Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt
nghiệp

Mục lục

Trang

Lời nói đầu………………………………………………………………………..2
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản liên quan……………………………………3
A. Khái niệm và các tính chất cơ bản…………………………………...…3
I. Các khái niệm …………………………………………………….3
2

3

II. Một số tính chất trong E và E ………………………………….4
B. Một số công thức cơ bản trong tọa độ Đêcác vuông góc……………….6
2

I. Xét trong E ……………………………………………………...6
3

II. Xét trong E ………………………………………………………8
Chương 2: Một số ứng dụng giải bài tóan bằng phương pháp tọa độ…………14
Bài 1: Phương pháp tọa độ………………………………………………..14
Bài 2: Lớp các bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ…………….15
I: Lớp bài toán tính góc và khoảng cách…………………………..15
II: Lớp các bài toán chứng minh tính vuông góc………………….24

III: Lớp các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng………..30
IV: Lớp bài tóan tìm quỹ tích……………………………………...38
V: Lớp bài toán định tính chứng minh mối liên hệ đại số…………46
VI: Lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số……………52
Kết luận: ………………………………………………………………………...59
Tài liệu tham khảo:………………………………………………………………60

Hoàng Thị Ngọc Anh

1

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Hoàng Thị Ngọc Anh

Khóa luận tốt
nghiệp

2

K29A Toán


lời nói đầu
Hình học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính lôgic và tính trừu
tượng hóa cao. Vì vậy hình học là một môn học khó đối với học sinh. Với mỗi bài

tập hình học có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng
hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ…
Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh một kiến thức mới
cách nhìn mới về toán học hiện đại. Giúp cho các em thấy được mối tương quan
1 -1 giữa đại số và hình học, nhằm phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi
đứng trước một bài toán, hình thành cho mình hướng tư duy đúng đắn, phù hợp.
Để góp phần đạt được mục tiêu đó luận văn đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp,
một số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh
họa, bước đầu giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của những ứng dụng của
tọa độ trong giải toán. Coi đây là một công cụ mới rất hiệu quả.
Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình
của thầy Bùi Văn Bình em đã chọn đề tài: Phương pháp tọa độ và các ứng dụng
làm khoá luận tốt nghiệp của mình. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các
thầy cô giáo trong tổ hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình
nghiên cứu, đặc biệt em xin chân trọng cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã trực tiếp
giảng dạy, giúp đỡ, hứơng dẫn em trong quá trình thực hiện đề tài này. Tuy có
nhiều cố gắng song do năng lực của bản thân cũng như điều kiện về tài liệu và
thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót. Em
hy vọng sẽ nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 19 tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Hoàng Thị Ngọc Anh


Chương I: một số kiến thức cơ bản liên quan
A. khái niệm và các tính chất cơ bản

I. Các khái niệm.
1. Định nghĩa hệ tọa độ .

uur uur uur

Trong không gian Eukleides n chiều En (n 1)
gọi
cơ sở trực chuẩn của

uu
ur


e

...,en là một
,e
1 2

ur uur



, nghĩa là e .e  , và O là điểm cho trước
i j
ij
trong đó:

E
n

0


i, j 

khi i j
khi i = j

1

uur uur uur

thì tập hợp 0, hay 1 2 ,...,en

0,e ,e

được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa

độ Đêcác vuông góc.
2.Tọa độ của
véctơ.



uur uur uur

Trong không gian Eukleides n chiều En với hệ tọa độ 0,e ,e
1 2 ,...,en
r

vectơ v . Khi đó, luôn tồn tại duy nhất bộ số (x1,…,xn) sao cho:
r

ur

uur

uur

 , cho
r

v x1e1 x2e2  . Bộ số (x1, x2, ...,xn) được gọi là toạ độ của vectơ v đối
...xn en
với hệ tọa độ đã cho.
r

Kí hiêụ: v (x ,..., x ).
1
n


3. Tọa độ của điểm .


Trong không gian Eukleides n chiều En với hệ tọa độ
điểm M bất kì. Tọa độ của vectơ
OM
tọa độ đó.

uuuur

uur uur uur

0,e1,e2,...,encho

được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ

uuuur

Như vậy, nếu OM (x1 , x2 , … , xn) tức là:

uuuur

OM =

ur

uur
uur

thì bộ số (x1 , x2 , … , xn ) được gọi là tọa độ

x1e1 x2 e2
...  xn en

của điểm M.
Kí hiệu:

M (x1 , x2 , … , xn ) .
2

3

II. Một số tính chất trong E và E .
2

1. Xét trong E .

ur

Cho hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Khi đó nếu có 2 vectơ u(x ; y ) ,
1 1
r x y
và số k R thì ta có:
;  )
2
1
2
v( ; )
ur r
2 2

u v
( 
1





Khi đó :

ur

u 

ur
x x y y
k.u ( kx ; ky )
1
1

ur r
u.v
 y .y
x .x
1 2 1 2
ur 2
2
2
u xy
1
1


x 2 y 2
11
ur r

cos ( u,v )
=



ur r

r
x .x  y .
ur r
y
1 2 1 2
( u,v khác 0 )
x 2 y 2 . x 2  y 2
11
2
2

ur r


u v 
u.v 0 x .x y .y
1 2 1 2

0

Cho 2 điểm M( x1, y1) và N ( x2 , y2).




y ) .

x
2;
2
x
1
1
y

uuuur
Khi đó, tọa độ của vectơ MN
(

2. Xét trong
3
ur
r
E.
Cho hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz, cho 2 vectơ u(x , y , ),v(x , y , z )
z
1 1 1
2 2 2
và số k R . Khi đó ur r
ta có:

u
v
(
1
x





;
;  )

x2 y1 y2 z1 z 2

ur

k.u (kx ;ky ;kz )
1 1 1
ur r
u.v
 y .  z .z
x .x
y
1 2 1 2 1 2
uur
2 x 2 y 2 z 2
u
1
1
1

ur

Khi đó : u  x 2 y 2  z 2
111
ur r



cos ( u,v )
=

r
x .x  y .  z .
ur r
y
z
1 2 1 2 1 2
( u,v khác 0 )
x 2 y 2  z 2. x 2 y 2 z 2
111
2
2
2




Cho 2 điểm M( x1, y1, z1) và N ( x2 , y2, z2).
uuuur 

x



x

 y z z
y
1
1
1

.

Tích có hướng của 2 vectơ.
ur r

ur

y z z x x y 
u,v w  1 1 1 1 1 1
 
y z ; z x ; x y 
 2 2

ur

Vectơ w
này có tính chất.
ur

ur

+, w u

ur

ur

2 2

r

; w
v .

ur r

r

+, w 0  u // ur
ur r v
+, Với
u

2 2

//

ur r

ur r

 u . v .sin(u,v) .

v

w

r

v
ur

ur r
ur

w S(u,v)

ur r

u
ur r

( trong đó S(u,v) là diện tích hình bình hành dựng trên ur r ur


u,v ).


Ba vectơ u,v, đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn hợp tạp của 3
ur r ur
w
ur r ur




vectơ : D( u,v, w ) u,v .w = 0
 
=
B. Một số công thức cơ bản trong tọa độ Đêcác vuông góc.
2

I. Xét trong E .
1. Công thức tí nh khoảng cách .
1.1Khoảng cách giữa 2 điểm.


Trong mặt phẳng cho 2 điểm M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2). Khi đó khoảng
uuuuuuuur

và được tính bởi công thức
cách d giữ 2 điểm M1 và M2 là độ dài vectơ M
M1 2
uuuuuur
sau: d = M M = (x x )2 ( y y)2 .
1 2
21
21
1.2Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .


Trong mặt phẳng khoảng cách từ điểm M1( x1, y1) đến đường
thẳng 

có phương trình : A x + B y + C = 0 .

By C
được tính theo công thức sau: d(M , )Ax
11
1
A2  B2


2. Chia m ột đoạn thẳng theo tỉ số cho trước .
2
Trong E , điểm M (x, y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa:
uuuuuur
uuuuuur , khi đó:
M k
MM
M
.
2
1
 x  kx
2
x  1

1k

y 
Với M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2).
ky

12
 y 

1k

Đặc biệt, nếu k = -1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2 , khi đó tọa
 x x
x  12
2
độ của điểm M được xác định như sau : 
y y .

