Phương pháp tính gần đúng tích phân

Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán – Trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô
giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và
phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa
học.
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Toán – những người đã giúp đỡ, chăm lo và dìu dắt chúng
em trưởng thành như hôm nay.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
thầy: Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo
và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian em thực hiện khóa
luận này.
Sinh viên
Nguyễn Thị Ngân

1


Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá
trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của
một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Nguyễn Thị Ngân

Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục

Lời nói đầu............................................................................

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị........................................

A. SAI SỐ............................................................................

1.1 Số gần đúng và sai số......................................................
1.2 Các quy tắc tính sai số....................................................

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp
........................................................................................

B. ĐA THỨC NỘI SUY......................................................

1.4 Đa thức nội suy Lagrange...............................................

C. TÍCH PHÂN...................................................................

1.5 Tích phân........................................................................

Chương 2: Giải gần đúng tích phân.......................................

2.1 Mở đầu............................................................................

2.2 Công thức hình thang......................................................

2.3 Công thức Simpson.........................................................

2.4 Công thức Newton – Cotes..............................................

2.5 Công thức Chebysev.......................................................

2.6 Công thức Gauss.............................................................

2.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng
phương pháp Monte – Carlo...........................................

Chương 3: Ứng dụng.............................................................

Kết luận.................................................................................

Tài liệu tham khảo.................................................................


Lời nói đầu
Toán học bắt đầu từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
từ thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia
thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Khi nói
đến toán học ứng dụng không thể không nhắc đến Giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng
các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra
đời và phát triển của Giải tích số đã góp phần quan trọng trong việc tạo
ra các thuật giải các bài toán thực tế như: các bài toán ngược trong lĩnh
vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng…
Ngày nay, với sự phát triển của Tin học thì các kiến thức của Giải

tích số càng trở nên rất cần thiết. Chúng ta đang được chứng kiến xu thế
song song hóa đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải Tích số. Để
tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính, người ta đã đề xuất những phương pháp
hữu hiệu xử lí hệ lớn, thưa như kĩ thuật ném ma trận, kĩ thuật tiền xử lí
ma trận…
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính tích phân xác định của hàm số
khi không biết nguyên hàm của nó, nếu dùng định nghĩa thì độ chính xác
đạt được không cao mà vẫn phải thực hiện một khối lượng tính toán lớn.
Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, hàm số chỉ được cho dưới dạng bảng
nên khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa. Tuy nhiên, Giải tích số đã
cung cấp cho chúng ta những phương pháp đơn giản nhất để tính được
gần đúng tích phân xác định mà độ chính xác không kém bao nhiêu.
Vì vậy, với niềm yêu thích bộ môn Giải tích số em đã lựa chọn đề
tài cho khóa luận tốt nghiệp của em là “ Phương pháp giải gần đúng tích
phân”.
Khóa luận này bao gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Giải gần đúng tích phân
Chương 3: Bài tập


CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. SAI SỐ
1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Số gần đúng – Sai số tương đối và sai số tuyệt đối
Ta gọi x là số gần đúng của số x∗ nếu x không sai khác nhiều so
với x∗. Hiệu số ∆= |x∗ − x| được gọi là sai số thực của x vì không
biết được giá trị đúng của x∗ nên không thể xác định được ∆
Mặt khác ta có thể tìm được số ∆s ≥ 0 sao cho |x∗ − x| ≤ ∆s. Khi
đó:

∆s gọi là sai số tuyệt đối của x
∆s
ð =
gọi là sai số tương đối của x
s
|x|
Suy ra ∆s= |x|. ðs là công thức thể hiện được mối liên hệ giữa sai
số tương đối và sai số tuyệt đối.
1.1.2 Quy tròn số và sai số quy tròn a,
Hiện tượng quy tròn số
Khi gặp một số có quá nhiều số đằng sau dấu phẩy, người ta bỏ đi
một vài chữ số ở cuối, việc làm đó được gọi là quy tròn số.
Mỗi khi quy tròn số, ta tạo ra một sai số mới gọi là sai số quy tròn
tuyệt đối.
b, Sai số quy tròn tuyệt đối
Gọi x là sai số gần đúng của x∗ và xr là số quy tròn của x. Thế thì
số 8s sao cho |x − x r | ≤ 8s được gọi là sai số quy tròn của xr.
làm

