Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 4,5 thông qua dạy học giải toán có lời văn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HUYỀN TRANG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC
TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 4, 5
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HUYỀN TRANG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO
THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 4, 5
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN

Chuyên ngành : Giáo dục học (Tiểu học)
Mã số : 60.14.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN TIẾN TRUNG

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN
Có đƣợc bản luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới đến trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, khoa GDTH,
phòng Sau đại học, đặc biệt là TS Nguyễn Tiến Trung đã trực tiếp hƣớng dẫn,
dìu dắt, giúp đỡ tôi với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt quá trình
triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài "Phát triển năng lực vận dụng
toán học vào thực tiễn cho HS lớp 4, 5 thông qua dạy học giải toán có lời
văn".
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới BGH, các thầy cô giáo và các em
HS trƣờng Tiểu học Vinschool, trƣờng Tiểu học Việt Nam Singapore (quận
Hai Bà Trƣng, quận Tây Hồ – Thành phố Hà Nội) đã giúp đỡ tôi trong quá
trình điều tra, khảo sát, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Hà Nội, ngày 1 tháng 11 năm 2016
Tác giả
Phạm Thị Huyền Trang


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu là của riêng tôi và chưa
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các số liệu và trích dẫn là
hoàn toàn trung thực.

Tác giả
Phạm Thị Huyền Trang


DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

DH

Dạy học

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

NLTH

Năng lực toán học

NLVDTHVTT

Năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

TN

Thực nghiệm

MHH

Mô hình hóa


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
CHƢƠNG 1 ........................................................................................................... 6
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................................... 6
1.1. NĂNG LỰC, NĂNG LỰC TOÁN HỌC VÀ DẠY HỌC TIẾP CẬN NĂNG
LỰC ............................................................................................................................... 6
1.1.1. Một số kết quả nghiên cứu về năng lực ............................................................... 6
1.1.2. Một số kết quả nghiên cứu về NLTH .................................................................. 9
1.1.3. Dạy học tiếp cận năng lực .................................................................................. 21
1.2.

NỘI DUNG GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN TRONG CHƢƠNG TRÌNH LỚP
4, 5
............................................................................................................................. 23
1.2.1. Vị trí và mục tiêu giải toán có lời văn trong Chƣơng trình SGK lớp 4,5: ....... 23
1.2.2. Nội dung dạy học Bài toán có lời văn trong chƣơng trình SGK lớp 4, 5 ...... 25
1.2.3. Thống kê các bài tập về vận dụng toán học vào cuộc sống trong sách giáo khoa
Toán lớp 4 – 5 .............................................................................................................. 26
1.3. THỰC TRẠNG DẠY HỌC CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG KIẾN THỨC TOÁN
HỌC VÀO CUỘC SỐNG Ở LỚP 4-5 .......................................................................... 27
1.3.1. Về chƣơng trình và Sách giáo khoa: .................................................................. 27
1.3.2. Về các tài liệu DH Toán có liên quan ................................................................ 31
1.3.3. Về phía GV ........................................................................................................ 32
1.3.4. Về phía HS ........................................................................................................ 33
1.3.5. Cách đánh giá kết quả học tập ........................................................................... 36
1.4. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ....................................................................................... 37

Chƣơng 2 ............................................................................................................. 38
MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM VÀ CÁC VÍ DỤ NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN THÔNG QUA
DẠY HỌC GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN CHO HS LỚP 4, 5 ............................ 38
2.1. MỘT SỐ NGUYÊN TẮC KHI ĐỀ XUẤT CÁC BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ....... 38
2.1.1. Đảm bảo tính mục đích, tính khả thi, tính hiệu quả của việc dạy và học Toán
theo hƣớng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn thông qua dạy học
giải toán có lời văn cho học sinh lớp 4-5 ..................................................................... 38
2.1.2. Đảm bảo bám sát nội dung chƣơng trình ........................................................... 39
2.1.3. Đảm bảo tính vừa sức đối với HS, giúp HS nắm vững tri thức và có kỹ năng cơ
bản trong giải toán có lời văn. ..................................................................................... 40


