Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng của các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

Khóa luận tốt
nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội
2

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đại số là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Bộ phận của toán học
nghiên cứu các tập hợp mà không quan tâm đến bản chất cụ thể các phần tử của
chúng. Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức (G.Cantor) đã xây dựng và đặt nền
móng cho lí thuyết tập hợp, mà ngay nay gọi là lí thuyết ngây thơ về tập hợp, là
phần kiến thức không thể thiếu đối với những người học toán, những người dạy
toán và những người làm toán.
Lí thuyết tập hợp đã phát triển rất nhanh ngay sau khi nó ra đời, ngày nay
đã đạt được những kết quả hết sức sâu sắc. Các kiến thức về lí thuyết tập hợp là
rất quan trọng. Trong chương trình phổ thông các kiến thức này được cung cấp
từ lớp 1 đến lớp 12, từ đơn giản , sơ khai đến phức tạp và chuẩn xác dần. Trong
chương trình đại học, chúng tiếp tục được bổ sung trong các phần cơ sở của Đại
số và Giải tích. Một số ngành học trong đó có ngành Giáo dục Tiểu học đã thiết
kế lí thuyết tập hợp thành những môn học riêng, đây là môn học rất hữu ích,
không những là công cụ để học các môn học khác mà bản thân nó cũng là một
môn học giúp sinh viên rất nhiều trong rèn luyện tư duy toán học nói riêng và tư
duy lôgic nói chung
Với mong muốn tìm hiểu sâu về mảng kiến thức này để phục vụ cho công
tác giảng dạy đồng thời giúp các em học sinh có thêm nhiều kiến thức về tập
hợp, dưới sự chỉ đạo hướng dẫn của Ban chủ nhiệm khoa và TH.S Nguyễn Thị
Bình nên em đã chọn đề tài: “Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng
các phép toán trên tập hợp để giải bài toán”
2. Mục đích, yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống lại lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp,

kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

Đỗ Thị
Hồng

1

Lớp K35 CN
Toán


3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến
thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán
Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực của
bản thân nên đề tài chỉ dừng lại ở lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp,
kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các vấn đề:
Chương I: Lí thuyết tập hợp.
Chương II: Ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán.
5. Phương pháp nghiên cứu
●

Nghiên cứu, phân tích các tài liệu.

●

Hệ thống, khái quát các vấn đề.

●

Sưu tầm, giải quyết các bài toán.

●

Tổng kết kinh nghiệm.


Chương 1: Lí thuyết tập hợp
1.1 Tập hợp. Phần tử của tập hợp
Khái niệm tập hợp thường được gặp trong toán học và cả trong đời sống.
Chẳng hạn
+ Tập hợp các đồ vật (sách, bút) trên bàn
+ Tập hợp các học sinh của lớp 10B3
+ Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
+ Tập hợp các chữ cái a, b, c.
1.2 Cách viết, các kí hiệu
1.2.1 Cách viết
Người ta thường đặt tên tập hợp bằng chữ cái in hoa
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
B là tập hợp các chữ cái a, b, c . Ta viết
A={0; 1; 2; 3; 4; 5} hoặc A={5; 4; 2; 3; 1}…..
B={a, b, c} hoặc B={b, c, a}…..
Chú ý 1: Các phần tử của một tập hợp được viết trong 2 dấu ngoặc nhọn {
} cách nhau bởi dấu “;” (nếu có phần tử là số) hoặc dấu “,”.
1.2.2 Các cách để chỉ ra một tập hợp Định
nghĩa một tập hợp chúng ta có thể
1)

Liệt kê các phần tử

2)

Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

3)

Mô tả các phần tử.


Liệt kê các phần tử

Mô tả các phần tử

Chỉ ra các tính chất đặc
trưng cho các phần tử

A là tập hợp các số A={x | x là số nguyên tố

A={2; 3; 5; 7}

nguyên tố nhỏ hơn 10

nhỏ hơn 10}

B là tập hợp các chữ cái B={x | x là các chữ cái

B={m, a, t, c, h}

trong từ “match”
C là tập hợp các số tự

C={1; 2; 3; 4; 5….}

nhiên

trong từ “match”}
C={x | x □ }

1.2.3 Kí hiệu
Nếu x là một phần tử thuộc tập A kí hiệu là xA đọc là x thuộc A hoặc x
là một phần tử của A
Nếu x không là phần tử thuộc A kí hiệu là xA đọc là x không thuộc A
hoặc x không là phần tử của A


