Đa thức nội suy

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài vào nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của thầy
cô giáo và các bạn sinh viên của trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đến nay
khoá luận của em đã được hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Ts. Nguyễn Văn Hùng
đã giúp đỡ và hướng dẫn em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành
khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện
cho em có cơ hội để tập được với việc nghiên cứu khoa học. Đồng thời em
cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải
tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, sự động viên giúp đỡ đóng góp ý kiến
của bạn bè đã dành cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt
nghiệp.
Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và
kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiết sót. Em
rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận
của em được hoàn thành.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Phạm Thị Quỳnh Nga

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận Đa thức nội suy là kết quả nghiên cứu và bản thân không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Phạm Thị Quỳnh Nga

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN.........................................................................................
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................
MỞ ĐẦU.................................................................................... 1
1.1. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE..........................................................2
1.1.1. ội suy.........................................................................................................2
1.1.2. ội suy Lagrange với mốc bất kì.............................................................3
1.1.3. ội suy với mốc cách đều.........................................................................4
1.1.4. 5
1.1.5. trình Pascal để tính giá trị của hàm số f  x  tại x bất kì theo đa
thức nội suy Lagrange........................................................................................7
BÀI TẬP VẬN DỤNG......................................................................................9
HƯỚNG DẪN..................................................................................................10
1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY. CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU. 13
1.2.1. số phương pháp......................................................................................13
1.2.2. số tính toán.............................................................................................14
1.2.3. ọn mốc nội suy tối ưu...........................................................................15

BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................17
HƯỚNG DẪN..................................................................................................17
1.3. ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU..................18
1.3.1.hân............................................................................................................18
1.3.2. ội suy Newton tiến, lùi..........................................................................21
1.3.3. ội suy Gauss " tiến, lùi " và " lùi, tiến "..............................................23
1.3.4. 25
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................29
HƯỚNG DẪN..................................................................................................30
1.4. ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU.
................................................................................................................. 33
1.4.1. Tỷ sai phân.............................................................................................33
1.4.2. ội suy Newton với mốc không cách đều............................................36
1.4.3. trên máy tính..........................................................................................38
1.4.4. toán nội suy ngược................................................................................39
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................41
HƯỚNG DẪN..................................................................................................41
CHƯƠNG 2: MỞ RỘNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY................... 43
2.1. ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE.........................................................43
2.1.1. toán..........................................................................................................43
2.1.2. ội suy Hermitte.......................................................................................43
2.2. NỘI SUY BẰNG HÀM GHÉP TRƠN( SPLINE ĐA THỨC)..........44
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................47


GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

HƯỚNG DẪN..................................................................................................48

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY.................50
3.1. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM...............................................................50
3.1.1. đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy Lagrange.
50
3.1.2. đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy với mốc
cách đều.............................................................................................................51
3.1.3. đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng hàm nội suy Spline bậc
ba. 53
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................55
HƯỚNG DẪN..................................................................................................55
3.2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN............................................................57
3.2.1. ng thức hình thang.................................................................................57
3.2.2. ng thức Simpson.....................................................................................58
3.2.3. ng thức Newton – cotes.........................................................................60
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................62
HƯỚNG DẪN..................................................................................................62
KẾT LUẬN............................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................


GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, Toán học

tin học, là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu. Từ những năm 50 trở lại đây, nhất là từ những năm

80, Giải tích số đặc biệt phát triển cùng với sự phát triển của Tin học. Ngày nay, với sự xuất hiện của các siêu máy tính khả năng song song hoá các quá trình tính toán được rộng mở. Nhiều thuật toán song song đã được đề xuất và áp dụng giải các bài toán thực tế.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công nghệ nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài " Đa thức nội suy".
2.Mục đích nghiên cứu.
Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích số đặc biệt là Đa thức nội suy.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu về đa thức nội suy và các ứng dụng của nó.
4.Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá.
5.Cấu trúc của khoá luận.
Gồm 3 phần Phần 1: Mở đầu.
Phần 2: Nội dung.
Chương 1: Đa thức nội suy.
Chương 2: Mở rộng của đa thức nội suy. Chương 3: Ứng dụng của đa thức nội suy. Phần 3: Kết luận.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

