Phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

Nguyen Th% Trưèng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGAU
NHIÊN

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP Hfi ĐAI H6C CHÍNH QUY
Ngành: Toán úng dnng

Ngưòi hưóng dan khoa hoc:
Th.s NGUYEN TRUNG DŨNG

Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n này em xin gúi lòi cám ơn sâu sac
tói thay giáo hưóng dan Th.S.Nguyen Trung Dũng. Thay đã giao đe tài và
t¾n tình hưóng dan em trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n này. Nhân d
%p này em xin gúi lòi cám ơn cúa mình tòi toàn b® các thay cô giáo
trong khoa Toán đã giáng day và giúp đõ chúng em trong suot quá trình
hoc t¾p tai khoa.
Đong thòi, tôi xin cám ơn các ban trong lóp K35 ngành Toán
úng dnng, khoa Toán đã nhi¾t tình giúp đõ tôi trong quá trình hoc t¾p
tai lóp.
Hà n®i, ngày 17 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Th% Trưèng

LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
Khóa lu¾n tot nghi¾p là ket quá cúa sn no lnc tn bán thân và
sn hưóng dan t¾n tình cúa thay giáo hưóng dan: Th.s Nguyen Trung Dũng.
N®i dung khóa lu¾n không trùng l¾p vói bat kì công trình nghiên
cúu nào đã công bo.
Hà N®i, ngày 17 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyen Th% Trưèng

2


Mnc lnc
LèI NÓI ĐAU.......................................................4
Chương I. Cơ sé lý thuyet................................................................5
I.1. Không gian Hilbert các bien ngau nhiên.................................5
I.1.1. Bien ngau nhiên đơn gián..............................................................5
I.1.2. Không gian các bien ngau nhiên đơn gián....................................5
I.1.3. Ví dn................................................................................................7
I.1.4. Không gian Hilbert các quá trình ngau nhiên.............................10

I.2. Tích phân ngau nhiên Ito..........................................................12

I.2.1. Tích phân ngau nhiên Itô cúa hàm đơn gián..............................12
¸b
I.2.2. Tích phân ngau nhiên Itô danga f (s)dW (s)............................13
¸t

I.2.3. Tích phân ngau nhiên Itô danga

f (s)dW (s)............................13

I.3. Vi phân ngau nhiên và công thNc Itô.......................................14
I.3.1. Vi phân ngau nhiên......................................................................14
I.3.2. Công thúc Itô................................................................................14

Chương II. Phương trình vi phân ngau nhiên................................16
II.1. M®t so giá thiet...............................................................................16
II.2. SN ton tai duy nhat nghi¾m..........................................................18
II.3. Tính chat cúa nghi¾m phương trình vi phân ngau nhiên . .

21

II.4. Công thNc Ito và nghi¾m chính xác.........................................25
II.5. Xap xí phương trình vi phân ngau nhiên.................................30
KET LU¾N..............................................................35
Tài li¾u tham kháo....................................................................36


LèI NÓI ĐAU
Phương trình vi phân ngau nhiên đang ngày càng tró nên quan trong vì
nó không chí là m®t lý thuyet toán hoc mói mé mà nó còn có nhieu úng
dnng trong lĩnh vnc cúa cúa cu®c song . Vì v¾y vi¾c nghiên cúu lý
thuyet cúa phương trình vi phân ngau nhiên đã đưoc nhieu ngưòi quan
tâm. Vói mong muon đưoc t¾p dưot công tác nghiên cúu khoa hoc và
húng thú tìm hieu ve lý thuyet phương trình vi phân ngau nhiên nên tôi
đã chon đe tài : "Phương trình vi phân ngau nhiên." Vói đe tài này thì

khóa lu¾n trình bày phương trình vi phân ngau nhiên dang
dX (t, ω) = f (t, X (t, ω))dt + g(t, X (t, ω))dW (t, ω),
hay viet dưói dang tích phân
¸ t

