Giáo án Bài giảng: Tổng hợp tất cả các công thức có liên quan đến lý thuyết xác suất thống kê (phần 1)

LT XSTK - 1 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 1 -
Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê

I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ ñiển
• Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
• A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng ñôi
⇔
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
• Ta có
o A, B xung khắc
⇔

P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng ñôi
⇔
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o
( ) 1 ( )
P A P A
= − .
• Công thức xác suất có ñiều kiện:
( )
( / )
( )
P AB
P A B
P B
= ,
( )
( / )
( )
P AB
P B A
P A
= .
• Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
• A
1
, A
2
,…, A
n

ñộc lập với nhau
⇔
P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
• Ta có
o A, B ñộc lập
⇔
P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C ñộc lập với nhau
⇔
P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
• Công thức Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q
−
= , với p=P(A): xác suất ñể biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
• Công thức xác suất ñầy ñủ - Công thức Bayes

o Hệ biến cố gồm n phần tử A
1
, A
2
,…, A
n
ñược gọi là một phép phân
hoạch của
Ω

1 2
. ; , 1,

i j
n
A A i j i j n
A A A

= Φ, ∀ ≠ ∈

⇔

+ + + = Ω



o Công thức xác suất ñầy ñủ:
1 1 2 2
1
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )

n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A
=
= = + + +
∑

o Công thức Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B
=

với
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A
= + + +

2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
•
Luật phân phối xác suất

với
( ), 1, .
i i
p P X x i n
= = =

Ta có:
1
1
n
i
i
p
=
=
∑
và
f(
{a f(X) b}=
i
i
a x b
P p
≤ )≤
≤ ≤
∑

X x

1
x
2
… x
n

P p
1
p
2
… p
n

LT XSTK - 2 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 2 -
•

Hàm phân phối xác suất
( ) ( )
≤
= ≤ =
∑
i
X i
x x
F x P X x p

•

Mode

ModX max{ : 1, }
= ⇔ = =
k k i
x p p i n

•

Median
0,5
( ) 0,5
MedX
( ) 0,5
0,5
<
>

≤
< ≤


= ⇔ ⇔
 
> ≤
≤



∑
∑
i k

i k
i
x x
k
k
k
i
x x
p
P X x
x
P X x
p

•

Kỳ vọng
1 1 2 2
1
( . ) . . .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p
=
= = + + +
∑

1 1 2 2
1

( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
=
= = + + +
∑

•

Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
= −

với
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( . ) . . .
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
=
= = + + +
∑

b.

Biến ngẫu nhiên liên tục.
•

f(x) là hàm mật ñộ xác suất của X
( ) 1
+∞
−∞
⇒ =
∫
f x dx
,
{a X b} ( ).
b
a
P f x dx
≤ ≤ =
∫

•

Hàm phân phối xác suất
( ) ( ) ( )
−∞
= ≤ =
∫
x
X

F x P X x f t dt

•

Mode
0
ModX x
= ⇔
Hàm mật ñộ xác suất f(x) của X ñạt cực ñại tại x
0
.
•

Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx
−∞
= ⇔ = ⇔ =
∫
.
•

Kỳ vọng
EX . ( )
x f x dx

+∞
−∞
=
∫
.
( ( )) ( ). ( )
E X x f x dx
ϕ ϕ
+∞
−∞
=
∫

LT XSTK - 3 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 3 -
•

Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
= −
với
2 2
EX . ( )
x f x dx
+∞
−∞
=
∫

.
c.

Tính chất
•

( ) , ( ) 0
E C C Var C
= =
, C là một hằng số.
•

2
( ) , ( )
E kX kEX Var kX k VarX
= =
•

( )
E aX bY aEX bEY
+ = +

•

Nếu X, Y ñộc lập thì
2 2
( ) . , ( )
E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY
= + = +
•

( )
X VarX
σ
= : ðộ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3.

Luật phân phối xác suất
a.

