Phương Pháp Tính - Các Kiến Thức Cần Biết

PHN 2:
CC KIN THC CN THIT

Y
Z

X

1. H PHNG TRèNH TUYN
TNH
o

Ta phi gii h phng trỡnh [K]{U}={F}:
ộ K11
ờK
ờ 21
ờ .
ờ
ờ .
ờ .
ờ
ởờK n1

K12

.

.

.

K 22

.

.

.

.

.

.

.
.
.
Kn2

K1n ự ỡ U1 ỹ ỡ F1 ỹ
K 2 n ỳỳ ùù U 2 ùù ùùF2 ùù
. ỳ ùù . ùù ùù . ùù
ỳớ ý = ớ ý
. ỳù . ù ù . ù
. ỳù . ù ù . ù
ỳù ù ù ù
K nn ỷỳ ùợU n ùỵ ùợFn ùỵ

Phm Huy Hong

1


1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
o

Phương pháp
ma trận

Phạm Huy Hoàng

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH

Phạm Huy Hoàng

2


1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
o

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Phạm Huy Hoàng

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH

Phạm Huy Hoàng

3


1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
Phương pháp Gauss (Gaussian elimination):
Tạo ma trận hệ số tam giác dưới bằng 0
o

Ma trận

0
Các hệ số
thuộc tam
giác dưới
bằng 0

Ma trận hệ số A

Vector B

Phạm Huy Hoàng

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
é 2 -1 0
ê -1 3 - 2

ê
ëê 0 - 2 2
é2
ê0
ê
êë 0
é2
ê0
ê
êë 0

2ù
- 1ú
ú
0 ûú

-1 0
5 -4
-2 2

2
0
0

-1 0
5 -4
0
1

ì

ïx = 0
2ù ï 3
0 + 4 x3 0 + 4.0
ï
0 ú Þ í x2 =
=
=0
ú
5
5
ï
0 úû
2 - 0.x3 + 1.x2 2 - 0.0 + 1.0
ï
=
=1
ïî x1 =
2
2
Phạm Huy Hoàng

ù
ú
ú
úû

4


1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN

TÍNH

1
1
é2
ê -1 2 -1
ê
ëê 4 - 3 1

6
0
2

ù
ú
ú
ûú

Phạm Huy Hoàng

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
1
1
é2
ê -1 2 -1
ê
ëê 4 - 3 1

é1

ê
ê
ê0
ê
ê0
êë

1
2
1
0

6ù
0ú
ú
2 ûú

3 ùú
6ú
ú
5ú
- 2 - 4ú
úû

1
2
1
5

é 1

ê
ê
ê 0
ê
ê 0
ëê

1
2
5
2

1
2
1
2

-5

-1

3 ùú
ú
3 ú
ú
- 10ú
ûú

-4
ì

x
=
=2
3
ï
-2
ï
6 1
6 1
8
ï
Þ í x2 = + x3 = + 2 =
5 5
5 5
5
ï
1
1
1
18 6
ï
ïî x1 = 3 - 2 x3 - 2 x2 = 3 - 2 2 - 2 5 = 5
Phạm Huy Hoàng

5


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Tất cả các tích phân có miền [x1 , x2] đều có thể quy
về tích phân trên miền [-1, 1]

x2
I = ò f ( x ) dx
x1

1
I = ò f (x ) d x
-1

®

Bằng cách đổi biến:

x=

1- x
1+ x
x1 +
x2
2
2

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Gần đúng bằng hình thang (Trapezoidal rule):
Xấp xỉ hàm f(x) bằng đường thẳng g(x) đi qua hai
điềm đầu và cuối.
g(x)
f(-1)

f(1)

f(x)
x
-1

1- x
1+x
g(x) =
f (-1) +
f (1)
2
2
1

1

-1

-1

1

I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (-1)
Phạm Huy Hoàng

6

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
1
1
1
4
1
I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1)
-1
-1
3
3
3

g(x)
f(-1)

f(1)

f(x)
x
-1

1

• Hàm f(x) được tính tại hai điểm (-1) và 1.
• Kết quả chính xác nều hàm tuyến tính hay hằng
số nhưng không chính xác cho hàm bậc 2 trở lên.
Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