X (t, ω) = X (0, ω)
+

¸ t

f (s, X (s, ω))ds + g(s, X (s, ω))dW (s, ω)
0

0

Khóa lu¾n gom 2 chương :
Chương 1: Cơ sé lý thuyet
Trong chương này trình bày các khái ni¾m và các ket quá ve không
gian Hilbert các bien ngau nhiên, các quá trình ngau nhiên ; tích phân
ngau nhiên Itô và công thúc vi phân ngau nhiên Itô.
Chương 2: Phương trình vi phân ngau nhiên
Trình bày ve sn ton tai duy nhat nghi¾m ; tính chat nghi¾m cúa
phương trình vi phân ngau nhiên; công thúc Itô và nghi¾m chính xác.
Tuy đã có nhieu co gang nhưng do thòi gian và khá năng có han nên các
van đe trong khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac và khó tránh
khói có nhung sai sót. Em mong đưoc sn góp ý xây dnng cúa thay cô và
các ban đe khóa lu¾n hoàn thi¾n hơn.
Hà N®i, Ngày 17 tháng 05 năm 2013.
Sinh viên

Nguyen Th% Trưèng


Chương I

Cơ sé lý thuyet
I.1.
I.1.1.

Không gian Hilbert các bien ngau nhiên
Bien ngau nhiên đơn gián

Cho (Ω, A, P) là m®t không gian xác suat. Vói A ∈ A và đ¾t IA là
m®t hàm đưoc xác đinh bói
IA(ω) = . 1 neu ω ∈ A
0 neu trái lai.
Khi đó, IA(ω) là m®t bien ngau nhiên .
Ta có E(IA) = P(A) . Khi đó to hop tuyen tính cúa huu han các hàm chí
tiêu đưoc goi là bien ngau nhiên đơn gián.
Neu X là bien ngau nhiên đơn gián thì X có dang
n

X (ω) =

∑

i=1

n

ciIAi (ω) và

E(X ) = ciP(Ai).

∑

i=1

I.1.2.

Không gian các bien ngau nhiên đơn gián

Kí hi¾u
SRV = {X : X là bien ngau nhiên đơn gián đ%nh nghĩa trên (Ω, A, P)}


Ta có tong cúa hai bien ngau nhiên đơn gián và tích cúa m®t so vói
bien ngau nhiên đơn gián cũng là m®t bien ngau nhiên đơn gián.
ta có
the de
dàng
chúng
ưoc
SRV m®t
véctơ
các Chúng
bien ngau
nhiên
. Cho
X,Y

∈ S minh
, tađse
đ%nh
nghĩakhông
tích vôgian
hưóng
và
RV

chuan trên SRV như sau :
Tích vô hưéng
Tích vô hưóng (X,Y ) đưoc đ%nh nghĩa trên SRV là
(X,Y ) = E(X,Y ) vói X,Y ∈ SRV .
Chú ý rang X,Y ∈ SRV thì
.
(X,Y ) = E(XY )
=E
Chuan

n

.

n

∑

∑ ci IAi d j IB j
j=1

i=1
2

∑ ci d j.P(Ai ∩ B j

=

∑

1

" X "= (X, X )

n

n

).

j=1

i=1
1

= (E | X

| 2) 2 .

Nói chung, không gian tích vô hưóng cúa các bien ngau nhiên đơn
gián là không đay đú. Tuy nhiên, nó có the đưoc bo sung đe tao thành

không gian Hilbert HRV , ó đó SRV trù m¾t trong HRV .
Giá sú rang {Xn}∞ là m®t dãy các bien ngau nhiên trong HRV sao cho
vói moi ε > 0 cho trưóc thì ton tai m®t so nguyên N sao cho :
Vì HRV

" Xn − Xm "RV < ε vói m, n > N.
là không gian đay đú, ton tai bien ngau nhiên X ∈ HRV sao cho
" Xn − Xm "RV → 0 khi n → ∞.

Ngoài ra, SRV ⊂ HRV là trù m¾t trong HRV , vói moi ε > 0 cho trưóc thì
ton tai bien ngau nhiên đơn gián Y ∈ SRV sao cho
" X −Y "< ε.
.
Chú ý
Trong không gian Hilbert HRV tích vô hưóng đưoc đ%nh nghĩa là
(X ,Y ) = E(XY )


và chuan trong không gian này là
" X "RV = (E | X |2

1

)2
.

và t¾p hop các hàm đơn gián trong SRV là trù m¾t trong HRV .

I.1.3.