Phân phối Chuẩn (Normal Distribution)
2
( ~ ( ; ))
X N
µ σ

•

( )X
Ω =
ℝ
, EX=ModX=MedX=
µ
,
2
VarX
σ
=

•

Hàm mñxs
2
2
( )
2
1
( , , )
2
−
−
=
x
f x e
µ
σ
µ σ
σ π

• Với
0, 1:
µ σ
= =

~ (0,1)
X N (Standard Normal Distribution) có hàm mñxs
2
2
1
( )

2
−
=
x
f x e
π
(Hàm Gauss)
•
(a X b) ( ) ( )
b a
P
−µ − µ
≤ ≤ = ϕ − ϕ
σ σ
với
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt
π
−
ϕ =
∫
(Hàm Laplace)
•

Cách sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus
Khởi ñộng gói Thống kê

Mode Mode
SD
Mode STAT 1-Var
AC
Mode STAT 1-Var
AC
Tính
2
2
0
1
( )
2
π
−
ϕ =
∫
x
z
z e dx


2
2

1
( )
2
π
−
−∞
=
∫
x
z
F z e dx



Shift 3 2 z ) =



Shift 3 1 z ) =


Shift 1 7 2 z ) =



Shift 1 7 1 z ) =


Shift 1 5 2 z ) =

Shift 1 5 1 z ) =
Thoát gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Mode 1

Lưu ý
:
( ) 0,5 ( )
= +ϕ
F z z



LT XSTK - 4 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 4 -
Excel:

f (x, , ) N mD t(x, , ,0)
f (x,0,1) N mD t(x,0,1,0)
or is
or is
µ σ = µ σ
=

1
(x) P(0 X x) N mD t(x,0,1,1) 0.5 N mSD t(x) 0.5
P(a X b) N mD t(b,0,1,1) N mD t(a,0,1,1) N mSD t(b)
N mSD t(a)
(z) N mInv(z 0.5,0,1) N m Inv(z 0.5)
or is or is

or is or is or is or is
or or S
−
ϕ = ≤ ≤ = − = −
≤ ≤ = − = −
ϕ = + = +


b.

Phân phối Poisson (Poisson Distribution)
( ~ ( ))
X P
λ

•

( )
X
Ω =
ℕ
,
EX . odX=k -1 kVarX M
λ λ λ
= = ⇔ ≤ ≤

•

(X=k)=e ,
!

k
P k
k
−λ
λ
∈
ℕ

Excel:

P(X k) P on(k, ,0)
P(X k) P on(k, ,1)
P(a X b) P on(b, ,1) P on(a, ,1)
oiss
oiss
oiss oiss
= = λ
≤ = λ
< ≤ = λ − λ

c.

Phân phối Nhị thức (Binomial Distribution)
( ~ ( ; ))
X B n p

•

( ) {0 n}
X

Ω =
, EX=np, VarX=npq, ModX=k
( 1) 1 ( 1)
n p k n p
⇔ + − ≤ ≤ +

•

(X=k)=C . . ,q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k
−
= 1− , ≤ ≤ ∈
ℕ

•

Nếu
( 30; 0,1 0,9; 5, 5)
≥ < < ≥ ≥
n p np nq
thì
2
~ ( ; ) ( ; )
≈ µ σ
X B n p N
với
. ,
n p npq

µ = σ =


1
(X=k) ( ), 0 ,
k
P f k n k
− µ
≈ ≤ ≤ ∈
σ σ
ℕ


(a X<b) ( ) ( )
b a
P
− µ − µ
≤ ≈ ϕ − ϕ
σ σ

•

Nếu
( 30, 5)
≥ ≤ 0,1, <
n p np
thì
~ ( ; ) ( )
≈ λ
X B n p P

với
np
λ =


(X=k) e ,
!
k
P k
k
−λ
λ
≈ ∈
ℕ

•

Nếu
( 30, 0,9, 5)
≥ ≥ <
n p nq

(X=k) e ,
( )!
n k
P k
n k
−
−λ
λ

≈ ∈
−
ℝ
với
nq
λ =

Excel:

P(X k) Bin m t(k,n, p,0)
P(X b) Bin m t(b,n, p,1)
P(a X b) Bin m t(b,n, p,1) Bin m t(a,n, p,1)
o Dis
o Dis
o Dis o Dis
= =
≤ =
< ≤ = −


d.