Xấp xỉ bậc 2 - Simpson’s rule: Xấp xỉ hàm f(x) bằng
đường parabol g(x) đi qua 3 điểm đầu, cuối và giữa
(-1), 1 và 0.
f(1)

g(x)

f(x)
f(-1)

f(0)
x
-1

g(x ) =

1

x (x -1)
x (1+x )
f (-1) + (1-x )(1+x ) f (0) +
f (1)
2
2

1

1

-1

-1

I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx =

1
4
1
f (1) + f (0) + f (-1)
3
3
3

Phạm Huy Hoàng

7


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
• Hàm f(x) cần được tính tại 3 điểm (-1), 0 và 1.
• Kết quả chính xác cho hàm từ bậc hai trở xuống,
nhưng không chính xác cho hàm bậc 3 trở lên.
f(1)

g(x)

f(x)
f(-1)

f(0)

x
-1

1

1
4
1
I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1)
-1
-1
3
3
3
1

1

Tổng quát hóa cách xấp xĩ như thế nào?
Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Lưu ý các xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát như
sau:
M

I = ò f (x ) dx » åWi f (xi )
1

-1

i =1

trọng số

điểm lấy tích phân

1
1
1
4
1
I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1)
-1
-1
3
3
3

Trapezoidal rule: M=2
Dùng cho hàm đa thức bậc tối đa
M -1 = 1

x1 = -1
W2 = 1 x2 = 1

W1 = 1

Phạm Huy Hoàng

8


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Lưu ý các xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát như
sau:
M

I = ò f (x ) dx » åWi f (xi )
1

-1

i =1

trọng số

điểm lấy tích phân

1
4
1
f (1) + f (0) + f (-1)
-1
-1
3
3
3
W1 = 1/ 3 x1 = -1
Simpson’s rule: M = 3

W2 = 4 / 3 x2 = 0
Chính xác cho hàm bậc tối đa M W2 = 1/ 3 x2 = 1
1=2
1

1

I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx =

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Tổng quát hóa thành công thức: Newton-Cotes
• Chia miền [-1,1] thành (M-1) khoảng nhỏ đều
nhaubằng M điểm.
• Vẽ đường cong đa thức bậc (M-1) qua M điểm trên
(giá trị đa thức bằng giá trị hàm tại M điểm.
• Xấp xỉ tích phân bằng tích phân của đa thức.
f(1)

f(x)
f(-1)
g(x)

x
-1

1
Phạm Huy Hoàng

9


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Newton-Cotes

I =

ò

1

-1

f (x ) d x »

M

åW
i =1

f (x i )

i

N

xi

wi

Bậc đa thức tối đa m

2

-1, 1

1

1

3

0
-1, 1

4/3
1/3

2

4

-1/3, 1/3
-1, 1

3/4
1/4

3

5

0
-1/2, 1/2
-1,1

12/45
32/45
7/45

4

6

-1/5, 1/5
-3/5, 3/5
-1, 1

50/144
75/144
19/144

5

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Với ‘M’ điểm chúng ta có thể tính chính xác tích
phân hàm đa thức bậc ‘M-1’.

Thực tế, với ‘M’ điểm lấy tích phân và ‘M’ trọng số ta
có thể tính chính xác đến tích phân của hàm đa thức
bậc (2M-1)! → Công thức gần đúng Gauss
(Gaussian rule)

Phạm Huy Hoàng

10


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Gauss quadrature

M

I = ò f (x ) dx » åWi f (xi )
1

-1

i =1

trọng số

điểm lấy tích phân

Chọn điểm lấy tích phân và trọng số như thế nào để tính
chính xác tích phân hàm bậc 2M-1?

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Trường hợp M=1 (Midpoint quadrature)
1
I = ò f (x ) d x » W1 f (x 1 )
-1

Chọn W1 và x1 sao cho tích phân chính xác đa thức
bậc (2M - 1) = 1 – tuyến tính.

