Toán 11 Khai triển Nhị thức Newtơn và các dạng toán

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
NHỊ THỨC NEW-TƠN
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại vted.vn
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
132
NHỊ THỨC NEW –TƠN
(1). Công thức khai triển nhị thức New – tơn
n

(a + b)n = ∑ Cnka n−k .bk = Cn0bn + Cn1 abn−1 + ... + Cnna n .
k=0

Các tính chất:
*Trong khai triển nhị thức New – tơn có tất cả n + 1 số hạng; số hạng thứ k trong khai triển là
Tk+1 = Cnka n−kbk ;

*Tổng luỹ thừa của a và b luôn bằng n;
*Các số hạng trong khai triển cách đều số hạng đầu và số hạng cuối có hệ số bằng nhau.
(2). Các dạng toán
*Hệ số hay số hạng chứa xα .
*Hệ số lớn nhất và nhỏ nhất trong khai triển

⎧⎪T ≥T
k+1
ü Tìm maxTk thì giả sử Tk là lớn nhất khi đó ⎪⎨ k
⇒k
⎪⎪T ≥T

k−1
⎩ k
⎪⎧T ≤Tk+1
ü Tìm min Tk thì giả sử Tk là nhỏ nhất khi đó ⎪⎨ k
⇒k ;
⎪⎪T ≤T
k
k−1
⎩
Câu 1. Tính hệ số của x12 y13 trong khai triển (x + y)25 .
12 13
C25 .
A. C25

13
.
B. C25

11
.
C. C25

14
.
D. C25

Câu 2. Tính hệ số của x7 trong khai triển (3 − 2x)15 .
7
.
A. −C15

7
.
B. 38 (−2)7 C15

8
.
C. 3728 C15

7
.
D. C15

Câu 3. Tính hệ số của x10 trong khai triển (x + 1)10 + (x + 1)11 + ... + (x + 1)16 .
A. 12376.
B. 4368.
C. 12375.
D. 4365.
Câu 4. Tính hệ số của x10 trong khai triển (x 2 + 2x + 3)(x + 1)10 .
A. 64.
B. 66.
C. 62.

D. 68.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
n

⎛
1 ⎞⎟
⎜
Câu 5. Biết rằng hệ số của x
trong khai triển ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ bằng 31. Tìm n.
⎜⎝
4 ⎟⎠
A. n = 30.
B. n = 32.
C. n = 31.
n−2

D. n = 33.

n

⎛
−55
1 ⎞⎟
⎜
. Tìm n.
Câu 6. Biết rằng hệ số của x3 trong khai triển ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ bằng
⎜⎝
16
2⎟⎠

A. n = 12.
B. n = 10.
C. n = 13.
D. n = 16.
n

n

⎛
285
1 ⎞⎟ ⎛⎜
1 ⎞⎟
⎜
. Tìm n.
Câu 7. Biết rằng hệ số của x n−2 trong khai triển ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ bằng
⎜⎝
8
2⎟⎠ ⎜⎝
4 ⎟⎠
A. n = 16.
B. n = 18.
C. n = 20.
D. n = 32.
20

10

⎛
⎛
1 ⎞⎟

1 ⎞⎟
⎜
⎜
Câu 8. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ x3 − ⎟⎟⎟ có tất cả bao nhiêu số hạng?
⎜⎝
⎜⎝
x 2 ⎟⎠
x ⎟⎠
A. 32.
B. 30.
C. 29.
D. 28.
7

⎛
1 ⎞⎟⎟
⎜⎜ 3
Câu 9. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển ⎜ x +
⎟⎟ (x > 0).
4
⎜⎜⎝
x ⎟⎠
A. 34.
B. 35.
C. 36.
D. 33.
n

−28 ⎞
⎛

⎟
⎜ 3
Câu 10. Trong khai triển ⎜⎜ x x + x 15 ⎟⎟⎟ (x ≠ 0) . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x , biết rằng
⎜⎜
⎟⎟⎠
⎝

Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79.
A. 792.

B. 794.

C. 790.

D. 798.
8

⎛
1 ⎞⎟
⎜
Câu 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ⎜⎜1 + x 2 + ⎟⎟⎟ .
⎜⎝
x3 ⎟⎠
A. 560.

B. 562.

C. 561.

D. 563.

Câu 12. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x + 1)n bằng 1024. Tìm n.
A. n = 10.

B. n = 11.

C. n = 9.

D. n = 12.

Câu 13. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x 2 + 1)n bằng 1024. Tìm hệ số a của
số hạng ax12 trong khai triển.
A. 66.
2

B. 210.

C. 68.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

D. 212.


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3
Câu 14. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển
n

⎛ nx 2 1 ⎞⎟
⎜⎜
− ⎟⎟⎟ , x ≠ 0.
⎜⎜
x ⎟⎠
⎝ 14
A.

35
16

x5 .

B.

36
5

x5 .

C.

−35
16

x5 .

D.

−36

5

⎡1
Câu 15. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển ⎢⎢ − x + x 2
⎢⎣ x

(

2
nhiên thỏa mãn Cn3 + 2n = An+1
.

B. 98.

A. −96.

C. 96.

x5 .

n

⎤
⎥ biết n là số tự
⎥
⎥⎦

)

D. −98.

Câu 16. Kí hiệu a5n−10 là hệ số của số hạng chứa x5n−10 trong khai triển (x3 + 1)n (x 2 + 2)n . Biết

a5n−10 = 1000n(n −1), tìm n.

A. n = 15.

B. n = 17.

C. n = 20.

(

D. n = 19.

)

n

⎡
⎤
Câu 17. Tìm n, biết số hạng chứa x3 trong khai triển ⎢1 + x 1 + x ⎥ là 14nx3 .
⎣
⎦
A. n = 11.

B. n = 8.

C. n = 12.

D. n = 7.

Câu 18. Cho khai triển x(x + 1)n + 2(x + 1)n = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an+1 x n+1 . Tìm n, biết rằng

a2 − 7n; nan ; an−2 (n ≥ 2) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
A. n = 10.

B. n = 12.

C. n = 14.

D. n = 7.

Câu 19. Cho khai triển (1 + x + x 2 )n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2n x 2n . Tìm số hạng chứa x3 trong
khai triển biết

a3
14

A. 90.

=

a4
41

.
B. 120.

C. 210.

Câu 20. Kí hiệu a3n−3 là hệ số của số hạng chứa x
cho a3n−3 = 26n.
A. n = 4.

B. n = 5.

3n−3

D. 330.

trong khai triển (x + 1)n (x + 2)n . Tìm n sao

C. n = 8.

2

D. n = 10.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
2

(

)

Câu 21. Gọi an của x n trong khai triển thành đa thức của 1 + x + 2x 2 + ... + nx n , Tìm n biết rằng

an = 6n.
A. n = 3.