Phân phối Siêu bội (HyperGeometric Distribution)
( ~ ( ; ; ))
A
X H N N n

•

( ) {max{0; ( )} min{n;N }}

A A
X n N N
Ω = − −
LT XSTK - 5 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 5 -
•

EX=np, VarX=npq
1
N n
N
−
−
với
A
N
p
N
= , q=1-p.
•

( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
+ + + + + +
= ⇔ − ≤ ≤

+ +
.
•

(X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X
C
−
−
∈ Ω

•

Nếu
20
N
n
>
thì
~ ( ; ; ) ( ; )
A
X H N N n B n p
≈ với
A

N
p
N
= .
(X=k) C . . , ( ), 1
k k n k
n
P p q k X q p
−
≈ ∈ Ω = −
.
Excel:

A
P(X k) HypGeom t(k,n, N, N )
Dis
= =

LT XSTK - 6 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 6 -
ðặt
X
Y
µ
σ
−
=


Sơ ñồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông

dụng:






n 30
p 0,1
np 5
≥


≤




<



với
np
λ =

N>20n
p=
A
N

N
, q=1-p
n 30
0,1 p 0,9
np 5
nq 5
≥


< <




≥






≥



1
( ) ( )
−
⇒ = ≈
k

P X k f
µ
σ σ

( ) ( ) ( )
b a
P a X b
µ µ
ϕ ϕ
σ σ
− −
≤ < ≈ −
với
,
np npq
µ σ
= =

HyperGeometric:
X~H(N;N
A
;n)

.
( )
A A
k n k
N N N
n
N

C C
P X k
C
−
−
= =

Poisson: X~
λ
( )
P

( )
!
k
P X k e
k
λ
λ
−
= =

Binomial: X~B(n;p)

( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
−
= =

Normal: X~
2
( ; )
N
µ σ

2
2
( )
2
1
( ; ; ) .
2
x
f x e
µ
σ
µ σ
σ π
−
−
=

Standard Normal: Y~ N(0;1)
2
2
1
( ) .
2
y

f y e
π
−
=
LT XSTK - 7 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 7 -


II.

Phần Thống Kê.
1.

Lý thuyết mẫu.
a.

Các công thức cơ bản.
Các giá trị ñặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1

n
X X
X
n
+ +
=
1

n

x x
x
n
+ +
=
Phương sai không hiệu chỉnh

2 2
2
1
( ) ( )
ˆ
− + + −
=
n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ( )
ˆ
− + + −
=
n
x
x x x x

s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ( )
1
− + + −
=
−
n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ( )
1
− + + −
=
−
n
x
x x x x
s

n

b.

ðể dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:



Khi ñó
Các giá trị ñặc trưng Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1 1

k k
x n x n
x
n
+ +
=
Phương sai không hiệu chỉnh

2 2
2
1 1
( ) ( )
ˆ
− + + −
=
k k
x

x x n x x n
s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ( )
1
− + + −
=
−
k k
x
x x n x x n
s
n


c.

Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên
thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
3
2 1
k n
 
= +

 
, với
x
 
 
là phần nguyên của x.
- Trường hợp phân tổ ñều ta ñược khoảng cách mỗi tổ là
max min
x x
h
k
−
= .
d.

Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính các giá trị ñặc trưng mẫu

- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền
[ ; )
a b
hay
( ; ]
a b
thì ta sử dụng giá
trị ñại diện cho miền ñó là
2
a b
+
ñể tính toán.

i
x

1
x

2
x

…
k
x

i
n

1
n

2
n

…
k
n

LT XSTK - 8 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 8 -

Tác vụ 570MS 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần
Shift Mode
↓
4 1
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var
Nhập số liệu
1
x
Shift ,
1
n
M+

⋮

k
x
Shift ,
k
n
M+

Nếu
1
i
n
=
thì chỉ cần
nhấn

i
x
M+


X FREQ
1
x
=
⋮

k
x
=
1
n
=
⋮

k
n
=
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác ñịnh:
•

Kích thước mẫu (n)
•

Giá trị trung bình

(
x
)
•

ðộ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh (
ˆ
x
s
)
•

ðộ lệch chuẩn hiệu
chỉnh (
x
s
)

Shift 1 3 =

Shift 2 1 =

Shift 2 2 =

Shift 2 3 =

Shift 1 5 1 =

Shift 1 5 2 =

Shift 1 5 3 =

Shift 1 5 4 =
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1

2.