2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN

DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HS LỚP 4-5 THÔNG QUA DẠY
HỌC GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN ................................................................................. 41
2.2.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ học tập cho HS thông qua việc sử dụng tình huống
thực tiễn ....................................................................................................................... 41
2.2.2. Biện pháp 2: Tăng cƣờng các nội dung thực tiễn trong khâu củng cố kiến thức
cho HS.......................................................................................................................... 47
2.2.3. Biện pháp 3: Thiết kế, khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn để bổ sung
cho hệ thống bài tập trong SGK để GV có thể sử dụng trong dạy học buổi hai, dạy cho
HS khá giỏi .................................................................................................................. 53
2.2.4. Biện pháp 4: Sử dụng câu hỏi mở, bài toán mở có nội dung thực tiễn................... 65
2.2.5. Biện pháp 5: Tổ chức các hoạt động ngoại khóa toán học ................................ 78
2.3. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ....................................................................................... 84

Chƣơng 3 ............................................................................................................. 85
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................................. 85
3.1. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM ........................................................ 85
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ...................................................................................... 85
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ....................................................................................... 85
3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM ............................................................................... 85
3.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM ................................................................................. 85
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ...................................................................................... 85
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ...................................................................................... 86
3.3.3. Thiết kế giáo án và tổ chức giờ dạy thực nghiệm. ............................................. 87
3.3.4. Kiểm tra và đánh giá kết quả thực nghiệm thông qua thái độ, khả năng nhận
thức của HS .................................................................................................................. 95
3.4. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM.......................................................... 99
3.4.1. Phân tích định tính ............................................................................................. 99
3.4.2. Phân tích định lƣợng ........................................................................................ 101
3.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ..................................................................................... 103

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN
ĐỀ TÀI LUẬN VĂN ......................................................................................... 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 106
PHẦN PHỤ LỤC .............................................................................................. 111


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI đã xác định "Đổi mới căn
bản, toàn diện nền giáo dục theo hƣớng chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá,
dân chủ hoá và hội nhập quốc tế" v

1]
Quán triệt quan điểm, chủ trƣơng, đƣờng lối, chính sách của Đảng và
nhà nƣớc về đổi mới giáo dục, giáo dục nƣớc ta đang thực hiện bƣớc chuyển
từ chƣơng trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của ngƣời
học – từ chỗ quan tâm tới việc HS học đƣợc gì đến chỗ quan tâm tới việc HS
làm đƣợc cái gì qua việc học.
Trong hệ thống giáo dục quốc dân, Giáo dục Tiểu học đƣợc coi nhƣ bậc
học “nền móng” để xây dựng một “ngôi nhà mới - con ngƣời mới”. Việc hình
thành cho HS các năng lực, phẩm chất phải đƣợc tiến hành ngay từ cấp Tiểu
học. Để hình thành cho HS TH các năng lực, phẩm chất cần có, không thể phủ
nhận vị trí quan trọng của Môn Toán bởi vì các kiến thức, kĩ năng của môn
Toán ở TH có nhiều ứng dụng trong đời sống; chúng rất cần thiết cho ngƣời
lao động, rất cần thiết để học tốt các môn học khác ở TH và chuẩn bị cho việc
học tốt môn Toán ở bậc trung học.
Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay theo hƣớng tiếp cận năng lực,
theo đó môn Toán có nhiều cơ hội giúp hình thành, phát triển các nhóm năng

lực chung và một số năng lực đặc thù cho HS. Chúng tôi thấy nhìn chung có
sự thống nhất cách hiểu về khái niệm năng lực, đƣợc trình bày trong Dự thảo
Chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể: Năng lực là khả năng thực hiện
thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp


2

các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin,
ý chí. Năng lực của cá nhân đƣợc đánh giá qua phƣơng thức và kết quả hoạt
động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống.
Theo một số các công trình nghiên cứu mà chúng tôi tiếp cận đƣợc, có
thể thấy rằng NLTH của HS có thể phân chia thành một số năng lực thành
phần nhƣ: năng lực tính toán; năng lực tƣ duy; năng lực sử dụng các đồ dùng
học tập; năng lực tự học toán; năng lực giao tiếp toán học; NLVDTHVTT;
năng lực giải quyết vấn đề; năng lực sáng tạo toán học.
Thực tiễn cuộc sống là vô cùng đa dạng và đặt ra vô số vấn đề cần giải
quyết mà những kiến thức toán học ở từng thời kỳ chƣa cho phép giải quyết
ngay đƣợc. Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là động lực
thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Vô số mẩu
chuyện lịch sử có thể chứng minh điều này. Ví dụ: nhu cầu phân chia lại ruộng
đất sau mỗi trận lũ của sông Nil (Ai Cập) đã thúc đẩy hình học phát triển; nhu
cầu so sánh các tập hợp nhƣ tập hợp ngƣời lao động với tập hợp các công cụ
lao động, phân chia sản phẩm săn bắn…., đã làm nảy sinh ra phép đếm; nhu cầu
nghiên cứu cơ học đã làm nảy sinh ra phép tính vi phân, tích phân; nhu cầu
nghiên cứu đỏ đen trong canh bạc đã làm nảy sinh bộ môn xác suất…
Một nội dung góp phần tích cực nhất trong việc hình thành tƣ duy thực
tiễn và NLVDTHVTT cho học sinh TH đó là dạy-học giải toán có lời văn.
Nội dung giải toán có lời văn chiếm khoảng thời gian tƣơng đối lớn trong
nhiều tiết học cũng nhƣ toàn bộ chƣơng trình môn Toán.Việc dạy và học nội