B. n = 4.

C. n = 5.

D. n = 6.

Câu 22. Khai triển (x + 2y)20 có tất cả bao nhiêu số hạng?
A. 20.
B. 21.
C. 19.

D. 22.

Câu 23. Hệ số của x sau khi khai triển và rút gọn (1 + x) + (1 + x) + ... + (1 + x)14 là?
A. 3001.
B. 3003.
C. 3010.
D. 2901.
9

9

10

Câu 24. Giả sử n là số nguyên dương và (x + 1)n = a0 + a1 x + ... + an x n . Biết rằng tồn tại số

(

)

nguyên k 1 ≤ k ≤ n −1 sao cho
A. n = 12, k = 2.

(

ak−1

ak

=

2
9
B. n = 12, k = 7.
n

)

(

a1 + a2 + a3 = 231.

A. n = 12.

ak+1

. Tìm n, k.
24
C. n = 10, k = 7.

(

D. n = 10, k = 2.

)

+ ... + a1 x −1 + a0 = x n , ∀x ∈ !. Tìm n, biết rằng

B. n = 11.

⎛
⎜
Câu 26. Trong khai triển ⎜⎜ x +
⎜⎝
chứa x5 . Tìm n.
A. n = 20.

n−1

)

Câu 25. Giả sử an x −1 + an−1 x −1

=

C. n = 10.

D. n = 9.

n

2 ⎞⎟⎟
2
⎟⎟ , biết hệ số của số hạng chứa x gấp 48 lần hệ số của số hạng
x ⎟⎠

B. n = 18.

C. n = 21.

D. n = 19.

Câu 27. Cho khai triển (1 + x)n = a0 + a1 x + ... + an x n . Tìm n nhỏ nhất sao cho
A. n = 15.

B. n = 21.

C. n = 35.

ak
ak+1

=

7
5

.

D. n = 12.

Câu 28. Trong khai ( 3 − 15)6 có tất cả bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
A. 4.

B. 3.

Câu 29. Tính hệ số của x 2018 trong khai triển
2018
2018
− C2019
.
A. C2020

4

2019
2019
+ C2019
.
B. C2020

C. 2.

1
x

(1 + x)2020 −

D. 1.
1
x

(1 + x)2019 .

2018
2018
+ C2019
.
C. C2020

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

2019
2019
− C2019
.
D. C2020


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5
10

⎛1 2 ⎞
Câu 30. Cho khai triển ⎜⎜ + x ⎟⎟⎟ = a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ a10 x 10 . Hãy tìm số hạng ak lớn nhất.
⎜⎝ 3 3 ⎟⎠
A. a6 .

B. a7 .

C. a8 .

D. a9 .

Câu 31. Cho khai triển (1+ 2x ) = a0 + a1 x +...+ a12 x 12 . Tìm max {a0 ;a1 ;...;a12 }.
12

A. a6 .

B. a7 .

C. a8 .

D. a9 .

Câu 32. Giả sử (1+ 2x )n = a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ an x n thỏa nãn hệ thức

a0 +

a1 a2
a
+ 2 +...+ nn = 4096 .

2 2
2

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số {a0 ;a1 ;a2 ;...;an } .
A. a7 .

B. a8 .

C. a9 .

D. a10 .

Câu 33. Xét khai triển (x + 2)n = a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ an x n . Tìm n để max{a0 ;a1 ;a2 ;...;an } = a10 .

{

}

A. n ∈ 12;13 .

{

}

B. n ∈ 13;14 .

{

}

{

C. n ∈ 14;15 .

}

D. n ∈ 15;16 .

Câu 34. Giả sử (2x −1)15 = a0 + a1 x +...+ a15 x 15 . Tìm min {a0 ,a1 ,...,a15 }.
A. a7 .

B. a8 .

C. a6 .

D. a10 .

Câu 35. Trong khai triển của biểu thức (x3 − x − 2)2017 , tính tổng S của các hệ số của x 2k+1 với k là
số nguyên dương.
A. S = 2

.

2017

B.

22017 + 22016
2

.

C.

22017 − 22016
2

.

D. 2017 × 22016.

n

Câu 36. Cho khai triển ⎡⎢ (x 2 + x) + 1⎤⎥ = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2n x 2n . Tìm số hạng chứa x 4 biết
⎣
⎦
rằng a0 + a2 + ... + a2n = 1094.
A. 1351x 4 .

B. 126x 4 .

C. 1330x 4 .

D. 1331x 4 .

Câu 37. Tìm n, biết rằng hệ số của x 4 trong khai triển (x3 + 2x 2 + 3x)(x + 1)n bằng 804.
A. n = 14.
B. n = 10.
C. n = 12.
D. n = 8.

20

10

⎛
⎛
1 ⎞⎟
1 ⎞⎟
⎜
⎜
Câu 38. Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức ⎜⎜ x 2 + ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ có tất cả bao nhiêu số hạng?
⎜⎝
⎜⎝
x ⎟⎠
x 2 ⎟⎠
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

A. 29.
B. 21.
C. 32.
D. 23.
Câu 39. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) . Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 số
tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈{0;1;2;...;n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

A. k = 8.
B. k = 10.
C. k = 11.
D. k = 9.
Câu 40. Cho khai triển (x + 1)2n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2n x 2n .
Tìm n, biết rằng a0 +
A. n = 20.
Câu

41.

a1
2

Xét

+

a2

+ ... +

a2n

2
2
B. n = 10.
2

khai

2n

= 220.
C. n = 19.

D. n = 9.

(2x + 1) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x n .
n

triển

2

Tính

S = a0 + 3a1 + 32 a2 + ... + 3n an .
n

⎛ 5 ⎞⎟
⎜
B. S = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ .
⎜⎝ 3 ⎠⎟

A. S = 10 n.

C. S = 5n.

D. S = 7 n.

8

Câu 42. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của ⎡⎢1+ x 2 (1− x)⎤⎥ .
⎣
⎦
A. 328.
B. 238.
C. 70.
D. 168.
3
Câu 43. Xác định hệ số của x trong khai triển thành đa thức của P (x) = (1+ 2x + 3x 2 )10 .
A. 1500.