Khoảng tin cậy.
a)

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. (
σ
ñã biết)
•

Khoảng tin cậy ñối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
z z z x x
n
α
ϕ
α α
− α σ
= → ⇒ ε = ⇒ ( − ε +ε

•

Khoảng tin cậy bên trái.
( ) 0,5 . ; )
z z z x
n
α
ϕ
α α
σ
= − α → ⇒ ε = ⇒ (−∞ + ε

•

Khoảng tin cậy bên phải.
( ) 0,5 . )
z z z x
n
α
ϕ
α α
σ
= − α → ⇒ ε = ⇒ ( −ε;+∞

Trường hợp 2. (
σ
chưa biết,
30
n
≥

)
•

Khoảng tin cậy ñối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
s
z z z x x
n
α
ϕ
α α
− α
= → ⇒ ε = ⇒ ( − ε +ε

LT XSTK - 9 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 9 -
•

Khoảng tin cậy bên trái.
( ) 0,5 . ; )
s
z z z x
n
α
ϕ
α α
= − α → ⇒ ε = ⇒ (−∞ + ε

•

Khoảng tin cậy bên phải.
( ) 0,5 . )
s
z z z x
n
α
ϕ
α α
= − α → ⇒ ε = ⇒ ( −ε;+∞

Trường hợp 3. (
σ
chưa biết, n<30)
•

Khoảng tin cậy ñối xứng.
( 1; ) ( 1; )
2 2
1 . ; )
2
n n
s
t t x x
n
α α
− −
α

− α → → ⇒ ε = ⇒ ( − ε + ε

•

Khoảng tin cậy bên trái.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n
− α − α
− α → α → ⇒ ε = ⇒ (−∞ + ε

•

Khoảng tin cậy bên phải.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n
− α − α
− α → α → ⇒ ε = ⇒ ( − ε + ∞

b)

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể.
•

Khoảng tin cậy ñối xứng.
2 2 2
(1 )
1
( ) . ; )
2
f f
z z z f f
n
α
ϕ
α α
−
− α
= → ⇒ ε = ⇒ ( − ε + ε

• Khoảng tin cậy bên trái.
(1 )
( ) 0,5 . ; )
f f
z z z f
n
α
ϕ
α α
−
= − α → ⇒ ε = ⇒ (0 + ε

• Khoảng tin cậy bên phải.

(1 )
( ) 0,5 . )
f f
z z z f
n
α
ϕ
α α
−
= − α → ⇒ ε = ⇒ ( − ε;1

c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. (
µ
chưa biết)
- Nếu ñề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác ñịnh s
2
(bằng máy
tính bỏ túi).
• Khoảng tin cậy 2 phía.
2 2
1
( 1;1 )
2
α
− −
α → χ = χ
n
,
2 2

2
( 1; )
2
α
−
χ = χ
n

2 2
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
− −
⇒
χ χ
n s n s

• Khoảng tin cậy bên trái.
2
2 2
1 ( 1;1 )
2
1
( 1)
(0; )
− −α
−
α → χ = χ ⇒
χ

n
n s

LT XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 10 -
• Khoảng tin cậy bên phải.
2
2 2
2 ( 1; )
2
2
( 1)
( ; )
− α
−
α → χ = χ ⇒ +∞
χ
n
n s

Trường hợp 2. (
µ
ñã biết)
- Tính
2 2
1
( 1) .( )
k
i i
i

n s n x
=
− = −µ
∑

• Khoảng tin cậy 2 phía.
2 2
2
( ; )
2
α
α → χ = χ
n
,
2 2
1
( ;1 )
2
α
−
χ = χ
n

2 2
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
− −
⇒

χ χ
n s n s

• Khoảng tin cậy bên trái.
2
2 2
1 ( ;1 )
2
1
( 1)
(0; )
−α
−
α → χ = χ ⇒
χ
n
n s

• Khoảng tin cậy bên phải.
2
2 2
2 ( ; )
2
2
( 1)
( ; )
α
−
α → χ = χ ⇒ +∞
χ

n
n s


3. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê.
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. (
σ
ñã biết)
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ ≠ µ

2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
α
ϕ
α
− µ
− α
= → =
σ

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ < µ

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
α
ϕ

α
− µ
= − α → =
σ

- Nếu
z z
α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ > µ

( ) 0,5 , .
o
x

z z z n
α
ϕ
α
− µ
= − α → =
σ

- Nếu
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 11 -
Trường hợp 2. (
σ
chưa biết,
30
n

≥
)
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ ≠ µ

2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
s
α
ϕ
α
− µ
− α
= → =
- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o

.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ < µ

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
α
ϕ
α
− µ
= − α → =
- Nếu
z z
α
< −

