Ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
******************

NGUYEN TH± HƯèNG

ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP
GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP 2

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP
Chuyên ngành: Toán Giái
tích

Hà N®i-2013


TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
******************

NGUYEN TH± HƯèNG

ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP
GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP 2

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP
Chuyên ngành: Toán Giái
tích

Hà N®i-2013


LèI CÁM ƠN
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, em xin bày tó lòng
biet ơn sâu sac tói PGS.TS. Khuat Văn Ninh, ngưòi đã t¾n tình hưóng
dan đe em có the hoàn thành khóa lu¾n này.
Em cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói toàn the các thay cô
giáo trong khoa Toán, Trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i 2 đã day báo em
t¾n tình trong suot quá trình hoc t¾p tai khoa.
Nhân d%p này em cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã luôn bên em, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quá trình
hoc t¾p và thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p này.
Hà N®i, ngày

tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Th% Hưàng


LèI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan công trình nghiên cúu này là cna riêng em dưói sn chí
dan cna PGS.TS. Khuat Văn Ninh - Giáng viên khoa Toán, Trưòng
Đai hoc Sư pham Hà N®i 2. Các ket quá trong khóa lu¾n là trung thnc,
không trùng vói ket quá nghiên cúu cna các tác giá khác.
Neu sai, em xin hoàn toàn ch%u trách nhi¾m.
Hà N®i, ngày

tháng 05 năm 2013

Ngưòi cam đoan

Nguyen Th% Hưàng


Mnc lnc
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%............................................5
1.1. Không gian vec tơ.....................................................................................5
1.1.1. Khái ni¾m không gian vectơ................................................................................5
1.1.2. M®t so ví du.........................................................................................................6
1.1.3. H¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính và h¾ vectơ phu thu®c tuyen tính...............................6
1.1.4. Cơ só và so chieu cna không gian vectơ........................................................................7
1.1.5. Không gian vectơ con...........................................................................................8

1.2. Không gian đ%nh chuan...........................................................................8
1.2.1. Khái ni¾m không gian đ%nh chuan................................................................................8
1.2.2. Sn h®i tu trong không gian đ%nh chuan..............................................................9
1.2.3. Toán tú tuyen tính trong không gian đ%nh chuan.............................................10

1.3. Không gian Hilbert............................................................................11
1.3.1. Tích vô hưóng....................................................................................................11
1.3.2. Tính trnc giao....................................................................................................13
1.3.3. Cơ só trnc chuan - Đang thúc Parseval..............................................................15

1.4. Phương pháp chieu và đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng
trong không gian Hilbert..........................................................................15
1.4.1. Phương pháp chieu........................................................................................................15
1.4.2. Đ%nh lý h®i tu cơ bán...................................................................................................16
1.4.3. Đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert.............18

5


1.4.4. Úng dung cna đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng trong không gian
Hilbert................................................................................................................19

1.5. Phương trình vi phân thưòng và bài toán biên cna phương trình vi
phân thưòng........................................................................................24
1.5.1. M®t so khái ni¾m ve phương trình vi phân.......................................................24
1.5.2. Bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng................................................25

1.6. Ket lu¾n chương 1...................................................................................28
Chương 2. Phương pháp Galerkin và Nng dnng vào giái gan
đúng bài toán biên cúa phương trình vi phân thưàng................29
2.1. Cơ só lý thuyet chung...............................................................................29
2.2. Phương pháp Galerkin và úng dung vào giái bài toán biên . .

30

2.2.1. N®i dung phương pháp......................................................................................30
2.2.2. M®t so ví du:......................................................................................................32

2.3. So sánh phương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp giái bài
toán biên hai điem tuyen tính.............................................................37
2.3.1. Phương pháp Collocation...................................................................................37
2.3.2. So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp Collocation............................39
2.3.3. Phương pháp sai phân.......................................................................................42
2.3.4. So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp sai phân................................43

2.4. Ket lu¾n chương 2...................................................................................47
Chương 3. Úng dnng ngôn ngÑ l¾p trình Pascal và Maple vào
giái bài toán biên cúa phương trình vi phân thưàng...................48
3.1. Úng dung ngôn ngu l¾p trình Pascal vào giái bài toán biên . . 48
3.2. Úng dung Maple vào giái bài toán biên......................................52
3.3. Ket lu¾n chương 3............................................................................54