B. 165.

C. 540.

D. 960.
n

n
n−1
−x ⎞
⎛ x−1
⎛ −x ⎞⎟
⎛ −x ⎞⎟
⎛ x−1 ⎞⎟
⎛ x−1 ⎞⎟
⎟
⎜⎜ 2

⎜
⎜
⎜
⎜
Câu 44. Cho khai triển ⎜ x + 2 3 ⎟⎟⎟ = Cn0 ⎜⎜ x 2 ⎟⎟⎟ + Cn1 ⎜⎜ x 2 ⎟⎟⎟ .⎜⎜2 3 ⎟⎟⎟ + ... + Cnn ⎜⎜2 3 ⎟⎟⎟ (n là số
⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎠
⎟⎟⎠
⎟⎟⎠
⎝
⎝
⎝
⎝ ⎠
⎝ ⎠

nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn3 = 5Cn1 và số hạng thứ tư bằng 20n . Mệnh đề nào
dưới đây đúng ?
A. x = 4.

B. x = 5.

(

C. x = 7.

D. x = 3.

)

4

Câu 45. Cho khai triển 1− x + x 2 − x 3 = a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ a12 x 12 . Tính hệ số a7 .
A. – 30.

B. – 20.

(

Câu 46. Cho khai triển 1+ x + x 2 +...+ x 14

C. – 40.

)

15

D. – 70.

= a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ a210 x 210 .

Tính tổng S = C150a15 −C151a14 +C152a13 −...−C1515a0 .
A. S = 15.
B. S = −1.

C. S = 1.

D. S = −15.

Câu 47. Tìm hệ số của x3 trong khai triển (3x − 4)5 .
A. 4320.
B. −4320.
C. 34560.
D. −34560.
Câu 48. Số tập con của một tập hợp (kể cả tập rỗng) của một tập hợp gồm 2018 phần tử là ?
6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

tổng


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
C. 2018.
A. 20182.
C. 22018 −1.
D. 22018.
Câu 49. Số tập con của một tập hợp (không kể cả tập rỗng) của một tập hợp gồm 2018 phần tử là ?
C. 2018.
A. 20182.
C. 22018 −1.
D. 22018.
Câu 50. Tìm hệ số của x101 y99 trong khai triển (2x − 3y)200 .
101 101
2 (−3)99 .

A. C200

99
299 (−3)101 .
B. C200

101 101
2 (−3)99 .
C. −C200

99
299 (−3)101 .
D. −C200

16

Câu 51. Tìm hệ số x 16 trong khai triển thành đa thức của ⎡⎢1− x 2 (1− x 2 )⎤⎥ .
⎣
⎦
A. 258570.

B. 257580.

C. 258560.

D. 257560.
n

1
⎛

⎞
−x ⎟
⎜⎜ x
2 ⎟
Câu 52. Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức ⎜2 + 2 ⎟⎟ có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5
⎜⎜
⎟⎟⎠
⎝

bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22.
A. 0.

B. 2.

C. 3.
20

D. 1.
30

⎛
⎛
1 ⎞⎟
1 ⎞⎟
⎜
⎜
Câu 53. Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức ⎜⎜ x 2 + ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ x3 + ⎟⎟⎟ có tất cả bao nhiêu số hạng ?
⎜⎝
⎜⎝
x ⎟⎠

x 4 ⎟⎠
A. 49.
B. 51.
C. 52.
D. 50.
CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED
PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN
TOÁN 2018 CHO TEEN 2K
/>PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K1
/>PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI
TOÁN 11 CHO TEEN 2K1
/>
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K2
/>ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

ĐÁP ÁN
Xem lời giải chi tiết tại phần thi online tại vted.vn link: />1B
11C
21C

31C
41D
51A

8

2B
12A
22B
32B
42B
52B

3A
13B
23B
33C
43A
53A

4D
14C
24C
34D
44A

5B
15D
25B
35D

45C

6A
16B
26D
36A
46D

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

7C
17B
27B
37C
47A

8C
18A
28A
38B
48D

9B
19C
29D
39D
49C

10A

20B
30B
40B
50A


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9
LỜI GIẢI CHI TIẾT
15

15

k=0

k=0

k 15−k
k k
Câu 2. Ta có: (3 − 2x)15 = ∑ C15
3 (−2x)k = ∑ (−2)k 315−k C15
x .

7
7
Hệ số cần tìm a7 = (−2)7 315−7 C15
= (−2)7 38 C15
(B) .

Câu 3. Hệ số của x10 trong khai triển là

10
10
10
10
10
10
10
C10
+ C11
+ C12
+ C13
+ C14
+ C15
+ C16
= 12376(A) .

Câu 4. Ta có
(x 2 + 2x + 3)(x + 1)10 = x 2 (x + 1)10 + 2x(x + 1)10 + 3(x + 1)10 ; do đó hệ số của x10 là
8
9
10
C10
+ 2C10
+ 3C10
= 68(D) .
n

k

k

⎛
⎛ −1⎞⎟
⎛ −1⎞⎟
n
n
1 ⎞⎟
⎜
⎜
⎜
Câu 5. Ta có ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ = ∑ Cnk x n−k ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ∑ ak x n−k với ak = Cnk ⎜⎜ ⎟⎟⎟ .
⎜⎝
⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎜⎝ 4 ⎟⎠
4 ⎟⎠
k=0
k=0
2

⎛ 1 ⎞⎟
⎜
Theo giả thiết a2 = 31 ⇔ Cn2 ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 31 ⇔ n = 32(B) .
⎜⎝ 4 ⎠⎟
n

k

⎛
⎛ −1⎞⎟
n

n
1 ⎞⎟
⎜
⎜
Câu 6. Ta có ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ = ∑ Cnk (2x)n−k .⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ∑ ak x n−k với ak = Cnk 2n−2k (−1)k theo giả thiết
⎜⎝
⎜⎝ 2 ⎟⎠
2⎟⎠
k=0
k=0
an−3 =

−55
16

⇔ Cnn−3 2n−2(n−3) (−1)n−3 =

−55
16

.

Câu 8. Ta có
20

k

10

m

⎛
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
20
10
1 ⎞⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜ 3 1 ⎟⎟
k 20−k ⎜ −1 ⎟
⎟⎟ + ∑ C m x3(10−m) ⎜⎜ −1⎟⎟⎟
⎜
x
−
+
x
−
=
C
x
⎟
⎟
∑
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
20

10
x 2 ⎟⎟⎠
x ⎟⎟⎠
⎝
⎝
⎝x ⎠
⎝ x ⎠
k=0
m=0
20

10

k=0

m=0

k 20−3k
m 30−4m
= ∑ (−1)k C20
x
+ ∑ (−1)m C10
x
.