Là một phần tử



Không là một phần tử

Ví dụ 1: A={2; 4; 6; 8}
2 là phần tử của A kí hiệu là 2A
9 không là phần tử của A kí hiệu là 9A
Ví dụ 2: B={x | x là nghiệm của phương trình  x 1 x  3  0 }

 x 1 x  3  0


x10



x1

x  3  0
x3
B={1; 3}
 1B, 3B, 5B, aB
Bài tập tương tự:
Bài: Điền vào các ô trống với  hoặc 
a, 2
{2; 5; 7}

b, 0



c, ant

d,{1}

{1; 3; 5}

{a, n, t}


1.2.4 Lưu ý

a, Một tập hợp phải được xác định rõ ràng để tránh bất kì những hiểu lầm
về một đối tượng là một phần tử hay không là phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp các số nguyên dương là một tập hợp được xác định rõ
ràng (cho bất kì một số điện thọai chúng ta có thể dễ dàng nói nó là một số
nguyên dương).
b,Thứ tự các phần tử được viết không tạo ra sự khác biệt và mỗi phần tử
chỉ được liệt kê một lần.
Ví dụ: A={các chữ cái trong từ “NHA TRANG”}
A={N, H, A, T, R, G} hoặc A={G, R, N, H, A, T}…….
1.3 Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con
1.3.1 Tập rỗng
Một tập hợp không có một phần tử nào được gọi là tập rỗng. Kí hiệu là .
 hoặc { }
Tập rỗng hoặc tập không có phần tử nào
Ví dụ: P={tập hợp tất cả những con gà có 3 chân}
P=
Q={tập hợp tất cả những tháng trong năm có 33 ngày}
Q=
R={x | x □ và
R=

x2  1}

1.3.2 Số phần tử của một tập hợp a,
Định nghĩa
Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử
cũng có thể không có phần tử nào.
Ví dụ: D={0}
E={bút,chì}
F={x □ | x10}

K={x | x □ và x+5=2}


b, Kí hiệu
Số phần tử của tập hợp A được kí hiệu là n(A).
Ví dụ 1 : Ở ví dụ trên
n(D)=1
n(E)=2
n(F)=11
n(K)=
Ví dụ 2: Với A= {x | x là bình phương các số tự nhiên và x50}
B={x: x là số nguyên dương nhỏ hơn 10}
C={x: x=2k+1, 3k7, k là số nguyên}
a, Liệt kê các phần tử của A, B và C
b, Tìm n(A), n(B) và n(C)
Bài giải



2

2

2

2

2

2

a, A= 1 ; 2 ;3 ; 4 ;5 ;6 ;7

2



={1; 4; 9; 16; 25; 36; 49}
B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
C={2(4)+1; 2(5)+1; 2(6)+1}
={9; 11; 13}
b, n(A)=7
n(B)=9
n(C)=3
Bài tập tương tự:
Bài tập:
i. Liệt kê các phần tử của A
ii.Tìm n(A)


a, A={các chữ cái trong từ “chiến b, A={các ngày trong tuần bắt đầu
lược”}
c, A={x | x □ }
e, A={x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 20
}

bằng chữ “B”}
d, A={x | x là số nguyên dương nhỏ
hơn 10}
f, A={x | x là thừa số của 18}

g, A={x | x là bội số của 6 và h, A={x | x=2k+1, k là số nguyên

3  x  30 }

dương nhỏ hơn 5}

i, A={x | x là nghiệm của phương trình j, A={x | x là số tự nhiên và
 x  2 x  5  0 }
3x 1  9 }
k, A={x | x là nghiệm của phương h, A={x | x  a2  b2 , a và b là số
2

trình x  1  0 }

tự nhiên, 1a4 và 1b5}

1.3.3 Số tập con của một tập hợp hữu hạn
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử
thế A có tất cả bao nhiêu tập con? Ta chỉ xét trường hợp: n=0; 1; 2; 3; 4.
a,Với n=0 ta có A=
Hiển nhiên  chỉ có một tập con, đó chính là nó, tập hợp . Vậy tập hợp
không có phần tử nào thì có một tập con.
b,Với n=1
Giả sử A là tập hợp có một phần tử: A={a}(a là phần tử duy nhất của A)
Khi đó, các tập hợp  và {a} là tất cả các tập con của A
Vậy A có tất cả 2 tập con
Nếu kí hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp A thì ta có:
P()={} và P({a})={, {a}}.
c, Với n=2

