h

X
2.1.2 Tính chất
Định lí 2.1.
Nếu (F, f) là nhóm tự do xác định trên tập S thì ánh xạ f là đơn ánh và
f(S) sinh ra nhóm F.
Chứng minh:
*) f là đơn ánh:
Thật vậy ∀a, b ∈ chọn X là nhóm có nhiều hơn một phần tử . Chọn
S, a ≠ b
g : S → X sao cho g(a) ≠ g(b)
theo định nghĩa nhóm tự do thì ∃ ! đồng cấu h: F → X sao cho hf =
g
⇒ hf(a) = h[f(a)] = g(a) ≠ g(b) =hf(b) = h[f(b)]


⇒ f(a) ≠ f(b) vì h là ánh xạ. vậy f là đơn ánh.

Giả sử A

F và A = < f(S) >, ánh xạ f sinh ra phép

nhúng g : S → A


a  g(a)
iA : A → F, rõ ràng iAg =f. theo định nghĩa ∃ ! h: F → A sao
cho hf = g,
*) Cần chứng minh h là toàn ánh:
ta xét sơ đồ sau:
S

f

F

g

∃ !h

K

= iA h A
iA

F

Ta có 1F cũng thoả mãn 1Ff = f.
Ta có K cũng thoả mãn: Kf = (iAh)f= iA(hf) = iAg = f ( Do(F,f) là nhóm tự do )

⇒ 1F = K

Mà 1F là toàn ánh ⇒ K là toàn ánh
toàn ánh ⇒
A=F

⇒

iA là

⇒ F = <f(S)>. Tức là f(S) là tập sinh của nhóm F.

Định lý 2.2

( ∃ ! Nhóm tự do )
’

’

Giả sử (F, f) và (F , f ) là các nhóm tự do cùng xác định trên tập S.
’

’

khi đó tồn tại đẳng cấu j : F → F sao cho jf = f và tồn tại đẳng cấu
’

’

k: F → F sao cho kf = f tức là 2 sơ đồ tam giác sau giao hoán

S

f
f

F

’

j
’

F’

S

f

’

f

F
k

F

’

Chứng minh:
Do (F, f) là nhóm tự do xác định trên S nên ∃ ! đồng cấu nhóm


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
’
’
J: F → F sao cho jf = f tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

S

f

F

’

f

j

F’
’

’

Do (F , f ) là nhóm tự do xác định trên tập S nên ∃ ! đồng
’

'

cấu nhóm K: F → F sao cho: kf = f tức là biểu đồ
sau giao hoán
f’
S

F
f

’

k
F

Xét sơ đồ sau:

f

’

S

F
f’
f

F’
k

∃!

kj F
Coi (F, f) trong sơ đồ trên như cặp (X, g) trong định nghĩa
’

Theo trên ta có kjf = k(jf) = kf = f = 1Ff
Do (F, f) là nhóm tự do nên ∃ ! đồng cấu từ F → F để tam giác
ngoài cùng giao hoán
⇒ kj = 1

’

F

⇒ j là đơn cấu

Tương tự ta xét sơ đồ sau:

S

f
f F

F

'

k

’