: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ > µ

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
α
ϕ
α
− µ
= − α → =
- Nếu
z z

α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 3. (
σ
chưa biết, n<30)
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ ≠ µ

( 1; )
2
, .
2
o
n
x

t t n
s
α
−
− µ
α
α → → =
- Nếu
( 1; )
2
n
t t
α
−
> : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
( 1; )
2
n
t t
α
−
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1

: , :
o o o
H H
µ = µ µ < µ

( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
− α
− µ
α → =
- Nếu
( 1; )
n
t t
− α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
( 1; )
n
t t
− α

≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ > µ

( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
− α
− µ
α → =
- Nếu
( 1; )
n
t t
− α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
( 1; )
n
t t
− α
≤
: Chấp nhận H
o
.
b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.
LT XSTK - 12 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 12 -
•
1
: , :
o o o
H p p H p p
= ≠

2 2
1
( ) , , .
2
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n

n
p p
α
ϕ
α
−
− α
= → = =
−

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o

H p p H p p
= <

( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
α
ϕ
α
−
= − α → = =
−

- Nếu
z z
α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α

≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H p p H p p
= >

( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
α
ϕ
α
−
= − α → = =
−

- Nếu
z z
α

>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
c) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. (
µ
chưa biết)
- Nếu ñề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính ñể xác
ñịnh s.
•
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
σ = σ σ ≠ σ

2 2
1
( 1;1 )
2

α
− −
α → χ = χ
n
,
2 2
2
( 1; )
2
α
−
χ = χ
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
χ
−
=
σ

- Nếu
2 2
2
2 2
1


χ > χ


χ < χ

: Bác bỏ H
0
.

- Nếu
2 2 2
1 2
χ ≤ χ ≤ χ
: Chấp nhận H
o
.
•
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
σ = σ σ < σ

2 2
1 ( 1;1 )
− −α
α → χ = χ
n

,
2
2
2
( 1)
o
n s
−
χ =
σ

- Nếu
2 2
1
χ < χ
: Bác bỏ H
0
.

- Nếu
2 2
1
χ ≥ χ
: Chấp nhận H
o
.
•
2 2 2 2
1
: , :

o o o
H H
σ = σ σ > σ

2 2
2 ( 1; )
n
− α
α → χ = χ
,
2
2
2
( 1)
o
n s
−
χ =
σ

LT XSTK - 13 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 13 -
- Nếu
2 2
2
χ > χ
: Bác bỏ H
0
.

- Nếu
2 2
2
χ ≤ χ
: Chấp nhận H
o
.
4. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể.
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể.
Trường hợp 1. (
1 2
,
σ σ
ñã biết)
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ ≠ µ

1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x

z z z
n n
α
ϕ
α
−
− α
= → =
σ σ
+

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :

o
H H
µ = µ µ < µ

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
σ σ
+

- Nếu
z z
α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z

α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ > µ

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
σ σ
+

- Nếu
z z

α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 2. (
1 2
,
σ σ
chưa biết,
1 2
30
n n
, ≥
)
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ ≠ µ

1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
s s
n n
α
ϕ
α
−
− α
= → =
+

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu

2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 14 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 14 -
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ < µ

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
s s
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
+

- Nếu
z z
α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ > µ

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z

s s
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
+

- Nếu
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 3. (
1 2
σ = σ
chưa biết,
1 2
, 30

n n
<
)
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ ≠ µ

1 2
1 2
( 2; )
2
2
1 2
,
2
1 1
( )
n n
x x
t t
s
n n
α
+ −
−
α
α → → =

+
, với
2 2
2
1 1 2 2
1 2
( 1). ( 1).
2
n s n s
s
n n
− + −
=
+ −

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
> : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
1 2
( 2; )

2
n n
t t
α
+ −
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ < µ

1 2
1 2
( 2; )
2
1 2
,
1 1
( )
n n
x x
t t
s
n n
+ − α
−

α → =
+
, với
2 2
2
1 1 2 2
1 2
( 1). ( 1).
2
n s n s
s
n n
− + −
=
+ −

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
< − : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
1 2

( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
≥ − : Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ > µ

1 2
1 2
( 2; )
2
1 2
,
1 1
( )
n n
x x
t t
s
n n
+ − α

−
α → =
+
, với
2 2
2
1 1 2 2
1 2
( 1). ( 1).
2
n s n s
s
n n
− + −
=
+ −

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
> : Bác bỏ H
o
.
- Nếu
1 2

( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
≤ : Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 15 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 15 -
b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể.
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
, ,
k k k k
f f f
n n n n
+
= = =
+

•
1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
= ≠

1 2
2 2
1 2
1
( ) ,
2
1 1
(1 ).( )
f f
z z z
f f
n n
α
ϕ
α
−
− α
= → =
− +

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
2

z z
α
≤ : Chấp nhận H
o.