Ví dn

Ví dn I.1. Không gian Hilbert L2[0, 1]
Xét không gian xác suat (Ω, A, P) trong đó không gian mau là t¾p hop
các điem thu®c [0, 1], nghĩa là Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 1}. Không gian các
bien co A là σ − đai so cúa t¾p các khoáng có dang (a, b] ⊂ [0, 1]. Đ®
đo xác suat P là đ® đo Lebesgue ó đó P(A) = b − a neu A = [a, b] ∈ A.
Đ¾t SRV là t¾p tat cá các hàm đơn gián đ%nh nghĩa trên A. Neu X ∈ SRV
thì
bien ngau nhiên X có dang
n

X (x) =

trong đó Ai ∈ A vói moi i

∑ ciIAi (x)

i=1

và

.
IAi (x) =

1

neu ∈ Ai

0

neu ngưoc lai.

Đ¾t HRV là không gian đú cúa SRV . Không gian Hilbert HRV bao gom, ví
dn tat cá các bien ngau nhiên liên tnc trên [0, 1].
Th¾t v¾y, cho f : [0, 1] → R là m®t hàm liên tnc .
Đ¾t xi =

n

vói i = 1, 2, ..., n và đ%nh nghĩa

(i−1)

n

fn(x) =

∑

f (xi) In,i(x)

i=1

.

trong
đó
Ix,i(x) =

1 neu
0
neu

i−1
n

≤x≤

i

n

ngưo lai .
c


∞

Ta có the chí ra rang dãy các bien ngau nhiên đơn gián { fn}n=1 là dãy


Cauchy trong HRV
.
Hơn nua,

" f − fn "RV → 0

khi n → ∞.

Vì v¾y, f là giói han cúa dãy các bien ngau nhiên đơn gián trong không gian
HRV và f ∈ HRV .
Chú ý rang neu X (x) = x thì X có phân phoi đeu trên [0, 1], nghĩa là
X ∼ U [0, 1].
Không gian Hilbert trong ví dn này là không gian đay đú L2[0, 1], nghĩa là
HRV = L2[0, 1] .
hàm f đo đưoc Lebesgue trên [0, 1]sao
=
cho

¸ 1

0

.
| ( f (x)) dx < ∞ .
|
2

Đ¾c bi¾t, nhieu hàm se can bo sung đe HRV là đay đú nhưng có the
không liên tnc. Do đó, ta phái sú dnng tích phân Lebesgue vì tích phân
Rieman cúa các hàm đó không ton tai. Tuy nhiên, neu ton tai tích phân
Rieman thì tích phân Lebesgue ton tai và hai tích phân này bang nhau.
Hơn nua, các hàm liên tnc và bình phương khá tích là trù m¾t trong
L2[0, 1]. Chú ý rang, vói
X,Y ∈ HRV thì
(X,Y )
=

¸ 1

0

¸
1

X (x).Y (x)dx và " X "2R =
V

| X (x) |2 dx.

0

Ví dn I.2. Ví dn ve s? h®i tn trong không gian Hilbert HRV = L2[0, 1]
Giá sú HRV đưoc đ%nh nghĩa∞như trong ví dn I.1 .Cho Y ∼ U [0, 1] và
dãy các bien ngau nhiên {Xn
đưoc đ%nh nghĩa là
}
Xn(x) =
2 ≤ Y (x) ≤ 1
2 Y (x)
.
1

Khi
đó,

neu
0

" Xn − Xm "RV → 0

1

neu ngưoc lai .

khi m, n → ∞.


Vì v¾y, {Xn} ⊂ HRV là dãy Cauchy trong HRV . Th¾t v¾y, Xn h®i tn trong HRV
tói X = 21 Y khi n → ∞.
Ví dn I.3. Ví dn ve s? không h®i tn
Giá sú HRV đưoc đ%nh nghĩa như trong ví dn I.1.


Cho Y ∼ U [0, 1] là dãy các bien ngau nhiên có phân phoi đeu vói n = 1,
2, ...
thì

1

.

" Yn "RV .
¸
=

x2 dx

1

vói moi n.

1
=√
3

2

0

Cho X = 1 và dãy các bien ngau nhiên {Xn}∞ đưoc đ%nh nghĩa là
Xn(x) =

neu

1

.

1 + nYn(x)

≤ Yn(x) ≤ 1

1
√

neu
n ngưoc lai .