Ta tìm các số hạng có cùng luỹ thừa của x;
⎧⎪0 ≤ m ≤ 10,0 ≤ k ≤ 20
⎪⎨
⇔ (k; m) = (2; 4); (6;7); (10;10).
⎪⎪20 − 3k = 30 − 4m ⇔ 4m − 3k = 10

⎩
Vậy trong khai triển đã cho có tất cả 21 + 11 − 3 = 29 số hạng.
k

Câu 9. Hệ số của số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk+1

7 7
⎛ 1 ⎞⎟
− k
⎜
3
= C7k ( x )7−k ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = C7k x 3 12
⎜⎜⎝ 4 x ⎟⎠

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 9
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
10 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Chọn

7
3

−

7
12

k = 0 ⇔ k = 4.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: T5 = C74 = 35(B) .
Câu 10. +Từ giả thiết ta có: Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79 ⇔ 1 + n +

n(n −1)
2

= 79 ⇔ n = 12(n ∈ ! * )

k

Vậy số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là Tk+1
Chọn 16 −

48
15

48
⎛ −28 ⎞⎟
16− k
3
k
12−k ⎜
k
15 ⎟
15
⎜
= C12 (x x ) ⎜ x ⎟⎟ = C12 x

⎜⎜
⎟⎟⎠
⎝

5
= 792(A) .
k = 0 ⇔ k = 5 . Vậy số hạng không phụ thuộc x là T6 = C12
n

Câu 13. + Ta có (x 2 + 1)n = ∑ Cnk x 2k = Cn0 + Cn1 x 2 + Cn2 x 4 + ... + Cnn x 2n , thay x = 1 vào ta được
k=0

2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 1024 ⇒ n = 10
6
= 210(B) .
Vậy hệ số của số hạng ax12 là : a = C10

Câu 14. Ta có :

5Cnn−1 = Cn3 ⇔ 5n =

(

)(

) ⇔ 30 = n − 3n + 2 ⇔ n − 3n − 28 = 0 ⇔ ⎡⎢ n = 7

n n −1 n − 2
1.2.3

2

2

chỉ
⎢
n
=
−4
⎢⎣

nhận nghiệm n = 7 .
7

7

7−k

⎛ 7x 2 1 ⎞⎟
⎛ x 2 1 ⎞⎟
⎛ x 2 ⎞⎟
7
⎜
⎜
⎜
− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ∑ C7k ⎜⎜ ⎟⎟⎟
Khai triển ⎜⎜
⎜⎝ 14
⎜⎝ 2
⎜⎝ 2 ⎟⎠

x ⎟⎠
x ⎟⎠
k=0
k

( )

Số hạng tổng quát là C7k −1 .

x14−3k
2

7−k

3

( )

Vậy số hạng chứa x5 là C73 −1
Câu 15. Điều kiện: n ≥ 3 .

x5
2

4

( )

. Là số hạng chứa x5 khi và chỉ khi 14 − 3k = 5 ⇔ k = 3
= −

35
16

x5 (C) .

2
Ta có phương trình: Cn3 + 2n = An+1
.

10

k

⎛ 1 ⎞⎟
7
k
x14−3k
⎜
.⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ∑ C7k −1 .
, k ∈ N, k ≤ 7
⎜⎝ x ⎟⎠
27−k
k=0

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM

PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
1

⇔

(

n!

)

+ 2n =

(n + 1)!

⇔

(

)(

) + 2n = n n + 1 .
( )

n n −1 n − 2

6
(n −1)!
⇔ ( n −1)( n − 2) + 12 = 6 ( n + 1) (do n ≥ 3 ).
3! n − 3 !

⎡n = 1
(đối chiếu với điều kiện) suy ra n = 8 .
⇔ n2 − 9n + 8 = 0 ⇔ ⎢⎢
⎢⎣ n = 8
Vậy
⎡1
⎢ − x + x2
⎢
⎢⎣ x

n

8

⎤
2
8
⎥ = C 0 1 − C1 1 1 + x + C 2 1 1 + x − ... + C 8 x8 1 + x .
⎥
8
8
8
8
x8
x6
x4
⎥⎦
3
4

1
1 + x và C84 1 + x .
Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức −C83
x2

(

⎤
⎡
⎥ = ⎢ 1 − x + x2
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣ x

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là −C83C32 và C84C40 .
Vậy số hạng cần tìm là −C83C32 + C84C40 = −98(D) .

⎡1
Cách 2: Ta có ⎢⎢ − x + x 2
⎢⎣ x

(

8−k

⎛ 1 ⎞⎟
⎜
= ∑ C8 ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ x ⎟⎠
k=0
8

8

8−k

⎤
⎛ ⎞
8
k ⎜1⎟
⎥ =
∑ C8 ⎜⎜⎜ x ⎟⎟⎟⎟
⎥
⎝ ⎠
k=0
⎥⎦

)

k

8

k

(x + x ) .
2

k

∑ Cki x k−i x2i = ∑ ∑ C8kCki x2k+i−8 .

k

i=0

k=0 i=0

⎡⎪
⎧k = 3
⎢⎪
⎢⎨
⎢⎪
⎩i = 2 .
Chọn 2k + i − 8 = 0, 0 ≤ i ≤ k ≤ 8 ⇔ ⎢⎪
⎪k = 4
⎢⎧
⎢⎪
⎨
⎢⎪
⎩i = 0
⎣⎪

(

)

Vậy số hạng cần tìm là −C83C32 + C84C40 = −98 .

(

n

)(

Câu 16. Ta có: x3 + 1

n

)

x2 + 2

n

= ∑ Cnk x

(

)

3 n−k

k=0

n

∑ Cni x
i=0

( )

2 n−i

n

n

.2i = ∑ ∑ CnkCni 2i x5n−3k−2i .
k=0 i=0

( ) ( )( )

Chọn 5n − 3k − 2i = 5n −10 ⇔ 3k + 2i = 10 ⇔ k; i = 0;5 ; 2; 2 .
Theo giả thiết ta có:

(

)

a5n−10 = Cn0 .Cn5 .25 + Cn2 .Cn2 .22 = 1000n n −1 .

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 11
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
12 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

⇔ 32.

(

)(

)(

)(

)

n n −1 n − 2 n − 3 n − 4
120

(

)

2

⎡
⎤
⎢ n n −1 ⎥
⎦ = 1000n n −1 ⇔ n = 17(B) .
+ 4. ⎣
4

(

)

Câu 17. Ta có

(

n

)

1 + (x + x 2 )

n

n

= ∑ Cnk (x + x 2 )k = ∑ Cnk x k (1 + x)k
k=0
n

k

k=0
n

k=0

i=0

k

= ∑ Cnk x k ∑ Cki x i = ∑ ∑ CnkCki x k+i .
k=0 i=0

Do đó k + i = 3 ⇒ (i; k) = (0;3); (1; 2).
Vậy hệ số của x3 trong khai triển là C30Cn3 + C21Cn2 =

n(n −1)(n − 2)

+ n(n −1) = 14n ⇒ n = 8.

