BÀI GIẢNG: DẠNG TOÀN PHƯƠNG TUYẾN TÍNH + bài tập (biên soạn dễ hiểu)

CHƯƠNG
4
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2
của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:
d 2 f ( x0 , y0 )  f xx'' ( x0 , y0 )dx 2  2 f xy "( x0 , y0 )dxdy  f yy "( x0 , y0 )dy 2
 Adx 2  2 Bdxdy  Cdy 2


Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:

d 2 f  a11dx 2  2a12 dxdy  2a13dxdz  a22 dy 2  2a23dydz  a33dz 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm
dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do
vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết
hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2
của hàm nhiều biến.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Định nghĩa: Cho V là không gian vector n

chiều trên R, hàm

 :V � R
xác định như sau: với mỗi

x  ( x1 , x2 ,..., xn ) �V
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

 ( x)  a x  2a12 x1 x2  2a13 x1 x3  ...  2a1n x1 xn
2
11 1

 a22 x22  2a23 x2 x3  ...  2a2 n x2 xn

 a x  ...  2a3n x3 xn
2
33 3

....................
a x

2
nn n

được gọi là dạng toàn phương trên V.
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Ví dụ: Cho dạng toàn phương:

 : R � R, x  ( x1 , x2 , x3 )
3

 ( x)  2 x  4 x1 x2  6 x1 x3
2
1

 x  2 x2 x3
2
2

 8x

2
3

 2 x  4 x1 x2  6 x1 x3  x  2 x2 x3  8 x
2
1

a11

2
2

2a12

2a13

2
3

a22 Gi¶ng
2a23viªn: Phan
a33 §øc

TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Định nghĩa: Cho dạng toàn phương

 ( x)  a11 x12  2a12 x1 x2  2a13 x1 x3  ...  2a1n x1 xn
 a x  2a23 x2 x3  ...  2a2 n x2 xn
2
22 2

 a x  ...  2a3n x3 xn
2
33 3

....................
khi đó, ma trận sau:

a x

2
nn n

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�

a11
�
�

a
12
�
A 
�...
�
a1n
�


a12
a22
...
a2 n

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

... a1n �
�
... a2 n �
... ... �
�
... an n �

Gọi là ma trận của dạng toàn phương
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Ví dụ: Cho dạng toàn phương

 : R � R, x  ( x1 , x2 , x3 )
3

 ( x)  2 x  4 x1 x2  6 x1 x3  x  2 x2 x3  8 x
2
1



2
2

2
3

Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:

�2 2 3�
�
�
A  �2 1 1 �
�
3 1 8 �
�
�Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:

 ( x1 , x2 , x3 )  x  6 x1 x2  3x  4 x2 x3  5 x
2
1

2
2

2
3

�1 3 0 �
�
�
A  �
3 3 2 �
�
�0 2 5�
�
Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:

 ( x)  3 x  7 x  3 x  8 x1 x2  10 x1 x3  8 x2 x3
2
1

2
2

2
3

�3 4 5 �
�
�
A  �4 7 4 �
�
5 4 3 �
�
�
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:

�1 2 3 �
�
�
A  �
2 4 1 �
�
�3 1 5�
�


Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:

 ( x)  x  4 x  5 x  4 x1 x2  6 x1 x3  2 x2 x3
2
1

2
2

2
3

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn

phương
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Nhận xét:
 Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
2
1

2
2

2
3

1 ( x)  x  2 x  x  6 x1 x2  2 x1 x3  8 x2 x3 .
2
1

2
2

2
3

2 ( x) 3x  2 x  5 x .
3 ( x)  2 x12  3x22  4 x32 .
2
1

2
2

2
3

4 ( x)  x  5 x  3 x .
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�

ến T
y
u
T
ố

Đại S



Dạng chính tắc của dạng toàn phương



Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo

 a11
0

 ...

0

í nh

0 ...
a22 ...
...
0

0 

0 
... ... 


0 an n 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�




Hay

2
11 1

2
22 2

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

2
nn n

 ( x) a x  a x  ...  a x .

Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
toàn phương.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�




ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)
Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.

 ( x)  x  2 x  10 x  2 x1 x2  4 x1 x3  8 x2 x3
2
1

2
2

2
3

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


ến T
y
u
T
ố
Đại S

�

í nh

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2  a 2  b 2  2ab
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2  a 2  b 2  2ab
(a  b  c)  a  b  c  2ab  2ac  2bc
2

2

2

2

(a  b  c)  a  b  c  2ab  2ac  2bc
2

2

2

2

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương

�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

 ( x)  x  2 x  10 x  2 x1 x2  4 x1 x3  8 x2 x3
2
1

2
2

2
3

 ( x1  x2  2 x3 )  x  6 x  4 x2 x3
2

2
2

2
3

 ( x1  x2  2 x3 ) 2  ( x2  2 x3 ) 2  2 x32


Đặt

y1  x1  x2  2 x3
y2  x2  2 x3
y3  x3

� ( y)  y  y  2 y
2
1

2
2

2
3

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:

 ( x)  x  6 x  13x  4 x1 x2  6 x1 x3  2 x2 x3
2
1

2
2

2
3
2

 ( x1  2x2 3x3 ) 2x22 4x32 10x2 x3
 ( x1  2 x2  3 x3 ) 2  2[ x22  2 x32  5 x2 x3 ]
5
2
2 17 2
 ( x1  2 x2  3x3 )  2[( x2  x3 )  x3 ]
2
4

5 2 17 2
2
 ( x1  2 x2  3 x3 )  2( x2  x3 )  x3
2
2
17 2
2
2
Gi¶ng viªn: Phan §øc
 y1  2 y2  y3
TuÊn
2


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:

 ( x )  x  4 x  x  4 x1 x2  2 x1 x3  x2 x3
2
1

2
2

2
3

 ( x1  2x2  x3 ) 2 5x2 x3
Đặt

y1  x1  2 x2  x3
x 2  x3
x3  x2
y2 
, y3 
2
2

 ( y )  y12  5 y22  5 y32

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:

Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:

 ( x)  x12  5 x22  10 x32  4 x1 x2  8 x1 x3  2 x2 x3

(x1

)2

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng

Toàn
phương
�




ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)
Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
 ( x)  2 x12  3x22  x32  2 x1 x2  4 x1 x3  6 x2 x3
1  2
 2
A  1
3  3
  2  3  1 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn

§7:
Dạng
Toàn
phương
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

1  2
2
A  1
3  3
  2  3  1 


Đặt

D0  1, D1 a11 2, D2 
a11
D3  a21

a12

a22

a13
2
a23  1

a31

a32

a33

1
3

a11

a12

a21

a22

2 1



1 3

 5,

2
3  35,

2 3 1

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


Nếu

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Di 0, i thì
1,2dạng

,... toàn phương có dạng chính tắc là:

D0 2 D1 2 D2 2
( y ) 
y1 
y2 
y3
D1
D2
D3

2 2 5 2 35 2
 ( y )  y1  y2 
y3
1
2
5
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn


§7:
Dạng
Toàn
phương
�


ến T
y

u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:

 ( x)   x12  2 x22  3x32  4 x1 x2  2 x1 x3  8 x2 x3
 1  2 1 
A   2 2  4
 1  4  3
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn