Một số phương pháp giải bài toán cân bằng và ứng dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ QUỐC PHÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

PHẠM MINH TUẤN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học
Mã số:
62 46 01 10

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017


Công trình được hoàn thành tại:
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ - BỘ QUỐC PHÒNG

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS Phạm Ngọc Anh
2. TS Nguyễn Mạnh Linh

Phản biện 1: GS.TSKH Lê Dũng Mưu

Phản biện 2: GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Bá Minh

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án
cấp Viện, họp tại Viện KH&CNQS
Vào hồi

giờ

ngày tháng

năm 2016

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ quân sự
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng được đặc biệt quan
tâm nghiên cứu cả trong lý thuyết và ứng dụng. Bài toán cân bằng
bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng trong giait tích phi tuyến và
tối ưu như bài toán cân bằng Nash, bất đẳng thức biến phân, bài toán
bù phi tuyến, bài toán tối ưu (tối ưu véc tơ), bài toán điểm bất động,
bài toán điểm yên ngựa và lý thuyết trò chơi. Hơn nữa nó hợp nhất
các bài toán này với một cấu trúc rõ ràng tiện lợi cho việc nghiên cứu
các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tiễn. Các nghiên cứu định
tính đã thu được nhiều kết quả quan trọng. Các nghiên cứu về phương
pháp giải cũng đã đạt được nhiều kết quả, tuy nhiên việc nghiên cứu

giải bài toán cân bằng với những giả thiết phù hợp và hiệu quả hơn
vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu. Với các mô hình ứng dụng cụ thể
các thuật toán giải bài toán cân bằng đều thực hiện được trên máy
tính, trong đó, phần mềm Matlab là một công cụ hữu hiệu giải các bài
toán tối ưu nói chung và các bài toán cân bằng nói riêng.
Các phương pháp giải bài toán cân bằng có thể phân theo ba cách
tiếp cận khác nhau. Hướng thứ nhất là sử dụng hàm đánh giá. Phương
pháp này thay việc giải trực tiếp bài toán cân bằng bằng phương pháp
dựa trên hàm đánh giá đưa bài toán cân bằng về bài toán tối ưu phù
hợp. Sau đó sử dụng phương pháp tối ưu cục bộ để giải các bài toán
tối ưu. Phương pháp hàm đánh giá xuất hiện trong toán học ứng dụng
và tối ưu, và được sử dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởi
Zhu và Marcotte. Mastroeni phát triển phương pháp này cho bài toán
cân bằng. Cách tiếp cận thứ hai dựa trên nguyên lý bài toán phụ. Bài
toán cân bằng được đưa về bài toán tương đương, được gọi là bài toán
phụ, dễ giải hơn. Nguyên lý này được giới thiệu bởi Cohen cho bài
toán tối ưu và sau đó ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân.
Mastroeni áp dụng phương pháp này cho bài toán cân bằng đơn điệu
mạnh và liên tục kiểu Lipschitz. Cách tiếp thứ ba là phương pháp điểm
gần kề. Phương pháp điểm gần kề được Martinet phát hiện để giải bài
toán bất đẳng thức biến phân và sau đó được Rockafelar sử dụng để


2
tìm nghiệm bài toán tìm không điểm cho ánh xạ đơn điệu cực đại. Gần
đây, nhiều nghiên cứu đã được phát triển cho bài toán cân bằng.
Luận án "Một số phương pháp giải bài toán cân bằng và ứng dụng"
đề xuất một số phương pháp mới giải bài toán cân bằng và đưa ra một
số ví dụ minh họa cho mô hình cân bằng Nash-Cournot.
Cấu trúc của luận án

Luận án ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo được chia
thành bốn chương:
• Chương 1. Bài toán cân bằng
• Chương 2. Phương pháp xấp xỉ trong
• Chương 3. Phương pháp xấp xỉ ngoài
• Chương 4. Phương pháp lặp egodic


3

Chương 1
BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Trong chương này, luận án nhắc lại định nghĩa bài toán cân bằng
và một số tính chất đơn điệu, liên tục kiểu Lípchitz và một số phương
pháp giải đã biết của bài toán cân bằng.
Định nghĩa 1.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong
không gian Rn và song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}. Bài toán cân
bằng (Viết tắt, EP (f, C)) được định nghĩa như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , x) ≥ 0, ∀x ∈ C.
ở đó f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. song hàm thỏa mãn điều kiện này
được gọi là song hàm cân bằng trên C.
Định nghĩa dưới đây nhắc lại một số tính chất đơn điệu của song
hàm cân bằng:
Định nghĩa 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trên Rn . Song
hàm f : C × C → R ∪ {+∞}, được gọi là:
(i) đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(ii) đơn điệu chặt trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C và x = y;