dung giải toán có lời văn ở Tiểu học góp phần bồi dƣỡng cho HS các thao tác
tƣ duy, phát triển năng lực HS. Mặc dù chƣơng trình SGK lớp 4, 5 đã quan
tâm tới việc đƣa những yếu tố thực tiễn vào trong DH giải toán có lời văn
nhƣng đôi khi những dữ liệu trong bài toán còn chƣa cập nhật, một số dữ liệu
chỉ mang tính sách vở mà ít xác thực với đời sống. Trong thực tiễn DH nội


3

dung toán có lời văn, các GV chƣa thực sự quan tâm đến việc giúp HS thấy
đƣợc mối liên hệ giữa toán học và cuộc sống. Nhiều HS làm các bài toán có
lời văn một cách máy móc mà không thấy các ứng dụng, các mối liên hệ trong
thực tiễn.
Hiện có nhiều công trình nghiên cứu về các vấn đề khác nhau trong DH
tiếp cận năng lực cho HS tiểu học. Tuy vậy, chúng tôi vẫn chƣa thấy đƣợc
nhiều những kết quả nghiên cứu về việc thiết kế và triển khai vào thực tiễn
DH theo hƣớng bồi dƣỡng và phát triển một dạng năng lực thành phần trong
DH môn Toán. Từ một số lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát
triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS lớp 4, 5 thông qua
dạy học giải toán có lời văn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm trong DH giải toán có lời văn cho HS
lớp 4, 5 và các ví dụ cụ thể giúp GV tiểu học có định hƣớng cũng nhƣ các tƣ
liệu DH cụ thể để khai thác, sử dụng trong quá trình DH, góp phần bồi dƣỡng
NLVDTHVTT cho HS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của NLTH và các năng lực
thành phần và quá trình DH theo hƣớng tiếp cận năng lực.
3.2. Đề xuất đƣợc một số biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển
NLVDTHVTT và các ví dụ minh hoạ thông qua DH giải toán có lời văn lớp

4, 5.
3.3. Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của các biện
pháp sƣ phạm đã đề xuất.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu


4

Đối tƣợng nghiên cứu: Quá trình DH môn Toán ở Tiểu học.
Phạm vi: Giới hạn trong phạm vi DH Toán lớp 4, 5.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu lí luận về năng lực, NLTH
và DH theo tiếp cận năng lực.
5.2. Quan sát, điều tra (thăm dò, tổng hợp kết quả): điều tra thực trạng
DH phát triển NLVDTHVTT ở một số trƣờng tiểu học.
5.3. Thực nghiệm sƣ phạm (Soạn giảng, kiểm tra đối chứng kết quả):
kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất
và đánh giá đƣợc các biểu hiện của NLVDTHVTT của HS thông qua học các
bài toán có lời văn lớp 4, 5.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất đƣợc một số biện pháp sƣ phạm và các ví dụ minh họa trong
DH giải toán có lời văn trong chƣơng trình lớp 4,5 theo hƣớng gắn toán học
với thực tiễn thì sẽ góp phần giúp GV bồi dƣỡng, phát triển NLVDTHVTT
cho HS tiểu học.
Cấu trúc của luận văn:
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực, năng lực toán học và dạy học phát triển năng lực
1.2. Nội dung giải toán có lời văn trong Chƣơng trình SGK lớp 4,5
1.3. Thực trạng việc dạy và học giải toán có lời văn trong chƣơng trình SGK

lớp 4, 5
1.4. Kết luận Chƣơng 1
CHƢƠNG 2


5

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM VÀ CÁC VÍ DỤ NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC
SINH LỚP 4, 5 THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN
2.1. Một số nguyên tắc khi đề xuất các biện pháp sƣ phạm
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm và các ví dụ nhằm phát triển năng lực vận
dụng toán học vào thực tiễn thông qua dạy học giải toán có lời văn cho học
sinh lớp 4, 5
2.3 Kết luận chƣơng 2
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Tổ chức thực nghiệm:
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm


6

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. NĂNG LỰC, NĂNG LỰC TOÁN HỌC VÀ DẠY HỌC TIẾP CẬN
NĂNG LỰC

1.1.1. Một số kết quả nghiên cứu về năng lực
Các nghiên cứu ngoài nước:
Hiện nay khái niệm năng lực thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà
nghiên cứu. Năng lực đƣợc định nghĩa theo nhiều cách khác nhau do sự lựa
chọn dấu hiệu khác nhau, tuy nhiên phần lớn các định nghĩa về năng lực trong
các tài liệu nƣớc ngoài đều quy năng lực vào phạm trù khả năng
(“competence”, “ability”, “capability”). [7]
Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới (OECD) quan niệm năng
lực là “khả năng đáp ứng một cách hiệu quả những yêu cầu phức hợp trong
một bối cảnh cụ thể”. [4], [42]
Chƣơng trình giáo dục trung học của bang Québec, Canada năm 2004
xem năng lực “là một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên
nhiều nguồn lực” [45, tr. 22]
Denyse Tremblay cho rằng năng lực là “khả năng hành động, thành công
và tiến bộ dựa vào việc huy động và sử dụng hiệu quả tổng hợp các nguồn lực
để đối mặt với các tình huống trong cuộc sống” [43, tr. 5]
Theo F.E. Weinert thì năng lực “là tổng hợp các khả năng và kĩ năng sẵn
có hoặc học đƣợc cũng nhƣ sự sẵn sàng của học sinh nhằm giải quyết những
vấn đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự phê phán để đi
đến giải pháp [48, tr. 25]. Cũng theo ông, năng lực là khả năng và kĩ năng vốn
có ở cá nhân hay có thể học đƣợc… để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc


7

sống. Năng lực cũng hàm chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ, ý
chí và trách nhiệm xã hội để có thể sử dụng một cách thành công và có trách
nhiệm các giải pháp… trong những tình huống thay đổi.
Theo [39] năng lực là sự kết hợp của tƣ duy, kĩ năng và thái độ có sẵn
hoặc ở dạng tiềm năng một cá nhân hoặc một tổ chức để thực hiện thành công

một nhiệm vụ. Mức độ và chất lƣợng hoàn thành công việc sẽ phản ứng mức
độ năng lực của ngƣời đó. Chính vì thế, thuật ngữ năng lực khó mà định nghĩa
đƣợc một cách chính xác.
Theo [38] năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp
và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể.
Do các nhiệm vụ cần phải giải quyết trong đời sống hàng ngày là các
nhiệm vụ cần đòi hỏi có sự kết hợp của các thành tố phức hợp về tƣ duy, cảm
xúc, thái độ, kĩ năng, nên có thể nói năng lực của một cá nhân là hệ thống các
khả năng và sự thành thạo giúp ngƣời đó hoàn thành một công việc hay yêu
cầu trong những tình huống khác nhau của đời sống. Nói cách khác, năng lực
là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, thái độ và sự
đam mê để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống
đa dạng của cuộc sống” [45]
Các nghiên cứu trong nước:
Ở Việt Nam, khái niệm năng lực cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
nghiên cứu khi giáo dục đang thực hiện công cuộc đổi mới căn bản và toàn
diện, chuyển từ giáo dục kiến thức sang giáo dục năng lực.
Theo Từ điển tiếng Việt, năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho
con ngƣời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng cao
[28, tr. 660-661]. Còn theo Từ điển Bách khoa Việt Nam thì năng lực là đặc


8

điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo – tức là có thể thực hiện một
cách thành thục và chắc chắn – một hay một số dạng hoạt động nào đó.
Theo Trần Trọng Thủy, Nguyễn Quang Uẩn, “năng lực là tổng hợp
những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trƣng
của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt
trong lĩnh vực hoạt động ấy” (trích theo [7]).

