Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU

Trong khi giải các bài toán khác nhau của toán học, khoa học kỹ thuật
dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề:
Cho X là một không gian nào đó và T : A
là ánh xạ đi từ tập
→
X
A
⊂
X

vào chính nó. Xét phương trình phi tuyến Tx = x, x ∈ A , dưới
điều

kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình này. Điểm
x
thỏa mãn phương trình Tx
∈ =x
A

được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T trên tập hợp A .
Việc giải quyết bài toán trên đã dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên
cứu mới trong toán học, dó là lý thuyết điểm bất động.
Lý thuyết điểm bất động là một trong những kiến thức quan trọng của
giải tích hàm phi tuyến và cho tới nay có thể khẳng định rằng lý thuyết
điểm bất động đẫ được phát triển hết sức sâu rộng trở thành công cụ không
thể thiếu được để giải quyết những bài toán thực tế đặt ra. Sự phát triển của

lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi của các nhà khoa học như: Banach,
Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,…
Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý thuyết
điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Browder
Hà Đức Tâm – K35B Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân,
phương trình tích phân, giải tích hàm, …

Hà Đức Tâm – K35B Toán

2


Với các lý do đó em đã chọn đề tài “ Một vài đặc trưng của tính lồi
liên quan đến lý thuyết điểm bất động ”. Mục đích của khóa luận này là
trình bày một số kết quả tổng quan do Browder và kirk tìm ra.
Nội dung khoa luận (gồm 3 chương):
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở
Chương 2. Không gian Banach lồi đều
Chương 3. Một số định lý liên quan đến tính lồi của lý thuyết điểm bất động
Qua đây em xin được bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức
Thắng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành khoa luận. em xin chân thành
cảm ơn sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô trong tổ giải tích của
trường ĐHSP Hà Nội 2.

Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Hà Đức Tâm


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này có mục đích xác định một số ký hiệu, nhắc lại một số lý
thuyết của giải tích hàm về không gian tập hợp được sử dụng ở chương sau.

1.1.KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH,
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử K là một trường số thực
phức

hoặc trường số

.

Tập hợp X ≠ ∅ cùng với hai ánh xạ ( phép cộng và phép
nhân vô hướng ).
Phép cộng xác định trên X
×X

và lấy giá trị trong X

( x, y)

xy

Phép nhân vô hướng xác định K × X và lấy giá trị trong X .

( λ, x )

λ λ ∈ K, x ∈ X .
x,

Gọi là không gian tuyến tính ( hoặc không gian véc tơ) nếu các điều kiện
sau đây thỏa mãn :
1. X cùng với một phép cộng là một nhóm Abel, tức là :
a. x + y
với mọi
= y+ x

λ, µ

( x + y) + z
= x+( y+ z)

với mọi x, y, z ∈ X

b.

x∈ X

∈
K,


c. Tồn tại phần tử θ

∈ X
cho

sao cho x
+ θ= x

với mọi x ∈ X

d. Với mỗi phần tử x ∈ X tồn
tại một phần tử
x + (−x) = θ .

−x
∈
X

sao


(

2. λ

x

+ y ) = λx
+ λ y

λ

với
mọi

∈
K,

3. ( λ + µ ) x với mọi
= λx + µx

(λµ ) x
= λ (η x )
4.

5. 1.x
=x

với mọi

với mọi

x, y ∈ X

λ, µ

x∈ X

∈
K,

λ, µ

x∈ X

∈
K,
x∈ X

Định nghĩa 1.2.2. ( Định nghĩa không gian định chuẩn)
Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ đi từ X vào
tập hợp số thực

, thường ký hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn

các điều kiện sau :
i)

Với mọi x
∈ X

ta có x ≥ 0

Và

= 0⇔

x= 0

x
ii) Với mọi x ∈ X ,

với mọi

λ

ta có

∈
K
x+ y

Số x gọi là chuẩn của phần tử x .
Kí hiệu không gian định chuẩn là

( X , . ).

≤x +

y .


Định nghĩa 1.2.3. ( Định nghĩa không gian Banach)
Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ ( khoảng
cách

d ( x,
y) =

x
+
y

) thì X được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ

hay gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.4. ( Định nghĩa không gian Tôpô)
Một họ các tập con τ
X
∈ 2

của tập hợp X được gọi là một Tôpô trong

X nếu thỏa mãn các điều kiện sau :


i) ∅∈τ ,

X ∈τ .

ii) Giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập hợp thuộc τ là một tập
hợp thuộc τ .
iii) Hợp của một họ tùy ý các tập hợp thuộc τ là một tập hợp thuộc

τ.
Các tập thuộc τ được gọi là các tập mở. phần bù của một tập
mở trong X gọi là tập đóng.
Tập X được trang bị một Tôpô τ được gọi là một không gian Tôpô
và được ký hiệu bởi

(X

hoặc đơn giản là X .