6

Chọn đáp án B.
Câu 18. Ta có (x + 1)n (x + 2) = (x + 1)n+1 + (x + 1)n .
Suy ra
2
a2 = Cn+1
+ Cn2 =

(n + 1)n

+

n(n −1)

2
2
an = Cn+1 + Cn = (n + 1) + 1 = n + 2;
n

= n2 ;

n

n−2
an−2 = Cn+1
+ Cnn−2 =

(n + 1)n(n −1)

+

6

.

n(n −1)
2

=

n(n −1)(n + 4)
6

Theo giả thiết bài toán ta có
n(n + 2) − (n2 − 7n) =

n(n −1)(n + 4)
6

− n(n + 2)

⎡n = 0

⎢
n(n −1)(n + 4)
⎢
⇔
= n2 + 11n ⇔ ⎢ n = −7
⎢
6
⎢ n = 10
⎣

.

Vậy n = 10(A) .

(

)

n

n

(

Câu 19. Ta có: ⎡⎢1 + x 1 + x ⎤⎥ = ∑ Cnk x k 1 + x
⎣
⎦
k=0

12

k

)

n

k

= ∑ ∑ CnkCkm x k+m .
k=0 m=0

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
3
⎡⎧
k=3
⎪
⎢⎪
⎨
⎢
⎧
⎪
⎪0 ≤ m ≤ k ≤ n
⎢⎩m = 0
⇔ ⎢⎪

Số hạng chứa x3 ⇔ m + k = 3 ⇒ ⎪⎨
.
⎧k = 2
⎪
⎪
⎢
k
+
m
=
3
⎪
⎩
⎢⎪
⎨
⎢⎪
⎪m = 1
⎣⎩

(

)

⇒ a3 = Cn3C30 + Cn2C21 = n n −1 +

(

)(

).

n n −1 n − 2
6

⎡⎧⎪
⎢⎪⎨k = 4
⎢⎪
⎢⎪⎩m = 0
⎢⎧
⎧⎪0 ≤ m ≤ k ≤ n
⎢⎪ k = 3
4
⎪
⇔ ⎢⎪⎨
Số hạng chứa x ⇔ m + k = 3 ⇒ ⎨
.
⎪⎪k + m = 4
⎢⎪⎪m = 1
⎩
⎢⎩
⎢⎧⎪k = 2
⎢⎪⎨
⎢⎪
⎢⎣⎪⎩m = 2
⇒ a4 = Cn4C40 + Cn3C31 + Cn2C22 =

Theo giả thiết ta có:

(

)

n n −1 +

(

)(

)

14

)(

)(

) + n(n −1)(n − 2) + n(n −1) .

24

(

n n −1 n − 2
6

(

n n −1 n − 2 n − 3

)(

2

)(

2

) + n(n −1)(n − 2) + n(n −1)

n n −1 n − 2 n − 3
24

=

(

)(

)⎞⎟⎟⎟⎟ .

⎛
⎛
n− 2 n−3
⎜⎜ 1 n − 2
n − 2⎞⎟⎟
⎜⎜
⇔ 41⎜1 +
+
⎟⎟ = 14 ⎜⎜ +
⎜⎜ 2

⎜⎝
6 ⎟⎠
2
24
⎜⎝

41

2

2

.

⎟⎟
⎟⎟⎠

⎡ n = 10
⎢
⇔ 7n2 − 33n − 370 = 0 ⇔ ⎢⎢
37 ⇒ n = 10 .
⎢n = −
⎢⎣
7
3
2
C30 + C10
C21 = 210(C) .
Vậy a3 = C10
n

k
⎛ n
⎞⎟⎛ n
⎞⎟
Câu 20. Ta có (x 2 + 1)n (x + 2)n = ⎜⎜⎜∑ Cnk x 2k ⎟⎟⎜⎜⎜∑ Cni x i 2n−i ⎟⎟ = ∑ ∑ CnkCni 2n−i x 2k+i .
⎟⎟⎠⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎝ k=0
i=0
k=0 i=0

⎪⎧⎪0 ≤ i, k ≤ n
⎪
⎪⎧i = n −1 ⎪⎧⎪i = n − 3
Chọn 2k + i = 3n − 3 , thỏa mãn ⎪
∨⎨
⎨2k + i = 3n − 3 ⇔ ⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪k = n −1 ⎪⎪k = n
⎩
⎩
⎪⎪i, k ∈ !
⎩
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 13
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
14 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
Vậy hệ số của số hạng chứa x3n−3 là a3n−3 = 2Cnn−1Cnn−1 + 23 CnnCnn−3

= 2n2 +

4n(n −1)(n − 2)
3

= 26n ⇔ n = 5(B) .

Câu 21.

(

Ta có : 1 + x + 2x 2 + ... + nx n

2

) = (1 + x + 2x

2

)(

)

+ ... + nx n 1 + x + 2x 2 + ... + nx n , do đó hệ số

an của x n trong khai triển là
an = 1.n + 1(n −1) + 2(n − 2) + ... + n.1 = 2n + n(1 + 2 + ... + n) − (12 + 22 + ... + n2 )
= 2n + n

n(n + 1)

2

Vậy an = 6n ⇔

−

n(n + 1)(2n + 1)
6

n3 + 11n
6

=

n3 + 11n
6

= 6n ⇔ n = 5(C) .

Câu 22. Khai triển có tất cả 20 + 1 = 21 số hạng.
9
9
9
9
9
+ C11
+ C12
+ C13
+ C14
= 3003(B) .

Câu 23. Hệ số của x9 là C99 + C10

Câu 24. Ta có ak = Cnk .
Theo giả thiết ta có:

Cnk−1

=

Cnk

=

Cnk+1

1

⇔

=

1

2
9
24
2(n − k + 1)(n − k) 9k(n − k)
⎧24(k + 1) = 9(n − k)
⎪
⇔⎪

⇔ n = 10; k = 2(C) .
⎨
⎪
⎪
⎩9k = 2(n − k + 1)

=

1
24k(k + 1)

n

Câu 25. Đặt x −1 = y khi đó an yn + an−1 yn−1 + ... + a1 y + a0 = (y + 1)n = ∑ Cnk yk .
k=0

Suy ra ak = Cnk và theo giả thiết bài toán:

a1 + a2 + a3 = 231 ⇔ Cn1 + Cn2 + Cn3 = 231
⇔ n+

14

n(n −1)
2

+

n(n −1)(n − 2)
6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

= 231 ⇔ n = 11(B) .


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
5
n

⎛
⎜
Câu 26. Ta có: ⎜⎜ x +
⎜⎝

n−k

⎛ ⎞
n
2 ⎞⎟⎟
k
k ⎜ 2⎟
⎜⎜ ⎟⎟
=
C
(
x)
.