Theo cách hiểu của Đặng Thành Hƣng, “năng lực là thuộc tính cá nhân
cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết quả mong
muốn trong những điều kiện cụ thể”. [18]
Theo Nguyễn Công Khanh, “năng lực là khả năng làm chủ những hệ
thống kiến thức, kĩ năng, thái độ và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí
vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của
cuộc sống.
Ở một nghiên cứu khác về phƣơng pháp DH tích hợp, Nguyễn Anh Tuấn
(Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh) đã nêu một cách khá
khái quát rằng năng lực là một thuộc tính tâm lí phức hợp, là điểm hội tụ của
nhiều yếu tố nhƣ tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành
động và trách nhiệm.
Theo Dự thảo Chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là
khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự
huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ
hứng thú, niềm tin, ý chí. Năng lực của cá nhân đƣợc đánh giá qua phƣơng
thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc
sống”. [2]
Theo quan niệm về năng lực nhƣ trên, cần chú ý đến hai vấn đề về năng
lực: thứ nhất, năng lực đƣợc hình thành, phát triển và có thể đƣợc đánh giá


9

thông qua hoạt động và kết quả hoạt động của HS; thứ hai, kiến thức và kĩ
năng của HS là cơ sở quan trọng cho sự hình thành, phát triển năng lực.
Trong giáo dục phổ thông, có thể phân chia năng lực thành hai nhóm: nhóm
các năng lực chung và nhóm các năng lực đặc thù môn học. Năng lực chung là
năng lực cơ bản, thiết yếu mà bất cứ một ngƣời nào cũng cần có để sống, học tập
và làm việc. Các hoạt động giáo dục (bao gồm các môn học và hoạt động trải

nghiệm sáng tạo), với khả năng khác nhau, nhƣng đều hƣớng tới mục tiêu hình
thành và phát triển các năng lực chung của HS. Nhóm các năng lực chung bao
gồm các năng lực: tự học, tự quản lí, giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp
tác, sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông, sử dụng ngôn ngữ và tính toán.
Năng lực đặc thù môn học (của môn học nào) là năng lực mà môn học (đó) có
ƣu thế hình thành và phát triển (do đặc điểm của môn học đó). Một năng lực có
thể là năng lực đặc thù của nhiều môn học khác nhau.
1.1.2. Một số kết quả nghiên cứu về NLTH
Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực đƣợc trình bày trong các
công trình nghiên cứu ngoài nƣớc và trong nƣớc. Và do đó, khái niệm về
NLTH, cấu trúc NLTH cũng đƣợc trình bày khác nhau.
Trong nghiên cứu về NLTH, nổi tiếng hơn cả là những nghiên cứu của V.
A. Krutecxki (Viện nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo
dục Liên Xô trƣớc đây, đã nghiên cứu tâm lý NLTH với công trình đồ sộ “Tâm
lý năng lực toán học của học sinh”). Theo ông, NLTH đƣợc hiểu theo 2 ý nghĩa,
2 mức độ [22, tr. 13]:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trƣờng phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.


10

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài ngƣời.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực
sáng tạo. Có nhiều em HS có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách
độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự

tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý,
độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những
bài toán không mẫu mực ...
Tiếp đó, ông có quan niệm về năng lực học tập toán học: Năng lực học
tập Toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là các đặc điểm hoạt
động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm giáo
trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tƣơng đối nhanh,
dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [22, tr. 13-14].
Ông đã chỉ ra cấu trúc NLTH của HS bao gồm những thành phần sau
(dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin):
- Về mặt thu nhận thông tin toán học: Đó là năng lực tri giác hình thức
hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
- Về mặt chế biến thông tin toán học: 1) Năng lực tƣ duy lôgic trong
lĩnh vực các quan hệ số lƣợng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu.
Năng lực tƣ duy bằng các ký hiệu toán học; 2) Năng lực khái quát hóa
nhanh và rộng các đối tƣợng, quan hệ toán học và các phép toán; 3) Năng
lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tƣơng
ứng. Năng lực tƣ duy bằng các cấu trúc rút gọn; 4) Tính linh hoạt của quá
trình tƣ duy trong hoạt động toán học; 5) Khuynh hƣớng vƣơn tới tính rõ


11

ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải; 6) Năng lực nhanh chóng và
dễ dàng sửa lại phƣơng hƣớng của quá trình tƣ duy, năng lực chuyển từ
tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo (trong suy luận toán
học).
- Về mặt lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát
về các: quan hệ toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh;
phƣơng pháp giải toán; nguyên tắc, đƣờng lối giải toán).