6


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Phương trình vi phân là m®t trong nhung máng kien thúc quan trong
cna toán hoc. Vi¾c giái phương trình vi phân không chí giúp giái quyet
đưoc m®t lưong lón các bài toán trong các lĩnh vnc toán hoc, v¾t lý, hóa
hoc,. . . mà còn đem lai nhieu úng dung thnc tien trong cu®c song.
Tuy nhiên, giái phương trình vi phân đe tìm đưoc nghi¾m chính xác
van còn g¾p nhieu khó khăn. Do v¾y, các nhà khoa hoc đã nghiên cúu và
tìm ra các phương pháp giái gan đúng phương trình vi phân.
Đe mó r®ng và nâng cao sn hieu biet ve các phương pháp giái phương
trình vi phân, ó khóa lu¾n này, em xin manh dan trình bày phương pháp
Galerkin và úng dung quan trong cna phương pháp này đe giái gan đúng
bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng cap 2.
2. Mnc đích nghiên cNu
Tong hop kien thúc ve phương pháp Galerkin và úng dung trong vi¾c
giái phương trình vi phân thưòng.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu phương pháp Galerkin đe giái bài toán biên cna phương
trình vi phân thưòng.
H¾ thong m®t so kien thúc liên quan đen phương pháp này.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
• Đoi tưong nghiên cúu: Úng dung cna phương pháp Galerkin đe giái
bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng cap 2.
• Pham vi nghiên cúu: Bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng
cap 2.
5. Phương pháp nghiên cNu
• Tìm tòi, sưu tam, h¾ thong các tài li¾u liên quan.
• Nghiên cúu tài li¾u.


• Phân tích, so sánh, tong hop các n®i dung.
• Tham kháo ý kien chuyên gia.
6. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
Đe tài trình bày h¾ thong cơ só lý thuyet, đưa ra phương pháp và m®t
so ví du cu the cho úng dung cna phương pháp Galerkin vào giái bài toán
biên hai điem tuyen tính cna phương trình vi phân thưòng cap 2, so sánh
phương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp khác đe thay đưoc sn hi¾u
quá cna phương pháp này. Ngoài ra, đe tài còn giói thi¾u úng dung Pascal
và Maple vào bài toán trên đe vi¾c tính toán nhanh chóng và đơn gián
hơn.
Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 3 chương :
• Chương 1 cna khóa lu¾n trình bày tóm tat m®t so ket quá đã biet
trong đai so tuyen tính và giái tích hàm, các đ%nh lý và ket quá cơ
bán liên quan đen khóa lu¾n.
• Chương 2 cna khóa lu¾n t¾p trung trình bày ý tưóng, các khái ni¾m
và tính chat và n®i dung cơ bán cna phương pháp Galerkin. Bên canh
đó là m®t so ví du cu the úng dung phương pháp Galerkin vào giái
bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng.
• Chương 3 trình bày úng dung cna tin hoc vào giái bài toán biên hai
điem tuyen tính.

Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n không nhieu, kien thúc còn han che nên
khi làm khóa lu¾n không tránh khói nhung thieu sót. Em rat mong nh¾n
đưoc nhung đóng góp quý báu cna quý thay cô và ban đoc.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, ngày

tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Th% Hưàng


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1. Không gian vec tơ
1.1.1. Khái ni¾m không gian vectơ
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho V là m®t t¾p khác rong mà các phan tú ký hi¾u là
x,y,z,. . . và K là m®t trưòng. Giá sú V đưoc trang b% hai phép toán sau:
a) Phép c®ng:
+: V×V → V
(x, y)
b) Phép
nhân:

·:K×V

›→ x + y
→V

(λ, x) ›→ λ · x

thóa mãn nhung đieu ki¾n (ho¾c tiên đe) sau đây:
1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V ;
2. ∃θ ∈ V : θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V , (θ là phan tú không trong V
);
3. ∀x ∈ V , ∃xr ∈ V : x + xr = xr + x = θ;
4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ;
5. (λ + µ)x = λ · x + µ · x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V
; 6. λ(x + y) = λ · x + λ · y, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈
V ; 7. (λ(µx)) = (λµ)x, ∀λµ ∈ K, ∀x ∈ V ;


8. 1 · x = x, ∀x ∈ K.
Khi đó V cùng vói hai phép toán đã cho đưoc goi là m®t không gian
vectơ trên trưòng K hay K- không gian vectơ.
Các phan tú cna V goi là các vectơ, các phan tú cna K goi là các vô
hưóng. Phép c®ng ”+” goi là phép c®ng vectơ, phép nhân ”·” goi là phép
nhân vectơ vói vô hưóng.
Khi K = R thì V đưoc goi là không gian vectơ thnc.
Khi K = C thì V đưoc goi là không gian vectơ phúc.
1.1.2. M®t so ví dn
Ví dn 1.1. T¾p hop K[X] các đa thúc cna bien so X vói h¾ so thu®c
trưòng K vói phép c®ng đa thúc và phép nhân đa thúc vói vô hưóng thu®c
trưòng K là m®t K- không gian vectơ.
Ví dn 1.2. T¾p hop X khác rong, V là m®t K-không gian vectơ. T¾p Ω
gom tat cá các ánh xa ϕ : X −→V vói các phép toán:
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)
(λϕ)(x) = λ · ϕ(x)
vói ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K là m®t K- không gian vectơ
Ví dn 1.3. Cho trưòng K và n ≥ 1. Xét tích Descartes:
Rn = {(x1, x2, . . . , xn)|xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}

vói hai phép toán:
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn +
yn),
λ(x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , xn), λ ∈ R.
R cùng vói hai phép toán trên là m®t K- không gian vectơ.
n

1.1.3. H¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính và h¾ vectơ phn thu®c tuyen
tính
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho K- không gian vectơ V
• M®t to hop tuyen tính cúa các vectơ x1, . . . , xn ∈ R là m®t bieu
thúc


dang:
n
.

λixi = λ1x1 + . . . + λnxn, trong đó λ1, . . . , λn ∈ R.
(1.1)

i=1

• Vói x ∈ R, neu x = λ1x1 + . . . + λnxn thì ta nói vectơ x bieu th%
tuyen tính đưoc qua h¾ vectơ {x1, . . . , xn} và đang thúc x = λ1x1
+. . .+λnxn
đưoc goi là m®t bieu th% tuyen tính cúa x qua các vectơ x1, . . . , xn.
Đ%nh nghĩa 1.3. Trong không gian vectơ R
• H¾ vectơ {x1, . . . , xn} đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính neu h¾ thúc
→−

λ1 x1 + . . . + λn xn =
0
chs xáy ra khi λ1 = . . .
= λn = 0. (1.2)
• H¾ vectơ {x1, . . . , xn} đưoc goi là phn thu®c tuyen tính neu h¾
đó không đ®c l¾p tuyen tính.
1.1.4. Cơ sá và so chieu cúa không gian vectơ
Đ%nh nghĩa 1.4.
• M®t h¾ vectơ cúa V đưoc goi là m®t h¾ sinh cúa V neu moi vectơ cúa
V đeu bieu th% tuyen tính qua h¾ đó.
• M®t h¾ vectơ cúa V đưoc goi là m®t cơ só cúa V neu moi vectơ cúa
V đeu bieu th% tuyen tính duy nhat qua h¾ này.
Đ%nh nghĩa 1.5.
• Neu không gian vectơ V có cơ só gom n vectơ thì n đưoc goi là so
chieu cúa V.
Ký hi¾u là : dimV = n.
Không gian V có so chieu n đưoc goi là không gian vectơ n chieu.
Ký hi¾u là V n.
Neu V = θ, ta quy ưóc dimV = 0.
• Neu V không có cơ só nào gom huu han vectơ thì nó đưoc goi là
không gian vectơ vô han chieu.