,τ )

1.2.KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PHẢN XẠ
Định nghĩa 1.3.1. Ta gọi tích vô hướng trong không gian tuyến tính trên
trường K ( K = hoặc
R
X

) mọi ánh xạ f từ tích đề các X × vào

trường K , thường viết dưới dạng

f ( x,
y) =

i) x, y
=

y, x
,

ii)

x+
y, z

= x,z
+

iii)

λx, = λ
y

iv) x,
x

x, y ,

≥
0,

x,
y

thỏa mãn điều kiện :

∀x, y ∈ X ;
y,z

∀x, y, z ∈ X ;

∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ X
∀x ∈ X và


x, x

= 0⇔

x= 0.

Các phần tử x, y, z được gọi là các nhân tử của tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.2. (Định nghĩa không gian Hilbert)
Ta gọi tập hợp H khác rỗng gồm các phần tử x, y, z... nào đó là không
gian Hilbert nếu :
i) H là một không gian tuyến tính trên trường K ;


ii) H trang bị tích vô hướng x, y với x, y ∈ H ;
iii) H đủ với chuẩn x = x, x

với x ∈ H .

Định nghĩa 1.3.3. (Định nghĩa không gian phản xạ)
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ
nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp
thư hai

X

của nó là một toàn ánh.

**

Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản
xạ khi và chỉ khi với mỗi phần tử x bất kì

x** ∈ tồn tại một phần tử
X **

x
sao cho
∈
X

**

x

(x ) =
*

( x),

*

x

*

*

∀x ∈ X .

1.3. TẬP HỢP LỒI
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính,

là tập

các số thực. tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu
∀x1, x2
∈ A,
∀λ ∈
Mệnh đề 1.4.1 Giả
sử
bất kỳ. Khi
đó

Aα ⊂ X (α ∈ I ) là các tập lồi, với I là tập
chỉ số

A = Aα .
α

∈
I

: 0 ≤ λ ≤1 ⇒ λ x1
+ (1 − λ)x2 ∈ A


Chứng minh. Lấy

x1, x2 ∈ A .
Khi đó

x1 , x2

∈ A

∀α ∈ I.

α

∀

α

∈
I

(∀ α

và do A lồi nên

∈[0,1])

λ x1 + (1 −
λ )x2 ∈ Aα ,
⇒ λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ A.

Vậy A cũng là tập lồi.


Mệnh đề 1.4.2 Giả sử
tập

∈ ,

λ 1 A1 + λ 2 A2
+ ... + λm Am
Mệnh đề 1.4.3 Giả
sử

(i =

λi

Ai
∈ X
lồi,

1, 2,..., m) . Khi đó

là tập lồi.

X ,Y là các không gian tuyến tính, T :

X
→ Y

là toán tử tuyến tính. Khi đó
a. A
lồi ⇒ T ( A) lồi.
∈
X
b. B ∈Y lồi ⇒ nghịch ảnh T
Định nghĩa 1.4.2. Véc tơ x

∈ X

−1

(B)

của ảnh B là tập lồi.

được gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ
m

x1, x2 ,..., xm ∈ X . Nếu tồn tại λi > 0, (i = 1, 2,...,m),
= 1 sao cho

∑λ

i=1
m

x=
Định nghĩa 1.4.3. Giả sử A
⊂ X

∑λ
i=1

i

xi .

, giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa A

gọi là bao lồi của tập hợp A và ký hiệu là coA.

i


Chương 2. KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU
1.1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU
Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết không gian Hilbelt là trường
hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng :
Mọi không gian Hilbert đều phản xa.
Mọi tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần
nhất đối vối một điểm cho trước bất kì của không gian.
Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa không gian
Hilbert mà vẫn giữ được tính chất trên đó là các không gian Banach lồi
đều do Clarkson đề xuất năm 1936.
Đến năm 1965 Browder và Gohde đã độc lập chứng minh được một số
định lý quan trọng về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn
trong lớp không gian này. Đó là lý do chúng tôi dung mục đích này để
giới thiệu những khái niệm của không gian lồi đều cần sử dụng ở chương
sau.

Định nghĩa 2.1.1. Không gian Banach
.
∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0
sao cho ∀x, y ∈ X ,
y δ
≤ x1 −
2

( X, )

được gọi là lồi đều nếu

x
y
≤1, ≤1,

( ε ).

x− y
≥ ε

ta có

(1)

Nói cách khác, với hai điểm khác nhau bất kì x, y thuộc hình cầu đơn
vị, x  y
2

phải có khoảng cách dương đến biên của hình cầu đó, mà


khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào x, y chứ không phụ thuộc vào vị
trí của chúng (tính đều). Khái niện này được Clackson đề xuất năm
1936.
2

Ví dụ 2.1.1. Không gian
=

x12
2  x2
là không gian

với chuẩn x

Banach lồi đều.
Không gian

2

với chuẩn

x = x
+ x
1

= max (
x ,x

và
2

x

2

1

) là các
2

không gian lồi đều.
Tổng quát hơn l
p

p
và L [a,b], 1 < p < ∞ là lồi p = 1
đều còn

p = ∞ là lồi khồn đều.
Dễ kiểm tra được rằng không gian C

là không lồi đều.

[a,b]
Để tiện kiểm trình bày ta kiểm với không gian C [0,1] .
Thật vậy,
Ta xét hai hàm sau đây trên C [0,1]
x(t

)=

1, t ∈ 0,1
[ ]

1, t ∈ 0, 1 


 2

=
Và y ( t ) 
−2t − 2, t ∈  1 ,1


x, y ∈C [0,1]

Rõ rang là

và




và ta có

 2


x = 1, y = x
−
1,
y
Suy ra
∀ε >
0

tồn tại

δ (ε ) > 0

= 1,



= 1

xy
2

sao cho ∀x, y ∈[0,1] mà


x ≤ 1, y ≤ x
−
1,
y
Do đó C

[0,1]

≥ ε ⇒ ≤ 1− δ

( ε ).

xy
2

là không đều.

Ví dụ 2.1.2. Mọi không gian Hilbert là lồi đều
Thật vậy
Giả sử x ≤ y ≤ x − y
1,
1,
≥ ε
suy ra
2

x + y= 2
+

(x
2

từ đẳng thức hình bình hành ta
y2

2

x− y

≤ 2+ 2− ε
2

)−

1
⇒ 2 x +2 y≤ 1 − ε
4
xy
1  2 = 1
⇒
1− ε
2 ≤

(

2

).

− 1−
Vì vậy, với ε > 0 ta đặt δ

2
1−
(ε ) = 1

Do đó mọ không gian Hilbert là lồi đều.
Không gian Banach
, .

(X

hoặc tròn (rotund) nếu ∀x
≠ y mà

)

được gọi là lồi chặt ( Strictly convex)
x ≤ y ≤ 1 ta luôn có
1,
x+ y
2 ≤ 1


Nói cách khác, nếu x, y thuộc vào hình cầu đơn vị đóng mà x
≠ y

thì

điểm x  y phải là điểm trong của hình cầu đó.
2
Dễ thấy rằng đây cũng như trong định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 ta có thể thay
thế bất đẳng thức x ≤ y
≤
1,
1

bằng một đẳng thưc kép x = = 1.
y


Vậy nếu X lồi chặt thì biên của hình cầu đơn vị gồm toàn những
điểm cực biên.
Chú ý :

Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 suy ra không gian lồi đều là trường
hợp riêng của không gian lồi chặt.
Để chứng minh tính phản xạ của không gian lồi đều ta cần sử dụng bổ
đề sau.
Bổ đề. Cho X lồi
đều

( x ) −1
δ (ε )
*

x

*

<

ε

, ở
đây

(i

*

x ≤ 1 và

là số cho trước còn

>
0

= 1,
2)

,

i

*
vớ
x = 1 x1, x2
và
∈ X i

vớ
i

x
∈
*
X

2

δ (ε ) được xác định như trong định nghĩa 2.1.1. khi đó ta có
Chứng minh. Ta có
≥
xy

2

1

x1 − x2 < ε

x

*

(x

+ x
1
=
1

2
*
≥ x (x
1
−
1

Vì
<

)

x ( 2x

+ x
*

1

2

) x* (

− x
2

x

δ (ε )

*

2

)

1

2

x

2

−x

( x)

).

