đề thi toán 8, học sinh giỏi huyện có đáp án năm học 2017 2018

KHO ST HC SINH GII CP TRNG
NM HC 2017 2018
MễN: Toỏn 8
Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng tớnh thi gian giao )
Bài 1. (2,0 im):
Chng minh rng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bi 2. (6,0 im):
Tỡm x, bit:
a) x2 - 2005x - 2006 = 0
b)
c)
Bi 3. (4,0 im):
Cho biểu thức: A=
a) Tìm giá trị của biểu thức A xác định.
b) Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bi 4. (3 im):
Cho tam giỏc ABC. Gi D, E, F theo th t l trung im ca AB, BC,
CA. Gi M, N, P, Q theo th t l trung im ca AD, AF, EF, ED.
a/ T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ? Ti sao?
b/ Tam giỏc ABC cú iu kin gỡ thỡ MNPQ l hỡnh ch nht?
c/ Tam giỏc ABC cú iu kin gỡ thỡ MNPQ l hỡnh thoi?
Bi 5. (4 im):
Hỡnh thang ABCD cú AB//CD, ng cao bng 12(m), AC BD,
BD=15(m).


a/ Qua B k ng thng song song vi AC, ct DC E. Chng minh
BD 2 = DE.DH. T ú tớnh di DE.

b/ Tớnh din tớch hỡnh thang ABCD.
Bi 4. (1 im):
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
M = 4x2 + 4x + 5
Ta có M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
= (2x + 1)2 + 4.
Vì (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 M 4
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = - 2

Bài 3( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức:
M

2x 1
x2 2

Bài 3.(2điểm)





2
2
2x 1 x2 2 x2 2 x 2 x 2x 1
M

x2 2
x2 2

x
M

2



2 x 1

x 1
1

2

x2 2

x 1

x2 2

2

2
M lớn nhất khi x 2

Vì x 1

2

2

nhỏ nhất.

0x

và

x

2



2
0x

x 1

2

2
nên x 2 nhỏ nhất khi x 1 =

0.
Dấu = xảy ra khi x-1 = 0 x 1. Vậy Mmax = 1 khi x = 1.
a) Chng minh rng: Vi mi x Q thỡ giỏ tr ca a thc:
M = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 l bỡnh phng ca mt s hu t.

2

b) Giải phương trình
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

Bài 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M, N, I
theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b) Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Câu 5 (2,0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:
Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8
Bài
1

5

a) Ta cã: 8 + 2
1)
b) Ta cã: 1919

11

Đáp án
= (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 +

=211.17 chia hÕt cho 17.
+ 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+

6918)

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5

= 88(19 18 – 1917.69 + …+ 6918)
2

chia hÕt cho 44.
a) Ta có x2 – 2005x – 2006 = 0
x2 – 1 – 2005x – 2005 = 0

0,5

(x + 1)(x – 1) – 2005(x – 1) = 0

0,5

(x – 1)(x + 1 – 2005) = 0

0,5

x–1=0x=1

0,25

Hoặc x – 2004 = 0 x = 2004

0,25

b) Ta có:

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





2008 2007 2006 2005 2004 2003

0,5


(

x 1
x2
x 3
x4
x 5
x6
1) (
1) (
1) (
1) (
1) (
1)

2008
2007
2006
2005
2004
2003

x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009





0
2008
2007
2006
2005
2004
2003

Vỡ:

1
1
1
1


2008 2005 ; 2007 2004 ;

0,5
0,5

1
1

2006 2003

Do ú :
Vy x + 2009 = 0 x = -2009
c) Ta cú: (1)

0,25
0,25

x2+9x+20 = (x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 = (x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 = (x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ :

0,25

Biu thc (1):

0,25

1
1
1

1
1
1
1
1 0,5







( x 4)( x 5) x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
0,5
1
1
1
1
1
1






( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18
x 4 x 7 18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

0,25

(x+13)(x-2)=0
3

x=-13; x=2;
a) Ta có A=
Vậy biểu thức A xác định khi x3, x1/3
b) Ta có A= do đó A=0 <=> 3x +4 =0

0,25
0,5
0,5
0,5

<=> x=-4/3 (thoã mãn đk)
Vậy với x=-4/3 thì biểu thức A có giá trị bằng 0

0,25
0,25

c) Ta có A= = 1+


§Ĩ A cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ íc

0,5

cđa 5<=> 3x-11,5
=>x=-4/3;0;2/3;2

0,5

VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cđa xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ

0,5

nguyªn

0,5

a/
�
1
DF �
�
2
�� MN / / PQ; MN  PQ
1
PQ / / DF ; PQ  DF �
�
2
. Vậy MNPQlà
MN / / DF ; MN 

hình bình hành.

1

b/ Giả sử MNPQ là hình chử nhật thì MP = NQ
Mà
AC �
�
2 �
�� AC  AB
AB �
NQ  AD 
2 �

0,5

MP  AF 

Vậy tam giác ABC cân tại A thì MNPQ là hình chử
nhật.
** Hoặc:

1


MN  MQ�
�
MN / / BC �� AE  BC; đồ
ngthờ
i EB  EC
�
MQ / / AE �
Nê

ntamgiá
c ABC câ
ntại A.

c/ Giả sử MNPQ là hình thoi thì MN = MQ
BC AE
1
MN  MQ �

� AE  BC
4
2
2

Vậy tam giác ABC vuông tại A thì MNPQ là hình

0,5
1

thoi.
MP  NQ � AC  AB
ytamgiá
c ABC vuô
ngtại A
** Hoặc: Vậ

a/ Kẻ BH  DC
DH 2  BD2  BH 2  152  122  92

� DH  9 m

Xét tam giác BDH và tam giác EDB

1

�  DBE
�  1v�
BHD
�
��
�
BDE chung
� BDH # EDB

1

�

BD DH
BD2

� DE 
 25 m
DE BD
DH

1
b/

1
AB DC BH
2
1
1

DE
BH
25
12 150 m
2
2

SABCD

0,5
0,5
Bài 4 :(3 điểm)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB,
BC, CD và DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b), hãy tính tỷ số diện tích của hai tứ giác
ABCD và MNPQ.
d) Bài 4:(3,5 điểm)
e) Vẽ hình, viết giả thiết - kết luận đúng
0.5 điểm
f)
b
g)

n
h)
m
i)
c
j)
a
k)
p
l)
q
m)
n)
d
o)
p) a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành
1 điểm
q) b) MNPQ là hình vuông khi và chỉ khi AC = BD, AC BD
1 điểm


r) c)

SABCD

a2
=2

;

SMNPQ

a2
=4

;

0.5

®iÓm
�

s)

SABCD
2
SMNPQ

0.5

®iÓm
Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên
A

x 3  3x 2  11x  8
x5
x3  3x 2  11x  8
3
 x2  2 x 1 
x 5

x 5
3
A � �
� � x  5  �1; �3
x5
*x  5  �1 � x � 6; 4
A

*x  5  �3 � x � 8; 2
x � 2; 4;6;8