1

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


CHƯƠNG 1: ĐA THỨC NỘI SUY
Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị của hàm số y  f  x  với x bất kì trên đoạn a, b , trong khi chỉ biết các giá trị yi  f  xi  , xi  a, b , i  0, n . Ở một số trường hợp khác, biểu thức giải tích của f  x  là đã biết nhưng quá phức tạp. Với những trường hợp như vậy, người ta
thường xây dựng một hàm số P  x  đơn giản và thoả mãn điều kiện P  x i   f  xi  i  0, n và xi  x j , i  j , xi  a, b i ;



ngoài ra tại x  a, b , x  xi thì P  x  xấp xỉ y  f  x theo một độ chính xác nào đó. Hàm số P  x như vậy được gọi là hàm nội suy của f  x , còn các xi i  0, n



gọi là các mốc nội suy. Bài toán xây dựng hàm số P  x  như vậy được gọi là bài toán nội suy.
Dùng hàm nội suy P  x , ta có thể dễ dàng tính được các giá trị f  x tại
x bất kì thuộc  a, b tương đối chính xác. Từ đó có thể tính gần đúng đạo hàm hoặc tích phân của f  x trên  a, b . Vì các đa thức đại số là đơn giản nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P  x  ở dạng đa thức đại số.
1.1. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
1.1.1. nội suy.
Giả sử hàm số f  x xác định trên đoạn  a, b ta không biết biểu thức giải tích của nó, ta chỉ biết giá trị của nó là y0 , y1 ,..., yn tương ứng với các x 0 , x1,..., x n  a, b và a  x 0  x1  ...  xn  b .
Ta tìm đa thức bậc n: P  x    a x
sao cho  
n
i
Pn xi  yi ,i  0, n và sai

i

i0

số của Pn  x và f  x nhỏ nhất.
Khi đó đa thức Pn  x gọi là đa thức nội suy.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

2

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


1.1.2. nội suy Lagrange với mốc bất kì.
Bài toán: Cho xi  a, b , i  0, n , xi  x j , i  j và yi  f  xi  , i  0, n .
Hãy xây dựng đa thức nội suy Pn  x thoả mãn: deg Pn  x   n , Pn  xi   yi , i  0, n
Trước hết ta xét hàm số sau:
n

 x  x 
i

j

  x  i j

n

i0

 x  x 
j

i

i0 i j

Rõ ràng deg  j  x  n , j  0, n
0
Và j  x  

1
j

Do   x  

i

 x i  x0  . xi  x1 ...(xi  xi )...xi  xn  

 x 

j

ijij

0,i  j

 x  x  . x  x ...(x  x )... x  x 
j

j

nê'u nê 'u

0

j

1

j

i

j

n

 x  x  . x  x ...(x  x )... x  x 
 1,i  j
 x  x  . x  x ...(x  x )... x  x 
j

0

j

j

0

1

j

j

1

i

j

j

i

n

j

n

n

 x  x 
i

i0



i j n

n

Đặt Pn  x   y j (1.1)
 j  x với  j  x

j0

 x  x 
j

i0 i j

Ta có : deg Pn  x  n và
n

Pn  x   y j   j  xi    y j   j  xi   yj   j  x j 
j0

i j

 0  yj  yj (i  j)
Vậy Pn  x thoả mãn yêu cầu bài toán đặt ra, Pn  x  xây dựng như vậy được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

3

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

i


n

Đặt   x    x  xi 
j0

i

 x

i0

Ta có:

j

Pn x  y

j



n

(1.2)

x  x    x 

 Tính duy nhất của đa thức nội suy Lagrange.
Giả sử ngoài ra còn có đa thức P n  x  thoả mãn điều kiện trên, khi đó gọi
  x  [Pn  x   P n  x  ] thì deg  x   n và nhậnít nhất (n  1) nghiệm x 0 , x1,..., x n (Do   xi   Pn  xi   P n  xi   yi  yi  0 , i  0, n ). Suy ra đa thức   x  phải là đa thức không, do đó P n  x   Pn  x  .
Vậy tồn tại duy nhất đa thức thoả mãn các điều kiện trên.
1.1.3. nội suy với mốc cách đều.