Vì |x∗ − x r | ≤ |x∗ − x| + |x − x r | ≤ ∆s + 8s nên ta thấy khi

tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm 8s.
Gọi x là số gần đúng của x∗ và xr là số quy tròn của x. Thế thì số
8s sao cho |x − x r | ≤ 8s


1.1.3 Cách viết số gần đúng a,
Chữ số có nghĩa
Chữ số có nghĩa là tất cả các chữ số khác không, kể cả số không
nếu nó kẹp giữa hai chữ số khác không hoặc nó đại diện cho hàng được

giữ lại.
Chẳng hạn 0,000014060 có năm chữ số có nghĩa là 1;4;0;6;0.
b, Chữ số đáng tin
Mọi chữ số thập phân x đều có thể biểu diễn dưới dạng
p

x = ± ) αs. 10s
s=p–q

trong đó αs là những số nguyên từ 0 đến 9
Gọi x là chữ số gần đúng của x∗ với sai số tuyệt đối ∆s. Thế thì αs
được gọi là chữ số chắc hay chữ số đáng tin nếu ∆s≤ 0,5. 10s và nếu
∆s≥ 0,5. 10sthì αs là chữ số đáng nghi.
c, Cách viết số gần đúng
Gọi x là chữ số gần đúng của x∗ với sai số tuyệt đối ∆s. Thế thì
có hai cách viết số gần đúng x.
Cách 1: x ± ∆s hoặc x(1 ± ðs)
Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa của x đều là chữ số
đáng tin.
1.2 Các quy tắc tính sai số
1.2.1 Mở đầu
Xét hàm số u của hai biến x và y có dạng u = ƒ(x, y). Cho biết
sai số về x;y. Hãy lập công thức tính sai số về u.
Ta kí hiệu ∆1, ∆2, ∆3 là các số gia của x;y;u.
dx, dy, du là các vi phân của x;y;u.
∆s, ∆y , ∆u là các sai số tuyệt đối của x;y;u.


Vì |x∗ − x| ≤ ∆s nên ta luôn có |∆1| ≤ ∆s.
∆2 ≤ ∆y .

Ta phải tìm ∆u để có |∆3| ≤ ∆u
1.2.2 Sai số của tổng u = x + y
Ta có ∆3= ∆1 + ∆2 suy ra ∆3≤ |∆1| + |∆2| nên ∆3≤ ∆s + ∆y
Ta chọn ∆s+ y = ∆s + ∆y để có |∆3| ≤ ∆u
Do đó ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các
sai số tuyệt đối của các số hạng.
Chú ý
N ếu u = x − y rới x rà y cùng dấu tℎì ð =
=

u

∆u
|u|

∆s + ∆y
|x − y |

Cho nên |x − y| rất bé thì sai số tương đối là rất lớn. Vì vậy, trong
tính toán người ta tìm mọi cách để tránh phải trừ các số gần nhau.
1.2.3 Sai số của tích u = xy
Ta có ∆u ≈ du = ydx + xdy ≈ y∆1 + x∆2
Suy ra |∆3| ≤ |y||∆1| + |x||∆2| ≤ |y|∆s + |x|∆y
Suy ra ∆u = |y|∆s + |x|∆y
∆u
∆y
Do đó ðu =
=

|u |

|y|∆s + |x|
|x||y|

=

∆s
|x |

+

∆y
| y|

= ðs + ðy

Tức là ðsy = ðu = ðs + ðy
Vậy sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối
của các thừa số của tích.
Đặc biệt ta có ð(sn ) = nðs với n nguyên dương
1.2.4 Sai số của thương u =
x

y

,y≠ 0


Tương tự như trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối của
một thương bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng: ðs⁄y = ðs +

ðy


1.2.5 Công thức tổng quát
n

&ƒ
Cℎo u = ƒ(x1, x2, … , xn ) ta có ∆u = ) | |. ∆si
&x i
n
n
i=1
1
1
r |. ∆
∆u
∆u
&ƒ
|.
Suy ra ðu =
=
=
)
| ) |ƒ si si
&xi
|u| |ƒ| |ƒ|
∆si= ƒ| i=1
|
n

=)

ƒrs
| i

i=1

|.
∆
ƒ

i=1
n

& lnƒ|. ∆
=) |
si
i=1

&xi

si

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp
Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã
cho bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực
hiện các phép tính thông thường bằng tay hay bằng máy tính điện tử.
Phương pháp này thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản gọi là
phương pháp gần đúng.
Sai số của phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp.

Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông
thường, ta luôn phải quy tròn các kết quả không gian. Sai số tạo bởi tất
cả các lần quy tròn như vậy gọi là sai số tính toán.
Sai số cuối cùng là tổng hợp của hai loại sai số phương pháp và sai
số tính toán.
Chú ý
Sai số tổng hợp cuối cùng có phần của sai số phương pháp và sai
số tính toán.Vì vậy, phải chú ý điều chỉnh sao cho sai số cuối cùng nhỏ
hơn sai số cho phép.
B. ĐA THỨC NỘI SUY
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f(x), chỉ biết giá trị
yi tại các điểm xi ∈ [a, b](i= 0,1, … . , n).Cũng có trường hợp biểu


thức giải tích f(x) đã cho quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta
có thể


dễ dàng tính được f tại bất kì x ∈ [a, b]mà độ chính xác không kém
bao nhiêu.
Ngoài ý nghĩa lịch sử ra, đa thức đại số thường được dùng trong
phép nội suy vì lí do đơn giản sau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo
hàm, tích phân dễ dàng được thực hiện trên đa thức. Hơn nữa nếu P(x) là
đa thức, còn c là hằng số thì P(cx) và P(x + c) cũng là đa thức.
Bài toán đặt ra như sau: Cho các mốc nội suy
a ≤ xO < x1 < ⋯ < xn ≤ b.
m

H ãy tìm đa th ức bậc m : P m (x) = ) aix i sao cho
i=O

P m (xi) = yi ≔ f(xi) (i= 0¯ ¯,¯n¯)
Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: hãy xây dựng đường
cong đại số y = P m (x) đi qua các điểm cho trước (xi, yi) (i= 0¯
¯, ¯n¯).
Như vậy ta cần xác định (m + 1) hệ số ai(i= 0¯ ¯,¯n¯) từ hệ
phương
trình tuyến tính sau:
m

j

) aj xi = yi(i= 0¯ ¯,¯n¯) (1.1)
j=O

Dễ thấy nếu m < n (m > n) hệ nói chung vô nghiệm (vô định). Khi
m = n, hệ (1.1) có định thức Vandermonde.
1

xO xO 2

…

xO n

△ = | 1 x 1x 12 … x 1 n |
= ‡ (xi − xj) ≠ 0
… …
…
…

…
OŠ i€ j Š n
1 xn xn 2 … xn n
Suy ra phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất.
Để giải bài toán đã cho ta phải giải hệ (1.1), như vậy sẽ rất khó
khăn và phức tạp.


Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không
cần giải hệ (1.1), gọi là đa thức nội suy Lagrange.


1.4. Đa thức nội suy Lagrange
1.4.1. Công thức nội suy Lagrange
Tìm đa thức Pi (x) có bậc n, sao cho
Pi (xj ) = ðij (i, j = 0¯ ¯, ¯n¯).
Ta có:

(x − xO) … (x − xi–1)(x − xi+ 1) … (x − xn )

Pi ( x ) =

)…
i −
(x x (x
O
i

− xi– )(xi − xi+ ) …
1

1
(xi

.
− xn )

Đặt
n

P(x) = ) yi Pi
(x),
i=O
n

P(xj ) = ) yi Pi (xj ) = yj (j = 0¯ ¯, ¯n¯).
i=O

Như vậy, P(x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm.
Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là

tℎì đặt
≔

t

xi+ 1 − xi = ℎ (i = 0¯ ,¯n¯
¯−¯ ¯1¯) x − xO
ℎ

Pi (x) = Pi (xO + tℎ)

=
Hay

ℎay x = xO + tℎ,
ta được
n–i i
(−1) C t(t − 1) … (t − n)
n

t−i

n

n!

i

n–i
Pi (xO + tℎ) = t(t − 1) … (t − n) ) (−1) Cn y
i
n!
t−i
i=O

1.4.2 Sai số của phép nội suy
a) Sai số phương pháp
Giả sử, P(x) là đa thức nội suy bậc n của hàm f(x), tức là
P(xi ) = ƒ(xi ) (i = 0¯ ¯, ¯n¯) . Ta cố định giá trị x ∈ [a, b] tùy ý
và tìm cách ước lượng sai số R (x) = ƒ(x) − P(x). Dĩ nhiên chỉ
cần xét x ≠ xi (i = 0¯ ¯, ¯n¯) vì R (xi ) = 0 (i = 0¯ ¯, ¯n¯).