12
 y 

2
3.Công thức tí nh góc :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho 2 đường thẳng
có phương trình : (d1) :

A1x + B1y + C1 = 0

(d2) :

A2x + B2y + C2 = 0

Gọi là góc giữa 2 đường thẳng d1, d2 .
A A B B
1 21 2
Khi đó ta có :
cos
A 2 B 2 A 2  B 2
1

1
2
2
d d 
A A B B = 0
Hai đường thẳng
1 2 1 2
1
2
4. côsin chỉ phương.
2

Trong E , góc giữa
vectơ

r

v(x,
y)

và chiều dương của các trục Ox, Oy là




x,
y

, khi đó : cosx ,

cosy gọi là các côsin chỉ phương.


x
x2  y 2

cos x
=

y

cos  y = x2  y2 .

;

Ta có:

cos2x cos2 y
1

5. Điều kiện thẳng hàng, đồng phẳng.
Trong

2
E , ba điểm A( x1, y1) ; B( x2, y2) và C (x3 , y3) thẳng hàng nếu
uuur

( điều kiện cần và đủ ) :
AB

hay

uuur

x x y y
 3 1 3
x x y y
2 1
2 1

AC k
x1

y1 1

x2

y2

1

x3

y3

1

= 0

6. Công thức tính diện tí ch tam giác.

Trong

2
E , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1) , B (x2 , y2) và

C (x3 , y3) được cho bởi công thức sau:
1
S
ABC

2

x1

y1 1

x2

y2 1

x3

y3 1

3

II. Xét trong E .
1.Công thức tính khoảng cách. `
1.1. Khoảng cách giữa 2 điểm .

1


Trong không gian, nếu ta cho 2 điểm M1( x1, y1, z1) và M2 (x2 , y2, z2) tương
tự như trong mặt phẳng ta có:


uuuuuuuur

d = M M = (x x )2 ( y2 y )2 (z2 z )2 .
1 2
21
1
1
1.2.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Trong không gian, khoảng cách từ điểm M1( x1, y1 ,z1) đến đường
thẳng 
 x
y y z z
x 0
0  0 được tính theo công thức:
có phương trình :

a
b
uuuuuuuur ur
c
 M M ,u 
d (M , ) 0 ur 1 


.

1
u
ur

Trong đó M0( x0, y0 ,z0)
;
u

ur

là vectơ chỉ phương của
và u

ur

(a, b, c) ;

ur

u là độ dài của vectơ u .
uuuuuuuur
uuuuuuuur
ur
ur
M
,u
:
là

tích
có
hướng
của
vectơ
M
và
vectơ
u
.
M 0  M
1 

0 1
uuuuuuuur
urM
,

: là diện tích hình bình hành có cạnh là
M 0 u

1 
y y z z
10
10
b
c
Ta có : d (M , ) =

2

uuuuuuuur

ur

M M và u .
0 1

2
2
x xy  y
z z x x
10
10 10

 10
a b
c
a
a2 b2 c2


1.3Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ một điểm M0( x0, y0 ,z0) đến mặt phẳng () có
phương trình Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức :
Ax By Cz D
0
0
0
d(M , ( ) 

0
A2 B2  C2


1.4Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian muốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
a và b ta có các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Nếu biết độ dài đoạn vuông góc chung AB của
2 đường thẳng chéo nhau AB = d(a,b).
Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng a và
( ) // b. Bước 2: Lấy một điểm M trên b và tính khoảng cách từ M
tới ( )
d ( a, b) = d(M, ( ) ).
Phương pháp 3: ta thực hiện theo các bước:
uur

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng ``a và một điểm
1
M1 ( a1 , b1 , c1 ) a .

uur

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng b và một điểm
2
M2 ( a2 , b2 , c2 ) b .
Bước 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được tính theo
công thức :
uur uur uuur
u ,u  .BA