- Về thành phần tổng hợp khái quát: Khuynh hƣớng toán học của trí tuệ.
Theo ông, các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau,
ảnh hƣởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn
vẹn của NLTH.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc NLTH có thể đƣợc biểu thị bằng một công
thức khác, cô đọng hơn: NLTH đƣợc đặc trƣng bởi tƣ duy khái quát, gọn, tắt
và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống ký hiệu số và dấu,
và bởi khuynh hƣớng toán học của trí tuệ [33, tr. 170].
Nhƣ vậy, có thể thấy rằng, V. A. Krutecxki khi nói đến HS có NLTH
là nói đến HS có trí thông minh trong việc học toán; vấn đề năng lực chính
là vấn đề khác biệt cá nhân và điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm
sinh mà còn đƣợc phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống
của mỗi cá nhân; NLTH chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ
sở phân tích hoạt động toán học mới thấy đƣợc biểu hiện của NLTH; hiệu
quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con ngƣời thƣờng phụ thuộc
vào một tổ hợp năng lực và ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác,
chẳng hạn niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích
hỗ trợ của GV, của gia đình và xã hội; các năng lực đã nêu biểu hiện với
các mức độ khác nhau ở các em HS giỏi, trung bình, kém.


12

Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A. N. Kolmogorov
đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lƣợng lớn các sự kiện, công
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ
đến NLTH. Trong thành phần các NLTH, ông nêu ra: 1) Năng lực biến đổi
thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải
các phƣơng trình không phù hợp với qui tắc giải thông thƣờng, hoặc nhƣ các
nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôrit”; 2) Trí tƣởng

tƣợng hình học hoặc “trực giác hình học”; 3) Nghệ thuật suy luận lôgic, đƣợc
phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trƣởng thành lôgic
cần thiết cho nhà Toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ
năng vận dụng nó một cách đúng đắn. Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía
cạnh khác nhau của NLTH thƣờng đƣợc gặp trong các tổ hợp khác nhau và
các năng lực này thƣờng bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
Theo A. I. Marcusêvich thì có 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và tính
cách cần đƣợc giáo dục cùng với việc dạy Toán: 1) Có kỹ năng biết tách ra cái
bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tƣợng
hoá); 2) Kỹ năng xây dựng đƣợc sơ đồ của hiện tƣợng sao cho trong đó chỉ
giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó
chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lƣợng và độ đo, phân bố không gian (kỹ
năng sơ đồ hoá); 3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tƣ
duy suy diễn); 4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trƣờng hợp
riêng, kỹ năng phân biệt đƣợc khi nào chúng bao quát đƣợc mọi khả năng, khi
nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng; 5) Kỹ năng
vận dụng các kết quả rút ra đƣợc từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ
thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh
hƣởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả; 6) Khái
quát hoá các kết quả nhận đƣợc và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát.


13

X. I. Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà Toán học, đã
nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển Toán học: 1) Các biểu tƣợng
không gian; 2) Tƣ duy trừu tƣợng; 3) Chuyển thành sơ đồ toán học; 4) Tƣ duy
suy diễn; 5) Phân tích, xem xét các trƣờng hợp riêng; 6) Áp dụng các kết
luận; 7) Tính phê phán; 8) Ngôn ngữ toán học; 9) Kiên trì khi giải toán.
B. V. Gơnhedencô đã đƣa ra các tính chất sau đây của tƣ duy toán học:

1) Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận, thấy đƣợc sự
thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh; 2) Có thói quen lý giải
lôgic một cách đầy đủ; 3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận; 4) Sự
cô đọng; 5) Sự chính xác của kí hiệu.
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO [38] thì 10 yếu tố cơ bản của
NLTH là: 1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán
và các khái niệm; 2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu; 3)
Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu; 4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng
các kí hiệu; 5) Năng lực theo dõi một hƣớng suy luận hay chứng minh; 6)
Năng lực xây dựng một chứng minh; 7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài
toán toán học; 8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học; 9) Năng lực
phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng; 10) Năng lực tìm
cách khái quát hoá toán học.
Theo E. L. Thorndike, những thành tố của năng lực Đại số gồm: 1) Năng
lực hiểu và thiết lập công thức; Năng lực biểu diễn các tƣơng quan số lƣợng
thành công thức; 3) Năng lực biến đổi công thức; 4) Năng lực thiết lập các
phƣơng trình biểu diễn các quan hệ số lƣợng đã cho; 5) Năng lực giải phƣơng
trình; 6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất; 7) Năng lực
biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của hai đại lƣợng.
G. Tômac đƣa ra cấu trúc NLTH bao gồm các thành tố sau: 1) Năng lực
trừu tƣợng hóa; 2) Năng lực suy luận lôgic; 3) Tri giác đặc thù; 4) Có kỹ năng
sử dụng các công thức; 5) Năng lực trực giác; 6) Trí tƣởng tƣợng toán học.


14

Theo Pellery thì NLTH đƣợc thể hiện thông qua các dấu hiệu: 1) Nhìn
thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giả thiết và kết
luận); 2) Lƣu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu); 3) Năng lực theo
dõi một số hƣớng suy luận; 4) Năng lực hiểu bài toán; 5) Năng lực theo dõi

những con đƣờng giải toán; 6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tƣơng tự. Tìm
một mô hình thích hợp (trong các mô hình đã biết); 7) Xây dựng một mô hình
toán học có thể giải bài toán; 8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.
Theo [13, tr. 126] thì, những năng lực học toán đƣợc hiểu là những đặc
điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng
yêu cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc nhƣ
nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách
sáng tạo Toán học với tƣ cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tƣơng đối
nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán
học. Trong [25], tác giả Trần Luận cho rằng “NLTH là những đặc điểm tâm lí
đáp ứng đƣợc yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến
thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc
trong những điều kiện nhƣ nhau”.
Theo khung đánh giá của OECD/PISA (Chƣơng trình đánh giá HS quốc
tế lứa tuổi 15), có tám năng lực đặc trƣng toán là: 1) tƣ duy và suy luận; 2) lập
luận; 3) giao tiếp; 4) mô hình hóa; 5) đặt vấn đề và giải; 6) biểu diễn; 7) sử
dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và các phép toán; 8) sử dụng các
đồ dùng hỗ trợ và công cụ. Tuy vậy, PISA không có ý định đánh giá các thành
phần năng lực trên một cách riêng lẻ.
Theo [13, tr 35], NLTH là “khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và
hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở
vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp
ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý


15

thức, có tính xây dựng và có hiểu biết”. Theo [3, tr 15], NLTH phổ thông là khả
năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng
và phát triển tƣ duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu

cầu đời sống hiện tại và tƣơng lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy
luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra,
hình thành và giải quyết các vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác
nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động.
Nhƣ vậy là, có thể thấy đƣợc một sự giống nhau về việc nghiên cứu về
năng lực toán học: đều nghiên cứu về cấu trúc của nó, cố gắng chỉ ra cấu trúc
của nó để từ đó có những định hƣớng tác động và phát triển NLTH cho HS.
Hơn nữa, đa số các nhà khoa học đều cho rằng, NLTH đƣợc thể hiện thông
qua các thông tin, hoạt động cụ thể, có thể đƣợc kiểm chứng, đánh giá đƣợc
thông qua quá trình hoạt động toán học (quá trình học tập môn Toán).
Tuy vậy, cũng còn có những sự khác nhau về cách tiếp cận vấn đề
NLTH, chủ yếu ở phƣơng diện cấu trúc tâm lí (nhƣ Komenxki, Trần Luận,
…) và phƣơng diện tƣ duy (nhiều ngƣời) và một số theo hƣớng thiên về vận
dụng, hành động (hiểu theo nghĩa NLTH đƣợc thể hiện thông qua hành động,
kết quả của hoạt động, có chiều hƣớng quan tâm tới việc sử dụng những kiến
thức toán học của HS trong hoạt động thực tiễn).
Từ những trình bày ở trên, có thể quan niệm: NLTH (một số tài liệu có
thể gọi là NL tính toán) là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một
bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng về môn
Toán và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí [32].
Và cũng theo [32], chúng tôi cho rằng có thể phân chia, đánh giá năng
lực toán học của HS thông qua các dấu hiệu đặc trƣng (có thể hiểu là cấu trúc
của NLTH, gồm một số NL thành phần) nhƣ sau.