(2)

1

−1

nên


1

Mặt khác vì
x

*

(

2

<
x1) 1
−

δ
(ε

(3)

)

2
*

x

(x
2

− x
)=
1

*

x
x

≤ x

*

( )
2

(x )
2

*

−1 − x

(x)

+ 1

1

−1 + 1 − x
1

*

(x)

< δ

(ε )


δ
x ( x2
−1 ( ε .

Nên

*

)

(4)

)

<

2
Kết hợp (2), (3) và (4) suy ra
1
x+ x
δ (ε ) δ (ε )
> 1− −
= 1− δ
1
2
2
2
2
Hơn nữa vì X lồi đều và

( ε ).

x1 ≤ 1, ≤ 1 nên ta phải có
x2

x1 − x2 < ε.

Vậy bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.1.1. Một không gian lồi đều là không gian phản xạ.
Chứng minh. Cho X là lồi đều, ta cần chứng minh Bx =
**
Bx
B là hình cầu đóng trong không gian tương ứng.
Lấy

**

xo
∈
X

**

**

với xo
= 1

Theo định lý Golstein

B*

ta cần chứng minh
xo

**

với

∈ Bx.

là bao đóng của Bx trong không gian tôpô

*

(X
{x

**

,X

*

). vậy tồn tại dãy suy rộng α} ⊂
có
*

( )

x xα →
tồn tại
Vì xo = 1 nên
∀δ > 0
**

Bx. sao cho ∀x* ∈ X * ta

**

( )
x
*

x

o

*

x ∈ X

*


với

*

xo = 1 sao cho

o

x

**

ε

( x ) −1 <
*

o

4
**

⇒ x
1
( x* ) <
ε
+
Vì
)

*

(

o

(
x xα
→ xo
x

**

*

)nên ta có thể chọn j
∈ I

(5)

4
sao cho
∀ α,
β ≥ j

ta có


**

x

( x )−
α

x

o

*

)<

ε

)<

ε

4

x** (
−o

x** ( xβ
Từ đây và (5) ta suy ra

*

(x

x

)

−1 <

α

o
*

4

x** (

)
x

*

x

2

( x ) −1
β

o

Lấy ε

bất kì và chọn δ =

> 0

δ (ε )

<

ε

ε

2
(trong Định nghĩa 2.1.1) theo bổ đề

trên ta
có

xα − xβ < ε

Vì ε tùy ý nên ta có thể suy ra dãy {xα } là Cauchy
suy rộng. Do Bx đóng và X
Vì vậy xα
→
xo
∈ Bx

đầy đủ Bx cũng đầy đủ.

tức là Bx =
**
Bx

và do đó x = x**.

o

Vậy X là phản xạ và một trong hai tính chất quan trọng thứ hai của
không gian lồi đều đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính chất quan trọng thứ hai của
không gian lồi đều.
Định lý 2.1.2. Cho C là một tập hợp lồi đóng trong không gian lồi đều
X . Khi đó với mọi x
∈ X
nhất đến X trong C .

tồn tại duy nhất một điểm y
∈C

là điểm gần


Chứng minh.
a. Tồn tại
Đặt

f ( z) x
−
=
z

, z ∈C

Dễ dàng kiểm tra được f là phiến ham lồi trên C , hơn nữa f liên tục
có thể giả thiết C bị chặn vì nếu cần có thể thay C bằng giao của
C với mọi

( z)

α > 0 các tập hợp mức dưới

{z

∈C, f

≤ α} là lồi ( do f lồi) và đóng

( do f liên tục) và vì vậy cũng đóng yếu. Điều đó chứng tỏ f liên tục
dưới yếu (trong tôpô yếu trên C ). Do X phản xạ ( theo định lý 2.1.1) và
C lồi đóng bị chặn trên nên C compact yếu ( Định lý Kabutani). Do f
nửa liên tục dưới yếu nên f đạt cực tiểu trên C .
b.Duy nhất
Trước hết ta nhận xét rằng trong điều kiện (1) của định nghĩa 2.1.2, số

α > 0 bất kỳ, bằng cách thay hình cầu
đơn vị bằng hình cầu bán kính α .
1 có thể thay thế bằng

Bây gờ ta giả sử tồn tại y1, y2 ∈C, y1 ≠ y2 và
y1

x− = x
− y2

= α x− z.
= min
z∈C

1
Vì C lồi nên ( y1 + y2
) ∈C .
2
Do đó

x−

1
2

( y1 + y2 )


≥

α.
Do X lồi nên cũng lồi chặt (theo Định nghĩa 2.1.1) và ta có

(6)