⎟
∑ n
⎜⎝ x ⎟⎟⎠
x ⎟⎟⎠
k=0

3

n

=∑ Cnk 2n−k.x 2

k−n

.

k=0

Gọi a,b lần lượt là hệ số của số hạng chứa x 2 gấp 48 lần hệ số của số hạng chứa x5 .

3k

Số hạng chứa x ứng với
2

2
3k

5

Số hạng chứa x ứng với

2
Theo giả thiết bài toán ta có:
2(n+2)

Cn

3

⇔2
⇔

.2

n−4
3

n−

2(n+2)
3

−n= 2⇔ k=
−n= 5⇔ k=
2(n+5)

= 48Cn

n−4

.Cn 3 = 12.2

n−4
3

3

n−

.2

⇒ a = Cn

3
2(n + 5)
3

2(n+5)

n−10

2(n+2)

2(n + 2)

3

⇔2

3

n−4

2(n+5)

⇒ b = Cn

n−4

3

n−4

.Cn

3

3

= 48.2

n−

.2

n−

.2

n−10
3

2(n+2)
3

.

2(n+5)
3

.

n−10

.Cn 3

n−10

.Cn 3 ⇔ Cn 3 = 12Cn 3

2n + 10 2n + 7
n− 4 n−7
⋅
= 12 ⋅
⋅
⇒ n = 19(D) .
3
3
3

3
n

Câu 27. Ta có (1 + x)n = ∑ Cnk x k ⇒ Hệ số của 2 số hạng liên tiếp là Cnk và Cnk+1 .
k=0

Theo giả thiết ta có:

Cnk
Cn

k+1

=

7
5

⇔

k+1
n− k

=

7
5

Do cả 2 số n, k ∈ ! * ⇒

⇔ n = 3k + 2 +

k+1
7

k+1
7

∈ " ⇒ nmin ⇔

(0 ≤ k ≤ n) .

k+1
7

⇔ k = 6 ⇒ n = 21(B) .
min

k

Câu 28. Hệ số của số hạng thứ (k+1) trong khai triển là : C 6k 3 2.(−15)
Vậy để số hạng là hữu tỷ ta phải có :

6−k
2

.

k
6− k

∈ !,
∈ ! ⇒ k ∈ {0;2;4;6} .
2
2

Vậy các số hạng cần tìm là : C 60 33 ;C 62 32.15;C 64 3.152 ;C 66153 ⇒ A.
10

10−k

10
⎛1 2 ⎞
⎛1 ⎞
Câu 30. + Ta có ⎜⎜ + x ⎟⎟⎟ = ∑ C10k ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎜⎝ 3 3 ⎟⎠
k=0

k

k 10
⎛ 2 ⎞⎟
2k k
k k
⎜⎜ x ⎟ = 2
C
x
⇒
a
=

C
∑
k
⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠
310 k=0 10
310 10

Giả sử ak = max(a0 ;a1 ;...a10 ) , từ đó ta có
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 15
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
16 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
k k
k+1 k+1
⎧
⎪
⎪ak ≥ ak+1 ⎧
⎪C10 2 ≥C10 2 ⇔ 19 ≤ k ≤ 22 ⇒ k = 7.
+⎪
⇔
⎨
⎨ k k
⎪
⎪C 2 ≥C k−1 2k−1
3
3
⎪
10

⎩ak ≥ ak−1 ⎪
⎪
⎩ 10

Vậy số hạng lớn nhất là a7 =

27 7
C (B) .
310 10
12

12

k=0

k=0

Câu 31. + Ta có (1+ 2x ) = ∑ C nk (2x ) k = ∑ C nk 2k x k ⇒ ak = C nk 2k .
12

Giả sử ak = max(a0 ;a1 ;...;a12 ) . Từ đó ta có

⎧2k C k ≥ 2k+1C k+1
⎧a ≥ a
⎪
⎪
23
25
k
k+1

12
12
⎪
+⎨
⇔⎪
⇔ ≤k ≤ ⇔ k =8
⎨ k k
k−1
k−1
⎪
⎪2 C ≥ 2 C
3
3
⎪
12
12
⎩ak ≥ ak−1 ⎪
⎩
Vậy số hạng lớn nhất là a8 = C128 218 (C ) .

1
Câu 32. Ta có (1+ 2x )n = a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ an x n , thay vào 2 vế với x = ta được
2
2n = a0 +

a1 a2
a
+ 2 +...+ nn = 4096 = 212 ⇔ n =12.
2 2
2

12

12

k=0

k=0

Vậy (1+ 2x )12 = ∑ C12k (2x ) k = ∑ C12k 2k x k ⇒ ak = C12k 2k

⎧⎪2k C k ≥ 2k+1C k+1
⎧⎪a ≥ a
k+1
12
Giả sử ak là hệ số lớn nhất, khi đó ta có ⎪⎨ k
⇔ ⎪⎨ k 12k
⇔k=8
⎪⎪a ≥ a
⎪⎪2 C ≥ 2k−1C k−1
k−1
12
⎩ k
⎩ 12
Vậy hệ số lớn nhất là a8 = 28 C128 =126720
Câu 33.
n

Ta có (x + 2)n = ∑ C nk 2n−k x k ⇒ ak = C nk 2n−k
k=0

10 n−10
11 n−11
⎧
⎪
⎪a10 > a11 ⎧
⎪C n 2 >C n 2 ⇒ n ∈ 14,15 (C ) .
max{a0 ;a1 ;a2 ;...;an } = a10 , khi và chỉ khi ⎪
⇔
⎨
⎨ 10 n−10
{ }
9 n−9
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩a10 > a9
⎩C n 2 >C n 2

15

Câu 34. Khi đó (2x −1) = ∑ C15k 2k x k .(−1)15−k .
15

k=0

Vậy hệ số nhỏ nhất phải ứng với a2k = C152k 2k (−1)15−2k (hệ số chứa luỹ thừa chẵn của x).
16

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM

PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
7
Ta so sánh

⎪⎧⎪a2k ≤ a2k+2 ⎪⎧⎪C152k 22k (−1)15−2k ≤C152k+2 22k+2 (−1)13−2k
⇔ ⎨ 2k 2k
⎨
⎪⎪a ≤ a
⎪⎪C 2 (−1)15−2k ≤C 2k−2 22k−2 (−1)17−2k
2k
2k−2
15
⎩
⎪⎩ 15
⎧⎪
1
4
.
⎪
≥
⎪⎧⎪C152k ≥ 4C152k+2 ⎪⎪ (15− 2k)(14 − 2k) (2k + 2)(2k +1)
⇔ ⎨ 2k
⇔ ⎪⎨
⎪⎪4C ≥C 2k−2 ⎪⎪
4
1