Khi đó,

.
" Xn −X "RV =

¸

√1
n

n2 x2 dx

.

1

0

. √
n
2
=.
32

1

→ ∞ khi n → ∞.

Vì v¾y, dãy {Xn} ∞ không là dãy Cauchy trong không gian HRV .
Ví dn I.4. Không gian Hilbert chuan hóa
Xét Ω = {x : −∞ < x < +∞}. Kí hi¾u A là σ -đai so sinh bói các khoáng
có dang (a, b] , A là σ -đai so Borel trên R. Đ%nh nghĩa bien ngau nhiên

X là
X (x) = x vói A ∈ A, µ ∈ R và σ > 0. là hang so. Đ%nh nghĩa
¸

P(A)
=

2
. −(s − µ) .
.
p(s)ds trong đó p(s) = √
ex
2
2σ
A
2πσ p
2

1

¸ b

Túc
là,
P(a ≤ X ≤ b)
=

a
2

1
ex
√
2πσ p

.

.
−(s − µ)2
2σ

ds.

2

Bien ngau nhiên
X đưoc goi là có phân phoi chuan vói trung bình µ và
phương sai σ 2. Kí hi¾u X ∼ N(µ, σ 2).


SRV là không gian các hàm đơn gián trên không gian xác suat (Ω, A, P)
vói tích vô hưóng
( f , g) = E( f g)
=

¸
+∞
−∞

f (s)g(s)p(s)ds vói f , g ∈ SRV

Giá sú HRV là đay đú cúa SRV . Khi đó HRV là không gian các bien ngau
nhiên đ%nh nghĩa trên R vói chuan
¸
2
+∞

" f "RV
=

| f (s)
|
−∞

.

1

2

√
ex
2π σ p
2

.
−(s − µ)2
2σ

ds

vói f ∈ HRV .

2

T¾p hop các bien ngau nhiên liên tnc f sao cho
¸ +∞
−∞

I.1.4.

| f (s)
2

ds < ∞ là trù m¾t trong HRV .

|

Không gian Hilbert các quá trình ngau nhiên

Cho f (t) = f (t, (ω)) là m®t quá trình ngau nhiên sơ cap hay hàm
ngau nhiên đơn gián đ%nh nghĩa trên [0, T ] × Ω , nghĩa là f có dang sau
N−1

f (t, (ω)) =

∑

f (ti, ω) · Ii(t),

i=0

trong đó 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tN = T là m®t phân hoach trên [0, T ]
và Ii(t)
là hàm đ¾c trưng:
Ii(t) = . 1 neu t ≤ t < t
i
i+1
0 neu ngưoc lai .
Giá sú rang f (ti, ·) ∈ HRV vói moi ti. Đ¾c bi¾t, E( f 2(ti)) < ∞ vói
moi i.
Kí hi¾u
SSP := {hàm đơn gián f (t, ω) đ%nh nghĩa trên [0, T ] × Ω sao cho
T

¸

=
0

2

E( f (t)) dt

N−1

∑ E( f 2(ti)).(ti+1 − ti ) < ∞.

i=0

Trên SSP tích vô hưóng (·, ·) đưoc đ%nh nghĩa như sau
¸ T

( f , g)SP =

0

E( f (t) · g(t))dt.


và chuan đưoc đ%nh nghĩa như sau
" f "SP= ( f , fS)
P

2

.1
2
2
E( f (t)) dt .

.¸

1

=T

0

Không gian SSP là không gian Metric vói metric " · "SP .
Tuy nhiên, SSP không là không gian không đú và ta có the thay rang không
phái moi dãy Cauchy đeu h®i tn trong SSP. Không gian này là không gian
đú bang cách bo sung thêm các quá trình ngau nhiên. Kí hi¾u HSP là
không gian đay đú và SSP là trù m¾t trong HSP. Nghĩa là, cho quá trình
ngau nhiên
f ∈ HSP và cho ε > 0 thì ton tai g ∈ SSP sao cho " f −g "SP< ε.
Giá sú, quá trình ngau nhiên f (t, ω) thóa mãn vói các hang so dương
k1, k2 sao cho
" f (0) "R2 ≤ k1 và " f (t2) − f (t1)
V