13


M
|R (x)| = |ƒ(x) − P(x)| ≤

|(x − xO) … (x − xn )|
(n + 1)!
trong đó M = sup |ƒ(n+ 1)(x)|
a Š sŠ b

b) Sai số tính toán
Giả sử thay vì biết các giá trị đúng y˜ = ƒ(xi ), ta chỉ biết các
giá trị gần đúng yi. Khi đó, thay vì đa thức nội suy
n

P˜ (x ) = ) y˜ s
i=O

m (x)
(x i− x )mi r (x )

,

Ta có
n

P(x) = ) yi

m (x)

( x − x )m r ( x )
i

i=O

i

Giả sử yi − y˜ s ≤ ∆yi , khi đó sai số tính toán
n

m ( x)
|∆P| = |P − P˜ | ≤ ) ∆yi |
|.
(x − xi)m r(xi)
i=O

Nếu các mốc nội suy cách đều và ∆yi ≤ q (i = 0¯
¯, ¯n¯) thì
Cni
n
|t(t − 1) … (t −
|∆P| ≤ q
)
|t − i|
n)| n!
i=O

1.4.3. Chọn mốc nội suy
a) Đa thức Chebysev
T n (x) ≔ cos [n arccos x](|x| ≤ 1)

Đặt

8 = arccos x và ta có cos (n ± 1)8 = cos 8 cos n8 ∓

∓ sin8 sinn8, ta được cos (n + 1)8 + cos (n − 1)8 = 2 8 cos n8
hay:
T n–1(x) = 2 xT n (x) − T n–1(x)
Nghiệm của T n (x) là:
xi = cos

2i+1
n

n (i = 0¯ ,¯n¯ ¯−¯ ¯1¯)


rà cực trị của nó max |T n (x)| = 1 , đạt tại xi =
|s|Š 1
cos

ni
(i¯ = 0¯
¯, ¯n
)n
Tro
ng tất cả
các

đa

thức

bậc

n với hệ
số

đầu

bằng

1,

đa

thức

Chebysev
T

(x)⁄2

n

n–1

có độ

lệch

(so

với 0) nhỏ
nhất

trên

đoạn

[-1,

1]. Nghĩa
là, nếu
P(
x)
=
xn
+
an–
n
1x

Thì

–1

+⋯
+
aO
max

|s|Š 1

b)

s
u
y


|P(x)| ≥
max

–
1

|T n 1
|s|Š 1 (x)|
2
n–1

=

thế biến t =

2s–a –

x + ℎ) −
ƒ(x).
∆

ƒ
(
x
)

b

b –a

2

đưa đoạn [a,b] về đoạn

n

[-1,1]. Ước lượng tốt

Trong

trong trường hợp này

hợp a = −1; b = 1 ta

là:

lấy mốc nội suy xi là

M (b − a)n+ 1
|P(x) − ƒ(x)| ≤

nghiệm của đa thức
Chebysev T

n+ 1(x).

1.4.4 S
a
nhất của phép nội suy
i
là:
p
h
M
M
â
n
|P (x ) −
Khi đó, ước lượng tốt

(n + 1)! 2 2n+ 1

 Giả sử ƒ ∶ R

ƒ(x)| ≤

→

|

(n + 1)!

m (x)| ≤

R là một hàm
số cho trước và

2 n (n +

ℎ = const ≠ 0.

1)!
T n+ 1(x)

Ta gọi sai phân

trongđó

cấp 1 của f(x)
là đại lượng

m (x) = (x
− xO) … (x
− xn ) =

Tỷ
saiph
ân
c ấp
m ột
c ủa
f(x)

là
.
ℎ

nhất của phép nội suy

trường

2

n

Trong trường
hợp a < b bất
kì, ta dùng phép

∆
ƒ
(
x
)
=
ƒ
(


Một cách tổng quát
∆n ƒ(x) ≔ ∆[∆n–1 ƒ(x)](n ≥ 1), ∆O ƒ(x ) ≔

ƒ(x).