12 
d (a,b) =
uur uur 
u ,u
12 

2. Chia 1 đoạn thẳng theo 1 tỉ số cho trước .



3
Trong E , điểm M (x, y, z) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa
 x kx
2
x  1

1k

uuuuuur
y ky
uuuuuur
M k

MM
M
.
1

khi


y  1 2


Với
M

;(x , y , z )
1 1 1 1

2

M (x , y , z ) .
2 2 2 2

1k

 z 
kz
2
z  1
1k



Khi k = -1 thì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2. Khi đó tọa độ
điểm M là :

 x x
x  1 2

2
 y y

1 2
y
 
2

 z z
z  1 2


2

3. Công thức tính
góc
 Trong không gian

3
E , cho 2 đường thẳng d1 , d2 lần lượt có các vectơ
a b (a
; uuur ,b ,c )
c
u
1 1 1
2
2 2 2

uur

Gọi là góc giữa 2 đường thẳng d1 , d2 . Ta có :
uur uur

u .u

uu1 2
ruur 
cos 

u1 . u a
2

a a b b c c
12 12 12
2
2
2
2
2
2
b  c .
bc
a


1

1

1

2

2

2

 Trong không gian, với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz, cho đường thẳng
ur

d có vectơ chỉ phương a
, a và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
(a , )
a
1 2 3
ur

n(A, B,C)
.


thức

Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo
công
Aa Ba  Ca
1
2
3
sin

A2 B2 C2a 2 a 2 a 2
1
2
3
Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P) A : B : C = a1 : a2 :
a3 .



Trong không gian, với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho các mặt
uur

(A , B ,C ) ,
phẳng
,
n
1 1 1
( 1 ) ( 2
1 phẳng đó được tính theo
uur A)B
thì số đo của góc giữa 2 mặt
C
công
n
2 ( 2, 2, 2 )
thức.
AA
C C
B B
lần lượt có các vectơ pháp tuyến

1 2 1 2 1 2
cos
A 2=B 2 C 2 A 2  2 C 2
B
1
1
1
2
2
2
4. Côsin chỉ phương.
r

Trong E3 , góc giữa vectơ v (x, y, z) và chiều dương của các trục Ox, Oy,
Oz là x ,  . Khi đó cos  ,cos  ,cos  gọi là các côsin chỉ
x
y
z
y , z
phương. Ta
có:
cos x
=

x
x2 y2 z2

cosz =

;

y
cos y = x2 y2 z2 .

z
x2 y2 z2


Rõ ràng:

cos2x cos2 y cos2  z 1.

5. Điều kiện thẳng hàng, đồng phẳng .


 Trong

3
E , điều kiện cần và đủ để 3 điểm A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2 ,z2) và
uuur

uuur

C (x3 , y3 , z3) thẳng hàng là AC k.AB
x x y

y
x  y y
2 1

x
y1



y2
y3

z1 1

z 
1
z
z 1
2
z1z x1 1
=

z2 1
z3

x2 1
z2

1

x3 1

=

x1

y1 1

x2

y2 1

x3

y3 1

=

0

z3

 Trong
C (x3 , y3,z3)

3
E , cho 4 điểm A, B , C , D với A( x1, y1,z1) , B (x2 , y2,z2)
, D (x4 , y4,z4) .
Điều kiện cần và đủ để 4 điểm đó đồng phẳng là :

x1

y1 z1

1

x2

y2

z2

1

x3

y3 z3

1

x4

y4 z4

1

=

0

uuur uuur uuur
AB, AC .AD =



0



6. Công thức tính diện tích tam gi ác , thể tích tứ diện.
 Trong

3
E , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1,z1) ,

B (x2 , y2, z2) , C (x3 , y3, z3) được tính theo công thức :

S

ABC


uuur uuur

 AB, AC 

12 



y y z z 2 z z x x 2 x x y y 2
21 21
21 21
21 21

1
= 2 y y z z  z z x x  x x y y
31 31
31 31
31 31
 Trong

3
E thể tích tứ diện có các đỉnh A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2, z2) ,


C (x3 , y3, z3) ,
V

ABC
D

D (x4 , y4, z4) được tính theo công thức:
uuur uuur uuur

1

D(OA,OB,OC) 6

=

1
6

x1

y1 z1

1

x2

y2

z2

1

x3 y3 z3

1

y 4 z4

1

x4

Chương II: Một số ứng dụng giải bài toán bằng
phương pháp tọa độ

Bài 1: Phương pháp tọa độ
1.Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ:
Khi bài toán cho có các vấn đề như tính khoảng cách, tính góc, chứng minh
sự vuông góc của 2 đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của 2 mặt

phẳng... hoặc những bài toán quỹ tích, cực trị, chứng minh yếu tố cố định... thì ta
có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán
Nó gồm có 4 bước sau:
Hoàng Thị Ngọc Anh

14

K29A Toán


Hoàng Thị Ngọc Anh

14

K29A Toán