ò

f (x) = a0 + a1x
nhưng

1

ò

-1

Do đó:

1

-1

f (x ) d x = 2 a 0

f (x ) dx = W1 f (x1 ) = a0W1 + a0Wx1

2a0 = a0W1 + a1W1x1
W1x1 = 0
W 1 = 2; x 1 = 0

Vậy a0 và a1 phải thỏa: W1 = 2

và

Phạm Huy Hoàng

11


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
1

I = ò f (x ) dx » 2 f (0)

Trường hợp M=1

-1

f(x)
f(0)
g(x)
x
-1

1

(Midpoint quadrature rule):
• Chỉ tính f(x) tại một điểm giữa của miền tích phân.
• Cách này chính xác cho đa thức bậc 1 trở xuống (hằng
hay tuyến tính) (tương ứng với Trapezoidal rule)

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Trường hợp M=2

1

I = ò f (x ) dx » W1 f (x1 ) + W2 f (x2 )
-1

Chọn W1, W2, x1 và x2 như thế nào để tính chính xác
tích phân đa thức bậc (2M-1) = 3?

f (x) = a0 + a1x + a2x + a3x
2

Ta muốn

3

2
f
(
x

)
d
x
=
2
a
+
a2
0
ò-1
3
1

1
ò f (x ) dx = W1 f (x1) +W2 f (x2)
-1
= a0(W1 +W2 ) + a1(W1x1 +W2x2 )

(

) (

+ a2 W1x12 +W2x22 + a3 W1x13 +W2x23

)

Phạm Huy Hoàng

12

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

(

1
2
2
ò f (x ) dx = a0 (W1 + W2 ) + a1(W1x1 + W2x2 ) + a2 W1x1 + W2x2
-1
+ a3 W1x13 + W2x23
2
= 2a0 + a2
3

)

(

Do đó:

vậy:

)

W1 + W 2 = 2 ; W1x1 + W 2 x 2 = 0 ;
2
W1x12 + W 2 x 2 2 = ; W1x13 + W 2 x 2 3 = 0
3

x1 = -

W1 = W 2 = 1;

1
1
; x2 =
3
3

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Trường hợp M=2

1

I = ò f (x ) dx » f (-1

f (-

-1

*

1
3

)

f(

f(x)

1
3

*

1
3

)+ f(

1
3

)

)

x
1

• Chỉ 2 điểm của hàm f(x) cần phải tính.
• Công thức này chính xác cho hàm tối đa bậc
2M-1 = 3 (ứng với Simpson’s rule)
Phạm Huy Hoàng

13

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
I =

Gauss

ò

1

-1

f (x ) d x »

M

åW
i =1

i

f (x i )

N

xi

wi

Bậc đa thức tối đa m

1

0

2

1

2

-0,57735, +0,57735

1

3

3

0
-0,774597, + 0,774597

0,888889
0,555556

5

4

-0,33998, + 0,33998
-0,86113, + 0,86113

0,65215
0,34785

7

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Newton-Cotes

Gauss

1. Cần ‘M’ điểm lấy
tích phân để tính chính
xác tích phân hàm đa
thức bậc ‘M-1’.
2. Tốn công hơn.

1. Cần ‘M’ điểm lấy tích
phân để tính chính xác
tích phân hàm đa thức
bậc ‘2M-1’.
2. Ít tốn công hơn.
3. Hội tụ theo hàm mũ
(exponential
convergence), sai số tỉ
lệ với

2M
æ 1 ö
ç
÷
è 2M ø

Phạm Huy Hoàng

14


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Ví dụ:

I=

Tính giải tích

ò

1

-1

f( x )dx where f( x ) = x 3 + x 2
I=

2
3

Newton-Cotes

Cần 4 điểm.
1

I = ò f(x)dx
-1

Gauss Cần 2 điểm.

= f(=

1
3

) + f(

1
3

)

2
3

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
So sánh Gauss và Newton-Cotes

1

I = ò cos(2px) dx
-1

Newton-Cotes

Gauss quadrature

Phạm Huy Hoàng

15


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
æ 1 1 ö
,
çç ÷÷
3 3ø
è

1

t

æ 1 1 ö
,
çç
÷÷
è 3 3ø

1

Miền hình vuông
1

I =ò

1

1

ò

-1 -1

s

f ( s, t ) dsdt

1
æ 1
1 ö
çç
,÷÷
3ø
è 3

æ 1
1 ö

çç ,÷÷
3
3ø
è

ò ò
1

I =

-1 -1

æ M
ö
W j f ( s , t j ) ÷÷ ds
ò-1 ççè å
j =1
ø
M

M

å åW W

»