 Các tính chất của sai phân
∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

1)

∀ α, þ ∈ R ; ∀ ƒ, g ⇒ ∆(αƒ + þg ) = α∆ƒ + þ ∆g
2)

Nếu c = const thì ∆c = 0.

3)

∆n (xn ) = n! ℎn ;

4)

Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor

∆m (xm ) = 0 (m > n).
n

i
∆P ≔ P(x + ℎ) − P(x) = ) ℎ P(i)(x)
i!
i=1

n

i

i

5) ƒ(x + nℎ) = ) Cn ∆ ƒ(x)
i=O
n
n

i

i

6 ) ∆ ƒ(x) = )(−1) Cn ƒ(x + (n − i)ℎ)
i=O

7) Giả sử ƒ ∈ C n [a, b]và (x, x + nℎ) ⊂ [a, b], khi đó
∆n ƒ(x)
= ƒ (n) (x + 8nℎ),
8 ∈ (0,1)
n
ℎ
1.4.5. Một số quy tắc nội suy hàm số trên lưới đều
1.4.5.1 Quy tắc xác định sai phân
Giả sử hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng yi = ƒ(xi) tại các
mốc xi cách đều :xi+ 1 − xi = ℎ = const (i ≥ 0) khi đó sai phân
được xác định như sau:
∆yi = yi+ 1 − yi
n

y

n+ i=

j

) Cn ∆j yi
j =O

n
n

j

j

∆ yi = )(−1) Cn yi+ n–j
j =O


1.4.5.2. Các quy tắc nội suy
a) Công thức nội suy Newton tiến
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự xO < x1 < ⋯ < xn
. Tìm đa thức nội suy dưới dạng
P(x) = aO + a1(x − xO) + a2(x − xO)(x − x1) + ⋯
… + an (x − xO) … + (x − xn–1)
x − xO
Đổi biến t
, x = xO + tℎ, ta được
=
ℎ

t
yO + ⋯
t( t −
)
1
ƒ(xO + tℎ) = yO + ∆yO
1!
∆2
2
!
+
t(t − 1) … (t − n + 1)
+

n

n!

yO +

∆

ƒ(n+ 1)(£) n+ 1 t(t − 1) … (t − n)
+ (n + 1)! ℎ
b) Công thức nội suy Newton lùi
Mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự giảm dần xn > xn–1 > ⋯ > xO.
Tìm đa thức nội suy dưới dạng:
P(x) = aO + a1(x − xn ) + a2(x − xn )(x − xn–1) +

Đặt

… + an (x − xn )(x − xn–1) … (x −
x1) x − xn
t=
⇒ x = xn + tℎ, ta được
ℎ
t
yn–1 + ⋯ +
t (t +
)
1
ƒ(xn + tℎ) = yn +
∆yn–1
1!
∆2
2
!
+
t(t + 1) … (t + n − 1) n yO +
+
∆
n!
ƒ(n+ 1)(£)

+


(n + 1)! ℎ

n+ 1

t(t + 1) … (t + n)

Giả sử các mốc nội suy được sắp xếp như sau:
xi = xO + iℎ (i = 0, ±1, ±2 , … , ±n)


c) Công thức Gauss I
Đa thức nội suy tìm dưới dạng “tiến, lùi”:
P(x) = aO + a1(x − xO) + a2(x − xO)(x − x1)+..
+a3(x − x–1)(x − xO)(x − x1) + ⋯ + a2n–1(x − x–(n–1)) …
… (x − x–1)(x − xO) … (x − xn–1) + a2n (x − x–(n–1)) …
… (x − x–1)(x − xO)(x − x1) … (x − xn–1)(x − xn
) x − xO
Đặt t =
t(t − 1) 2
, ta có:
ℎ
t
P(x) = P(xO + tℎ) = yO +

∆yO +

2!

∆

y–1 +

1!

(t + 1)t(t −
(t + 1)t(t − 1)(t − 2 4
3
1)
∆
y
+
∆ y–2 +
–1
+
) 4!
3!
(t + 2 )(t + 1)t(t − 1)(t − 2
)
∆5y–2 + ⋯ +
+
5!
(t + n − 1) … (t + 1)t(t − 1) … (t − n + 1) y–n
+ 2n

(2 n)!

