Nhập môn đại số đồng đều

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận “Nhập môn đại số
đồng điều’’, cùng với sự say mê, cố gắng của bản thân và sự chỉ bảo tận
tình, sự giúp đỡ của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng đã giúp em hoàn thành
tốt khóa luận của mình.
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy
cũng như các thầy cô trong tổ Đại số, các thầy cô và các bạn sinh viên đã
giúp đỡ em trong thời gian qua.
Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn của bản thân còn
hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để đề tài
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Hà Thị Ngoan

Hà Thị Ngoan

K35G – SP Toán


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Nhập môn đại số đồng
điều” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận
của mình.

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ
lực trong việc tìm tòi, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn,
chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cũng như các thầy cô
trong tổ Đại số.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các
bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013
Sinh viên thực hiện:

Hà Thị Ngoan


MỤC LỤC
Mở đầu................................................................................................... 1
Chương 1. Môđun.................................................................................2
1.1. Dãy khớp..................................................................................... 2
1.2. Dãy nửa khớp.............................................................................. 8
1.3. Tích tenxơ..................................................................................... 13
1.4. Môđun các đồng cấu..................................................................... 16
1.5. Phạm trù........................................................................................23
1.6. Hàm tử.......................................................................................... 24
1.7. Phép biến đổi các hàm tử..............................................................25
1.8. Hàm tử môđun.............................................................................. 26
n

Chương 2. Torn và Ext .........................................................................30
2.1. Phép giải........................................................................................30
2.2. Hàm tử xoắn...................................................................................34
2.3. Hàm tử mở rộng............................................................................. 42
Kết luận.................................................................................................. 50

MỞ ĐẦU
Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ Toán học. Vì
vậy việc nghiên cứu bộ môn này là cần thiết. Nó nghiên cứu hai dãy vô
n

hạn những hàm tử Torn và Ext (với n = 1, 2, …), nhờ hai hàm tử này
mà có thể kéo dài các dãy khớp của các hàm tử  và hàm tử Hom
tương ứng.
Trên cơ sở những kiến thức đã học về Đại số đại cương, một số
kiến thức về môđun, được sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy
Hưng, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Nhập môn Đại số đồng điều” làm đề
tài khóa luận tốt nghiệp cho mình.
Khóa luận của em gồm 2 chương. Chương 1. Một số kiến thức cơ
sở. Trong chương này, em trình bày các khái niệm, tính chất có liên quan
tới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt là cách chứng minh “săn trên biểu
đồ”. Từ đó ta có thể xây dựng lên các ánh xạ trên một biểu đồ có các
dòng là khớp, là nửa khớp và hình vuông là giao hoán theo các chiều
khác nhau. Ngoài ra, em còn đề cập tới các khái niệm phạm trù và hàm
n

tử đặc biệt là phạm trù môđun. Chương 2. Các hàm tử Torn và Ext .
Chương này, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnh
những môđun, làm nền tảng xây dựng nên các hàm tử xoắn Torn và hàm
n

tử mở rộng Ext . Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn nên
nhiều ứng dụng lí thú khác chưa được trình bày ở đây, em hi vọng thời
gian tới sẽ có dịp tìm hiểu sâu sắc hơn.

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã sử dụng các phương
pháp nghiên cứu lí thuyết, đọc sách, tìm hiểu các tài liệu về Đại số hiện
đại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương.

Hà Thị Ngoan

4

K35 – SP Toán


CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.DÃY KHỚP
1.1.1. Các định nghĩa
Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn)
  A f  B gC 

(1)

● Dãy (1) được gọi là khớp tại môđun B nếu Im f

 Kerg

● Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian
nếu tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra
● Dãy (1) được gọi là khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian
● Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng
0  A  B C 0

(2)

● Dãy (1) được gọi là chẻ ra tại môđun B, nếu Im f là một hạng tử trực
tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho: B=Imf  B1
● Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung
gian
1.1.2.Các ví dụ
Ví dụ 1: “Dãy khớp của đồng cấu h : X  Y ’’ được xác định như sau:
0  Kerh i X hY PY / Im h 0,
trong đó i là phép nhúng và P là phép chiếu mà tính khớp tại các môđun
trung gian: Kerh, X, Y và Y/Imh gần như là hiển nhiên.
Để ý rằng: đồng cấu h là đẳng cấu  Kerh  0

và Y/Imf=0

Ví dụ 2: Cho h : X  Y là đơn cấu mà không là đẳng cấu. Khi đó
Kerh  0

và do vậy “dãy khớp của h” là dãy khớp ngắn:
0  X hY PY / Im h 0


Tương tự, nếu h là toàn cấu mà không là đẳng cấu thì “dãy khớp
của h” cũng là dãy khớp ngắn. Nó có dạng
0  Kerh i X hY 0
Định lí 1.1.1 (Bổ đề mạnh về bốn đồng cấu)
Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu
f

g
B

A

h
D

C







A’