Giả sử xi1  x i  h , i  0, n 1, x0  a , xn  b

Khi đó dùng phép đổi biến x  x 0  th , x j  x 0  jh với j  0, n 1 và thay vào biểu thức của j  x  ta được:

 x  x0  x  x1 ...x  x j1  x  x j1 ...x  xn 

  x 

j

 x  x  x  x ...x  x  x  x ...x  x 
j

0

j

1

j

j1

j

j1

j

n

 x0  th  x0   x0  th  x0  h  ... x0  th  x0   j1 h
 x 0  jh  x0   x0  jh  x0  h  ...x0  jh  x0   j 1 h 
x 0  th  x 0   j 1 h  ... x0  th  x 0  nh 
 x0  jh  x0   j  1 h ... x0  jh  x0  nh 



n j

t  t 1 ...t   j1  t   j 1 ... t  n  j j 1 ... j  j1   j  j 1  ... j n 




t  t 1 ... t  n

1


tj

j!n  j!

n

Mà Pn  x    y j   j  x 
j0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

4

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga
Suy ra

P n x  P nx  th0   y 
 P x  th 
n

0

t  t 1...t n
j j0

t  t 1... t  n


n

nj
n

1 n!
 1nj C



j!n  j!n!

tj

j

n

j

y

(1.3)

n!

j0

tj

Chún ý rằng trong công thức (1.3) các hệ số  1 n j C là không phụ thuộc vào hàm số f  x  , mốc nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán.
j

 Nhận xét:
 Nội suy bậc nhất hay còn gọi là nội suy tuyến tính khi n  1 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất:
P1 x  y 0 x  x1  y  x  x 0
x x

1

x x

0

1

1

0

Khi n  2 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai:
P2 x  y 0

x  x1  x  x2 
x  x0   x  x2 
y
 x  x  x  x 
0

y2 
2

0

2

1

1

0

2

1

0

1
1

2

 x  x0  x  x1 

 x  x  x  x 

Tổng quát, nếu hàm số f  x có (n 1) mốc nội suy x 0 , x1,..., x n thì đa thức nội suy Lagrange của hàm số f  x là đa thức bậc n.
 Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính, tuy nhiên nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu.
1.1.4. Ví dụ.

 Ví dụ 1.1. Hãy tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  sin x trên
[0, 1 ] với x  0, x  1 , x  1
2

0

1

6

2

2

Giải:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

5

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

x x  x x 


Ta có: y  0, y  1 , y  1
0

1

2

Suy ra đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  sin x là:
P x 01 
2

2

xx1
2  1   6 



2 11 1

  

66 2

x x  1 



1 1 1 
  
2 2 6 

Rút gọn ta có: P  x  3x  7 x
2

2

2

 Ví dụ 1.2. Sử dụng công thức nội suy Lagrange để phân tích phân thức hữu tỷ sau thành tổng các phân thức tối giản.



fx

3x2  x  1

 x 1 x  2 x  3

Giải:
2
Đặt g  x   3x  x  1

Lập bảng giá trị của g x tại x  1, 2,3
x

1

2

3

g x

5

15

31

Khi đó:
g x   5  


5

x  2  x  3

 15  

x 1  x  3

 31 

x 1  x  2

31

 x  2 x  3 15 x 1 x  3   x 1 x  2

2

1  2 1  3
2

Từ đây suy ra
f x 



5  15  31
2 x 1 x  2 2 x  3

 Ví dụ 1.3. Hàm số f  x được cho bởi bảng sau:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

6

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

2 1 2  3

3 1 3  2


x

-3

-1

1

3

y

-87

-6

3

36

Tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số f  x  và tính giá trị gần đúng của f 1, 6
Giải:

Px  87

 x 1  x 1  x 3

6

 x  3  x  1  x  3

313133

 x 3 x1 x3


87

x 1x 3 
48
2

16

3
3

36

x 9x1  x 9x1  x 1x3
2

2

6

131113

2

16

48

 2x3 3x2  5 x  3

2

Giá trị gần đúng của f 1, 6 là: P1, 6  6, 012
1.1.5. Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị của hàm số f  x  tại x bất kì theo đa thức nội suy Lagrange.
Ta có chương trình:
Var n, i, j, k, l, m, t: interger; P, G: real; x, y: array [0..100] of real;
a: array [1..100] of real;
Begin
write (' nhap n = '); readln (n); for l: = 0 to n do
begin
write (' moc noi suy thu ', l, ' la: ');readln (x[l]); end;
for j: = 0 to n do begin

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

131113
 x3 x 1x1

333131

36

7

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

2


write(' gia tri cua ham so tai moc noi suy thu ', j, ' la: '); readln (y[j]);
end;
write (' nhap so diem can tinh m =' ); readln (m); for t:=1 to m do
begin
write (' Tai diem thu ', t,': '); readln (a[t]); end;
for t:= 1 to m do begin
P:= 0;
for k:= 0 to n do begin
G:= 1;
for i:= 0 to n do if <>k then G:= G*(a[t]-x[i]/(x[k]-x[i]);

P:= P+y[k]*G;

end;
writeln (' gia tri cua ham so tai diem thu ', t, 'la: ', P:2:9); end;
readln;

End.

 Ví dụ 1.4. Hàm số f  x cho bởi bảng:
X

-3

-1

1

3

Y

39

8

5

54

Tính f  0,123 , f 1, 023 , f 2,143
Sử dụng lập trình Pascal ta có màn hình kết quả sau: Nhập n = 3
Mốc nội suy thứ 0 là: -3

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

8

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

Mốc nội suy thứ 1 là: -1. Mốc nội suy thứ 2 là: 1. Mốc nội suy thứ 3 là: 3.
Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 0 là: -39 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 1 là: 8 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 2 là: 5 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 3 là: 54 Nhập số giá trị cần tính m = 3
Giá trị thứ 1 là: 0,123
Giá trị thứ 2 là: 1,023
Giá trị thứ 3 là: 2,143
Giá trị của hàm số tại điểm thứ 1 là: 1,330575434 Giá trị của hàm số tại điểm thứ 2 là: 5,221944584 Giá trị của hàm số tại điểm thứ 3 là: 25,0970541
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị cho bởi bảng sau: (1)
x

-3

-2

1

3

y

58

19

4

-11

x

-2

-1

1

3

y

-36

-7

3

34

(2)

Bài 2. Cho bảng các giá trị của hàm số f  x  :
x

0

0,5

1

1,8

2

2,4

f  x

1,5

2,6

2,4

3,9

4,4

5,5

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

9

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Sử dụng công thức nội suy Lagrange tính giá trị của hàm số f  x tại các điểm sau:
(1): 1,23

(2): 1,43

(3): 2,76

(4): 3,56

Bài 3. Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tìm giá trị của hàm số cho bởi bảng dưới đây:
(1)
-4

-3

1

3

-165

-77

4

23

x
f  x
Tìm f  2
(2)
x

1,0

1,5

2,0

2,5

f  x

1,41

2,51

2,62

2,92

Tính f  2, 2
x2  3x  5
Bài 4. Biểu diễn hàm f  x 

 x 1 x  1 x  2  x  3

Thành tổng phân thức tối giản.

HƯỚNG DẪN
Bài 1.
(1) Gọi đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị trong bảng trên là f  x  , áp dụng công thức (1.1) ta có:

f  x   58 

 x  2  x 1  x  3  19   x  3  x 1  x  3
4 

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

10

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

 3  2 3 1 3  3
 x  3 x  2 x  3
1  31  2 1  3

11

 2  3 2 12  3
 x  3 x  2 x 1
 3  3 3  2 3 1




58






11

3

3 2
3 2

 x

24

 2x

 x
3

x

5

 4x

2

x  2x 1 2

 5x  6
15



x 6



19



 x

3 2
x
24

 9x  9

4

   x

3 2
 2x

 9x 18



60

2

(2) Gọi đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị trong bảng trên là f  x  , áp dụng công thức (1.1) ta có:
f  x   36 

 x  1  x 1  x  3
 x  2  x 1 x  3
7
 2  12 1 2  3

 x  2 x  1 x  3
1  21  11  3

3 



36

7

3

 x  3x  x  3   x  2x  5x  6   x  7x  6
34
 x  2x  x  2 40
3



2

3

3

2

3

15

8

 1  2 1 1 1  3
 x  2 x  1 x 1
3  2 3  13 1

 34 

12

2

 17 x3  15 x2  23 x  7
8
4
8
4

Bài 2.
(1) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (1.1) ta có:
f  x 1,5  x 0,5  x 1  x 1,8  x 2  x 2,4   2,6 x x 1 x 1,8  x 2  x 2,4 
4,32
0,92625
0,56