Giả sử tập hợp A có 2 phần tử là a và b: A={a, b}. Khi đó A có các tập
con sau:


, {a}, {b} và {a, b}
Đó là tất cả các tập con của A: P({a,b})={, {a}, {b}, {a, b}}
Vậy A có tất cả 4 tập con.
d, Với n=3
Để dễ hình dung, ta xét bài toán sau:
Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời đi khai mạc một
cuộc triển lãm( ba người được mời độc lập với nhau)
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người
trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét mọi khả năng( a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc
không) và biểu diễn chúng trên một cây chẻ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân
cành đều có được từ cặp “đến, không”
A đến dự

b đến dự

c đến dự

Trên hình ta thấy có tất cả 8 khả năng, mỗi khả năng tương ứng với một
tập con của A={a, b, c}, kể cả tập con là 


Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P({a, b, c})={{a, b, c}; {a, b};{a, c},{b, c}; {a}; {b}; {c}; }
Vậy tập A={a, b, c} có tất cả 8 tập con
e, Với n=4

Giả sử tập hợp B gồm bốn phần tử a, b, c, d: B={a, b, c, d}. Có thể nghĩ
đến một người thứ tư là d cũng được mời đến dự khai mạc triển lãm. Khi đó, từ
mỗi trường hợp trong 8 trường hợp vừa nêu trong d, sẽ có hai khả năng, tùy
thuộc vào việc d đến hay không đến dự khai mạc. Do đó tập hợp tất cả các tập
con của tập hợp B là:
P(B)=P({a, b, c, d})={{a, b, c, d}; {a, b}; {a}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; ;
{a, b, c, d}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {a, d}; {b, d}; {c, d}; {d}}
Vậy tập hợp B={a, b, c, d} có tất cả 16 tập con
Đó là 8 tập con của tập hợp A={a, b, c} và 8 tập hợp mới, nhận được bằng
cách thêm d vào mỗi tập hợp con của A
Như vậy
0

Tập hợp  có 1= 2 tập con
1

Tập hợp có 1 phần tử có 2  2 tập con
2

Tập hợp có 2 phần tử có tất cả 4  2
Tập hợp có 3 phần tử có tất cả

tập con
3

8  2 tập con
4

Tập hợp có 4 phần tử có tất cả 16  2 tập con
……………

n

Tập hợp có n phần tử có tất cả 2 tập con
Vậy bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh được rằng tập hợp có
n

n phần tử có tất cả 2 tập hợp con.
1.3.4 Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có chứa các phần tử tương tự nhau
Nếu hai tập hợp A và B bằng nhau ta viết A=B. Ở đây mỗi phần tử của tập
A cũng là phần tử của tập B


Nếu tập A không bằng tập B ta viết AB.
Ví dụ 1: A={1; 2; 3; 4}
B={4; 3; 2; 1}
A=B
Ví dụ 2: G={c, a, t, cat}
H={c, a, t}
GH vì tập G có một phần tử là từ “cat”, từ “cat” không phải là một
phần tử của H mặc dù các chữ cái riêng lẻ đều thuộc H
Bài tập tương tự:
Bài 1: Đánh dấu () vào ô vuông mà các tập hợp bằng nhau
Đánh dấu() vào ô vuông mà các tập hợp không bằng nhau
a, A={chữ cái trong từ “algebra”}

b,A={chữ cái trong từ “celebrate" }

B={các chữ cái trong từ “beagle”}

B={chữ cái trong từ “bracelet”}

c, A={thừa số của 20}

d, A={x |x là nghiệm của phương

B={1; 2; 4; 5; 20}

trình x  9  0 }

2

B={x | x là số nguyên và 2x+ 1=7}

e, A={1; 2; 3; 4; 5}

f, A={a, d, e, b, c}

B={x | x là số tự nhiên nhỏ hơn 6}

B={x | x là nghiệm của phương trình
5x – 1=3}

Bài 2: Cho các tập hợp sau, các tập hợp nào bằng nhau
A={a, b, c, d}
B={ab, c, d}
C= D={}
E={0}
F={ }