B’

C’

f’

g’


h’

D’

trong đó hai dòng là khớp,  là toàn cấu và  là đơn cấu. Khi đó ta có:

i)

Ker  g  Ker 

ii) Im   g '1  Im  
Chứng minh: (Phép chứng minh bằng cách “ Săn trên biểu đồ’’)
Trước hết ta nhắc lại rằng, một biểu đồ các đồng cấu là giao hoán
nếu tích của các đồng cấu xuất phát từ một nguồn và tới cùng một đích
có kết quả như nhau. Bây giờ, ta chứng minh định lí
i) * Chứng minh g  Ker   Ker
Trước hết do

 g  g ' mà
 g(Ker )  g ' (Ker ) = g'(0) = 0

Suy ra g  Ker   Ker
* Chứng minh

Ker  g  Ker 

Có nghĩa là với mọi

c  Ker  C phải chỉ ra b  Ker

mà

g(b)  c . Phần tử b như vậy được tìm ra nhờ phép săn trên biểu đồ sau:


b

= b1 – f(a)

f(a)

a





h

c

b1

0





f



g’

a’

b’

h’
0

c’

Mô tả các bước săn:
● Vì

nên  h(c)  h '  (c)  0 . Do 

c  Ker

h(c)  0 tức c  Kerh hay c  Im g  K er
h

đơn cấu nên

do dòng khớp. Vậy tồn tại

b1  B mà g(b1 )  c
● Vì g ' (b )   g '(b )   (c)  nên b '   (b )  K er g '  Im f
0
'
1
1
1
do dòng khớp. Vậy tồn tại a ' A' mà f '(a ')  b '

● Vì  là toàn cấu nên tồn tại a  A mà  (a)  a ' . Hiển nhiên, ta
có:

 f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b '
●
Chọn

b  b1  f
(a)

thì b  Ker . Vì (b) (b )  f (a) b'b  0.
1

Hơn nữa:

g  b   g  b1   gf  a   c

* Chứng minh ii)
Để chứng minh đẳng thức ii) trước hết sử dụng
g '(Im )  Im( g)  Im 

g '   g ta được:

và do vậy Im  g ' (Im  )
1

Để kết thúc ta cần phải chứng minh bao hàm ngược lại
g ' (Im  )  Im , tức
1

b ' g ' (Im  )  B '
1

phải b  B

sao cho

 (b)  b '. Phần tử b này cũng được tìm nhờ phép săn trên biểu đồ sau:


b

= b1 + f(a)
g

f(a)

a

b1



0





'

b1
f



g’

h’

b’
a’

h

c

0

c’

'
b’- b1

Mô tả các bước săn:
 Vì b ' g ' (Im  )
1

0

nên c  C mà  (c)  g '(b ')

 Bởi  h(c)  h '  (c)  h ' g '(b ')  và  đơn cấu nên h(c)  0
0
Vậy c  ker h  Im g , do đó b1  B
mà
● Đặt

b '1   (b1 ) . Vì

g(b1 )  c

g ' (b )   g(b )   (c)  g '(b
')
1

g '(b ' b1 )  g '(b ')  g ' (b1 )  0 .
Vậy

nên

1

'

b ' b  K er g  Imf ' , do

đó

1

a ' A' mà f '(a ')  b ' b'
1
● Bởi  toàn cấu nên a  A mà  (a)  a ' . Hiển nhiên, ta có

 f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b ' b' 1
 Chọn b  b  f (a) , ta có (b)  (b )   f (a)  b'  (b'  b' )  b' .
1

Định lí được chứng minh.