0,22464

0,24

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

1,53216

11

2,4
4,4 

xx0,5 x1,8x2 x2,4 
xx0,5x1 x1,8x2,4

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

3,9
5,5

x x0,5 x1 x2 x2,4 
xx0,5x1 x1,8x2

 f 1, 23   1,5  0,086218832  2,6  0,145272827  2, 4  0, 461083322 4,32

0,92625

0,56

 3,9  0,186051165  4, 4  0,137726187  5,5  0,090640311
0, 22464
0, 24
1,53216
 2,568797599
(2) f 1, 43  3, 000726722
(3) f  2, 76  7,538162501
(4) f  3,56  31, 29874847
Bài 3.
(1) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (1.1) ta có:
f  x  165 

x 3  x 1  x 3

77 

x  4  x  1  x  3

 4 

x  4  x 3  x 3

35

 f  2   165  5  77  6  4  30  23  30  6,892857143 35



24

3
 0,1344  1 C
1, 41 
2, 4


1

3C
 2,51 1
2, 4 1

2

C 2, 62 
2, 4  2

3

3

3

C2,92
2, 4  3





 2, 65112
Bài 4.
2
Đặt g  x   x  3x  5

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

12

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

40

84
40

(2) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (1.3) ta có: h  0,5; t  x  x 0  2, 2 1  2, 4
h
0,5
j
2, 4 2, 4 1  2, 4  2 2, 4  3 n
3 j C

 
f 2, 2  j
  1
3!
j0

0

24

 x 4 x3 x1

23

84

3

2, 4  j

y


Lập bảng giá trị của g  x  tại x  1,1, 2,3
x

-1

1

2

3

g x

-7

-1

5

13

g x  7  

x 1  x  2  x  3



x 1  x  2  x  3

 5 

x  1  x  1  x  3
13 

24
x 1x 1x  2 8
7

1 


3

4
5



13

f x 



24  x  1 4 x 1 3 x  2 8 x  3

1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY. CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU.
1.2.1. phương pháp.
Giả sử Pn  x là đa thức nội suy bậc n của hàm số f  x  , tức là P  xi   f  xi 
với i  0, n . Ta cố định giá trị x   a, btuỳ ý và tìm cách ước lượng sai số



R  x   f  x   P x với x  xi i  0, n

 vì R  x   0 i  0, n .
i

Xét F z  R  z  k z
n

Với   z    z  xi  ,
i0

k là hằng số được chọn từ điều kiện F  x  0 ,
f  x  P  x 

nghĩa là k 

Mặt khác F xi   0
0F

n1

(1.4)

 x

i  0, n do đó F z có (n+2) nghiệm phân biệt x, x , x ,..., x .
0

1

n

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

n1

Theođịnhlý Rolle F  z có(n+1) nghiệmphânbiệt...F

 z

cónghiệm  a, b :
f n1  

n1

    f    k n  1!, hay

n  1!

13

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

k


Từ (1.4) suy ra

f n1 

R  x 

 n  1!

(1.5)

 x
Gọi M  sup f n1  x , từ (1.5) suy ra:
axb

 

 

xx

M

f x P x 

 n  1 !

x  x ... x  x



0



1

 

n



(1.6)

sin   P  1  , P  x là đa thức nội suy

 Ví dụ 1.5. Giả sử tính gần đúng
 
Lagrange ở ví dụ 1.1. Hãy ước lượng sai số.

7

2

7

2

3
3
3
3
Giải: vì f  x  sin x  f  x    cosx  M  sup f  x   
0x

Áp dụng công thức (1.6) ta được:
3

 1  1

sin  P  
7  7  3!  7

3

  0 

 

 1 1  1 1   5
  
 0, 006277590841
7 6 7 2 

6 4116

 Nhận xét:


Sai số phương pháp Pn  x rất lớn ngoài đoạn  x0 , xn  do đó khi dùng công thức nội suy để thực hiện phép ngoại suy sẽ mắc phải sai số lớn.



Phép nội suy có độ chính xác cao đối với các đoạn  xi , xi1  ở trung tâm và độ chính xác thấp đối với các đoạn ngoài rìa.

1.2.2. tính toán.
Giả sử thay vì viết các giá tri đúng y i  f  xi  ,ta chỉ biết các giá trị gần
n
 x 
đúng yi . Khi

đó thay
vì đa thức nội suy P  x   y i  x  x  x , ta có:
i
i
  
n
 x 

i0

 

i0

i

P x   yi 

i

 x  x    x 

Giả sử yi  y i  yi , khi đó sai số tính toán

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng
  x
 x  xi    xi 

14

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

n

P  P  P  yi

(1.7)

i0

Nếu mốc nội suy cách đều và □y i  
t  t 1 ... t  n 
n!

n

i  0, n thì

Ci
i0

P  



(1.8)

n

ti

1.2.3. Chọn mốc nội suy tối ưu.
Nếu hàm f  x đã cho thì M  sup f

 n

 x

hoàn toàn xác định. Từ công

axb

thức (1.6) suy ra sai số tuyệt đối của phép nội suy chỉ còn phụ thuộc vào
  x    x  x 0   x  x1  ... x  xn ... Vấn đề đặt ra là phải chọn mốc nội suy
a  x 0  x1  ...  xn  b như thế nào để max   x  nhỏ nhất ?
axb

Ta đi đến bài toán min-max sau:
max   x  

min

axb

ax0 x1 ...xn b

1.2.3.1. Đa thức Chebysev.
Xét hàm số Tn  x   cosn.arccos x

 x  1

(1.9)

Đặt   arccos x và để ý rằng cos n  1   coscosn  sin sin n , ta được cos n  1   cos n 1   2cosn hay
Tn1  x  2xTn  x  Tn1  x
Ngoài ra:
T  x  1, T  x  x, T  x  2x 1,...
2

0

1

2

Do đó, Tn  x là đa thức đại số với bậc n và hệ số cao nhất là 2 . Đa thức Tn  x  được gọi là đa thức Chebysev.
n1

 Nhận xét:


Tn  x có đúng n nghiệm và các nghiệm là:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

15

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

(2.1)

1
2


x  cos 2i  1  ,i  0, n 1
i
2n
x  x  cos i ,i  0, n . Hơn nữa T  x =1 với i chẵn



max Tn  x  1 khi

i

n

n

1

và Tn  x =-1 với i lẻ.
1.2.3.2. ọn mốc nội suy tối ưu. Định lý 1.1
Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu bằng 1, đa thức Chebysev
Tn  x có độ lệch (so với 0) nhỏ nhất trên đoạn [-1,1]. Nghĩa là, nếu
2n1
P  x   x  a x  ...  a
n

n1

0

n1

thì
T  x

1 max P x  max

2n1
Chọn mốc nội suy tối ưu
1

 Trong trường hợp a= 1, b=1 ta lấy mốc nội suy xi là nghiệm của đa
x  cos 2i 1   i  0, n . Khi đó
thức Chebysev Tn1  x , nghĩa là: i



 x   x  x  x  x  ...x  x  
0

1

 

Tn1  x

2 n 1

cóđộlệchnhỏnhất, vàướclượng

M  x 

 n  1!



 

M
(2.3)

2n  n  1!