2

"RV
vói moi t1, t2 ∈ [0, T ] .
Khi đó f ∈ (HSP) và

≤ k2 | t2 − t1 |

N−

fN (t, ω) =

1

∑

f (ti, ω).Ii(t)

i=0

là dãy Cauchy trong SSP ⊂ HSP là h®i tn tói f .
Th¾t v¾y
"f

2
"SP

¸ T

≤2

0

2

¸ T
E | f (0)

E | f (t) − f (0) | dt + 2
0

2

|

dt ≤ k2T + k T.
1

2

Hơn nua, theo đ%nh lý Fubini
¸ T
0

¸
T

E | f (t) | dt = E

0

| f (t) | dt
và

¸ T
2

E | f (t)| dt = E

¸ T
| f (t) | dt.
0

0

Vói f ∈ HSP , áp dnng bat đang thúc Cauhy-Schwarz
| ( f , g)SP |≤" f "SP · " g "SP

2


ta có
¸
 T




0




.¸

2

. 1 .¸
2

T

2

.1

2

T


E( f (t).g(t))dt

≤

0

E | f (t) |
dt

0

E | g(t) | dt

.


Vì v¾y, áp dnng bat dang thúc Cauchy-Schwarz và đ%nh lý Fubini ta có
¸ T

¸

.
1 ¸
E | f (t) | dt ≤ T 2

T

E

0

| f (t) | dt =

0

E | f (t)

T

2

0

.
| dt .

Hơn nua , theo bat đang thú tam giác
" f + g "SP ≤" f "SP + " g "SP vói f , g ∈ HSP
áp dnng vói f , g cn the là
.

.¸

E | f (t)+g(t) | 2 dt

T

.

.¸

E | f (t) |2 dt

T

≤

0

I.2.

1
2

0

1
2

. 1
2
E | g(t)
dt
.
|
2

.¸
+T

0

Tích phân ngau nhiên Ito

Xét năm đieu ki¾n sau cúa quá trình ngau nhiên f vói f ∈ HSP :
"R2 = E | f (a) ≤ k1,
(C1) : f (a) ∈ HRV do đó " f (a)
k1 > 0.
2
V
|
2
(C2) : " f (t2) − f (t1)"R = E | f (t2) − f (t1) ≤ k2 | t2 − t1 | vói t1, t2 ∈
V
|2
[a, b] ; k2là hang so dương.
(C3) : f không dn báo đưoc trên [a,b].
(C4) : Hàm G : [a, b]×R → R ton tai hang so không âm k3 sao cho vói moi t1, t2
∈
[a, b] và vói moi X ∈ HSP thì
E | G(t2, X (t2)) − G(t1 , X
(t1))

2
| ≤ k3(| t2 − t1 |) + E | X (t2) −X (t1) | ).

2

(C5) : Cho G : [a, b] × R → R neu X (a) ∈ HRV thì G(a, X (a)) ∈ HRV .

I.2.1.

Tích phân ngau nhiên Itô cúa hàm đơn gián

Cho fm ∈ SSP là hàm không dn báo đưoc, trong đó
m−1

fm(t, ω) =

∑


(m)

(m)

f
(ω)Ii(t) và f
∈ HRV
vói moi
i, m.

i=0

i

i

Khi đó tích phân

¸b

a fm(s)dW

(s) đưoc đ%nh nghĩa như sau:

¸ b fm (s)dW (s)

I( fm ) =

a

=

m−1

∑

fi

(m)

∆Wi

i=0

∆Wi = W (ti+1) −W (ti)

trong đó
.
Chú ý vói I( fm) ∈ HRV
thì

¸ b

m−1

m−1

"2I( fm )

(m)

=
| E
RV

∑

2

i i=0

∑

i

2
RV

∆t
=i

2

dt =" fm "

2
SP

a

i=0

fm ∈ SSP thì

" I( fm) "RV =" fm "SP .

Tích phân ngau nhiên Itô dang

I.2.2.