1

1

1


* Hệ quả 1.1.2 (Bổ đề năm đồng cấu)
Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau
f1

A

1

f2

B

f3
C

2

A’

'

f2

trong đó: các dòng là khớp, 
1



C’

'

f

D

3

B’
'
1

f4

f3

5

4

D’

E

f 4'

E’

toàn cấu,  5 đơn cấu. Khi đó, nếu  2 và

 đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì  cũng là đơn cấu (toàn cấu, đẳng
4

3

cấu).
Hệ quả 1.1.3. (Bổ đề năm ngắn)
Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau, trong đó các dòng là
khớ
p
0

f

A


0

g

B





A’
f

B’

0

C

g’

C’

0

Khi đó, nếu  , là đơn (toàn, đẳng) cấu thì  cũng là đơn (toàn,
đẳng) cấu.
1.1.3.Bài tập
BT 1.1.1: Xét hình vuông giao hoán sau những R- đồng cấu của những
R- môđun


h
X

Y




X’

h’

Y’

Chứng minh rằng:
a)   ker(h)  ker(h ')
b)  Im(h)  Im(h ') Lời
giải:
a, x  ker(h) thì h(x)  0 ta có

  h(x)  0 (do  là R- đồng cấu)
   h   x   0

  h '   x  0

 h '   x    0

   x   Ker h '

Do x tùy ý thuộc

(do hình vuông giao hoán)

Ker  h  nên   Ker  h    Ker  h '

(đpcm)

b, y  Im(h) thì x  X : h(x)  y
Ta có:   h  x      y 


   h  x     y 

( do  là R- đồng cấu )

  h '   x    y  (do hình vuông giao hoán).

Hay h '   x      y  . Do x  X nên  x  X ' .
 
Từ đó, ta suy ra  y  Im h ' . Vì y tùy ý của
   
  Im  h    Im  h '
(đpcm).

* Từ trên, ta thấy  và  xác định các đồng cấu:

 ' : Ker  h   Ker  h '
x   ' x     x 

Im h

nên


 ' : Im  h  Im h '
y   ' y     y 

 ": X / Ker h   X '/ Ker  h '
x  Ker  h   " x  Ker  h     x  Ker  h     x    Ker  h 

 ": Y / Im h  Y '/ Im h '
y  Im  h    " y  Im  h      y  Im  h      y     Im  h  
1.2. DÃY NỬA KHỚP
1.2.1. Các định nghĩa Định
nghĩa 1.2.1:
Cho một dãy các R- đồng cấu môđun hữu hạn hoặc vô hạn
 X f Y g Z 

(1)

● Dãy (1) được gọi là nửa khớp tại Y nếu Imf  K er g
● Dãy (1) được gọi là nửa khớp nếu nó nửa khớp tại mọi môđun khác hai
đầu (nếu có) của dãy.
 Nhận xét: Dãy đã cho được gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp

thàn
g  f của hai đồng cấu kế tiếp bất kì f và g trong dãy là đồng cầu
h
tầm thường.
* Trong một dãy nửa khớp tùy ý cho trước
  X f Y g Z 
những

đồng

cấu của những

môđun

trên R, môđun

thương

K er  g  / Im f  gọi là môđun dẫn xuất của dãy C tại môđun Y.
* Các môđun của dãy nửa khớp C thường được chỉ số hóa bởi
những số nguyên lùi hoặc những số nguyên tiến.


Định nghĩa 1.2.2:
Nếu các số nguyên lùi được dùng làm chỉ số thì dãy nửa khớp C
gọi là một dãy dưới (hay phức hợp dây chuyền) và các đồng cấu trong C
đều được kí hiệu bằng cùng một chữ  . Khi đó, mọi dãy dưới C có dạng
như sau:
C : C n1 Cn C

n1



với    = 0. Trong trường hợp này, các phần tử của Cn gọi là các dây
chuyền n- chiều của C và các đồng cấu  gọi là các toán tử bờ. Hạt nhân
của  trong Cn được kí hiệu là Zn  C

và gọi là môđun các chu trình n-

chiều của C. Ảnh của  trong Cn được kí hiệu là

Bn  C 

và gọi là môđun
các bờ n- chiều của C.
Môđun dẫn xuất của C tại môđun Cn được kí hiệu là:
H n (C)  Zn (C) / Bn (C)
và gọi là môđun đồng điều n- chiều của C .
Định nghĩa 1.2.3:
Khi các số nguyên tiến được dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C gọi
là một dãy trên (hay phức hợp đối dây chuyền) và các đồng cấu của C
đều được kí hiệu bằng cùng một chữ . Khi đó, mọi dãy trên C có dạng
như sau:
C : C

n1

C C
n

n1



với   = 0. Trong các trường hợp này, các từ đối dây chuyền, đối chu
trình và đối bờ được dùng thay cho dây chuyền, chu trình và bờ trong
các dãy dưới, các chỉ số trên được dùng thay cho các chỉ số dưới. Môđun
n

dẫn xuất của C tại môđun C được kí hiệu là:
n

n

n

H (C)  Z (C) / B (C)
gọi là môđun đối đồng điều n- chiều của C.