 Trong trường hợp a < b bất kì, ta dùng phép thế biến t  2x  b  a
ba
đưa đoạn [a,b] về đoạn [-1,1]. Các mốc nội suy tối ưu là nghiệm của đa thức Chebysev:
x  1  b  a cos 2i 1   b  a  i  0, n







i


2 





GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

(2.2)



2n

n

tốtnhấtcủaphépnộisuylà:
P x f x 

n

2n1

1

2  n 1

16

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga








Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là:
M  b  a
P  x  f  x 

n1

 n  1!2

(2.4)
2n1

BÀI TẬP VẬN DỤNG

 
5

 
5

Bài 1. Tìm đa thức nội suy bậc hai P  x  của hàm số y  cosx trên đoạn [0,1] tại các mốc nội suy x  0, x  1 , x  1. Hãy tìm ước lượng sai số của
0

1
3 2
phép nội suy. Tính f  1   P  1 
 
 
Bài 2. Ước lượng sai số của phép nội suy bằng đa thức bậc ba. Tính sin 6 với các mốc nội suy:
0

x   , x  7 , x   , x  11
1
2
3
36
180
20
180
HƯỚNG DẪN

Bài 1. Ta có bảng giá trị của hàm số y  cosx trên đoạn [0,1]

x

0

y

1

1

1

1

-1

Gọi đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  cosx là P  x  , theo công thức (1.1) ta có:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

17

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


x

 x 1






P x   1 



1 x  x 1

3

1
3

2

2
9

2
3

1
 

4

1 

   x2 

x  x  13 

x1

3

5

4

Ta có y  cosx  y3  3 sin x  M  sup 3 sin x  3
0x1

Áp dụng công thức (1.6) ta được:
3

 1  1
cos  P  
5  5  3!  5

3
 1 1  1   8
 0,110244539
  0    1  
 5 3  5 

Bài 2. Ta có f  x  sinx  f

4

 x

6 375

 sinx

 M  sup sinx  sin 11  0,190808995
36



11 
x180

180

Áp dụng công thức ta được:
sin6P6  0,190808995       7       11 1,106594053.10






4!



8

30 36 30 18030 2030 180

1.3. ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU. 1.3.1.Sai phân.
1.3.1.1.Định nghĩa.
Giả sử hàm số f  x  xác định trên tập X, h  const , h  0
Biểu thức f  x  f  x  h  f  x
(2.5)

Được gọi là sai phân cấp một của f  x tại điểm x .
 2f  x    f  x    f  x  2h   f  x  h    f  x  h   f  x  
 f  x  2h   2f  x  h  f  x
được gọi là sai phân cấp 2 của f  x tại x.
n 1

Tương tự, ta có  f  x     f  x  được gọi là sai phân cấp n của f  x
n

tại x .
1.3.1.2. chất.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

18

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


(1)  là toán tử tuyến tính, nghĩa là:
, □ ; f, g   f  g  f  g .
(2) Nếu c  const thì c  0 .
(3) 

n

 x   n!h;   x   0
n

m

n

m  n 
Thậy vậy,   x

n

   x  h

n

n

n1

 x  nhx  ...

  x    nx h  ...  nh x
2

n

n1

n1

  ...

 n  n 1 h x  ...

................................
2 n2

2  xn   n!h
Từ tính chất (2) suy ra 

m

 x   0 với mọi m  n
n

(3) Nếu P  x là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor


h

P  P x  h  P  x    P
(5) f  x  nh  C

n

i


n

x

i

i1

i i

n

(2.6)

i!
(2.7)

 f x

i0

Thật vậy :
f  x  nh   f  x   f  x    1   f  x 

(ở đây 1 là toán tử đơn vị).

Áp dụng nhiều lần, ta được:
f  x  nh  1    f x   n 1 h   .... 
 1   

n


n

i

n

n

f  x   C
i0

i i
 f x

n

(6)  nf  x  1 Ci f x   n  i  h 

(2.8)
i0

Ta có:




n

n



 1 C

i

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

1  

ni

19

nf  x   1   1

i

f  x    1 C

n

f  x

f x   n  i  h

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

n

i0

i

n

i0


(7) Giả sử f C

n

a, b và  x, x  nh   a, b . Khi đó:
 f  x
n

n





 
 f x  nh ,

 0,1

hn

(2.9)

Ta chứng minh (2.9) bằng quy nạp.

f  x  h   f  x h

Với n=1, ta có công thức số gia hữu hạn
Giả sử (2.9) đúng với mọi k  n . Ta chứng minh cho k  n  1.
Thật vậy:  f  x      f  x      h f
n1



n

n

 n

 x  nh  

trong đó   0,1 . Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f
 f  x  h f
n1



n

 n

 n

 x  nh , ta

được:

 x  nh
 hn f



 hn1 f

 n

n1

 n

 x  nh  h  f  x  nh

 x  nh  h

trong đó , 0,1 . Đặt   n    0,1 , ta được :
n1
 n1f  x   f   x    n  1 h
n1

Hệquả:
f C n a, b thì khi h đủ nhỏ ta có

n

 n

n

 x
f

 f  x


(3.1)

h

1.3.1.3. sai phân.
Giả sử hàm y  f  x cho dưới dạng bảng yi  f  xi  tại các mốc xi cách
đều: xi1  xi  h  const

i  0  .

Khi đó sai phân của dãy yi được xác định như sau:
yi  yi1  yi
 y    y   y  y ,...
2

i
i

i

i1
i

i
i1

i

n y    n1y   n1y  n1y
Ta lập bảng:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

20

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

 f   x  h .


xi

yi

y

2y

3 y

4y

...

...

...

...

...

...

...

...

x i2

yi2
yi2

xi1

2 y

yi1

i2

3 y

yi1
xi

2 y

yi

xi1

yi1

yi2

...

...

4 y
3 y

yi

xi2

i2

i1

i2

...

i1

2

y

i

yi1

...

...

...

...

...

1.3.2. nội suy Newton tiến, lùi.
Giả sử hàm số f  x ta chỉ biết một số giá trị của nó là y0 , y1 ,..., yn tại
các điểm tương ứng là x0 , x1,..., xn và giả thiết xi  x 0  ih

i  0, n

1.3.2.1. Đa thức nội suy Newton tiến.
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x0  x1  ...  x n .Ta tìm đa thức nội suy P  x có dạng:
P  x   a0  a1  x  x0   a 2  x  x0  x  x1 
(3.2)

 ...  an  x  x0  ...x  xn1  Với giả thiết P  xi   f  xi   yi với i  0, n Cho x  x 0 , ta được: P  x0   y0  a0
P x  y  a  a x  x  a  y1  y0  y0

Cho x1  x1 , ta được:

 1

1

0

1



1

0



Cho x  x2 , ta có:
x1  x 0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

21

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

h


P  x2   y2  a0  a1  x2  x 0   a2  x2  x 0   x2  x1 
y y
 y  1 0  x  x   a  x  x  x  x 
1

0

0

x x

2

0

2

2

0

2

1

 y  y1  y0  2h  a .2h.h
0
2

a 

1

0

y  2y  y



2

2h2

h

2

2 y

0

2!h 2

,...

Tương tự thay lần lượt x bằng x3 , x 4 ,, xn1 , ta tính được :
3

a 

0

Vậy ta có:
y
y
y
P  x  n y  0  x  x   0  x  x  x  x   0  x  x x  x

2

3



0

1!h

0

.

2

n

y

0

n

2!h2

0

n y

,, a 

3!h3

n!h n
n!hn

1

Dùng phép đổi biến: x  x0  th, x j  x 0  jh, j  0, n 1, ta thu được:
y  y
y
P  x  th  y  0 t  0 t  t 1   0 t  t 1  t  n 1

0

0

1!

2!

1.3.2.2. Đa thức nội suy Newton lùi.
Giả sử rằng, các mốc nội suy vẫn thoả mãn như trên. Đa thức nội suy Newton lùi tìm dưới dạng:
P x  a0  a1  x  xn   a2  x  xn  x  xn1   an  x  xn  x  xn1   x  x1 

thu được:

P  x n   y n  a0
P xn1   yn1  a0  a1  xn1  xn 
1

x x

h

 a  yn  yn1  yn1
n

n1

P x n2   yn2  a0  a1  x n2  xn   a 2  xn2  xn  x n2  xn1 
 a 2

n

n 1

2h

2

n2

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng



y  2y  y
n 1

2!h2

22

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

n1

(3.3)

n!

Công thức (3.3) được gọi là đa thức nội suy Newton tiến.

Tương tự, như phép nội suy Newton tiến, thay lần lượt x bằng x n , xn1 ,, x1 , ta

0

2 y