1.1.5. Không gian vectơ con
Đ%nh nghĩa 1.6. Giá sú V là m®t K- không gian vectơ và W là m®t t¾p
con cúa V sao cho:
x + y ∈ W, ∀x, y ∈ W
λx ∈ W, ∀λ ∈ K, x ∈ W
và W cùng vói hai phép toán trên là m®t không gian vectơ trên trưòng K.
Khi đó, ta goi W là m®t không gian vectơ con cúa không gian vectơ V.

Ví dn 1.4. T¾p P n [X] = {a0 + a1X + . . . + a n Xn| ai ∈ K} là m®t
không gian vectơ con cna K- không gian vectơ K[X].
Ví dn 1.5. Không gian C1[a, b]- các hàm so thnc khá vi, liên tuc trên
đoan [a,b] là m®t không gian con cna R- không gian C[a,b]- các hàm so
liên tuc trên đoan [a,b].

1.2. Không gian đ%nh chuan
1.2.1. Khái ni¾m không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho X là m®t không gian tuyen tính (không gian vectơ)
trên trưòng K (K = R ho¾c K = C). M®t ánh xa kí hi¾u là ||.||:
||.|| : X → R
x

›→ ||x||

đưoc goi là m®t chuan trên X neu nó thóa mãn các tiên đe sau:
1. (∀x ∈ X) ||.|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (ký hi¾u θ là phan tú không
cúa X);
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) ||αx|| = |α| ||x|| (tính thuan nhat cúa chuan);
3. (∀x, y ∈ X) ||x + y|| ≤ ||x|| + |y|| (bat đang thúc tam giác).
So ||x|| goi là chuan (hay đ® dài) cúa vectơ x. Các tiên đe 1), 2), 3) goi
là h¾ tiên đe chuan.


Đ%nh nghĩa 1.8. Cho X là không gian vectơ trên trưòng K, ||.|| là m®t
chuan trên X. Khi đó c¾p (X, ||.||) đưoc goi là không gian đ%nh chuan. (X,
||.||) là không gian đ%nh chuan thnc ho¾c phúc neu K là trưòng thnc
ho¾c phúc.
Ta cũng ký hi¾u không gian đ%nh chuan là X.
1.2.2. SN h®i tn trong không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.9. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X goi là
h®i tn đen điem x ∈ X neu:
lim
||xn − x|| = 0. Ký hi¾u = x hay xn → x (n → ∞)
n→∞
lim
n →∞

Đ%nh nghĩa 1.10. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X goi là
dãy cơ bán neu:
lim ||x − x|| = 0
n→∞

n

Không gian đ%nh chuan X là không gian Banach neu moi dãy cơ bán
trong X đeu h®i tu.
Ví dn 2.1. Vói so thnc bat kỳ x ∈ R, đ¾t ||x|| = |x|
De thay công thúc trên xác đ%nh m®t chuan trên R. Không gian đ%nh chuan
tương úng ký hi¾u là R1. R1 là không gian Banach.
Ví dn 2.2. Cho không gian vectơ
∞
.
l2 := {x = (xn)|
|xn|2 < +∞}
n=1

Vói vectơ bat kỳ x = (xn) ∈ l2 đ¾t
||x|| = (

.∞

1

|x2
n |) 2

n=1

Công thúc trên xác đ%nh m®t chuan trên l2. Không gian đ%nh chuan tương
úng ký hi¾u là l2. l2 là không gian Banach.
Ví dn 2.3. Cho không gian vectơ C[a,b] - không gian các hàm so xác đ
%nh và liên tuc trên [a, b]. Vói hàm so bat kỳ x(t) ∈ C[a,b], đ¾t
||x|| = max |x(t)|
a≤t≤b


công thúc trên cho m®t chuan trên C[a,b]. Không gian đ%nh chuan
tương úng là C[a,b].
De thay C[a,b] là không gian Banach.
Ví dn 2.4. Không gian vectơ L[a,b] gom các hàm x(t) xác đ%nh và khá
tích Lebesgue trên [a,b] là không gian đ%nh chuan vói chuan:
||x|| = ¸b
|x(t)|dt
a

Khi đó, không gian đ%nh chuan tương úng là L[a,b]. L[a,b] cũng là
không gian Banach.
Ví dn 2.5. Cho không gian vectơ n chieu En , trong đó:
En = {x = (x1, . . . , xn) : xi ∈ R ho¾c xi ∈ R}.