- tích phân (1-D Gauss) theo ‘s’

f ( s , t ) ds dt

1

»

- tích phân (1-D Gauss) theo ‘t’

1

i

j

f (si , t j )

i =1 j =1
M

M

å åW

=

với Wij =Wi Wj

i =1 j =1

Phạm Huy Hoàng

f (si , t j )

ij

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
æ 1 1 ö
çç ,
÷÷
3 3ø
è

Với M = 2
Wij =Wi Wj=1

1

t

æ 1 1 ö
çç
,
÷÷
è 3 3ø

1

1
s

2

1

2

I » å å W ij f ( s i , t j )
= f(

1
3

,

1
3

) + f (-

æ 1
1 ö
çç
,÷÷
3ø
è 3

æ 1
1 ö
çç ,÷÷
3
3ø
è

i =1 j =1

1
3

,

1
3

) + f (-

1
3

,-

1
3

)+ f(

1
3

,-

1
3

)

Số điểm lấy tích phân IP = 1, 2, 3, 4

I=

1

1

ò ò

-1 -1

f ( s , t ) dsdt »

4

åW

IP =1

IP

f IP

Phạm Huy Hoàng

16

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Công thức
I =

1

ò ò

1

-1 -1

f ( s , t ) ds dt »

M

M

å åW
i =1 j =1

ij

f (si , t j )

Dùng M2 điểm lấy tích phân trên một lưới không
đều (nonuniform grid) để tính chính xác cho đa thứ
bậc (2M-1), ví dụ:

1

ò ò

1

exact

s a t b ds dt =

-1 -1

M

M

å åW
i =1 j =1

a

ij

si t j

b

for a + b £ 2 M - 1

Dùng M2 điểm chính xác cho đa thức bậc (2M-1).

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
I =

Với: M = 1
1 điểm
Gauss

1

ò ò

1

-1 -1

f ( s , t ) dsdt » 4 f ( 0,0)

t
1

1

s1=0, t1=0
W1= 4

1

Chính xác cho hàm

là tích hai đa thức
tuyến tính.

s
1

Phạm Huy Hoàng

17


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Với: M = 2
2x2 Gauss

æ 1 1 ö
çç ,
÷÷
3 3ø
è

t

1

1

æ 1 1 ö
çç
,

÷÷
è 3 3ø

1
s
1
2

æ 1
1 ö
,÷÷
çç
3
3ø
è

æ 1
1 ö
çç ,÷÷
3
3ø
è

2

I » å å W ij f ( s i , t j )
i =1 j =1

= f(

1
3

,

1
3

) + f (-

1
3

,

1
3

) + f (-

1
3

,-

1
3

)+ f(

1
3

,-

1
3

)

Chính xác cho hàm là tích hai đa thức bậc 3.
Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Với: M = 3 3x3 Gauss
t

1
3

6

2

7

1

9

1
4

1

8

3
5

I =

1

1

ò ò

-1 -1

1

5

W1 =
3
5
3
5

64
,
81

25
W
=
W
=
W
=
W
=
2
3
4
5
s
81
40
W6 = W7 = W8 = W9 =
81

3
5

3

3

f ( s , t ) dsdt » å å W ij f ( s i , t j )
i =1 j =1

Chính xác cho hàm bậc 5 là tích hai đa thức.
Phạm Huy Hoàng

18


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Ví dụ:
Nếu f(s,t) = 1 thì 1 điểm Gauss là đủ và:
1

1

I=ò

ò

-1 -1

f ( s , t ) dsdt = 4

Nếu f(s,t) = s thì 1 điểm Gauss là đủ và:

I =

1

ò ò

1

f ( s , t ) ds dt = 0

-1 -1

Nếu f(s,t) = s2t2 thì 3x3 Gauss và:

I =

1

ò ò

1

f ( s , t ) ds dt =

-1 -1

4
9

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Miền tam giác
Xét miền tam giác vuông thuận cạnh đơn vị.

t

1

I =ò

1-t

ò

t = 0 s =0

f ( s, t ) dsdt

1
t
s=1-t
1

t

s

I =
»

1

1- t

ò ò

t =0 s =0

f ( s , t ) dsdt

M

åW

IP =1

IP

f IP

Phạm Huy Hoàng

19


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Nếu f(s,t) = 1

t

I =

1
t

s=1-t

t

s

=

1

ò ò

t =0 s =0

f ( s , t ) dsdt =

1
2

M

åW

IP =1

1

1- t

M

IP

\ å W IP =
IP =1

1
2

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Nếu M = 1

f (s, t ) ~

1
s

t
1/3
1

I»

1/3
s

t

1 æ1 1ö
fç , ÷
2 è 3 3ø

1

Phạm Huy Hoàng

20


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Nếu: f (s, t ) = a1 + a 2 s + a 3t
Thì:

1-t

1

1
1
1
f ( s, t ) dsdt = a 1 + a 2 + a 3
s =0
2
3!
3!

ò ò
t =0

Nhưng

1

1-t

ò ò

t =0 s =0

f (s, t ) dsdt = W1 f (s1 , t1 )

1
1
1
\ a1 + a 2 + a 3 = W1 (a1 + a 2 s1 + a 3t1 )
2
3!
3!

1
1
1
W1 = ; W1s1 = ; W1t1 =
2
3!
3!

nên

Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Nếu M = 3 sẽ phù hợp hàm đa thức bậc 2

f (s, t ) ~

t

s

1/2
1

1
t

1

2

3

s 2 st

1/2
s

t2

1

I»

1 æ1 1ö 1 æ1 ö 1 æ 1ö
f ç , ÷ + f ç ,0 ÷ + f ç 0, ÷
6 è 2 2ø 6 è 2 ø 6 è 2ø
Phạm Huy Hoàng

21


2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Nếu M = 4 thì phù hợp hàm đa thức bậc 3
t

f (s, t ) ~

(0.2,0.6)

1

(1/3,1/3)
2
1
3

(0.2,0.2)

I »-

27
96

4

s

1(0.6,0.2)

1
s

s 2 st

t
t2

s 3 s 2t st 2 t 3

25
25
æ 1 1 ö 25
fç , ÷+
f (0.2,0.6) +
f (0.2,0.2) +
f (0.6,0.2)
96
96

è 3 3 ø 96
Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
Gợi ý:

Phạm Huy Hoàng

22


3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU

o

Chuyển vị tại một điểm bất kỳ có tọa độ (x,
y, z) được biểu diễn dưới dạng vectơ:
T
u = [u , v, w]
Phạm Huy Hoàng

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
sz

Phần tử
thể tích dV
w
u
z

x

tzx

Thể tích V
v

txz t
xy
sx

x

tzy

tyz

sy

tyx

y

Phạm Huy Hoàng

23


3. C TNH CA VT LIU
sz

tzy

tzx
z

txz

tyz

ng sut xut hin phn
t cú th tớch dV l:
sy

txy
tyx

sx
y
x

sx, sy, sz: ng sut phỏp

ộs x ự
ờs ỳ
ờ yỳ
ờs z ỳ
ỳ
=ờ
t
ờ xy ỳ

ờ
ỳ
t
yz
ờ
ỳ
ờt ỳ
ở xz ỷ

t xy = t yx ; t yz = t zy ; t zx = t xz : ng sut tip
Phm Huy Hong

3. C TNH CA VT LIU
o

Bin dng ti mt im c biu th bng
vect:

ỡe x ỹ
ùe ù
ù y ù
ùùe z ùù
{e } = ớ ý
ùg xy ù
ùg ù
ù yz ù
ùợg zx ùỵ
Phm Huy Hong

24

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
o
-

Hai hằng số đặc trưng cho cơ tính vật liệu là:
Module đàn hồi (còn gọi là hệ số Young) E
Hệ số Poison n

Ví dụ:
Thép: E = 200000MPa, n = 0,29
Hợp kim nhôm: E = 72000MPa, n = 0,3
o

Module đàn hồi trượt G:

G=

E
2(1 +n )

Phạm Huy Hoàng

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
o

Trong trường hợp biến dạng nhỏ:

¶u
ex =
¶x
¶v
ey =
¶y
ez =

¶w
¶z

g xy

¶v ¶u
= +
¶x ¶y
¶w ¶u
+
¶x ¶z
¶w ¶v
=
+
¶y ¶z

g xz =

g yz
Phạm Huy Hoàng

25