(iii) giả đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;


4
(iv) đơn điệu mạnh trên C với hằng số γ > 0, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
(v) giả đơn điệu mạnh trên C với hằng số γ > 0, nếu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ −γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
(vi) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0, c2 > 0, nếu
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y

2

− c2 y − z 2 , ∀x, y, z ∈ C,

Từ định nghĩa, ta có:
(iv) ⇒ (ii) ⇒ (i) ⇒ (iii); (iv) ⇒ (v) ⇒ (iii)
.
Một số phương pháp giải đã biết
Phần này trình bày một số bài toán cân bằng EP (f, C) đã biết với
các điều kiện của song hàm và tập ràng buộc phù hợp.
Thuật toán 1.1. Phương pháp điểm gần kề
Bước 0. Chọn k := 0, x0 ∈ C và β > 0.
Bước 1. Tìm xk+1 ∈ C, sao cho
f (xk+1 , y) + β xk+1 − xk , y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Bước 2. nếu xk+1 = xk thì Dừng. Ngược lại, k := k + 1 và quay lại
Bước 1.
Thuật toán 1.2. Phương pháp điểm bất động
Bước 0. Chọn x0 ∈ C, k := 0.

5
Bước 1. Tìm xk+1 ∈ C là một nghiệm của bài toán dưới đây
min f (xk , y) : y ∈ C .
Bước 2. nếu xk+1 = xk thì Dừng và xk là một nghiệm của EP (f, C).
Ngược lại, k := k + 1 và quay lại Bước 1.
Thuật toán 1.3. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ
Bước 0. Chọn x0 ∈ C, k = 0 và λ > 0.
Bước 1. Tìm xk+1 ∈ C là một nghiệm của bài toán dưới đây
min λf (xk , y) + h(xk , y) : y ∈ C .
Bước 2. nếu xk+1 = xk thì Dừng, xk là một nghiệm. Ngược lại, đặt
k := k + 1 và quay lại Bước 1.
Ở đó, h : C × C → R, sao cho
(A1 .) h không âm và khả vi liên tục trên C × C,
(A2 .) h(x, x) = 0 và ∇h(x, .)(x) = 0, ∀x ∈ C,
(A3 .) h(x, .) lồi mạnh, ∀x ∈ C.
Thuật toán 1.4. Phương pháp chiếu
Bước 0. Chọn x0 ∈ C, k = 0.
Bước 1. Tìm xk+1 ∈ C là một nghiệm của bài toán dưới đây
min λf (xk , y) +

1 k
x −y
2

2

:y∈C .

Bước 2. nếu xk+1 = xk thì Dừng, xk là một nghiệm. Ngược lại, đặt
k := k + 1 và quay lại Bước 1.


6
Thuật toán 1.6. Phương pháp đạo hàm tăng cường
Bước 0. Chọn x0 ∈ C, k = 0, α ∈ (0, 1), ρ ∈ (0, 1), β > 0 và dãy số
dương {γk }.
Bước 1. Tìm y k là nghiệm của bài toán dưới đây:
min βf (xk , y) +

1
y − xk
2

2

:y∈C .

nếu y k = xk , thì Dừng và xk là một nghiệm của EP (f, C). Ngược
lại y k = xk , thực hiện Bước 2.
Bước 2. Tìm m là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho
f (z k,m , xk ) − f (z k,m , y k ) ≥

α k
y − xk 2 ,
β

ở đó z k,m = (1 − ρm )xk + ρm y k . đặt z k := z k,m và thực hiện Bước
3.

Bước 3. Chọn g k ∈ ∂f (z k , ·)(xk ), tính
σk :=

f (z k , xk )
gk 2

và
xk+1 := P rC (xk − γk σk g k ).
đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1.


7

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG
Chương này trình bày hai phương pháp mới giải bài toán cân bằng.
Thứ nhất là phương pháp chiếu cải tiến giải bài toán cân bằng giả đơn
điệu mạnh. Thứ hai là phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán giả đơn
điệu không đòi hỏi điều kiện liên tục kiểu Lipschitz.
2.1.1 Phương pháp chiếu cải tiến
Phần này trình bày một phương pháp mới để giải bài toán cân
bằng giả đơn điệu mạnh. Ước lượng sai số nghiệm cho dãy lặp được
sinh ra bởi thuật toán được xác định với một vài giả thiết. Một ví dụ
minh họa được trình bày.
2.1 Thuật toán
Cho > 0. gọi điểm x¯ ∈ C là một -nghiệm của EP (f, C) nếu tồn
tại x∗ ∈ Sol(f, C) sao cho x¯ − x∗ ≤ . Xét bài toán cân bằng với
song hàm f is γ-giả đơn điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz với các
hằng số c1 > 0 và c2 > 0 trên C.
Thuật toán 2.1. Chọn dãy số dương {λk } thỏa mãn các điều kiện

sau:
0 < a ≤ λk ≤ b <

1
, c2 < γ, > 0, δ =
2c1

1
1 + 2a(γ − c2 )

Bước 0: k = 0, Chọn x0 ∈ C.
Bước 1: Giải bài toán lồi mạnh:
xk+1 = argmin λk f (xk , y) +

1
y − xk
2

2

:y∈C .