E
| | fm(t)

∆ti = ti+1 − ti vói moi i = 0, 1, ..., m− 1

trong đó
.
Vì
v¾y

"fm

f= ∆Wi |

b

¸
a

f (s)dW (s)

Cho f ∈ HSP thóa mãn các đieu ki¾n (C1) −
(C3).
Tích phân

¸b
a

I( f ) =
lim

f (t)dW (t) đưoc đ%nh nghĩa là:
¸ b

fm(t)dW (t) =
lim

m→∞ a

ó đó t

(m)

i

I.2.3.

m→∞

= a + i.(

m

b−a

).

m−1

∑

f (t

(m)

).(W (t

(m)

i+1

i

) −W (t
i

i=0

¸

Tích phân ngau nhiên Itô dang a f (s)dW (s)
t

(m)

))


Cho f ∈¸ HSP thóa mãn các đieu ki¾n (C1) − (C3).
Tích phân a f (t)dW (t) đưoc đ%nh nghĩa là:
t

¸ t fm(t)dW (t) =
I( f )(t) = lim lim

m→∞ a

ó đó t

(m)

i

m→∞

= a + i.(

t−a

m

).

m−1

∑

f (t

(m)

i
i=0

).(W (t

(m)

i+1

) −W (t
i

(m)

))


I.3.

Vi phân ngau nhiên và công thNc Itô

I.3.1.

Vi phân ngau nhiên

Xét quá trình ngau nhiên dưói đây:
¸ b

¸ b
g(s)dω(s) a ≤ t ≤ b (∗)

X (t) = X (a) + f (s)d(s) +
a

a

trong đó f , g ∈ HSP ; X (a) ∈ HRV ; f , g thóa mãn các đieu ki¾n (C1) − (C3)
Neu f , g thóa mãn (∗) thì ta nói rang X có vi phân ngau nhiên dang sau
dX = f (t)d(t) + g(t)dW (t) vói a ≤ t ≤ b.

I.3.2.

Công thNc Itô

Cho X ∈ HSP thóa mãn phương tình vi phân (∗) , vói t ∈ [a, b] ; f ,
g thóa mãn đieu ki¾n (C1) − (C3) và
" f 2(t) "RV ≤ k4 ; " g2(t) "RV ≤ k4; t ∈ [a, b]
Giá sú F(t, x) có các đao hàm riêng liên tnc :
∂ F(t,
x)

;

∂t

trong đó

∂ F(t,
x)

;

∂x

∂ 2F(t, x)
;
∂ 2t

∂ 2 F(t, x)
;
∂ 2x

∂ 2F(t, x)
∂ x∂t

t ∈ [a, b] , x ∈ R , và hàm F cũng thóa mãn các đieu ki¾n (C4), (C5)

Giá sú ta cũng có các hàm
f
(t)

Đ¾t

∂ F(t,
x)
∂x

1
;

g2 (t)
2

∂ 2F(t, ;

x)
∂ 2x

∂ F (t
f,˜(t,
x) x) =

g(t)

∂ F(t,
x) , thóa mãn các đieu ki¾n(C4),
∂x (C5)

∂ F (t ,
x)

1

2

∂ 2 F (t , x)


∂t

+ f (t)

∂x
g

+

2 (t
)

∂ 2x


và
g(t)

g˜(t, x) =

∂ F(t,
x)
∂t

Khi đó F có vi phân ngau nhiên :
dF(t, X (t)) f˜(t, X (t))dt + g˜(t, X (t))dW (t).
=


Chương II

Phương trình vi phân ngau
nhiên
II.1.

M®t so giá thiet

Xét phương trình vi phân ngau nhiên Itô trên đoan [0, T ] có dang như
sau :
¸ t
¸ t g(s, X (s, ω))dW (s, ω) (II.1)
X (t, ω) = X (0, ω)
f (s, X (s, ω))ds +
0
+
0

vói

0 ≤ t ≤ T và

X (0, ·) ∈ HRV

ho¾c có dang vi phân như sau:

dX (t, ω) = f (t, X (t, ω))dt + g(t, X (t, ω))dW (t, ω) (II.2)
vói 0 ≤ t ≤ T , X (0, ·) ∈ HRV .
Các hàm so f (t, x), g(t, x) đưoc goi là h¾ so cúa phương trình.
Giá sú f , g là các hàm không dn báo đưoc và thóa mãn các đieu ki¾n
(C6) và (C7) sau:
(C6) : | f (t, x)− f (s, y)
| ≤ k(| t −s | + |
2

x−y |

2

)
R.

vói

0 ≤ s , t ≤ T , x, y ∈