Vói vectơ bat kỳ x = (x1, x2, . . . , xn), ta đ¾t:
n

||x||p = (

.

1

|xi|p)p

i=1

Công thúc trên xác đ%nh m®t chuan trên E n. En là m®t không gian Banach.
1.2.3. Toán tN tuyen tính trong không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.11. Giá sú X, Y là hai không gian đ%nh chuan trên trưòng
K (K là trưòng thnc ho¾c phúc). Ánh xa A : X → Y đưoc goi là m®t
toán tú tuyen tính neu A thóa mãn:
1. A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), (∀x1, x2 ∈ X);
2. A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K).
Đe cho gon, ta viet Ax thay cho A(x)) đe chs phan tú úng vói x trong
toán tú A. De thay các đieu ki¾n 1) và 2) tương đương vói:
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ X
⇒ A(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) = α1Ax1 + α2Ax2 + · · · +
αnAxn,
∀x1, x2, . . . , xn ∈ X, ∀α1, α2, . . . , αn
∈ K.


Đ%nh nghĩa 1.12. Cho X, Y là hai không gian đ%nh chuan. M®t toán tú

tuyen tính A : X → Y đưoc goi là liên tnc tai x0 ∈ X neu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X : ||x − x0|| < δ, ta có : ||Ax − Ax0|| < ε
Tương đương: ∀xn → x0, (n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0, (n → ∞).
Đ%nh nghĩa 1.13. Toán tú A : X → Y đưoc goi là b% ch¾n (giói n®i)
neu ton tai hang so M > 0 sao cho:
(∀x ∈ X) ||Ax|| ™ M||x||.
So M nhó nhat thóa mãn h¾ thúc trên goi là chuan cna toán tú A, ký
hi¾u là : ||A||.
||A|| = inf{M > 0 : ||Ax|| ™ M · ||x||, ∀x ∈ X}
Đ%nh lý 1.1. Toán tú tuyen tính A : X → Y là liên tnc khi và chs khi
nó b% ch¾n.

1.3. Không gian Hilbert
1.3.1. Tích vô hưáng
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho không gian vectơ X trên trưòng K (K là trưòng
thnc ho¾c phúc). Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi ánh xa đi
tù tích Descartes X × X vào trưòng K, ký hi¾u là (.,.) thóa mãn các
tiên
đe sau:
1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ K) (αx, y) = α(x, y);


4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, neu x ƒ= θ (θ là ký hi¾u phan tú không)
(x, x) = 0, neu x = 0.
So (x,y) goi là tích vô hưóng cúa hai nhân tú x và y, các tiên đe 1),
2), 3), 4) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng.
Đ%nh lý 1.2. Đoi vói moi x ∈ X ta đ¾t:
,

||x|| = (x, x)
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bat đang thúc Schwarz:
|(x, y)| ≤ ||x|| ||y||
Đ%nh nghĩa 1.15. Giá sú (.,.) là m®t tích vô hưóng trên X, khi đó:
.
||x|| = (x, x), ∀x ∈ X
xác đ%nh m®t chuan trên X đưoc goi là chuan sinh bói tích vô hưóng đã
cho.
Đ%nh nghĩa 1.16. Ta goi t¾p H ƒ= 0 gom nhung phan tú x, y, z, . . .
nào đó là không gian Hilbert neu t¾p H thóa mãn các đieu ki¾n:
1) H là không gian tuyen tính trên trưòng K;
2) H đưoc trang b% m®t tích vô hưóng (.,.);
,
3) H là không gian Banach vói chuan ||x|| = (x, x), x ∈ H.
Neu K=R ho¾c K=C thì không gian Hilbert tương úng là không
gian Hilbert thnc ho¾c phúc.
Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cúa không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con cúa không gian H.
Ví dn 3.1 Cho X là không gian Rn vói tích vô hưóng:
n

(x, y) =
∈ Rn

.

xiyi, vói x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, . . . , yn)

.

i=
1


Chuan sinh bói tích vô hưóng:
‚..
.
n
.
||x|| = (x, x) =
,

x2

i

i=1

Rn cùng vói tích vô hưóng trên là m®t không gian Hilbert.
Đ%nh nghĩa 1.17. Toán tú tuyen tính A goi là toán tú dương trong không
gian Hilbert H neu:
(Ax, x) ≥ 0 ∀x ∈ H
.
Đ%nh nghĩa 1.18. Toán tú tuyen tính A goi là toán tú xác đ%nh dương
neu ton tai hang so γ > 0 sao cho (Ax, x) ≥ γ||
x||

2

, ∀x ∈ H.