.


8
(1 − δ)
, thì kết thúc: xk+1 là -nghiệm
δ
của EP (f, C). Ngược lại, đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1.

Bước 2: Nếu xk − xk+1 <

Định lý 2.1. Cho f : C × C → R là γ- giả đơn điệu mạnh trên C,
liên tục kiểu Lipschiz với các hệ số c1 > 0 và c2 > 0. Với mỗi x ∈ C,
f (x, ·) lồi khả dưới vi phân trên C. Thì Sol(f, C) có nghiệm duy nhất
x∗ và
[1 + 2λk (γ − c2 )] xk+1 − x∗

2

≤ xk − x∗ 2 , ∀k ≥ 0.

Hơn nữa, dãy {xk } được sinh bởi Thuật toán 2.1. hội tụ tới nghiệm x∗
với sai số như sau:
xk+1 − x∗ ≤
và
xk+1 − x∗ ≤

δ k+1 0
x − x∗
1−δ

δ
xk − xk+1 .
1−δ

Hệ quả 2.1. Cho F : C → Rn là γ-đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz
2γ
1

với L > 0. Cho 0 < a ≤ λk ≤ b < 2 , δ =
và dãy
L
1 + 2a (γ − L)
xk được xác định bởi
x0 ∈ C, xk+1 := P rC (xk − λk F (xk )), ∀k ≥ 0.
thì xk hội tụ tới nghiệm x∗ của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C) với sai số:
xk+1 − x∗ ≤ δ k+1 x0 − x∗
và
xk+1 − x∗ ≤

δ
xk − xk+1 .
1−δ


9
2.1.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.1. Xét now EP (f, C) với
C = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R+ ,
x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 ≤ 10,
2x1 + x2 − x3 + x4 + 3x5 ≤ 15,
x1 + x2 + x3 + x4 + 0.5x5 ≥ 4 ;
f (x, y) = Ax + χn (y + x) + µ − α, y − x − x − y 2 .
Ở đó


1
χ


A=
χ
χ
χ

χ
1
χ
χ
χ

χ
χ
1
χ
χ

χ
χ
χ
1
χ


χ
χ

T
T

χ
 , α = (α0 , · · · , α0 ) , µ = (µ1 , · · · , µn ) .
χ
1 5×5

Ta có, f giả đơn điệu mạnh trên C × C với hằng số γ = 2. Dễ
γ 1
dàng thấy f liên tục kiểu Lipschitz với các hằng số c1 ≥ + A và
2 5
γ 1
−4
0
c2 ≥ + A . Các tham số được chọn: = 10 , x = (1, 2, 1, 1, 1)T ∈
2 5
1
C, χ = 1, α0 = 2, µ = (3, 4, 5, 7, 6)T . Chọn c2 = τ + A = 1.8 và
2
1
= 0.2778, chọn λk = a = b = 0.2
c1 = 6.2. Từ 0 < a ≤ λk ≤ b <
2c1
với mọi k ≥ 0. thì δ = 0.9623. Nghiệm xấp xỉ sau 11 bước lặp là:
x11 = (0.9467, 0.9447, 0.9426, 0.9405, 0.4510)T .
2.2. Phương pháp xấp xỉ trong
Phần này trình bày một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán
cân bằng, với song hàm giả đơn điệu, không đòi hỏi điều kiện liên tục
kiểu Lipschitz, trên tập đa diện. Phương pháp này là sự kết hợp giữa
việc sử dụng hàm xấp xỉ trong thay cho hàm dạng toàn phương trong

10
phương pháp bài toán phụ, kỹ thuật tìm đường kiểu Armijo và phương
pháp siêu phẳng cắt.
Chúng ta đã biết rằng, kỹ thuật xấp xỉ trong là một công cụ mạnh
để phân tích và giải các bài toán tối ưu. Kỹ thuật này được sử dụng
rộng rãi để giải các bất đẳng thức biến phân và các bài toán cân bằng
trên tập hợp lồi đa diện, trong đó sử dụng hàm xấp xỉ trong d thay
thế cho hàm h trong AuxEP (f, C), có dạng:

n
1
xi x i xi

2

yi2
ln − + 1

2 x − y + µ
yi yi
yi
i=1
d(x, y) =

nếu xi > 0 ∀i = 1, · · · , n,



+∞ nếu ∃i : xi 0,
với µ ∈ (0, 1) và y ∈ Rn+ := {(x1 , · · · , xn )T ∈ Rn : xi > 0 ∀i =