16

+) NL thu thập và xử lí thông tin toán học (thể hiện thông qua hoạt động
thu thập các kiến thức, thông tin có liên quan đến môn Toán, nhớ các khái
niệm, công thức… và xử lí đƣợc thông tin trong môn Toán);

+) NL tính toán, giải toán (thể hiện thông qua hoạt động thực hiện các
phép toán bằng số và bƣớc đầu biến đổi các biểu thức đại số, giải toán có lời
văn, giải các bài toán liên quan đến số, hình học, đại lƣợng và đo đại lƣợng,
thống kê…);
+) NL tư duy toán học (bƣớc đầu, thể hiện thông qua hoạt động, thao
tác phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tƣơng tự hóa, lập luận logic, phản
biện và sáng tạo);
+) NL giao tiếp toán: thể hiện thông qua hoạt động trong quá trình học
toán, bao gồm: NL giao tiếp về toán (đề cập đến quá trình HS suy nghĩ,
giải quyết vấn đề và HS nêu đƣợc lí do tại sao chọn phƣơng án đó để giải
quyết bài toán); NL giao tiếp trong toán (đề cập đến việc HS sử dụng ngôn
ngữ, các kí hiệu và các biểu diễn toán học nào là hợp lí với vấn đề đặt ra);
NL giao tiếp với toán (đề cập đến việc HS sử dụng kiến thức toán để giải
quyết vấn đề theo cách hiểu của HS);
+) NLVDTHVTT (thể hiện thông qua hoạt động vận dụng toán vào các
bài toán có nội dung thực tiễn, gần gũi với đời sống của HS, giải quyết các bài
toán, vấn đề thực tiễn);
+) NL sáng tạo toán học (NL này thƣờng có ở HS giỏi toán, các nhà
toán học, thể hiện thông qua hoạt động phát hiện, hiểu và kiến tạo đƣợc cấu
trúc, quy luật toán học mới. Chẳng hạn nhƣ phát hiện, kiến tạo đƣợc một
công thức, tìm đƣợc một lời giải mới không theo lối mòn đã đƣợc học…).
Dƣới đây, chúng tôi đề cập nhiều hơn về NLVDTHVTT:


17

Hiện nay, có một số nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học (hoặc
gọi là năng lực mô hình hóa toán) mà chúng tôi thấy có sự liên hệ mật thiết với
khái niệm NLVDTHVTT. Theo Nguyễn Danh Nam [26], “Mô hình hóa trong
DH Toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ

thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học với sự hỗ trợ của công nghệ
thông tin. Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kĩ năng và thao tác tƣ duy Toán
học nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa. Ở trƣờng
phổ thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tƣợng trong tự nhiên và xã
hội với nội dung kiến thức Toán học trong SGK thông qua ngôn ngữ Toán học
nhƣ kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phƣơng trình.”. Từ đó có thể thấy hoạt
động MHH giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình Toán
học, hệ thống hóa các khái niệm, ý tƣởng Toán học và nắm đƣợc cách thức xây
dựng mối quan hệ giữa các ý tƣởng đó. Mô hình hóa đƣợc sử dụng để hiểu và
giải quyết các vấn đề thực tiễn nhƣ một phƣơng tiện để dạy và học Toán ở
trƣờng phổ thông bởi vì nó là môi trƣờng để HS tìm hiểu, khám phá các kiến
thức Toán học cũng nhƣ các kiến thức liên môn khác.
Trong [26], tác giả có đƣa ra một số sơ đồ mô tả về quy trình mô hình
hóa trong dạy Toán, cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa, các bƣớc tổ
chức hoạt động mô hình hóa:

Hình 1.1 Quy trình mô hình hóa trong dạy Toán


18

Hình 1.2 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Hình 1.3 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa
Tuy vậy, căn cứ vào trình độ toán học nói chung của HS tiểu học (các
kiến thức toán học, trình độ tƣ duy, …), căn cứ vào bản chất của việc vận
dụng toán học vào thực tiễn, chúng tôi cho rằng NLVDTHVTT có những yếu
tố, mức độ và cấu trúc khác.
NLVDTHVTT là một năng lực thành phần của toán học, đƣợc thể hiện
thông qua việc sử dụng, vận dụng các kiến thức, kĩ năng toán học của HS

trong thực tiễn của các em.