•
1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
= <

1 2
1 2
( ) 0,5 ,
1 1
(1 ).( )
f f
z z z
f f
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
− +

- Nếu
z z

α
< −
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
z z
α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
= >

1 2
1 2
( ) 0,5 ,
1 1
(1 ).( )
f f
z z z
f f
n n
α
ϕ

α
−
= − α → =
− +

- Nếu
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
c. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh phương sai của 2 tổng thể.
-
1 2
,
µ µ
chưa biết nên tính s
1
và s
2
từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu ñề bài chưa
cho.

•
2 2 2 2
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
σ = σ σ ≠ σ

-
2
1
1 1 2 2 1 2
2
2
, F ( 1; 1;1 ) , ( 1; 1; )
2 2
α α
= = − − − = − −
s
F F n n F F n n
s

- Nếu
1
2
<


>


F F
F F
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
1 2
≤ ≤
F F F
: Chấp nhận H
o
.
•
2 2 2 2
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
σ = σ σ < σ

-
2
1
1 1 2
2
2
, ( 1; 1;1 )
= = − − − α
s
F F F n n

s

- Nếu
1
<
F F
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
1
≤
F F
: Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 16 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 16 -
•
2 2 2 2
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
σ = σ σ > σ

-
2
1
2 1 2

2
2
, ( 1; 1; )
= = − −
α
s
F F F n n
s

- Nếu
2
>
F F
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
2
≤
F F
: Chấp nhận H
o
.
5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu.

a. Hệ số tương quan mẫu:
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )

n n n
i i i i
i i i
n n n n
i i i i
i i i i
n x y x y
r
n x x n y y
= = =
= = = =
−
=
− −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑


Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:
ɵ
x
y A B
= +

với
1 1 1
2 2
1 1
( )
n n n

i i i i
i i i
n n
i i
i i
n x y x y
B
n x x
= = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
và
1 1
.
n n
i i
i i
y B x
A
n
= =
−
=
∑ ∑
.

b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:





Ta tính theo công thức thu gọn như sau:
Hệ số tương quan mẫu:
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )
k k k
i i i i i i i
i i i
k k k k
i i i i i i i i
i i i i
n n x y n x n y
r
n n x n x n n y n y
= = =
= = = =
−
=
− −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:
ɵ
x
y A B
= +
với
1 1 1
2 2
1 1
( )
k k k
i i i i i i i
i i i
k k
i i i i
i i
n n x y n x n y
B
n n x n x
= = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
và
1 1
.

k k
i i i i
i i
n y B n x
A
n
= =
−
=
∑ ∑
.

i
x

1
x

2
x

…
k
x

i
y

1
y

2
y

…
k
y

i
n

1
n

2
n

…
k
n

LT XSTK - 17 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 17 -
c. Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy
tuyến tính mẫu:

Tác vụ CASIO 570MS CASIO 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần
Shift Mode
↓

4 1
Khởi ñộng gói Hồi quy
tuyến tính
Mode Mode Reg Lin Mode STAT A+BX
Nhập số liệu
1
x
,
1
y
Shift ,
1
n
M+

⋮

k
x
,
k
y
Shift ,
k
n
M+

1
i
n

=
thì chỉ cần nhấn
i
x
,
i
y
M+


X Y FREQ
1
x
=
⋮

k
x
=
1
y
=

⋮

k
y
=
1
n

=
⋮

k
n
=
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác ñịnh:
• Hệ số tương quan
mẫu (r)
• Hệ số hằng: A
• Hệ số ẩn (x): B

Shift 2  3 =

Shift 2  1 =
Shift 2  2 =

Shift 1 7 3 =

Shift 1 7 1 =
Shift 1 7 2 =

Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1

Lưu ý: Máy ES nếu ñã kích hoạt chế ñộ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì
không cần kích hoạt nữa.
……………………………………….