1, · · · , n}.
Phần này giải bài toán EP (f, C), với song hàm f và C thỏa mãn
các điều kiện dưới đây:
B1 . C = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}, ở đó A là ma trận (p × n) (p > n,
rankA = n), b ∈ Rp , và int(C) = {x : Ax < b} khác rỗng,C bị
chặn.
B2 . Với mỗi x ∈ C, f (x, ·) lồi và khả dưới vi phân trên C.
B3 . f giả đơn điệu trên C.
B4 . f liên tục trên C × C.
B5 . Sol(f, C) = ∅.
2.2.1. Thuật toán
Kí hiệu ai là các dòng của ma trận A, và
li (x) = bi − ai , x ,


11
l(x) = (l1 (x), l2 (x), · · · , lp (x)),
D(x, y) = d (l(x), l(y)).
Khi đó đạo hàm ∇D(·, y) của D(·, y) tại x với mọi y ∈ C được xác
định bởi
∇D(·, y)(x) = −AT

l(x) − l(y) + µXy ln

l(x)
l(y)

,

ở đó Xy = diag (l1 (y), · · · , lp (y))

l(x)
l1 (x)
lp (x)
và ln
= ln
, · · · , ln
.
l(y)
l1 (y)
lp (y)
Thuật toán 2.2.

Bước 0. Chọn x0 ∈ C, 0 < σ <

β
¯
2 A−1

2

và γ ∈ (0, 1).

Bước 1. Tính
y k := argmin f (xk , y) + βD(y, xk ) : y ∈ C ,
r(xk ) := xk − y k . nếu r(xk ) = 0 thì Dừng.
Ngược lại, đặt z k := xk − γ mk r(xk ), ở đó mk là số nguyên không
âm nhỏ nhất sao cho
f xk − γ mk r(xk ), y k ≤ −σ r(xk ) 2 .
Bước 2. Tính xk+1 := P rCk ∩Hk (x0 ), ở đó
Ck = x ∈ C : f (z k , x) ≤ 0 ,

Hk = x ∈ Rn : x − xk , x0 − xk ≤ 0 .
k := k + 1 và quay lại Bước 1.


12
Định lý 2.2. Giả sử các giả thiết (B1 ) − (B5 ) thỏa mãn, ∂f (x, ·) nửa
liên tục trên trên C, xk được sinh bởi Thuật toán 2.2. và {xk } ∈
int(C) với mọi k. thì xk hội tụ tới một nghiệm x∗ of EP (f, C), ở đó
x∗ = P rSol(f,C) (x0 ).

Định lý 2.3. Giả sử thỏa mãn các điều kiện (B1 )−(B4 ) và ∂f (x, ·) nửa
liên tục trên trên C, xk được sinh bởi Thuật toán 2.2., xk ∈ int(C)
với mọi k và Sol(f, C) = ∅. thì,
lim xk − x0 = +∞.

k→∞

2.2.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.2. Xét the mô hình cân bằng Cournot-Nash (Moudafi, A:
Proximal point algorithm extended to equilibrium problem). Bài toán
EP (f, C) được xác định như sau:
f (x, y) = M (x + y) + x, d B(x + y) + q, y − x ,
ở đó



1
1

M =

0
3
3

2
0
0
3
4



5
1 2


6
9 0
3 4
3
,
B
=


0 1
1
2
0 1
 

 
1
3
3
2
 
 
 , d = 0
0
q=
 
 
1
4
5
9

3
0
9
3
5

4
5
2
4
1

3

2
5
2
2

4
1
2
3
3


1
3

4
,
7
4


13
và C = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R+ ,
5

4 ≤ x1 + 2x2 + x3 + 3x5 ≤ 12, 7 ≤

xi ≤ 15,
i=1

6 ≤ x2 + x3 + 2x4 ≤ 13, 3 ≤ x2 + x3 ≤ 5.
Dãy lặp được cho bởi Bảng 2.2.