De thay, neu A là toán tú tuyen tính xác đ%nh dương thì A là toán tú
tuyen tính dương.
1.3.2. Tính trNc giao
Đ%nh nghĩa 1.19. Cho không gian Hilbert H. Hai phan tú x, y ∈ H goi
là trnc giao, ký hi¾u x ⊥ y, neu (x, y) = 0.
Đ%nh nghĩa 1.20. Cho không gian Hilbert H và t¾p con A ⊂ H, A ƒ=
∅. Phan tú x ∈ H đưoc goi là trnc giao vói t¾p A, neu x ⊥ y(∀y ∈ A)
và kí hi¾u là x ⊥ A.
M®t so tính chat cơ bán:
1) x ⊥ θ(∀x ∈ H) (ký hi¾u θ là phân tú không cna H).
2) x ⊥ y, ∀y ∈ H ⇔ x = θ.
3) Neu x ⊥ yj vói x, yi ∈ H, (j = 1, 2, . . . , n) thì
n

∀αj ∈ K(j = 1, 2, . . . , n) ta có: x ⊥
j=1

.

α jyj


Túc là x trnc giao vói moi to hop tuyen tính cna yj ∈ H, (j = 1, 2, . . . ,
n).
4) Cho A là t¾p con trù m¾t khap nơi trong không gian H. Khi đó, neu
x ∈ H và x ⊥ A thì x = θ.
Đ%nh lý 1.3. (Đ%nh lý Pythagore) Neu x, y ∈ H và x ⊥ y, thì:
||x + y|| 2 = ||x|| + ||y|| 2.

2

Đ%nh nghĩa 1.21. Cho không gian Hilbert H. T¾p gom huu han hay đem
đưoc các phan tú (en)n≥1 ⊂ H goi là m®t h¾ trnc chuan, neu:

(e , e ) = δ = 0 vói i ƒ= j
i

j



ij

 1 vói i=j

á đó, δij là ký hi¾u Kroneckes, i, j = 1, 2, . . . , n
Quá trình trNc giao hóa Hilbert - Schmidt
Nh¾n xét: Moi h¾ trnc chuan đeu đ®c l¾p tuyen tính. Ngưoc lai, cho m®t
h¾ các vectơ đ®c l¾p tuyen tính (xn)n≥1 ⊂ H gom huu han hay đem
đưoc
các phan tú, bao giò cũng có the bien h¾ này thành m®t h¾ trnc chuan nhò
quá trình trnc giao hóa Hilbert - Schmidt.
Th¾t v¾y
Đ¾t : e =

x1

⇒ ||e1|| = 1.
Đ¾t : y2 = x2 − (x2, e1)e1 thì (y1, e1) = (x2, e1) − (x2, e1)(e1, e1)

= 0.
1

||x||1

Hien nhiên, yy2 ƒ= θ vì neu y2 = θ thì x1, x2 phu thu®c tuyen tính.
Đ¾t : e = 2
2
||y2|| ta đưoc (e2, e1) = 0và ||e2|| = 1 hay h¾ {e1, e2} là
trnc chuan.

h¾

Bang quy nap, ta xây dnng h¾ (en)n≥1 ⊂ H vói
n−1

.
en = yn
(xn, ei)ei,
, yn = xn
||yn||
i=
−
1
H¾ trên là h¾ trnc chuan.

n = 1, 2, . . . .