Xét 2 dãy dưới
C : C

n1

C nC

n1



D :  Dn1  Dn  Dn1 
của những R- môđun. Ta gọi đồng cấu (hoặc phép biến đổi dây chuyền)
f :CD

là một họ những đồng cấu f   fn : Cn  Dn | n □  của

những R- môđun, chỉ số hóa bởi các số nguyên n □ sao cho quan hệ
giao hoán   f  f
  xảy ra trong hình chữ nhật
n

n1


Cn

Cn-1
n □

fn

fn-1 ,


Dn

Dn-1

Bây giờ, ta xét một đồng cấu tùy ý cho trước f : C  D của dãy
dưới C vào dãy dưới D. Theo bài tập (1.1.1), đồng cấu fn : Cn  Dn
chuyển

Zn  C 

vào Zn  D  và

f n Z n C    Z  D  ;


Do

đó

Bn  C 

vào Bn  D

có nghĩa là

f n B n C   B  D


fn

cảm

ứng

sinh

ra

một

đồng

cấu

H n  f  : Hn  C   Hn  D  của các môđun đồng điều n- chiều H  C 
vào
n
H n  D  . Đồng cấu

Hn  f  này gọi là đồng cấu cảm ứng n- chiều của f.

* Ta gọi đồng cấu đồng nhất
i  in : C  C | n □
in

i:C
C

 các đồng nhất

của dãy dưới C gọi là họ

của các môđun Cn.

Định nghĩa 1.2.4:
* Giả sử f : C  D và g : D  E
là những đồng cấu của những
Hà Thị Ngoan

13

K35 – SP Toán


dãy dưới. Khi đó, họ

H  g  f : C  E | n□  là một đồng cấu của
n

n
n

n

dãy dưới C vào dãy dưới E. Đồng cấu h : C  E
đó gọi là cái hợp thành

Hà Thị Ngoan

14

K35 – SP Toán

của các đồng cấu

f :CD

và g : D  E

và được kí hiệu là

gf:C E
* Ta gọi dãy dưới tầm thường là một dãy dưới 0 sao cho n □ , 0n
gồm một phần tử duy nhất. Ta có H  0  0,n □ .
n
* Ta gọi đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một dãy
dưới D là đồng cấu h : C  D
sao cho hn là đồng cấu tầm thường từ
môđun Cn vào môđun Dn, n □ . Ta dùng kí hiệu

h  0 để chỉ h là đồng

cấu tầm thường.
Định nghĩa 1.2.5:
* Hai đồng cấu f , g : C 
D

từ một dãy dưới C vào một dãy dưới

D gọi là đồng luân nếu và chỉ nếu  một họ những đồng cấu
h  hn : Cn  Dn1 | n □ ,

sao cho n □ , ta có   hn  hn1   

fn  g n

trong biểu đồ sau
hn
Cn

Dn+1
fn


Cn-1



gn

hn-1

Dn

Trong trường hợp này, họ h gọi là đồng luân (hay là một đồng
luân dây chuyền) giữa các đồng cấu f và g. Kí hiệu h :
f

g:CD

Mệnh đề 1.2.1:
Nếu hai đồng
cấu

thì ta có

f,g:C
D

của những dãy dưới là đồng luân


Hn  f   H n  g

 : H C   H
 D ,n □ .
n

n

* Ta xét một dãy khớp ngắn bất kì (S), những dãy dưới


 S  : 0 C   D   E  0
f

g

Điều đó có nghĩa f : C  D và g : D  E là những đồng cấu của
những dãy dưới sao
fn

cho:

0

0

gn

Cn  Dn  En 

là một dãy khớp ngắn những môđun trên R, n □ .
Mệnh đề 1.2.2:
n □ , dãy

 

 

 

Hn f

H n C  H

n

Hn  g 

D  H

n

 E

những môđun trên R là khớp.
* Để nối các khớp trong mệnh đề (1.2.2) thành một dãy duy nhất
ta phải dựng với mỗi số nguyên n, một đồng cấu  : H n  E   Hn1  C  . Các
đồng cấu này gọi là các đồng cấu nối của dãy khớp ngắn (S).
Mệnh đề 1.2.3:
Phần
tử

w  Hn1  C 

không phụ thuộc vào sự lựa chọn của phần

tử u  Dn và do đó nó chỉ phụ thuộc vào phần tử

z  Zn  E  .

Bổ đề 1.2.5:
Hạt nhân của đồng cấu  chứa môđun con B  E 
n
của
chỉ phụ thuộc vào phần
tử

Zn  E  nó

z  Zn  E  .

* Theo mệnh đề (1.2.3) ta có thể định nghĩa hàm

 : Z n E   H
bằng cách cho ứng với mỗi phần tử

n1

C

z  Zn  E  , phần tử

  z   w  p  v   Hn  C 
với u 
Dn

và v Cn1 tùy ý, thỏa mãn g n  u   z và

fn1  v    u  .


Zn  E  vào môđun Hn1  C  .

Bổ đề 1.2.4:
Hàm  là một đồng cấu của môđun

* Theo bổ đề (1.2.5), đồng cấu  cảm ứng ra một đồng cấu
 : Hn  E   Hn1  C  ,n □ . Vậy, ta có một dãy
  H

 C   * 

 D   *   E    H  C  

f

H

H

n

trong đó:

n

f*  H n  f  và

dãy khớp ngắn



g

n

n1

g*  H n  g  . Dãy này gọi là dãy đồng điều của

 S  : 0 C   D   E  0
f

g

Định lý 1.2.6:
Dãy đồng điều của mọi dãy khớp ngắn những dãy dưới là khớp.
1.3. TÍCH TENXƠ
1.3.1. Hàm song tuyến tính: (Ánh xạ R- song tuyến tính)
Cho A, B, X là các R- môđun và luôn giả thiết R là vành giao
hoán có đơn vị là 1. Một ánh xạ f : A  B  X
được gọi là song tuyến
tính hay ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn:
f  x1  x2 , y   f  x y   f  x , y ,x , x  A,y  B;
1
2
1
2
f  x, y1  y2   f  x, y   f  x, y  ,x  A,y , y  B;
1
2
1
2
f  x, y    f  x, y  ,x  A,y  B,  R;
f  x, y    f  x, y  .
Hay f gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu:
f 1 x1   2 x2 , y   1 f  x1 , y    2 f  x2 , y  ;
f  x, 1 y1   2 y2   1 f  x, y1    2 f  x, y2  .


1.3.2. Tích tenxơ của hai môđun
Cho A, B, X, T là các R- môđun,

f : A  B  T là một ánh xạ

song tuyến tính. Cặp T , f  được gọi là tích tenxơ của R- môđun A, B
nếu mọi ánh xạ song tuyến tính g : A  B  X đều tồn tại duy nhất đồng
cấu h :T  X sao cho
hf

 g tức biểu đồ sau giao hoán
f
A B

T

g

!h: h f  g
X

Ta kí hiệu T  A B hoặc A  B (A tenxơ với B)
R
1.3.3. Tích tenxơ của hai đồng cấu
Cho các đồng cấu sau f : A  A' , g : B  B '
là các R- đồng cấu
môđun. Khi đó, đồng cấu h : A  B  A' B '
x y f x g y
  
gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f, g. Kí hiệu h  f  g .
Bổ đề 1.3.1 : (Định lý toàn cấu của tích tenxơ)
Nếu

f : A  A' và g : B  B
'

là những toàn cấu của những

môđun trên R, thì tích tenxơ h  f  g : A  B  A' B ', trên R cũng là
một toàn cấu và hạt nhân của nó Ker h
sinh ra bởi các phần tử a  b
b  Ker  g  .

là môđun con K của A  B

của A 
B

Bổ đề 1.3.2 : (Định lí đẳng cấu của tích tenxơ)

vớ
i

a  Ker  f 

hoặc


Nếu

f : A  A' và g : B  B ' là những đẳng cấu của những

R- môđun thì tích

h  f  g : A  B  A' B ', cũng là một đẳng

tenxơ cấu.
Mệnh đề 1.3.3
Nếu M là một môđun tùy ý trên R và
(1)

A f  B gC 0
là một dãy khớp những đồng cấu của những môđun trên R thì dãy

(2)

A  M f i  B  M gi C  M 0

các tích tenxơ của chúng với tự đồng cấu đồng nhất i : M  M cũng là
khớp.
Chứng minh :
Ta đặt f '  f  i; g '  g  i
Vì g và i là những R- toàn cấu, nên theo (1.3.1) suy ra g ' cũng là
R- toàn cấu và

Ker  g '  K là môđun con của B  M , K được sinh ra

bởi các phần tử yw của BM với

y  Ker  g  hoặc w  Ker i  .

Vì dãy (1) khớp nên Im f   Ker  g 

 x  A : f  x  y . Do

đó, ta được:
y  w  f  x  i  w  

f ' x  w   Im  f '

Vì K được sinh ra bởi các phần tử
con của B  M

y  w và Im  f '

nên Ker  g '  K  Im  f '

Mặt khác, ta có:
g ' f '   g  i    f

 i   g  f    i  i  0

là đồng cấu tầm thường, nên suy ra Im f '  Ker g '
   .
Suy ra

Im f '  Ker  g ' hay (2) là khớp.

(đpcm).

là môđun

Mệnh đề 1.3.4:
Nếu dãy sau những đồng cấu của những R- môđun


0  A f  B gC 0

(3)

là một dãy khớp chẻ ra, thì dãy
0  A  M f i  B  M gi C  M 0

(4)

các tích tenxơ của những R- đồng cấu ở trên với tự đồng cấu đồng nhất
i:M  M

cũng là dãy khớp chẻ ra.

1.4. MÔĐUN CÁC ĐỒNG CẤU
1.4.1. Định nghĩa
* Cho A, B là các R- môđun, R là vành giao hoán có đơn vị. Kí
hiệu HomR  A, B :=  đồng cấu f : A  B  hoặc Hom A, B
Trên Hom A, B  , ta xác định phép cộng và phép nhân vô hướng
sau:
f , g  Hom A, B  ,   R;a  A;
f  g : A  B, f  g  a 

f  a  g  a ;

 f : A  B,  f  a    f  a  .
Khi đó, ta có

Hom A, B là một R- môđun các R- đồng cấu từ A

đến B.
* Giả sử f : A'  A và g : B  B ' là những R- đồng cấu tùy ý
cho trước và xét các môđun Hom A, B  và Hom A', B ' .
Định nghĩa một ánh xạ
h : Hom A, B  Hom A', B '
bằng cách lấy h    g    f
Hom A', B ' và ta kí
hiệu

với 

trong Hom A, B  vào môđun

h : Hom f , g  .

Ta dễ dàng chứng minh được các mệnh đề sau:


Mệnh đề 1.4.1:
Nếu i : A  A và j : B  B
là các đồng cấu đồng nhất của các
môđun A và B trên R thì Hom i, j  : Hom A, B  Hom A, B

là đồng

Hom A, B .

cấu đồng nhất của

môđun
Nếu f : A'  A , f ' : A''  A', g : B  B ' ; g ' : B '  B '' là

những

đồng cấu của những môđun trên R thì ta có:
Hom f  f ', g ' g   Hom f ', g '  Hom f , g

.
Mệnh đề 1.4.2:
Với những đồng cấu tùy
ý

f : A'  A và g : B  B ' của những

môđun trên R, hạt nhân của đồng cấu
H  Hom f , g  : Hom A, B  Hom A', B '
là môđun con K
của

Hom A, B

xác định bởi





K    Hom  A, B  saocho  Im  f    Ker  g 
Mệnh đề 1.4.3:
Nếu f : A'  A
là một toàn cấu
và
những R- môđun,

g : B  B ' là một đơn cấu của

h  Hom f , g  : Hom A, B  Hom A', B '

thì đơn cấu.
Định lí 1.4.4:
Nếu M là một R- môđun bất kì và
A f  B gC 0
là một dãy khớp những R- môđun, thì dãy
0  Hom  C, M  g*  Hom  B, M  f*  Hom  A, M 
với

f *  Hom f ,i  và

là một


g* 
Hom

g,i  , trong đó i :
là tự đồng
MM
cấu đồng nhất của môđun M cũng là dãy khớp.