Bảng 2.2. Dãy lặp của Ví dụ 2.2.
k
0
10
20
50
100
150
180
200
250
300
350
355
358
360
361

xk1
1
4.3842
4.4657
4.4901
4.4976
4.5001
4.5012
4.5106

4.5309
4.5370
4.5389
4.5395
4.5396
4.5397
4.5397

xk2
3
0.0001
00.0013
0.0017
0.0082
0.0099
0.0107
0.0142
0.0412
0.0494
0.0519
0.0526
0.0528
0.0529
0.0529

xk3
1
3.4633
3.1371
3.0404

3.0117
3.0031
3.0005
2.9716
2.9176
2.9013
2.8963
2.8948
2.8943
2.8942
2.8942

xk4
1
1.7683
1.9315
1.9796
1.9938
1.9979
1.9989
2.0071
2.0206
2.0247
2.0259
2.0263
2.0264
2.0264
2.0265

xk5

1
1.3842
1.4657
1.4898
1.4969
1.4990
1.4995
1.4965
1.4897
1.4877
1.4870
1.4868
1.4868
1.4868
1.4868

2.3 Kết luận
Chương này trình bày hai thuật toán mới giải bài toán cân bằng.
Thứ nhất là phương pháp chiếu cải giải bài toán giả đơn điệu mạnh.
Thứ hai là phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán giả đơn điệu liên
tục kiểu Lipschitz. Hơn nữa, ở đây cũng đưa ra mối liên hệ giữa việc
tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng và sự hội tụ của dãy lặp của


14
thuật toán xấp xỉ trong. Một số ví dụ minh họa cũng được trình bày
cho hai thuật toán đề xuất.

Chương 3
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI

Trong chương này, chúng tôi đề xuất hai thuật toán xấp xỉ ngoài
mới để giải bài toán cân bằng trên miền ràng buộc phi tuyến. Chiến
lược ở đây là thay miền ràng ràng buộc của thuật toán đạo hàm tăng
cường hiện thời bằng các đa diện. Thuật toán thứ nhất là cải tiến thuật
toán đạo hàm tăng cường với điều kiện tối ưu tiệm cận và đòi hỏi song
hàm cân bằng thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz. Tiếp theo
để tránh đòi hỏi này, chúng tôi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng
cường với phươngpháp tìm đường kiểu Armijo, đã được sử dụng trong
việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Hơn nữa, chúng tôi nghiên
cứu sự hội tụ về nghiệm của thuật toán thứ nhất với điều kiện có sai
số tính toán.
Xét bài toán EP (f, C) với:
C = {x ∈ Rn : ci (x) ≤ 0 ∀i = 1, 2, · · · , p} ,
ở đó ci là các hàm lồi, khả vi liên tục, và
∃¯
x ∈ Rn : ci (¯
x) < 0, ∀i = 1, 2, · · · , p.
Song hàm cân bằng f : Rn × Rn → R ∪ {+∞} thỏa mãn:
(C1.) Với mỗi x ∈ Rn , f (x, ·) lồi, khả dưới vi phân trên Rn ;
(C2.) Với mỗi x ∈ Rn , f (·, x) liên tục trên Rn ;
(C3.) Sol(f, C) = ∅.


15
Đặt C(x) := {y ∈ Rn : ci (x) +

ci (x), y − x ≤ 0 ∀i = 1, 2, · · · , p}.

3.1 Phương pháp xấp xỉ ngoài
Thuật toán 3.1

Bước 0. Chọn σ ∈ (0, 1), x0 ∈ Rn , βk ∈ 0,

1−σ
2 max {c1 , c2 }

∀k = 0, 1, ..., và lim inf βk > 0.
k→∞

Bước 1. Giải bài toán lồi mạnh:
y k := argmin βk f (xk , y) +

1
y − xk
2

2

: y ∈ C(xk ) .

(1)

Đặt r(xk ) := y k − xk . nếu r(xk ) = 0 thì Dừng. Ngược lại, thực
hiện Bước 2.
Bước 2. Giải bài toán lồi mạnh:
xk+1 := argmin βk f (y k , y) +

1
y − xk
2

2

: y ∈ C(xk ) .

Đặt k := k + 1, quay lại Bước 1.
Định lý 3.1. Cho f liên tục kiểu Lipschiz và điều kiện tối ưu tiệm
cận sau được thỏa mãn
∞

Ω :=

∞

k=1

thì, dãy xk
EP (f, C).

u ∈ Sol(f, C) : f (y k , u) ≤ 0 = ∅.

Ωk =
và

k=1

yk

hội tụ tới cùng một nghiệm x∗ của bài toán

Chú ý 3.1. Với Ωk := u ∈ Sol(f, C) : f (y k , u) ≤ 0 , điều kiện

∞

Ωk = ∅

Ω :=
k=1


16
được gọi là tối ưu tiệm cận của bài toán EP (f, C) được đề xuất bởi
Iiduka và Yamada, Iusem và Sosa. Nó cũng là điều kiện chính quy cho
thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép cho bài toán tựa cân bằng được
Strodiot, Van và Hien sử dụng.
3.2 Phương pháp xấp xỉ ngoài tìm đường kiểu Armijo
Thuật toán 3.2.
Bước 0. Chọn σ > 0, x0 ∈ C, 0 < σ <

β
, và γ ∈ (0, 1).
2

Bước 1. Tính
y k := argmin f (xk , y) +

β
y − xk
2

2

: y ∈ C(xk ) ,

r(xk ) = xk − y k . nếu r(xk ) = 0 thì Dừng.
Ngược lại, Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất mk sao cho
f xk − γ mk r(xk ), y k ≤ −σ r(xk ) 2 .
đặt z k := xk − γ mk r(xk ). Chọn w¯ k ∈ ∂f (z k , ·)(z k ).
Bước 2. Tính xk+1 := P rC∩Hk (xk ), ở đó
Hk = x ∈ Rn :

w¯ k , x − z k ≤ 0 .

đặt k := k + 1, quay lại Bước 1.
Định lý 3.2. Giả sử điều kiện tối ưu tiệm cận được thỏa mãn và dãy
C(xk ) bị chặn, w¯ k bị chặn bởi M > 0. thì,
x

k+1

−x

∗ 2

k

≤ x −x

∗ 2

− x

k+1

k 2

− y¯

γ mk σ
−
M (1 − γ mk )

2

r(xk ) 4 ,

Thì dãy xk được sinh bởi Thuật toán 3.2. hội tụ tới một nghiệm của
bài toán EP (f, C).


17
3.3 Sai số tính toán
Trong phần này, chúng tôi xét sự hội tụ của Thuật toán 3.1. tới
một nghiệm của bài toán EP (f, C), với lỗi trong tính toán. Giả sử tại
mỗi bước lặp k, thuật toán 3.1. sinh ra các dãy {xk } và {y k } sao cho

1


≤ ,
 y k − argmin βk f (xk , y) + y − xk 2 : y ∈ C(xk )
2

1


≤ ,
 xk+1 − argmin βk f (y k , y) + y − xk 2 : y ∈ C(xk )
2
(2)
với > 0, phụ thuộc với mỗi máy tính. Trong trường hợp này, không
thể có được các dãy {xk } và {y k } hội tụ về nghiệm của EP (f, C). Với
mỗi τ > 0 kí hiệu Solτ là tập x¯ ∈ C sao cho r(¯
x) ≤ τ . Mục đích ở
đây là chỉ ra rằng các dãy được sinh bởi Lược đồ (2) hội tụ tới một
nghiệm xấp xỉ thuộc Solτ . Kí hiệu các nghiệm chính xác của các bước
là:
1
y − xk
2
1
:= argmin βk f (ˆ
y k , y) + y − xk
2
1
:= argmin βk f (y k , y) + y − xk
2

yˆk := argmin βk f (xk , y) +
xˆk+1
x¯k+1

2

: y ∈ C(xk ) ,

(3)

2

: y ∈ C(xk ) ,

(4)

2

: y ∈ C(xk ) .

(5)

Gải sử các tham số và song hàm f thỏa mãn các điều kiện:
(i) x∗ ∈ Sol(f, C), ∈ (0, 1).
(ii) σ1 > 0, σ2 > 0, |f (x, y)| ≤ σ2 , ∀x, y ∈ C(xk ) ⊂ B(x∗ , σ1 )
∀k ≥ 0.
(iii) f liên tục kiểu Lipschiz với các hằng số c1 > 0, c2 > 0 và đơn
điệu trên B(x∗ , σ1 + σ2 + 1).
(iv) 0 < 1 − 2(3c1 + c2 )βk , ∀k ≥ 0.


18
(v) Điều kiện tối ưu tiệm cận.
(vi) (1 − 2c1 βi )¯2 − α
¯ i > 0 ∀k, ở đó


2

α
¯ k := + αk σ12 + δk + 2 + αk σ12 + δk σ1 ,





7c1 βk
αk :=
,
(1 − 2c2 βk )(1 − 2(c2 + 3c1 )βk )



(σ2 + 6c1 2 )βk


.
δk :=
(1 − 2c2 βk )(1 − 2(c2 + 3c1 )βk )
Định lý 3.3. Giả sử thỏa mãn các điều kiện (i) − (v) và 0 <
một số dương
4σ12
, ∀i ≥ 0,
K>
(1 − 2c1 βi )¯2 − α
¯i

< ¯,

ở đó α¯i được định nghĩa bởi (6), và các dãy {xi } và {y i } được định
nghĩa bởi Lược đồ (2). thì, tồn tại một số nguyên j ∈ [0, K] sao cho
(a) xj − y j ≤ 2¯.
(b) xi − y i > 2¯, ∀i = 0, 1, · · · , j − 1.
(c) xj ∈ Sol3¯.
3.4 Kết luận
Để giải bài toán EP (f, C), tại các bước lặp k, hầu hết các thuật
toán hiện nay giải bài toán trên tập lồi. Để thực hiện tính toán này
trong một số trường hợp không đơn giản. Để khắc phục vấn đề này
chúng tôi đã thay thế tập lồi nói chung bằng đa diện Ck tại mỗi bước
lặp. Chúng tôi đã đề xuất hai phương pháp giải bài toán cân bằng với
điều kiện liên tục kiểu Lipschiz hoặc không. Đầu tiên, chúng tôi đề
xuất thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán cân bằng với điều kiện tối
ưu tiệm cận và đòi hỏi song hàm cân bằng liên tục kiểu Lipschiz. Để
tránh điều kiện liên tục kiểu Lipschitz chúng tối đề xuât thuật toán
xấp xỉ ngoài tìm kiếm theo tia kiểu Armijo.


19

Chương 4
PHƯƠNG PHÁP ERGODIC
Chương này, chúng tôi trình bày một phương pháp mới giải bài
toán cân bằng đơn điệu. Phương pháp này dựa trên phương pháp lặp
ergodic và nguyên lý bài toán phụ với ma trận đối xứng xác định
dương. Hơn nữa, nó đòi hỏi giả thiết đơn giản để dãy lặp hội tụ tới
nghiệm của bài toán. Đối với các phương pháp trước đòi hỏi tính đơn

điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz, phương pháp được đề xuất chỉ
đòi hỏi tính đơn điệu yếu. Phương pháp này cũng áp dụng với bài toán
bất đẳng thức biến phân. Phần cuối trình bày một ví dụ minh họa.
4.1 Thuật toán
Thuật toán 4.1
Bước 0. Cho ma trận đối xứng xác định dương M (n × n) và
Chọn x1 ∈ C và k = 1.

> 0.

Bước 1. Giải bài toán lồi mạnh
xk+1 := argmin λk f (xk , y) +

1
M (y − xk ), y − xk : y ∈ C .
2

đặt r(xk ) := xk+1 − xk . nếu r(xk ) = 0 thì Dừng. Ngược lại thực
hiện Bước 2.
k

λ j xj
Bước 2. Tính z k :=

j=1

, k := k + 1 và quay lại Bước 1.

k

λj
j=1


20
Định lý 4.1 Giả sử f đơn điệu và nửa liên tục dưới trên C, Sol(f, C) =
∅ và
∞

∞

λk |f (xk , xk+1 )| < ∞.

λk = ∞,

{λk } ⊂ (0, +∞),

k=1

k=1

Khi đó, nếu thuật toán dừng tại bước lặp xk , thì xk là một -nghiệm
của bài toán EP (f, C). Ngược lại, dãy {z k } được sinh bởi Thuật toán
4.1. hội tụ tới một điểm z ∗ ∈ Sol(f, C).
Mệnh đề 4.1 Giả sử dãy {xk } được sinh từ Thuật toán 4.1. nếu tồn
tại Q > 0 và α ∈ (0, 2) sao cho





1+

∞

λk

α
2 − α < ∞,


k=1


|f (xk , xk+1 )| ≤ Q xk − xk+1

α
M

∀k,

∞

λk |f (xk , xk+1 )| < ∞.

thì
k=1

Chú ý 4.1. (i) Nếu α ∈ (0, 2), thì tồn tại dãy số dương {λk } sao cho
∞

∞

λk = ∞ và
k=1

2
λk2 − α < ∞.

k=1

(ii) trong trường hợp đặc biệt α = 1 và f (x, y) := F (x), y − x , ở đó
F : C → Rn . Nếu dãy {F (xk )} bị chặn, thì điều kiện (6) được thỏa
mãn.
(iii) Nếu song hàm f là liên tục H¨older trên C × C, tức là, tồn tại
hằng số Λ > 0 và τ ∈ (0, 1] sao cho
|f (x, y) − f (x , y )| ≤ Λ (x, y) − (x , y )

τ
¯
M

∀x, y, x , y ∈ C,


21
¯ được cho bởi
ở đó ma trận M
M 0
0 M

¯ :=
M

.

thì, điều kiện (6) được thỏa mãn.
(iv) Cho {xk } được sinh bởi Thuật toán 4.1. nếu
x

k+1

k

k

∞

k

< ∞, ở đó w ∈ ∂f (x , ·)(x ), thì

∞

λk wk

xk −

k=1
k

λk |f (x , xk+1 )| < +∞.