G={x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 10}
H={x | x □



và x 4}

I={7; 2; 5; 3}
J={x | x □ và x  5}
1.3.5 Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì ta nói rằng tập A
là tập hợp con của tập B và viết AB (đọc là A chứa trong B)
Thay AB ta cũng có thể viết BA(đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A)
Tập hợp A không phải là tập con của B nếu có ít nhất một phần tử của A
không thuộc B ta viết A Ø B.
Ví dụ 1: A={a, b, c}
B={b, c, a}
AB vì mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B BA
vì mọi phần tử của tập B cũng là phần tử của tập A
Ví dụ 2: Tập hợp □ các số tự nhiên là một tập con của tập hợp □ các số
nguyên: □  □
Tập hợp □ các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp □ các số thực(vì mỗi
số hữu tỉ là một số thực) : □  □
Chú ý 2: Khi ta có AB va BA nó có nghĩa là A và B có các phần tử
như nhau nên A=B.
1.3.6 Tập con thực sự
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là mọi phần tử của tập B nhưng tập B có
số phần tử nhiều hơn tập A thì tập A được gọi tập con thực sự của tập B.Kí hiệu
AB đọc là A là tập con thực sự của tập B

Nếu A không là tập con thực sự của B thì ta viết AB




Tập con

Ø

Không là tập con



Tập con thực sự



Không là tập con thực sự

Ví dụ 1:A={p, q, r}
B={q, r, p}
C={p, q, r, t, s, u}
 AC vì mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập C nhưng C có số
phần tử nhiều hơn tập A
Tương tự ta có BC
A=B vì mỗi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B và ngược lại
Ví dụ 2: Tập hợp C các hình chữ nhật là tập con thực sự của tập hợp T
các hình bình hành vì mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành: C  T
Tính chất 1: Ta có các tính chất sau
a)

AA với mọi tập hợp A

b)

Nếu AB và BC thì AC (hình vẽ sau)

c)

A với mọi tập hợp A.

C

B
A

Chú ý 3: Chúng ta lưu ý giữa tập hợp con và phần tử thuộc tập hợp của
một tập hợp


Ví dụ 1:1{1; 2; 3}, {1}{1; 2; 3}
Ví dụ 2: {1}{1; 2; 3}, 1{1; 2; 3} vì 1 không là một tập hợp
Ví dụ 3:{b}{a,{b}, c}
Bài tập tương tự
Bài 1:Nếu A={c, a, t} thì những câu sau đúng (T) hay sai(F)
a, {a, c}A

d, {a, t}A

b, A

e, {c}A

c, {}=

f, AA

Bài 2: A={x | x là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6}
B={x | x là nghiệm của  x 1 x  5  0 } C={x|x □
và x6}
D={1; 5}
a, Tìm số phần tử của mỗi tập hợp trên
b,Sử dụng các kí hiệu , =,  để miêu tả mối quan hệ giữa các tập hợp
trên. Bài 3: a ,Với A  B nếu n(B)=50 tìm số phần tử tối đa của tập A
b, Với CD và DC Nếu n(C)=20 tìm n(D) và nêu mối quan hệ giữa hai
tập hợp trên.
1.3.7 Không gian tập hợp
Không gian tập hợp, kí hiệu  là tập hợp chứa tất cả các phần tử được xét
trong một vấn đề


Không gian tập hợp

Chẳng hạn, trong số học, người ta chỉ xét các tập con của tập hợp □ các số
được xem là không gian và trong hình học, tập hợp các điểm của không gian
Ơclit được xem là không gian.
Ví dụ 1: Không gian tập hợp của tập A={táo, cam, chuối} có thể ={tất cả
các loại trái cây}

Ví dụ 2: Không gian tập hợp của tập B={3; 6; 9; 12) có thể ={x | x là bội
của 3}.
1.4 Sơ đồ ven
1.4.1 Sơ đồ ven
Chúng ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh
bởi một vòng kín được gọi là sơ đồ ven như hình vẽ


B

Ví dụ :Với ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
A={2; 4; 5}
B={1; 2; 5; 7}
Sử dụng sơ đồ ven để minh họa các tập hợp trên
 3
6

A

B
4

8

2 1
5

7

2 và 5 là các phần tử chung của tập A và B

được đặt trong phần chung của tập A và B tức là nơi hai vòng elip chồng lên nhau
Các phần tử 3, 6, 8 được đặt bên ngoaì các vòng elip vì chúng không thuộc vào một


1.4.2 Hai tập tách rời nhau
Nếu hai tập không có phần tử chung nào thì hai tập đó được gọi là hai tập
tách rời nhau
Ví dụ 1: Với ={p, q, r, s, t, u}, C={p, t, u}, D={r, s} sử dụng sơ đồ khối
để vẽ các tập hợp trên
q



p C
r
Tập C và D không
D có bất kì phần chung nào trong sơ đồ ven vì chúng không có phần tử chung nào
t u
s

Ví dụ 2: Nếu ={ 5; 10; 15; 20; 25}, P={5; 10} vàQ={5; 10; 15}, dùng sơ
đồ ven để biểu thị mấy tập hợp trên
20

20
15



5

Tất cả số phần tử
của
tập
10 PP đều là số phần tử của tập Q. Do đó ta vẽ một vòng tròn nhỏ P nằmbên trong vòng tròn củ
Q
20

Ví dụ 3: Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác
vuông thì D và V là hai tập rời nhau
Thật vậy một tam giác không thể vừa đều vừa là vuông
Do đó D  V=


1.4.3 Phần bù của tập hợp a,
Định nghĩa
Phần bù của tập A viết là A

là tập tất cả các phần tử trong không gian

tập hợp X mà không phải là trong tập hợp A. Chúng ta đọc A là tập bù của tập
A

 ={x | xX và xA}.

A 

Phần tô đậm chính là phần biểu thị tập A

b, Tính chất
AXA

A=

A\=A

AX=X

A=A

Ví dụ :Với ={3; 4; 5; 7; 9} và A={4; 7; 9} tìm A


3
4
9

A ={3; 5}

5
A

7
A

Phần tô đậm chính là phần biểu thị tập A

 là phần tử trong  nhưng không trong A

Bài tập tương tự:
Bài 1:Với ={11; 12; 13; 14; 15; 16;1 7; 18}

A={12; 14; 16; 18}
B={11; 13; 15; 17}
a.

Vẽ sơ đồ ven biểu diễn các tập hợp trên


b.

Liệt kê các phần tử của  và 

Bài 2: Cho ={x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 16}
A={x | x là bội của 5}
B={x | x là thừa số của 18}
a.

Liệt kê các phần tử của , A, B,  
 ,

b.

Tìm n(), n(A), n(B), n(  ), n(  )

1.5 Các phép toán trên tập hợp
1.5.1 Hợp của hai tập hợp
a. Định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B được gọi là hợp
của hai tập hợp A và B. Kí hiệu C= A  B ={x | xA hoặc xB}.

xA

x A  B 


xB
Hợp của hai tập hợp



A

B

Phần tô đậm chính là phần
biêu thị A  B

Phép toán hợp các tập hợp có thể được định nghĩa cho 3, 4,…, n tập hợp.
Khi đó ta viết:

A1  A2  .....  An  {x | x A1 hoặc x  A ....... hoặc x  A }
2
n
Có thể kí hiệu ngắn gọn như sau:
n

A1  A2  ......  An   Ai  {x | x  Ai với i=1, 2,…,n}
i1
Nếu là hợp của họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:


n

A1  A2  ......  An   Ai  {x | x  Ai

với i=1,2,…}

i1

Tổng quát: cho một họ các tập hợp {Ai }iI . Khi đó

 Ai  {x | x  Ai với I nào đó}

iI

b.Định lí
Với các tập hợp bất kì A, B, C, D ta có:
i. AAB, BAB
ii. Nếu AC và BC thì ABC
iii. Nếu AC và BD thì ABCD
iv. ABABB
Chứng minh
ii. Giả sử AC và BC. Khi đó nếu xAB thì xA hoặc xB do đó xC.
Vậy ABC
iv. () Giả sử AB khi đó nếu xAB thì xB do đó xAB do đó xB.
Vậy ABB. Mặt khác theo i. ta có BAB nên từ hai bao hàm thức vừa nêu suy
ra ABB
() Giả sử ABB khi đó theo i. ta có: AAB=B
Ví dụ 1: Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp
các số thực
Hợp của tập hợp □ các số nguyên và tập hợp □ các số hữu tỉ là tập hợp

□ :□ □ □
Ví dụ 2:Tô đậm các phần sau đây sử dụng sơ đồ ven
a)

AB

b)

 A  B 

c)
d)
e)

A  B
A  B
A  B


Bài làm
a)

AB

b)

 A  B 






c) A  B

Tô đậm miền A

A

B


A

B

Tô đậm miền B

A

B

Miền tô đậm A  B bao gồm các
phần được tô đậm


d) A  B

Tô đậm miền A


A

B


A

B

Tô đậm miền B

A

B

Miền tô đậm A  B bao gồm các
phần được tô đậm


e) A  B
Tô đậm miền A

Tô đậm miền B

Phần tô đậm A  B bao gồm các
phần được tô đậm
Bài tập tương tự
Bài : Với ={a, b, c, d, e, f, g}, A={b, e, d}, B={a, d, e, g} tìm
a, 

b, 

c,    

d,   

1.5.2 Giao của hai tập hợp a,
định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của
hai tập hợp A và B
Kí hiệu C=AB (phần tô đậm trong hình)
Vậy AB={x | xA và xB}


x  A  B   x  A
x  B


Giao của hai tập hợp

Phép toán giao của hai tập hợp có thể định nghĩa cho 3,4,…,n tập hợp,khi
đó ta viết:

A1  A2  ......  An  {x | x  Aii  1, n}
n

Có thể kí hiệu ngắn gọn như sau: A1  A2  ......  An   Ai
i1

Nếu là giao của một họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:

n

A1  A2  ......  An   Ai
i1

Tổng quát: Cho một họ vố số tập hợp {Ai }iI . Khi đó

 Ai  {x | x  Ai với i  I}

iI

Giao của các tập hợp là phần chung của các tập hợp
b, Định lí
Với các tập hợp bất kì A, B, C, D ta có:
i. ABA, ABB
ii. Nếu AB và AC thì ABC
iii. Nếu AB và CD thì ACBD
iv. ABABA


Chứng minh:
ii. Giả sử AB, AC và x là một phần tử bất kì của A. Khi đó xB và
xC do đó xBC
iv. () Giả sử AB khi đó nếu xA thì xB do đó xAB, Từ đó ta có
AAB. Măt khác, theo i. ABA. Từ hai bao hàm đẳng thức trên suy ra
AB=A
() Giả sử AB=A. Khi đó, nếu xA thì xAB, do đó xB. Vậy AB Ví
dụ 1: Cho tập hợp
A={x □ | 2x 1  0}
Tìm A □ ( □ là tập hợp các số tự nhiên)

Ta có: A={ x □

|x

1
2

}

Do đó A □ ={}
Ví dụ 2: Với ={8; 9; 10;…;16}
A={8; 10; 12; 14; 15; 16}
B={11; 12; 13; 14}
C={9; 11; 13; 15}

Tìm

a,   

b, n    

e,   

f,

  

c,   C

g,   

d, n    C 
h,    

Bài giải
a,    ={12; 14}
b, n      =2 c,

  C =
d, n    C  =0
e,    ={9; 11; 13; 15}{11; 12; 13; 14}
={11; 13}
f,    ={8; 10; 12; 14; 16}{8; 9; 10; 15; 16}={8; 10; 16}


g,    ={9; 11; 13; 15}{11; 12; 13; 14}
={9; 11; 12; 13; 14; 15}
h,    ={9; 11; 13; 15}{8; 9; 10; 15; 16}
={8; 9; 10; 11; 13; 15; 16}
       ={12; 14} Bài
tập tương tự
Bài tập 1: Với ={a, b, c, d, e, f, g}, A={a, d, f}, B={b, d, e, f} tìm
a,    

b,    

c,   

Bài tập 2: A={  x, y | x, y  nằm trên
đường

B={  x, y  | x, y

d,   

y

nằm trên đương y=ax + b}

Nêu rõ các giá trị của a và b có thể có nếu
a, A=B

b,    =

Bài tập 3: X={b, c, d}

Y={a, b, c, d, e}

a, Tìm các phần tử của Z sao cho XZ=Y
b, Tìm các phần tử của Z sao cho YZ=X

1
2

x1}