Đ%nh

lý 1.4. (Bat đang thúc Bessel): Neu (en)n≥1 là m®t h¾ trnc
chuan
thúc: nào đó trong không gian Hilbert H, thì ∀x ∈ H ta đeu có bat đang
. |(x, en)| ≤ ||x||
2
n≥1


Bat đang thúc trên goi là bat đang thúc Bessel.
1.3.3. Cơ sá trNc chuan - Đang thNc Parseval
Đ%nh nghĩa 1.22. H¾ trnc chuan (en)n≥1 trong không gian Hilbert H
goi là cơ só trnc chuan cúa không gian H neu trong không gian H không
ton tai vectơ khác không nào trnc giao vói h¾ đó.
Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý ve đang thúc Parseval) Cho (en)n≥1 là cơ só
trnc chuan cúa không gian H .
Năm m¾nh đe sau đây tương đương:
1. H¾ (en)n≥1 là cơ só trnc chuan cúa không gian H;
.
2. (∀x ∈ H) x = (x, en)en;
n≥1

.

3. (∀x, y ∈ H)(x, y) = (x, en)(en, y) (đang thúc Parseval);
n≥1
2

4. (∀x ∈ H) ||x|| =

.

|(x, en)|2 (phương trình đóng);

n≥1

5. Bao tuyen tính cúa h¾ (en)n≥1 trù m¾t khap nơi trong không gian H.

1.4. Phương pháp chieu và đ%nh lý hình chieu lên
không gian con đóng trong không gian Hilbert
1.4.1. Phương pháp chieu
Cho E, F là hai không gian Banach (thnc ho¾c phúc). Xét phương
trình:
Lu = f
(1.3)
trong đó L là toán tú tuyen tính có mien xác đ%nh D(L) ⊂ E và mien giá
tr% R(L) ⊂ F . Phương pháp chieu đe giái phương trình này như sau:


Giá sú hai dãy không gian con {En} và {Fn} sao cho:
En ⊂ D(L) ⊂ E, Fn ⊂ F, (n = 1, 2, . . . )
Các toán tú chieu tuyen tính pn tù F lên Fn nghĩa là thóa mãn đieu ki¾n:
(pn)2 = pn, pnF = Fn, (n = 1, 2, . . . )
Phương trình đưoc thay the gan đúng như sau:
pn(Lun − f ) = 0, un ∈ En
(1.4)
Tìm nghi¾m un ∈ En sao cho pn(Lun −f ) ∈ Fn. ta giái phương trình
(1.4) trong Fn và tìm nghi¾m trong En.
1.4.2. Đ%nh lý h®i tn cơ bán
Dãy các không gian con {En} đưoc goi là trù m¾t giói han trong không
gian Banach E neu vói moi z ∈ E thóa mãn đieu ki¾n:

ρ(z, En) → 0 khi n → ∞, trong đó ρ(z, En) = inf ||z − zn||.
zn∈En

Đ%nh lý 1.6. Giá sú mien xác đ%nh D(L) cúa toán tú L trù m¾t trong
E, mien giá tr% R(L) trù m¾t trong F và giá sú L là ánh xa tù D(L) lên
R(L), giá sú không gian con LEn và Fn là đóng trong F, Pn là toán tú b%
ch¾n đeu đoi vói n, túc là:
||Pn|| ≤ c,

(n = 1, 2, · · · ).

(1.5)

Khi đó vói moi f thu®c F bat đau vói chs so n = n0, ton tai duy
nhat nghi¾m un cúa (1.4). Đe không khóp R = Lun − f tien dan tói
0 theo chuan khi n → ∞ , can và đú thóa mãn các đieu ki¾n sau:
1)Dãy không gian con LEn trù m¾t giói han trong F;
2)Vói n ≥ n0, toán tú Pn là song ánh tù LEn lên Fn;
3)τ ≡ limn

→∞

τn > 0, trog đó τn = inf ||Pnzn||.
n∈LEn
||zn||=1


Toc đ® h®i tu thóa mãn các đieu ki¾n 1), 2), 3) xác đ%nh bói các bat
đang thúc:
c

ρ(f, LEn) ≤ ||Lun − f || ≤ (1 )ρ(f, LEn)
τ
+

(1.6)

n

Trong trưòng hop không gian con En và Fn là huu han chieu và
hơn nua dimEn = dimFn thì đieu ki¾n 2) là h¾ quá cna đieu ki¾n 3).
Chúng minh. Thay Lun = xn vào (1.2), ta có :
Pnxn = Pnf, (xn ∈ LEn)

(1.7)

Đieu ki¾n đú:
Ký hi¾u P n là thu hep cna toán tú chieu Pn lên không gian con LEn.
r

Theo đieu ki¾n 2), khi n ≥ n0 thì toán tú P n là song ánh tù không gian
r

Banach LEn lên không gian Banach F nên ton tai toán tú ngưoc b% ch¾n
Pnr− tù Fn lên LEn. Do đó ton tai duy nhat xn thóa mãn đieu ki¾n (1.7):
1
xn = Pnr Pnf
Khi đó un = L−1xn là phan tú duy nhat thóa mãn đieu ki¾n (1.4).
1
r−1
. Tù đó và tù (1.5) suy ra chuan

Tù đieu ki¾n 3) suy ra ||P n || =
τn
||P n Pn|| b% ch¾n:
c
c
r−1
= < +∞
n Pn|| ≤
τ
c
||P
τ , lim τ
r−1
n

n→∞ n

n

Đoi vói fn ∈ LEn thì Pnr−1 Pn fn = fn, vì v¾y:
Lun − f = xn − f = P r−1 Pn f − f = P r−1 Pn (f − fn) − (f − fn)
(1.8)
n
n
.
.
c
và ||Lun − f || ≤
τn + 1 ||f − fn||.
Tù đây suy ra không khóp (Lun − f ) h®i tu đen 0.

Đieu ki¾n can:


Giá sú vói moi f ∈ F , vói moi n ≤ n0 thì các xap xí xn đưoc xác đ
%nh đơn tr%. Tù đieu ki¾n (1.7) và tù ||xn − f || → 0 khi n → ∞, ta can
chí ra
rang các m¾nh đe 1), 2), 3) là đúng.
Hien nhiên m¾nh đe 1), 2) là đúng.


Đe chúng minh m¾nh đe 3), ta can chí ra rang chuan P r−1 =
b% ch¾n. (P
r

n

n

1

, n≥n
0

τn

đưoc nhac tói khi chúng minh đieu ki¾n đn).

Vói n ≥ n0 thì xn = Pn r−1 Pn f . Vói moi f ∈ F , ta có:
P nr− Pnf → f khi n → ∞

.

1
r
Theo đ%nh lý Banach-Steinhaus,
ta có: ||P r−1
n Pn|| ≤ c , (n ≥ n0).
Đ¾c bi¾t, vói fn ∈ Fn, ta có:

Do đó: ||P

r−1
||P r−1fn|| = ||P
Pnfn|| ≤ cr||fn||, (n ≥ n0)
n
|| ≤ cr, (n ≤ n0).

r−1

Đ%nh lý đưoc chúng minh.
1.4.3. Đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng trong không
gian Hilbert
Đ%nh lý 1.7. Giá sú H0 là không gian con cúa không gian Hilbert H. Khi
đó phan tú bat kỳ x ∈ H đeu bieu dien m®t cách duy nhat dưói dang:
x = y + z, y ∈ H0, z ⊥ H0.
Khi đó y đưoc goi là hình chieu cúa x lên H0.
Chúng minh. Neu x ∈ H0 ⇒ x = x + θ, x ∈ H0 và θ ⊥ H0, theo
tính chat c¾n dưói đúng, ton tai dãy (un) ⊂ H0 sao cho:
lim
n→∞

||x − un|| = d

Khi đó un là dãy cơ bán trong H0.
Th¾t v¾y:
Áp dung đang thúc hình bình hành, ta có: ∀m, n ≥ 1
2

||un − um|| = 2||x −
un||

2
2

un + um
+ 2||x −
um||

− 4||x
−

2

V¾y (un) là dãy cơ bán trong không gian H0 đay nên ∃y ∈ H0 đe:
y = lim
n→∞

un và ||x − y|| = d.

Đ¾t: z = x − y ⇒ ||z|| = ||x − y|| = d. Ta chúng minh z ⊥ H0.

Th¾t v¾y:

||

2