k=1

Thuật toán 4.1. áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(G, C) được mô tả như sau:
Thuật toán 4.2.
Bước 0. Cho ma trận đối xứng, xác định dương M (n × n) và
Chọn x1 ∈ C và k = 1.
Bước 1. Giải bài toán lồi mạnh
xk+1 := argmin

F xk , y +

1
M y − xk , y − xk : y ∈ C .
2λk

Đặt r xk = xk+1 − xk . Nếu r xk
hiện Bước 2.
Bước 2. Tính

= 0 thì Dừng. Ngược lại, thực

k

λj xj
z k :=

> 0.

j=1

,

k

λj
j=1

đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1.
4.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 4.1 Xét bài toán EP (f, C) với


22
Bảng 4.1. Ví dụ
λk
k z1k
1 .9467
1
2 .9468
k
3 .9468
4 .9469
5 .9469
1 .9555
1
2 .9468

k ln(k+1)
3 .9468
4 .9469

4.1. điểm khởi
z2k
z3k
.9447 .9426
.9447 .9427
.9448 .9427
.9448 .9427
.9448 .9428
.9447 .9427
.9448 .9427
.9448 .9427
.9448 .9427

tạo x0
z4k
.9385
.9386
.9386
.9386
.9386
.9385
.9386
.9386
.9386

:= (1, 1, 1, 1, 1)T .

z5k
z k − z k−1
.4549
.4543 6.0391.10−4
.4541 2.1960.10−4
.4540 1.1859.10−4
.4539 7.6172.10−5
.4546
.4542 3.5901.10−4
.4540 2.1889.10−4
.4540 6.4145.10−5

C = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T : x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R+ ,
x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 ≤ 10,
2x1 + x2 − x3 + x4 + 3x5 ≤ 15,
x1 + x2 + x3 + x4 + 0.5x5 ≥ 4 ;
f (x, y) = Ax + χn (y + x) + µ − α, y − x − x − y 2 .
Ở đó


1
χ

A=
χ
χ
χ

χ
1

χ
χ
χ

χ
χ
1
χ
χ

χ
χ
χ
1
χ


χ
χ

T
T
χ
 , α = (α0 , · · · , α0 ) , µ = (µ1 , · · · , µn ) .
χ
1 5×5

trong đó µ := (3, 4, 5, 7, 6)T , ξ := 3, α := (2, 2, 2, 2, 2)T . Chọn := 10−4 .
1
1

Điểm khởi tạo x0 := (1, 1, 1, 1, 1)T , và λk :=
và λk :=
,
k
k ln(k + 1)
Kết quả tính toán được cho bởi Bảng 4.1. Với điểm khởi tạo x0 :=
1
(2, 2, 2, 1, 1)T và λk := kết quả tính toán cho bởi Bảng 4.2.
k


23
4.3 Kết luận
Phương pháp lặp ergodic giải bài toán cân bằng chỉ với điều kiện
đơn điệu của song hàm cân bằng. Phương pháp này cũng được xem
xét cho bài toán bất đẳng thức biến phân.

KẾT LUẬN
1. Những kết quả chính của luận án
Luận án trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi, về bài
toán cân bằng và một số trường hợp riêng của nó, đồng thời trình bày
một số thuật toán cơ bản giải bài toán cân bằng, qua đó đề xuất mục
tiêu nghiên cứu của luận án.
Chương 2 chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu chỉ với giả
thiết giả đơn điệu mạnh của song hàm cân bằng. Đồng thời, đưa ra
một thuật toán mới giải bài toán cân bằng với hàm xấp xỉ trong, để
giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh mà không đòi hỏi điều kiện
liên tục kiểu Lipschitz của song hàm cân bằng.
Chương 3 đề xuất phương pháp xấp xỉ ngoài để giải bài toán cân
bằng, phương pháp này thay thế miền ràng buộc của bài toán bởi các

đa diện lồi xấp xỉ ngoài tại các bước lặp. Chương này đề xuất hai thuật
toán lặp để giải các bài toán cân bằng giả đơn điệu và liên tục thoả
mãn hoặc không thoả mãn giả thiết liên tục kiểu Lipschitz của song
hàm cân bằng. Đồng thời, đưa ra đánh giá sai số nghiệm với sai số tính
toán qua mỗi bước lặp.
Trong chương 4, lần đầu phương pháp ergodic được sử dụng để giải
bài toán cân bằng, phương pháp này được phát triển từ phương pháp
lặp ergodic giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị.
Một số ví dụ minh họa cho các thuật toán được đề xuất, cũng được
trình bày trong Chương 2 và Chương 4.
2. Những đóng góp mới của luận án
Đưa ra một phương pháp chiếu cải tiến giải bài toán cân bằng giả
đơn điệu mạnh với điều kiện liên tục kiểu Lipschitz.