∆

d) Công thức nội suy Gauss II
Tìm công thức nội suy dưới dạng “lùi, tiến”:
P(x) = aO + a1(x − xO) + a2(x − x–1)(x − xO)
+a3(x − x–1)(x − xO)(x − x1) +
+a4(x − x–2)(x − x–1)(x − xO)(x − x1) + ⋯
… + a2n–1(x − x–(n–1)) … (x − x–1)(x − xO)(x − x1)…

… (x − xn–1) + a2n (x − x–n ) … (x − x–1)(x − xO)(x − x1) …
… (x − xn–1) …
x − xO
Đổi biến t =
, ta được:
ℎ


t
P(x) = P(xO + tℎ) = yO +

1!

t(t + 1) ∆2
y–1 +
∆y–1 +
2!

(
1
−
3

+y
–
2

3
∆
+

(t + 2
)(t +
1)t(t
− 1)
4

4 y–
∆2
+
⋯
( 2n
–1
t1
…
+
(
n∆
−
1
)
…
(
t
+
1
)
t
(
t

−


∆ t2
y (t

y–n +
(t + n)(t + n − 1) … y–n
(t + 1)t(t − 1) … (t −
n + 1)

3

2

+ −
∆ 1
y 2)
2 (t

+ 2n

2

−
2
2
)
2y
+–

(2 n)!
+

∆

5!
e) Công thức nội
suy Stirling x
Đặt t =

x
O

ℎ
Lấy trung bình cộng hai công thức
Gauss I,II ta được công thức Stirling

2

+ tℎ) = yO +

+

+

3
!

∆

1!
t(t2 − 1)
∆3y–2 +
∆3y–1

t ∆y–1 +
∆yO
y–1 +
2!

t 2 (t 2 −
1)
2

4

y–2 +

+

+ 1)
2
+

(2 n
− 1)!
t2 (t2
− 1 2)
… (t2

− (n −
1)2)

y–n .

2n
∆
(2 n)!
6
f)Công thức nội
∆+
suy Bessel
yO + y1
1
⋯
P
+ (t
t(
(
2
t2
− ) ∆yO
x
−
2
)
+
1
2
=

)
(t
P
2
(
−
x
t22
2
O
)
+
…
(t
t
2
ℎ
−
)
(
=
n
−
t (t −
1
∆
3 1⁄2 )
)2
∆ t(t −
)

1)
∆ +
2n
2!
2
6
∆
–
3

−

P(x) = P(xO

+ ∆2n–1y–(n–

1

y

+

–n

4!
∆

3
t(t2 − 1)
(t2 − 2 2)

!


y–1 +
+

t(t − 1)(t + 1)(t −
2 ) ∆4y–2 + ∆4y–1
4!
2
+

+
5!
∆

(t − 1⁄2
)t(t − 1) y–2 + ⋯
(t + 1)(t
−2) 5


C.TÍCH PHÂN
1.5. Tích phân
1.5.1 Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K vàa; b là hai số bất kì thuộc K. Nếu
F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là
b

tích ph ân củaf từ ađến b, v à k í ℎiệu ∫ a ƒ(x)dx
Người ta còn dùng kí hiệuF (x)|ab để chỉ hiệu số F (b) − F (a). Như
vậy, nếu F là một nguyên hàm của f trênK thì
b

ƒ ƒ(x)dx = F (x)a|b
a

Vì ƒ ƒ(x)dx là m ột nguyên ℎàm bất k ì của ƒ nên ta có:
b

b

ƒ ƒ(x)dx = (ƒ ƒ(x)dx)|
a

a

Người ta gọi hai số a; b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b
là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu
tích phân, và x là biến số lấy tích phân.
1.5.2 Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm sốƒ; g liên tục trên K và a;b;c là ba số bất kì
thuộc K. Khi đó ta có:
a

ƒ ƒ(x )dx = 0

1)

a

b

2)

a

ƒ ƒ(x)dx = − ƒ ƒ(x)dx
a

b


b

3)

c

c

ƒ ƒ(x)dx + ƒ ƒ(x)dx = ƒ ƒ(x)dx
a

b

a

b

4)

b

ƒ[ƒ(x ) + g(x)]dx = ƒ ƒ(x )dx + ƒ g(x )dx
a

a

b

5)

b

a

b

ƒ k . ƒ(x)dx = k ƒ ƒ(x)dx , rới k ∈ R
a

a