15
⎪⎩ 15
≥
⎪⎪
⎪⎩ 2k(2k −1) (17− 2k)(16− 2k)
Giải bất phương trình trên và chọn k nguyên có:

k = 5 ⇒ min {a0 ,a1 ,...,a15 } = a10 = −210 C1510 = −3075072(D) .
Câu 35. Ta có (x3 − x − 2)2017 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a6051 x6051 .
Ta cần tính S = a3 + a5 + ... + a6051 ;
Thay x bởi 1 vào đẳng thức trên, ta có a0 + a1 + a2 + ... + a6051 = −22017.
Thay x bởi – 1 vào đẳng thức trên, ta có: a0 − a1 + a2 − a3 + ... − a6051 = −22017.
Trừ theo vế hai đẳng thức trên ta có:

(

)

2 a1 + a3 + ... + a6051 = 2S + 2a1 = 0 ⇒ S = −a1 .
Ta có (x3 − x − 2)2017 =

2017

∑C

k

2017

k=0

(x3 − x)k (−2)2017−k ; số hạng a1 x chỉ xuất hiện trong

1
C2017
(x3 − x)1 (−2)2017−1 = 2017.22016 (x3 − x) ⇒ a1 = −2017.22016 ; do đó S = 2017 × 22016.

Câu 36. Thay x lần lượt bởi 1 và -1 ta có
⎧⎪a + a + a + ... + a = 3n
⎪⎪ 0
1
2
2n
.
⎨
⎪⎪a − a + a − ... − a
+
a
=
1
1
2
2n−1
2n
⎪⎩ 0
Cộng theo vế hai phương trình của hệ trên ta được:

(

)

2 a0 + a2 + ... + a2n = 3n + 1 = 2×1094 ⇒ n = 7 .
Khi đó ta cần tìm số hạng chứa x 4 trong khai triển
7

7

7

k

k

7

k

(1 + x + x ) = ∑ C ( x + x ) = ∑ C ∑ C x x = ∑ ∑ C C x
Chọn 0 ≤ i ≤ k ≤ 7; 2k − i = 4 ⇒ (i; k) = (0; 2) ; (2;3) ; (4; 4) .
Vậy số hạng cần tìm là (C C + C C + C C ) x = 1351x (A) .
2

k=0

k

2

7

k=0

k

7

i

i

k

i=0

2

0

3

2

4

4

7

2

7

3

7

7

2(k−i)

k=0 i=0

4

k

i

7

k

2k−i

.

4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 17
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
18 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
Câu 37. Ta có
(x3 + 2x 2 + 3x)(x + 1)n = x3 (1 + x)n + 2x 2 (1 + x)n + 3x(1 + x)n .

Do đó a4 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 = 804 ⇔ n = 12(C) .
Câu 38. Ta có
20

10

⎛
⎞
⎛
20
10
1 ⎞⎟⎟
⎜⎜ 2 1 ⎟⎟
⎜⎜
k 2(20−k) −k
m 10−m −2m
x
+
+
x
−
=
C

x
.x
+
(−1)m C10
x
.x
⎟
⎟
∑
∑
⎜⎜
⎜
20
⎟
2⎟
⎜
x ⎟⎠
x ⎟⎠
⎝
⎝
k=0
m=0
20

10

k=0

m=0

k 40−3k
m 10−3m
= ∑ C20
x
+ ∑ (−1)m C10
x
.

Ta tìm các số hạng trong 2 khai triển mà có luỹ thừa của x giống nhau
⎪⎧⎪0 ≤ k ≤ 20
⎪⎪
⎪0 ≤ m ≤ 10
40 − 3k = 10 − 3m ⇔ k − m = 10 ⇒ ⎨
.
⎪⎪k, m ∈ !
⎪⎪
⎪⎪⎩k − m = 10
Có tất cả 11 cặp (k,m) thoả mãn nên có 11 số hạng cùng luỹ thừa của x; do đó
Trong khai triển sau khi rút gọn có tất cả 21 + 11 – 11 = 21 số hạng.
Chọn đáp án B.
Câu 39. Sô tập con gồm 4 phần tử của A là tổ hợp chập 4 phần tử của n: C n4
Số tập con gồm 2 phần tử của A là tổ hợp chập 2 phần tử của n: C n2 .
Theo đề bài ta có
n(n −1)(n − 2)(n −3)
n(n −1)
= 20
24
2
2
⇔ n −5n − 234 = 0 ⇔ n =18

C n4 = 20C n2 ⇔

Số tập con gồm k phần tử của A là ak = C18k , giả sử ak là lớn nhất khi đó
⎧C k ≥C k+1
⎧a ≥ a
⎪
⎪
k+1
18
18
⎪ k
⇔⎪
⇔ k = 9(D) .
⎨
⎨ k
k−1
⎪
⎪
a
≥
a
C
≥C
⎪
⎪
k−1
18
⎩ k
⎪

⎩ 18

Câu 40. Trong khai triển, (x + 1)2n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2n x 2n .
Thay x =

a0 +

18

a1
2

+

1

vào hai vế ta được:

2

a2
2

2

+ ... +

a2n
2

2n

= 22n = 220 ⇔ 2n = 20 ⇔ n = 10(B) .

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
9
Câu 41. Thay x = 3 vào hai vế của khai triển, ta có S = a0 + 3a1 + 32 a2 + ... + 3n an = 7 n (D) .
8
8
⎡ k
⎤
Câu 42. + Ta có [1+ x 2 (1− x )]8 = ∑ C 8k [x 2 (1− x )]k = ∑ C 8k x 2k ⎢ ∑ (−1)i C ki x i ⎥
⎢ i=0
⎥
k=0
k=0
⎣
⎦

⎪⎧⎪0 ≤ i ≤ k ≤ 8
⎧⎪i = 0 ⎧⎪i = 2
⎪
∨ ⎪⎨
Vậy hệ số của x 8 trong khai triển là (−1)i C 8kC ki thỏa mãn ⎪
⎨2k + i = 8 ⇔ ⎪⎨

⎪⎪
⎪⎪⎩k = 4 ⎪⎪⎩k = 3
⎪⎪⎩i,k ∈ !
Vậy hệ số của x 8 là: (−1)0 C 84C 40 + (−1) 2 C 83C 32 = 238(B) .
10

10

Câu 43. + Ta có P (x ) = (1+ 2x + 3x 2 )10 = ⎡⎢⎣1+ x(2 + 3x )⎤⎥⎦ = ∑ C10k x k (2 + 3x ) k
k=0

= C10o +C101 x(2 + 3x ) +C102 x 2 (2 + 3x ) 2 +C103 x 3 (2 + 3x )3 +...+C1010 x 10 (2 + 3x )10
Suy ra hệ số của x 3 chỉ xuất hiện trong C102 x 2 (2 + 3x ) 2 +C103 x 3 (2 + 3x )3
Vậy hệ số của x 3 trong khai triển của P (x ) là: 12C102 + 8C103 = 1500(A) .
Câu 44. + Theo giả thiết Cn3 = 5Cn1 ⇔

n(n −1)(n − 2)
6
4

⎛ x−1 ⎞⎟
⎜
Số hạng thứ tư trong khai triển là T3 = C7 ⎜⎜ x 2 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟⎠
⎝
3

= 5n ⇔ n = 7(n ∈ ! * ) .
3

⎛ −x ⎞⎟
⎜
.⎜⎜2 3 ⎟⎟⎟ = 35.22x−2.2−x = 20n = 140 ⇔ x = 4.
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠

Chọn đáp án A.
Câu 45. Ta có 1− x + x 3 − x 4 =1− x + x 2 (1− x ) = (1− x )(1+ x 2 ) .

(

)

4

(

Vì vậy 1− x + x 2 − x 3 = (1− x ) 1+ x 2
4

4

) = ∑C
4

k=0

k
4

4

4

4

(−x ) k .∑ C 4i (x 2 )i = ∑ ∑ C 4kC 4i (−1) k x 2i+k .
i=0

k=0 i=0

⎧⎪2i + k = 7
⎪⎪
⎡ k =1,i = 3
⇒ a7 = C 41.C 43 (−1)1 +C 43 .C 42 (−1)3 = −40(C ) .
Chọn ⎪⎨0 ≤ i ≤ 4 ⇔ ⎢
⎢ k = 3,i = 2
⎪⎪
⎣
⎪⎪⎩0 ≤ k ≤ 4

(

Câu 46. Ta có: (x 15 −1)15 = (x −1)15 1+ x + x 2 +...+ x 14

)

15

= (x −1)15 (a0 + a1 x + a2 x 2 +...+ a210 x 210 ) .

So sánh hệ số của x15 hai vế ta có,
0
1
2
15
1
C15
a15 − C15
a14 + C15
a13 − ... − C15
a0 = −C15
= −15(D) .

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 19
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
20 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
16

16

16

k=0

k=0

Câu 51. + Ta có ⎡⎢1− x 2 (1− x 2 )⎤⎥ = ∑ C16k (−x 2 (1− x 2 )) k = ∑ (−1) k x 2kC16k (1− x 2 ) k
⎣
⎦
16
⎡ k
⎤ 16
= ∑ (−1) k x 2kC16k ⎢ ∑ C ki (−x 2 )i ⎥ = ∑((−1) k+i C16k C ki x 2( k+i ) )
⎢ i=0
⎥ k=0
k=0
⎣
⎦

Vậy hệ số của x 16 là (−1) k+i C16k C ki thỏa mãn

⎪⎧⎪0 ≤ i ≤ k ≤16
⎧⎪i = 0 ⎧⎪i =1 ⎧⎪i = 2 ⎧⎪i = 3 ⎧⎪i = 4
⎪⎪
∨ ⎪⎨
∨ ⎪⎨
∨ ⎪⎨
∨ ⎪⎨
⎨2(k + i) =16 ⇔ ⎪⎨
⎪⎪
⎪⎩⎪k = 8 ⎪⎪⎩k = 7 ⎪⎪⎩k = 6 ⎪⎪⎩k = 5 ⎪⎪⎩k = 4
⎪⎪⎩i,k ∈ !
Vậy hệ số của x 16 trong khai triển là C168C 80 +C167C 71 +C166C 62 +C165C 53 +C164C 44 = 258570.
Chọn đáp án A.
n−k

( )

Câu 52. + Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là Tk = Cn 2
k

x

k

⎛ 1−x ⎞⎟
⎜⎜ 2 ⎟
⎜⎜2 ⎟⎟⎟
⎟⎠
⎜⎝

Từ đó suy ra
n−2

( )

Tổng 2 số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135 ⇒ T2 + T4 = Cn2 2x

2

⎛ 1−x ⎞⎟
⎜⎜ 2 ⎟
4
x
⎜⎜2 ⎟⎟⎟ + Cn 2

⎟⎠
⎜⎝

Tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22 do đó: Cnn−2 + Cnn−1 + Cnn = 22(2)
Từ (2) ⇒

n(n −1)
2

+ n + 1 = 22 ⇔ n = 6 , thay vào (1) ta được

C62 24 x.21−2x + C64 22x.22−4 x = 135 ⇔ 22x+1 + 22−2x = 9; t = 22x
⎡t = 4
⎡x = 1
⎢
⎢
4
⎢
⇒ 2t + = 9 ⇔ ⎢⎢
1⇔⎢
1
t
=
t
⎢
⎢x = −
⎢⎣
⎢⎣
2
2

⎧
⎫
⎪
1⎪
⎪
Vậy x ∈ ⎪
⎨1;− ⎬ là giá trị cần tìm.
⎪
2⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
Chọn đáp án B.

20

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

n−4

( )

4

⎛ 1−x ⎞⎟
⎜⎜ 2 ⎟
⎜⎜2 ⎟⎟⎟ = 135(1)
⎟⎠

⎜⎝


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 2
1
20
⎧
⎪
⎛
20
20
⎪
1 ⎞⎟⎟
⎜
⎪
2
⎜⎜ x + ⎟ = ∑ C k x 2(20−k) .x−k = ∑ C k x 40−3k
⎪
⎪
20
20
⎪⎜⎝
x ⎟⎟⎠
k=0
k=0
.
Câu 53. Ta có ⎪
⎨
30

⎪
⎛
⎞
30
30
⎪
1 ⎟⎟
⎜⎜ 3
⎪
m 3(30−m) −4m
m 90−7m
⎪
x
+
=
C
x
.x
=
C30
x
⎟
∑
∑
⎜⎜
⎪
30
4⎟
⎟⎠
⎪

x
⎝
m=0
m=0
⎪
⎩
Ta tìm các số hạng trong 2 khai triển có cùng luỹ thừa của x khi đó chúng sẽ rút gọn cho nhau.
⎧
⎪
40−3k = 90−7m
3k +50
⎪
⇒ m=
⇒(k;m)=(2;8);(9;11);(16;14).
⎨
⎪
7
0≤k
≤20,0≤m≤30,k,m∈
!
⎪
⎩
Vậy sau khi rút gọn có tất cả (20+1)+(30+1)−3= 49 số hạng.
Chọn đáp án A.
CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN
TOÁN 2018 CHO TEEN 2K
/>PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K1

/>PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI
TOÁN 11 CHO TEEN 2K1
/>PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K2
/>ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 21
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
22 PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

ĐÁP ÁN
Xem lời giải chi tiết tại phần thi online tại vted.vn link: />
22

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROYCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN